1、 江西省宜春市江西省宜春市 2020 届高三届高三 5 月模拟考试数学（理科）试题月模拟考试数学（理科）试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x|x，B1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0 B1 C2，3 D0，2，3 2在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边若 b2acosC，则ABC 的形状一 定是（ ） A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 3已知函数
2、f（x）在 x0处的导数为 f（x0） ，则 0 (0)(0) 等于（ ） Amf（x0） Bmf（x0） C 1 (0) D 1 (0) 4在（2x+y） （xy）5的展开式中，x4y2的系数为（ ） A20 B10 C15 D5 5函数 f（x）2020x+sin（2020x） ，若满足 f（x2+x）+f（1m）0 恒成立，则实数 m 的 取值范围为（ ） A1，+） B(， 3 4- C2，+） D （，1 6 在新冠肺炎疫情期间， 某医院有 10 名医生报名参加 “援鄂医疗队” ， 其中有 3 名女医生 现 从中抽选 5 名医生，用 X 表示抽到男医生的人数，则 X3 的概率为（ ）
3、 A 7 12 B 5 36 C 1 12 D 5 12 7元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走，遇店 添一倍，逢友饮一斗“基于此情境设计了如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为5 4，输 出的 x 值为 9，则判断框中可以填（ ） Ai4 Bi5 Ci6 Di7 8如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2CD，E 是 BC 边上一点且 = 3 ，F 是 AE 的中点，则下列关系式不正确的是（ ） A = 1 2 + B = 1 3 + 1 3 C = 1 3 + 2 3 D = 1 6 2 3 9已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD
4、 为矩形，侧面 PCD平面 ABCD，BC23CD PCPD26，若点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的个数为（ ） （1）PC平面 ADM（2）四棱锥 MABCD 的体积为 12 （3）BM平面 PAD（4）四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极 图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在某个太极图案中， 阴影部分可表示为 A（x，y）|x2+（y1）21 或 2+ 2
5、 4 2+ ( + 1)2 1 0 ，设点（x，y） A，则 z3x+4y 的最大值与最小值之差为（ ） A19 B18 C1 D20 11已知定义在,0， 6-上的函数() = ( 6)（0）的最大值为 5，则正实数 的 取值个数最多为（ ） A4 B3 C2 D1 12 已知抛物线 C 方程为 x24y， F 为其焦点， 过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点， 且抛物线在 A， B 两点处的切线分别交 x 轴于 P， Q 两点， 则|AP|BQ|的取值范围为 （ ） A(1 2， + ) B2，+） C （2，+） D0，2） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4
6、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 已知双曲线： 2 2 2 2 = 1 （a0， b0） 的离心率为 5 2 ， 则 C 的渐近线方程为 14 若复数 Z 满足方程 x24x+50， 且在复平面内对应的点位于第一象限， 则 Z 15已知数列an中，a111，an+1an+ 1 (+1)，若对任意的 m1，4，任意的 nN *使得 ant2+mt 恒成立，则实数 t 的取值范围是 16 已知不等式 + + 1 对 x （1， +） 恒成立， 则实数 m 的最小值为 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文
7、字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知an为等比数列，且各项均为正值，2= 1 16，a4a616a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog4an，数列* 1 +2+的前 n 项和为 Tn，求 Tn 18 （12 分）如图，四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直，ADCD，ABCD，AB3，ADCD4
8、，AE5， = 32 （1）证明：DF平面 BCE； （2）在棱 AF 上是否存在点 M，使平面 ABF 与平面 CDM 所成角的正弦值为4 5？如果存 在，指出 M 点的位置；如果不存在，请说明理由 19 （12 分）已知函数 f（x）e2xa，g（x）exb，且 f（x）与 g（x）的图象有一条斜 率为 1 的公切线（e 为自然对数的底数） （1）求 ba； （2）设函数 h（x）f（x）g（x）mx+ 2 2 1 2，证明：当 m1 时，h（x）有且仅 有 2 个零点 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 1 2，
9、点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且PF1F2 面积的最大值为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）椭圆 C 与 x 轴交于 A、 B 两点， 直线 AP 和 BP 与直线 l：x4 分别交于点 M，N， 试探究以 MN 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理 由 21 （12 分）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的 药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素 产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起 可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡某药物研究所为筛查某种超级细
10、菌，需要检 验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下 两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验 n 次； （2）混合检验，将其中 k（kN*且 k 2） 份血液样本分别取样混合在一起检验， 若检验结果为阴性， 则这份的血液全为阴性， 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份血液再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立 的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） 现取其中 k（kN*且
11、k2）份血液 样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需 要检验的总次数为 2 （1）运用概率统计的知识，若 E（1）E（2） ，试求 P 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； （2）若 P 与抗生素计量 xn相关，其中 x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足 x11，对任意的 nN*（n2） ，都有 1 3 1 =1 2 +1 = 212 2 212 （i）证明：xn为等比数列； （ii）当 = 1 1 7 8 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐 份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据： ln20.6931，
12、ln31.0986， ln41.3863， ln51.6094， ln61.7918， ln71.9459， ln82.0794，ln92.1972，ln102.3026 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 2 + 2 = 1 2（t 为参数） 以 坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为
13、 4cos， 且直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点 （1）求直线 l 的普通方程以及曲线 C 的直角坐标方程： （2）若曲线 C 外一点 A（m，n）恰好落在直线 l 上，且| + | = 32，求 m，n 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数() = | | + |2 + 4 |（m2） （1）若 m4，求不等式 f（x）5 的解集； （2）问：() + 4 (2)是否存在最小值？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明 理由 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小
14、题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x|x，B1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0 B1 C2，3 D0，2，3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x|xx|x0， B1，0，1，2， AB1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边若 b2acosC，则ABC 的形状一 定是（ ） A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 【分析】 （法一）根据正弦定理、内角和定理、诱导公
15、式、两角和与差的正弦公式化简已 知的式子，由内角的范围即可判断出ABC 的形状； （法二）根据余弦定理化简已知的式子，即可判断出ABC 的形状 【解答】解： （法一）b2acosC，由正弦定理得 sinB2sinAcosC， B（A+C） ，sin（A+C）2sinAcosC， 则 sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC， sinAcosCcosAsinC0，即 sin（AC）0， A、C（0，） ，AC（，） ，则 AC0， AC，ABC 是等腰三角形； （法二）b2acosC，由余弦定理得 b2a 2+22 2 ， 化简得 a2c20，即 ac， ABC 是等腰三角形， 故选
16、：C 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用：边角互化，考查化简、变形能力，属于 中档题 3已知函数 f（x）在 x0处的导数为 f（x0） ，则 0 (0)(0) 等于（ ） Amf（x0） Bmf（x0） C 1 (0) D 1 (0) 【分析】根据题意，由极限的运算性质可得 0 (0)(0) =m 0 (0)(0) ，结合导数的定义计算可得答案 【解答】 解： 根据题意， 0 (0)(0) =m 0 (0)(0) =mf （x0） ， 故选：A 【点评】本题考查导数的定义以及极限的性质，注意导数的定义，属于基础题 4在（2x+y） （xy）5的展开式中，x4y2的系数为（ ） A20
17、B10 C15 D5 【分析】由题意利用通项公式求得（2x+y） （xy）5的展开式中，x4y2的系数 【解答】解：在（2x+y） （xy）5的展开式中， 要得到含 x4y2的项， 可以用 2x 乘以（xy）5的展开式中含 x3y2的项； 也可以用 y 乘以（xy）5的展开式中含 x4y 的项， 故含 x4y2的项系数为 25 2 + 5 1 （1）15， 故选：C 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 5函数 f（x）2020x+sin（2020x） ，若满足 f（x2+x）+f（1m）0 恒成立，则实数 m 的 取值范围为（ ）
18、A1，+） B(， 3 4- C2，+） D （，1 【分析】首先运用奇偶性的定义，判断 f（x）为奇函数，再求 f（x）的导数，结合余弦 函数的值域，判断 f（x）的单调性，可得原不等式等价为 m1（x2+x）min，再由二次 函数的最值求法，可得 m 的范围 【解答】解：由函数 f（x）2020x+sin（2020x） ， 可得 f（x）2020x+sin（2020x）2020x+sin（2020x）f（x） ，即 f（x） 为 R 上的奇函数， 又 f（x）2020+2020cos（2020x）0，即 f（x）在 R 上递增， 则 f（x2+x）+f（1m）0 恒成立，等价为 f（x2+
19、x）f（1m）f（m1） ， 即有 m1（x2+x）min，而 x2+x（x+ 1 2） 21 4 1 4，当 x= 1 2时，等号成立， 则 m1 1 4，解得 m 3 4， 故选：B 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用函数的奇偶性和单调性，考查不等 式的解法，以及运算能力和推理能力，属于基础题 6 在新冠肺炎疫情期间， 某医院有 10 名医生报名参加 “援鄂医疗队” ， 其中有 3 名女医生 现 从中抽选 5 名医生，用 X 表示抽到男医生的人数，则 X3 的概率为（ ） A 7 12 B 5 36 C 1 12 D 5 12 【分析】基本事件总数 n= 10 5 =252，用
20、 X 表示抽到男医生的人数，则 X3 包含的基本 事件个数 m= 7 332 =105，由此能求出 X3 的概率 【解答】解：某医院有 10 名医生报名参加“援鄂医疗队” ，其中有 3 名女医生现从中 抽选 5 名医生， 基本事件总数 n= 10 5 =252， 用 X 表示抽到男医生的人数，则 X3 包含的基本事件个数 m= 7 332 =105， 用 X 表示抽到男医生的人数，则 X3 的概率为 P= = 105 252 = 5 12 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 7元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携
21、着游春走，遇店 添一倍，逢友饮一斗“基于此情境设计了如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为5 4，输 出的 x 值为 9，则判断框中可以填（ ） Ai4 Bi5 Ci6 Di7 【分析】运行该程序，输入对应的 x，直到输出的值为 9 时，根据需要输出 x 的值，观察 可知即可 【解答】 解： 运行该程序， 第一次， = 2 5 4 1 = 3 2， i2， 第二次， = 2 ( 3 2) 1 = 2， i 3， 第三次，x2213，i4，第四次，x2314，i5，第五次，x251 9，i6，此时，需要输出 x 的值，观察可知选 B 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟
22、程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2CD，E 是 BC 边上一点且 = 3 ，F 是 AE 的中点，则下列关系式不正确的是（ ） A = 1 2 + B = 1 3 + 1 3 C = 1 3 + 2 3 D = 1 6 2 3 【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果 【解答】解：在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2CD，E 是 BC 边上 一点且 = 3 ，F 是 AE 的中点， 如图所示： 作 AB 的中点，根据向量的线性运算， 对于选项 A： = 1 2 + ，故选项 A 正确 对于
23、选项 B：利用线性运算： = 1 2 = 1 2( ) = 1 3 + 1 3 ，故选项 B 正确 对于选项 D：利用线性运算： = 1 6 2 3 故选项 D 正确 对于选项 C： = 1 2 + 1 2 = 2 3 + 1 3 ，故选项 C 错误 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力，属于基础题型 9已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD平面 ABCD，BC23CD PCPD26，若点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的个数为（ ） （1）PC平面 ADM（2）四棱锥 MABCD 的体积为 12
24、（3）BM平面 PAD（4）四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由底面 ABCD 为矩形，得 ADDC，结合侧面 PCD平面 ABCD，得 AD平 面 PDC，即 ADPC，再由已知可得 DMPC，得到 PC平面 ADM，故（1）正确； 过 P 作 PEDC，垂足为 E，可得 PE平面 ABCD，求解 PE，再由四棱锥 MABCD 的 体积为 V= 1 2VPABCD 求得体积为 12，故（2）正确； 取 PD 中点 N，连接 MN，AN，可得 MNAB，MN= 1 2 ，再由反证法说明（3）错误； 连接 AC 交 BD 于 O，则 OM
25、= 1 2PA，求得 OMODOBOCOA3，可得 O 为四棱 锥 MABCD 外接球的球心，进一步求出四棱锥 MABCD 外接球的表面积判断（4）正 确 【解答】解：如图，由底面 ABCD 为矩形，得 ADDC， 又侧面 PCD平面 ABCD，且侧面 PCD平面 ABCDCD， AD平面 PDC，得 ADPC， 由PDC 为等边三角形，且 M 为 PC 的中点，可得 DMPC， 又 ADDMD，PC平面 ADM，故（1）正确； 过 P 作 PEDC，垂足为 E， 侧面 PCD平面 ABCD，侧面 PCD平面 ABCDCD，PE平面 ABCD， 又由已知可得 PE=(26)2 (6)2= 32
26、， 四棱锥 MABCD 的体积为 V= 1 2VPABCD= 1 2 1 3 23 26 32 =12， 故 （2） 正确； 取 PD 中点 N，连接 MN，AN，可得 MNAB，MN= 1 2 ， 则四边形 ABMN 为平面图形， 若 BM平面 PAD，则 BMAN，可得四边形 ABMN 为平行四边形， 得 MNAB，与 MN= 1 2矛盾，故（3）错误； 连接 AC 交 BD 于 O，则 OM= 1 2PA， ACBDPA=(26)2+ (23)2= 6，OM3 且 ODOBOCOA3， O 为四棱锥 MABCD 外接球的球心， 故四棱锥 MABCD 外接球的表面积为 36， 故 （4）正
27、确 正确命题的个数为 3 故选：C 【点评】本题主要考查了平面平面垂直的性质，以及直线与平面平行、垂直的判定，考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题 10太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极 图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在某个太极图案中， 阴影部分可表示为 A（x，y）|x2+（y1）21 或 2+ 2 4 2+ ( + 1)2 1 0 ，设点（x，y） A，则 z3x+4y 的最大值与最小值之差为（ ） A19 B18 C1 D20
28、 【分析】结合图形，平移直线 z3x+4y，当直线与阴影部分相切时取得最值，分别求其 最大最小值即可 【解答】 解： 如图， 作直线 3x+4y0， 当直线上移与圆 x2+ （y1） 21 相切时， z3x+4y 取最大值， 此时，圆心（0，1）到直线 z3x+4y 的距离等于 1，即 |4| 32+42 =1， 解得 z 的最大值为：4+59， 当下移与圆 x2+y24 相切时，3x+4y 取最小值， 同理 | 32+42 =2，即 z 的最小值为10 所以：z3x+4y 的最大值与最小值之差是：9（10）19 故选：A 【点评】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析
29、问题解 决问题的能力，属于中档题目 11已知定义在,0， 6-上的函数() = ( 6)（0）的最大值为 5，则正实数 的 取值个数最多为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】先由 x,0， 6-，求出 6的取值范围，然后分类讨论：当 6 ( 1) 2即 04 时，构造新函数() = 6 ( 1)，() = 5，然后结合正弦函数和一次函 数的图象， 找两个图象的交点个数即可； 当 6 ( 1) 2即 4 时， 只能是 5 【解答】解：x,0， 6-， 6 , 6 ， 6 ( 1)-， 当 6 ( 1) 2即 04 时，() = 6 ( 1) = 5 令() = 6 ( 1)，() = 5，如
30、图，易知函数 g（）和 h（）有两个交点 A，B， 而当 04 时，只有唯一的交点 A，也就是 6 ( 1) = 5只有唯一解 当 6 ( 1) 2即 4 时，() = 2 = 5，5，只有一个值 综上所述，正实数 的取值个数最多为 2 个 故选：C 【点评】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及构造新函 数和分类讨论的思想，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中 档题 12 已知抛物线 C 方程为 x24y， F 为其焦点， 过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点， 且抛物线在 A， B 两点处的切线分别交 x 轴于 P， Q 两点，
31、 则|AP|BQ|的取值范围为 （ ） A(1 2， + ) B2，+） C （2，+） D0，2） 【分析】设 l：ykx+1设 A（x1， 12 4 ） ，B（x2， 22 4 ） ，可得 PA：y 12 4 = 1 2x1（xx1） ， |AP|= 1 41 2(4 + 12)同理可得，|BQ|=1 42 2(4 + 22)，可得|AP|BQ|的取值范围 【解答】 解： 由已知可判断直线 l 的斜率存在， 设斜率为 k， 因为 F （0， 1） ， 则 l： ykx+1 设 A（x1，1 2 4 ） ，B（x2，2 2 4 ） ，由 = + 1 2= 4 消去 y 得，x24kx40，
32、x1+x24k，x1x24 由于抛物线 C 也是函数 y= 1 4x 2 的图象，且 y= 1 2x，则 PA：y 12 4 = 1 2x1（xx1） 令 y0，解得 x= 1 2x1，P（ 1 2x1，0） ，从而|AP|= 1 41 2(4 + 12) 同理可得，|BQ|= 1 42 2(4 + 22)， |AP| |BQ| = 1 16(12) 2(4 + 12)(4 + 22) = 1 16(12) 2,16 + 4(12+ 22) + (12)2- = 2 1 + 2 k20，|AP|BQ|的取值范围为2，+） 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合
33、应用，考查转化 思想以及计算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为 y= 1 2 【分析】由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出 的值，由此 能求出双曲线的渐近线的方程 【解答】解：双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的离心率为 5 2 ， = = 2 2 =1 + 2 2 = 5 2 ， 1+ 2 2 = 5 4， 2 2 = 1 4，解得 = 1 2， C 的渐近线方程为 y= = 1
34、2 故答案为：y= 1 2 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的 简单性质 14若复数 Z 满足方程 x24x+50，且在复平面内对应的点位于第一象限，则 Z 2 i 【分析】利用求根公式可得实系数一元二次方程的虚根，根据在复平面内对应的点位于 第一象限，可得，进而得出 Z 【解答】解：由 x24x+50，解得 x= 42 2 =2i， 在复平面内对应的点位于第一象限， =2+i Z2i 故答案为：2i 【点评】本题考查了求根公式、实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 15已知数列an中，a111，an+1an+ 1
35、(+1)，若对任意的 m1，4，任意的 nN *使得 ant2+mt 恒成立，则实数 t 的取值范围是 （，63，+） 【分析】利用裂项法可求得 an（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+（a2a1） +a11 1 ，而 an12 1 为递增数列，可求得 an 的极限值（可作为最大值） ，于是所求 可转化为对任意的 m1， 4， t2+mt12 恒成立问题， 通过构造函数 h （m） tm+t212， 则(1) 0 (4) 0，解之即可 【解答】解：an+1an+ 1 (+1)； an+1an= 1 1 +1， an （anan1） + （an1an2） + （a3a2） + （a2
36、a1） +a1 （ 1 1 1 ） + （ 1 2 1 1） +（1 2 1 3）+（1 1 2）+1112 1 ， an12 1 为递增数列， 当 n+时，an12 对任意的 m1，4，存在 nN*，使 ant2+mt 成立， 对任意的 m1，4，t2+mt12 恒成立 令 h（m）tm+t212， 则(1) 0 (4) 0，即 2+ 12 0 2+ 4 12 0， 解得：t3 或 t6， 故答案为： （，63，+） 【点评】本题考查数列递推式，考查等价转化思想与极限思想的应用，考查裂项法与构 造法，考查推理与运算能力，属于中档题 16 已知不等式 + + 1 对 x （1， +） 恒成立，
37、 则实数 m 的最小值为 e 【分析】由题意可得 e xlnexxmlnxm 对 x（1，+）恒成立，设 f（x）xlnx， 求得 f（x）的导数和单调性、极值和最值，讨论 m0 恒成立，由 m0 时，xm的范围， 可得 e xxm，两边取自然对数，运用参数分离和构造函数法，运用导数求单调性、极值 和最值，即可得到所求最小值 【解答】解：不等式 + + 1 对 x（1，+）恒成立，即 x+ 1 xmmlnx xmlnxm，对 x（1，+）恒成立， 即有 e xlnexxmmlnxxmlnxm 对 x（1，+）恒成立， 设 f（x）xlnx，可得 f（x）1 1 = 1 ，即 f（x）在（1，+
38、）递增，在（0，1） 递减， 可得 f（x）在 x1 处取得最小值 1， 则 f（e x）f（xm）对 x1 恒成立，由 x1，可得 0ex1 ， 当 m0 时，xm1，f（e x）f（xm）显然成立；要求 m 的最小值，可考虑 m0 的情 况 当 m0 时，yxm在（1，+）递减，可得 xm（0，1） ， 则 e xxm，两边取自然对数可得xmlnx（x1） ，即m 对 x1 恒成立， 可设 h（x）= ，x1，可得 h（x）= 1 ()2， 当 xe 时，h（x）0，h（x）递增，1xe 时，h（x）0，h（x）递减， 则 h（x）在 xe 处取得极小值，且为最小值 e， 即有me，可得
39、me，即 m 的最小值为e 故答案为：e 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，运用导数 求单调性、极值和最值，考查运算能力和推理能力，属于难题 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知an为等比数列，且各项均为正值，2= 1 16，a4a61
40、6a3a9 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog4an，数列* 1 +2+的前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 本题第 （1） 题先设等比数列an的公比为 q， 然后根据等比中项的性质化简 a4a6 16a3a9可得5 2 = 166 2，进一步计算可得公比 q 的值，然后根据2 = 1 16可计算出首项 a1的值，即可得到数列an的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，再计算出数列* 1 +2+的 通项公式，然后运用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设等比数列an的公比为 q，则 由 a4a616a3a9，可得
41、5 2 = 166 2， q2= 6 2 5 2 = 1 16， 等比数列an各项均为正值， q0，即 = 1 4， 由2= 1 16，可得 a1= 2 = 1 16 1 4 = 1 4， an= 1 4 （ 1 4） n1（1 4） n，nN* （2）由（1）知，= 4= 4 1 4 = ， 则 1 +2 = 1 (+2) = 1 2 (1 1 +2)， Tn= 1 13 + 1 24 + 1 35 + 1 46 + + 1 1+1 + 1 +2 = 1 2（1 1 3）+ 1 2（ 1 2 1 4）+ 1 2（ 1 3 1 5）+ 1 2（ 1 1 1 +1）+ 1 2（ 1 1 +2） = 1 2（1 1 3 + 1 2 1 4 + 1 3 1 5 + + 1 1 1 +1 + 1 1 +2） = 1 2（1+ 1 2 1 +
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