1、20192019- -20202020 学年高三年级调研考试学年高三年级调研考试数学文数学文科试科试卷卷（三）（三） 一、选择题一、选择题 1若集合 2 ,20,Ax y xxyR， 2 ,2Bx y yx，则AB中元素的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 2已知 2 2aiaR是纯虚数，则ai （ ） A3 B5 C3 D5 3若1ab且0ab，则下列结论恒成立的是（ ） A 1 2 a B 2 abb C 11 1 ab D1abab 4 已知圆 22 240xyxy关于双曲线 22 :10 21 xy Cm mm 的一条渐近线对称， 则m（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 5 D
2、1 7 5已知, a b是单位向量，且 2, 1ab，则ab（ ） A1 B2 C3 D2 6已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 6 2a ， 21039 212aaaa，则 5 S （ ） A5 B3 C3 D5 7 新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染， 已知甲通过检测确诊为新冠肺炎， 经过追踪发现甲有, ,A B C D E 5名密切接触者，现把这5人分为2组（一组2人，一组3人） ，分别送到2个医院进行隔离观察，则,A B在 同一个医院的概率为（ ） A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 8已知函数 1,0 0,0 1,0 x f xx x ， sing xx，则下列
3、结论错误的是（ ） A 0g f x B ff xf x C sinf x g xx D 21f g x 9已知函数 32 3f xxaxxb满足 2f xfx，则 f x的图象在1x 处的切线方程为 （ ） A1y B0y C1yx D1yx 10 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有 这样一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给 出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中可分别填入（ ） A3 3 n sm；100?n B3 3 m sn；100?n C3 3 m sn；100?s D
4、3 3 n sm；100?s 11如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成 角的余弦值为（ ） A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 3 4 12已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为F，设 22 cab，直线1 xy cb 与椭圆C在第四 象限交于点A，点A在x同上的射影为B，若 2 4 9 AB AFb，则椭圆C的离心率为（ ） A 1 5 B 5 5 C 2 5 D 10 5 二、填空题二、填空题 13若函数 2, 1 1 ,1 xx f x a xx 的值域为R，则a的取值范围是_. 14正项数列 n a满足 2
5、 1a ， 2 1 1 2 n nn n a aa a ，则使100 n a 的最小的n值为_. 15 已 知 s i n 3 fxx ， 若 方 程 f xa在 5 0, 3 上 只 有4个 不 同 实 根 12341234 ,x x x xxxxx，则 1234 22a xxxx的最小值为_. 16在ABC中，3ABAC，3BC ，点D在BC上，且2BDDC，将ABD沿AD折起， 使点B到达点P位置，且APAC，则三棱锥PACD的外接球半径为_. 三、解答题三、解答题 172020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分 国家或地区直接宣布“封国
6、”或“封城” ，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始 倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表： 企业成立年份 2019 2018 2017 2016 2015 企业成立年限x 1 2 3 4 5 倒闭企业数量（万家） 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15 倒闭企业所占比例%y 21.4% 19.1% 14.5% 10.9% 8.7% （1）由所给数据可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于x的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例. 参考数据： 5 1 74.6 i i y ， 5 1 19
7、0.2 ii i x y ， 5 2 1 10.70 i i yy ，103.16， 相 关 系 数 1 22 11 n ii i nn ii ii x ynxy r xxyy ， 样 本,1, 2 , . . . , ii x yin的 最 小 二 乘 估 计 公 式 为 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ，aybx. 18已知ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且满足 tan 190 tan A cb C . （1）求cos A的值； （2）若点D在边BC上，AD平分角A，且5AD ，求 11 bc 的值. 19如图，在三棱柱 111
8、 ABCABC中， 1 AA 底面ABC，点D为 1 BB中点，点E为点B关于直线AC的 对称点， 1 2ABBCAA，2 2AC . （1）求证：平面 1 AC D 平面 11 ACC A； （2）求三棱锥 1 EADC的体积. 20已知抛物线 2 :20C ypx p与直线1yx只有一个公共点，点,A B是抛物线C上的动点. （1）求抛物线C的方程； （2）若1 OAOB kk，求证：直线AB过定点； 若 00 ,P x y是抛物线C上与原点不重合的定点，且0 PAPB kk，求证：直线AB的斜率为定值，并求 出该定值. 21已知函数 2 1 lnln1 2 f xaxxxx . （1）若
9、 2 e a ，讨论 f x的单调性； （2）若1a ，1x，求证： 2 3 21 sin 2 f xxxx . 22平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为3,3，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标 系中，曲线C的极坐标方程为 2 22 2 sin 4 . （1）求曲线C的参数方程； （2）若,P Q是曲线C上的不同两点，且 22 40APAQ，求证：线段PQ的中点M恒在一条直线上， 并求出此直线的直角坐标方程. 23已知函数 2f xxmxm. （1）若2m，求不等式 1f x 的解集； （2）若对满足0ab的任意实数, a b，关于x的方程 1 f xa ab b 的解集，求m的
10、取值范围. 文科数学参考答案文科数学参考答案 1 【答案】C 【解析】因为,0Ax y x或2,xyR， 2 ,2Bx y yx，所以 0,0 , 2,2 , 2, 2AB ，故选 C. 2 【答案】B 【解析】 2 2 244aiaai，因为 2 2aiaR是纯虚数，所以 2 40 40 a a ，所以2a ，由 25aii ，故选 B. 3 【答案】D 【解析】取 2 3 a ， 3 4 b ，可排除 A，取2a ， 1 2 b ，可排除 B，取2a ， 1 2 b ，可排除 C， 由1ab可得110ab，展开得1abab ，故选 D. 4 【答案】D 【解析】 圆 22 240xyxy关
11、于双曲线 22 :10 21 xy Cm mm 的一条渐近线对称， 则圆心1, 2 在渐近线 1 2 m yx m 上，所以 1 2 2 m m ， 1 7 m ，故选 D. 5 【答案】A 【解析】 因为, a b是单位向量， 2, 1ab， 两边平方得21a b ， 所以 22 21abaa bb ， 故选 A. 6 【答案】D 【 解 析 】 由 题 意 得 21 03963396363 22224412aaaaaaaaaaaa， 可 得 3 1a ，所以 53 55Sa ，故选 D. 7 【答案】C 【解析】 把, ,A B C D E分为2组 （一组2人， 一组3人） ， 结果有：,
12、AB CDE，,AC BDE，,AD BCE， ,AE BCD，,BC ADE，,BD ACE，,BE ACD，,CD ABE，,CE ABD，,DE ABC， 共10种，,A B在同一个医院的结果有：,AB CDE，,CD ABE，,CE ABD，,DE ABC， 共4种， 所以所求概率 42 105 P ，故选 C. 8 【答案】C 【解析】由 1,0 0,0 1,0 x f xx x ， sing xx，可得当0x时， 1sin0g f xg，当0x 时， 0sin00g f xg， 当0x时 1sin0g f xg， 所以 A 正确； 当0x时， 1f x ， 11ff xf， ff
13、xf x成立， 当0x时， 00f， 000fff， ff xf x成立，当0x时， 1f x ， 11ff xf， ff xf x成立，所 以 B 正确， 由 33 1 22 fg ， 可知 C 错误， 由 1g x ， 21g x ， 可知 21f g x 正确， 故选 C. 9 【答案】A 【解析】 由 2f xfx可得 2 222axb， 所以0a，1b， 3 31f xxx， 2 33fxx， 11f ， 10 f ，所以 f x的图象在1x 处的切线方程为1y ，故选 A. 10 【答案】D 【解析】 由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数， 根据 “大僧三个更无争， 小僧
14、三人分一个” ， 设馒头数为s，则3 3 n sm，所以中填入3 3 n sm，当100s 时结束程序，输出n，故选 D. 11 【答案】C 【解析】取BC中点O，BO中点F，连接,OD OE FE DF，则ODE就是直线DE与AC所成角.设 4AB ， 则2OD，1OF ，2OE ，3DF ， 22 5EFOEOF， 22 2 2DEDFEF，所以 4 ODE ，即直线DE与AC所成角的余弦值为 2 2 ，故选 C. 12 【答案】B 【解析】 由ABx轴可得 2 AB AFAB， 所以 2 3 b AB ， 又t a n AB b BFA c FB ， 所以 2 3 c FB ， 所以 5
15、2 , 33 cb A ，代入椭圆C的方程得 2 2 254 1 99 c a ，所以 5 5 e ，故选 B. 13 【答案】 1 , 2 【解析】 当1x时， 2 1f xx， 若0a，1x时， 0f x ， f x的值域不是R； 若0a，1x 时， 2f xa， f x的值域不是R，若0a，1x时， 2f xa，所以当21a 时， f x的值 域为R，所以a的取值范围是 1 , 2 . 14 【答案】9 【解析】由 2 1 1 2 n nn n a aa a 得 22 11 20 nnnn aa aa ，即 11 20 nnnn aaaa ，因为0 n a ，所以 1 20 nn aa
16、， 1 2 nn aa ， 22 2 22 nn n aa ， 8 64a ， 9 128a ，所以使100 n a 的最小的n值为 9. 152 3 【答案】 【解析】画出 f x的图象，由图象可知 3 1 2 a， 12 2 63 xx ， 23 24 2 33 xx ， 34 77 2 63 xx ，相加得 1234 224xxxx，所以 1234 22a xxxx的最小值为2 3. 16 【答案】 7 2 【解析】由题意可得1ADDC，ABAD，因为APAC，所以三棱锥PACD中，AP 底面 ADC，把三棱锥PACD补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥PACD的外接球，球心是三 棱
17、柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径 13 1 2 sin120 r ，又3AP ，所以三棱锥 PACD外接球半径 2 2 37 1 22 R . 17解： （1）由表中数据及参考数据可得3x ， 5 2 1 10 i i xx ， 5 2 1 10.70 i i yy ， 由 5 1 15 i i x ， 5 1 74.6 i i y ，可得3x ，14.92y ， 所以 5 1 5190.25 3 14.9233.6 ii i x yxy ， 所以 33.6 0.99 10.70 3.16 r ， 因为y与x的相关系数近似为0.99， 说明y与x的相关程度相当高， 从而可以用线性
18、回归模型拟合y与x 的关系. （2） 5 1 5 2 2 1 5 33.6 3.36 555 9 5 ii i i i x yxy b xx ， 则14.923.36 325aybx ， 所以y关于x的回归方程3.3625yx. 当6x时，3.36 6254.84y ， 所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%. 18解： （1）由 tan 190 tan A cb C 及正弦定理可得 sincossincos sin9sin0 sincos ACCA CB CA ， 即 sin 9sin0 cos AC B A ， 因为sinsinsinA CBB，且sin0B， 所以 1
19、 cos 9 A . （2）因为 1 cos 9 A ，所以 2 4 5 sin1 cos 9 AA， 因为AD平分角A，所以 1 1 1 cos2 9 sinsin 223 A BADCAD ， 由 ABCADBADC SSS ，可得 111 sinsinsin 222 bcAc ADBADb ADCAD， 14 51212 55 292323 bccb，整理得 2 3 bcbc， 所以 112 3bc . 19解： （1）设 1 AC的中点为F，连接BE与AC交于G，则点G为AC中点， 连接,DF FG，则 1 FGCC，且 1 1 2 FGCC.又D为 1 BB的中点， 所以DBFG，且
20、DBFG， 所以四边形BDFG为平行四边形，所以BGDF， 因为 1 AA 底面ABC，所以平面ABC 平面 11 ACC A， 因为ABBC，G为AC中点，所以BG平面 11 ACC A， 所以DF 平面 11 ACC A.又DF 平面 1 AC D， 所以平面 1 AC D 平面 11 ACC A. （2）由（1）知BEDF，所以点,E B到平面 1 ADC的距离相等， 所以 111 E ADCB ADCA BDC VVV 三棱三棱三棱锥锥锥 . 由2ABBC，2 2AC ，可得ABBC， 因为平面ABC 平面 11 BCC B，AB 平面 11 BCC B， 又 1 BDC的面积 1 1
21、 21 2 S ， 所以 1 112 2 1 333 A BDC VABS 三棱锥 ， 所以三棱锥 1 EADC的体积为 2 3 . 20解： （1） 2 2ypx与1yx联立得 2 220ypyp 因为抛物线C与直线1yx只有一个公共点， 所以 2 280pp，2p ， 所以抛物线C的方程为 2 4yx. （2）设 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ，则 12 44 1 OAOB kk yy ， 所以 12 12 4 y y yy ，又 12 22 1212 4 44 AB yy k yyyy ， 所以直线AB的方程为 2 1 1 12 4 4 y yyx yy
22、 ， 即 2 112 1 1212121212 444 4 yy y yxyxx yyyyyyyyyy ， 当0x时4y ，所以直线AB过定点0,4. 设 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ，则 1020 2222 00121020 44 0 4444 PAPB yyyy kk yyyyyyyy ， 所以 1020 0yyyy， 120 2yyy ， 所以直线AB的斜率 12 22 12120 42 44 AB yy k yyyyy .即直线AB的斜率为定值 0 2 y . 21解： （1）因为 2 1 lnln1 2 f xaxxxx ， 所以 2ln2ln12
23、1 ln10fxaxxaxxaxxx ， 若0a，则210ax ，当 1 0,x e 时， 0fx， f x是增函数， 当 1 ,x e 时， 0fx， f x是减函数； 若0 2 e a，即 11 2ae ， 当 1 0,x e 和 1 , 2 x a 时， 0fx， f x是增函数， 当 11 , 2 x ea 时， 0fx， f x是减函数. 综上可得，当0a时， f x在 1 0, e 上单调递增，在 1 , e 上单调递减； 当0 2 e a时， f x在 1 0, e 和 1 , 2a 上单调递增，在 11 , 2ea 上单调递减. （2）当1a 时，要证 2 3 21 sin 2
24、 f xxxx ， 只需证 2 3 22 2 fxxx，即证 2 1 ln10xxx x ， 因为1x，所以 2 0xx，设 1 ln1g xx x ， 则 22 111 0 x gx xxx ， 所以 g x在1,上是增函数， 10g xg， 1 ln10x x ， 所以 2 1 ln10xxx x ， 因此 2 3 21 sin 2 f xxxx 成立. 22解： （1） 2 22 2 sin22 cos2 sin 4 ， 由 222 xy，cosx，siny，得曲线C的直角坐标方程为 22 222xyxy， 即 22 114xy， 设12cosx ，12siny ，得曲线C的参数方程 1
25、 2cos 1 2sin x y （为参数）. （2）设 11 1 2cos,1 2sinP， 22 1 2cos,1 2sinQ， 设,M x y，则 12 1 coscosx ， 12 1 sinsiny ， 由 22 40APAQ，得 2222 1122 2cos22sin22cos22sin2 40， 整理得 1212 1 coscos1 sinsin0 ，即0xy， 所以点M恒在直线0xy上，所以此直线的直角坐标方程为0xy. 23解： （1）当2m时， 2,2 2426,24 2,4 x f xxxxx x ， 当2x时，21 不成立， 当24x时，由261x，得 7 4 2 x， 当4x时，21成立， 所以不等式 1f x 的解集为 7 , 2 . （2）因为 22f xxmxmxmxmm， 所以 mf xm， 又 3 111 33aabbab b ab bab bab b ， 当 1 abb ab b ，即2a，1b时取等号， 若对满足0ab的任意实数, a b，关于x的方程 1 f xa ab b 的解集为， 则3m ， 所以m的取值范围是3,3.
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