1、2020 年四川省成都市简阳市简城学区中考数学一模试卷年四川省成都市简阳市简城学区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的绝对值是（ ） A5 B C5 D 2某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体 的主视图是（ ） A B C D 3 预计到2025年， 中国5G用户将超过460000000， 将460000000用科学记数法表示为 （ ） A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 4在平面直角坐标系中，点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，则（ ） Am3，n2 Bm3，n2 Cm2，n3
2、 Dm2，n3 5下列运算正确的是（ ） A3a2a6a Ba8a4a2 C3（a1）33a D （a3）2a9 6下列说法错误的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B平行四边形的对边相等 C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 7已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A66，62 B66，66 C67，62 D67，66 8如图，ABOCDO，若 BO6，DO3，CD2，则 AB 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 9如图，在AOC 中，OA3cm，OC1cm，将AOC 绕点 O 顺时针旋转 90后得到 BO
3、D，则 AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2 A B2 C D 10如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，则下列结论中，错误的是（ ） Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 二填空题二填空题 11分解因式：a2bb 12 如图， ABC 内接于O， BD 是O 的直径， CBD21， 则A 的度数为 13如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE3，则菱 形的周长为 14如图，直线 yx+2 与直线 yax+c 相交于点 P（m，3） ，则关于 x 的不等式 x+2ax+c 的解为 三解答题三解答题
4、 15 （1）计算： （3）02cos30+|1|+（） 1； （2）解不等式组： 16先化简，再求值： （1），其中 m2 17学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的 科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生 3 月植树成活情况，对 本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生总人数； （2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整； （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中 A 类 1 人，B 类 2 人，C 类 1 人，若再从 这 4 人中随机抽取 2 人
5、，请用画树状图或列表法求出全是 B 类学生的概率 18若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所 示，已知原阶梯式自动扶梯 AB 长为 10m，扶梯 AB 的坡度 i 为 1：改造后的斜坡式 动扶梯的坡角ACB 为 15，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度 （结果精确到 0.1m参考数据：sin150.26，cos150.97，tanl50.27） 19如图，点 A（，4） ，B（3，m）是直线 AB 与反比例函数 y（x0）图象的两个交 点，ACx 轴，垂足为点 C，已知 D（0，1） ，连接 AD，BD，BC （1）求直线 AB 的表达式； （2
6、）ABC 和ABD 的面积分别为 S1，S2求 S2S1 20 如图， AB 是O 的直径， 点 C 为O 上一点， AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E， AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB：PC1：2 （1）求证：AC 平分BAD； （2）探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AD3，求ABC 的面积 B 卷 一.填空题 21 若x1， x2是方程x22mx+m2m10的两个根， 且x1+x21x1x2， 则m的值为 22在4、2，1、2 四个数中、随机取两个数分别作为函数 yax2+bx+1 中 a，b
7、的值， 则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 23如图，直线 l：yx+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1作 A1B1l，交 x 轴于点 B1，过点 B1作 B1A2x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2作 A2B2l，交 x 轴于点 B2，过点 B2作 B2A3x 轴，交直线 l 于点 A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积 为 S1，阴影A2B1B2的面积为 S2，阴影A3B2B3的面积为 S3，则 Sn 24如图，一次函数 y2x 与反比例函数 y（k0）的图象交于点 A，B，点 P 在以 C （2，0）为圆心，1 为半径的C 上，Q 是 AP
8、 的中点，若 OQ 长的最大值为，则 k 的值为 25如图，O 的直径 AB 的长 12，长度为 4 的弦 DF 在半圆上滑动，DEAB 于点 E，OC DF 于点 C，连接 CE，AF，则 sinAEC 的值是 ，当 CE 的长取得最大值时 AF 的长是 26某种蔬菜的销售单价 y1与销售月份 x 之间的关系如图 1 所示，成本 y2与销售月份 x 之 间的关系如图 2 所示 （1）已知 6 月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每干克的收益是多少元？（收益售价 成本） （2）分别求出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由 27如图，在平面直角
9、坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C（2，0） ，点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合） ，连结 BD， 作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF （1）填空：点 B 的坐标为 ； （2）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若 不存在，请说明理由； （3）求证：； 设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论） ，并 求出 y 的最小值 28在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴
10、的两个交点分别为 A（3， 0） 、B（1，0） ，与 y 轴交于点 D（0，3） ，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合） ，当ADE 与 ACD 面积相等时，求点 E 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，过点 P 向 CD 所在的直线作垂 线，垂足为点 Q，以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACH 相似时，求点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的绝对值是（ ） A5
11、B C5 D 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案 【解答】解：的绝对值是： 故选：D 2某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体 的主视图是（ ） A B C D 【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共两列，左边有 2 竖列，右边是 1 竖列，结合四个选项选出答案 【解答】解：从正面看去，一共两列，左边有 2 竖列，右边是 1 竖列 故选：B 3 预计到2025年， 中国5G用户将超过460000000， 将460000000用科学记数法表示为 （ ） A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 【分析】科学记
12、数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 460000000 用科学记数法表示为 4.6108 故选：C 4在平面直角坐标系中，点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，则（ ） Am3，n2 Bm3，n2 Cm2，n3 Dm2，n3 【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案 【解答】解：点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称， m3，n2 故选：B 5下列运算正确
13、的是（ ） A3a2a6a Ba8a4a2 C3（a1）33a D （a3）2a9 【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质， 对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、3a2a6a2，故本选项错误； B、a8a4a4，故本选项错误； C、3（a1）33a，正确； D、 （a3）2a6，故本选项错误 故选：C 6下列说法错误的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形 B平行四边形的对边相等 C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 【分析】依据矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的性质，即可得 出结论 【
14、解答】解：A对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误； B平行四边形的对边相等，故本选项正确； C对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确； D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，故本选项正确； 故选：A 7已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A66，62 B66，66 C67，62 D67，66 【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第 3 个数是中位数，在这组数据中出现 次数最多的是 66，得到这组数据的众数 【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67， 第 3 个数是 66， 所以中位数是 66
15、， 在这组数据中出现次数最多的是 66， 即众数是 66， 故选：B 8如图，ABOCDO，若 BO6，DO3，CD2，则 AB 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案 【解答】解：ABOCDO， ， BO6，DO3，CD2， ， 解得：AB4 故选：C 9如图，在AOC 中，OA3cm，OC1cm，将AOC 绕点 O 顺时针旋转 90后得到 BOD，则 AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2 A B2 C D 【分析】根据旋转的性质可以得到在旋转过程中所扫过的图形的面积扇形 OAB 的面积 扇形 OCD 的面积，利
16、用扇形的面积公式即可求解 【解答】解：AOCBOD， 在旋转过程中所扫过的图形的面积扇形 OAB 的面积扇形 OCD 的面积 2， 故选：B 10如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，则下列结论中，错误的是（ ） Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：A、由抛物线的开口向下知 a0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，可得 c 0，因此 ac0，故本选项正确，不符合题意；
17、B、由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b24ac0，故本选项正确，不符合题意； C、由对称轴为 x1，得 2ab，即 2a+b0，故本选项错误，符合题意； D、 由对称轴为 x1 及抛物线过 （3， 0） ， 可得抛物线与 x 轴的另外一个交点是 （1， 0） ， 所以 ab+c0，故本选项正确，不符合题意 故选：C 二填空题二填空题 11分解因式：a2bb b（a+1） （a1） 【分析】首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：a2bb b（a21） b（a+1） （a1） 故答案为：b（a+1） （a1） 12 如图， ABC 内接于O， BD 是O 的直径，
18、 CBD21， 则A 的度数为 69 【分析】直接利用圆周角定理得出BCD90，进而得出答案 【解答】解：ABC 内接于O，BD 是O 的直径， BCD90， CBD21， AD902169 故答案为：69 13如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE3，则菱 形的周长为 24 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 BODO，然后求出 OE 是BCD 的中位线， 再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 CD， 然后根据菱形的周 长公式计算即可得解 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，BODO， 点 E 是
19、 BC 的中点， OE 是BCD 的中位线， CD2OE236， 菱形 ABCD 的周长4624； 故答案为：24 14如图，直线 yx+2 与直线 yax+c 相交于点 P（m，3） ，则关于 x 的不等式 x+2ax+c 的解为 x1 【分析】将点 P（m，3）代入 yx+2，求出点 P 的坐标；结合函数图象可知当 x1 时 x+2ax+c，即可求解； 【解答】解：点 P（m，3）代入 yx+2， m1， P（1，3） ， 结合图象可知 x+2ax+c 的解为 x1； 故答案为 x1； 三解答题三解答题 15 （1）计算： （3）02cos30+|1|+（） 1； （2）解不等式组： 【分
20、析】 （1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2） 分别求出每一个不等式的解集， 根据口诀： 同大取大、 同小取小、 大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解： （1）原式12+1+2 1+1+2 2； （2）解不等式 3x2x 得：x1， 解不等式得：x3， 不等式组的解集为3x1 16先化简，再求值： （1），其中 m2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得 【解答】解：原式（） ， 当 m2 时， 原式 17学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的 科学观，让环保理念深入到学校
21、，某校张老师为了了解本班学生 3 月植树成活情况，对 本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生总人数； （2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整； （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中 A 类 1 人，B 类 2 人，C 类 1 人，若再从 这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状图或列表法求出全是 B 类学生的概率 【分析】 （1）由 A 类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去 A、B 的人数求得 C 类人数，再分别用 B、C 的人数除以总人数可得对 应百分比，据此即可补全图形； （3）
22、列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）全班学生总人数为 1025%40（人） ； （2）C 类人数为 40（10+24）6， C 类所占百分比为100%15%，B 类百分比为100%60%， 补全图形如下： （3）列表如下： A B B C A BA BA CA B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中全是 B 类的有 2 种情况， 所以全是 B 类学生的概率为 18若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所 示，已知原阶梯式自动扶梯 AB 长为 10m，扶梯 AB
23、 的坡度 i 为 1：改造后的斜坡式 动扶梯的坡角ACB 为 15，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度 （结果精确到 0.1m参考数据：sin150.26，cos150.97，tanl50.27） 【分析】根据 AB 的坡度和 AB 的长，先计算出 AD，再利用坡角ACB 在直角ACD 中 的边角关系，利用锐角三角函数求出 AC 即可 【解答】解：扶梯 AB 的坡度 i 为 1：， AD：DB1：即 DBAD 在 RtADB 中， AD2+DB2AB2， AD2+3AD2102 解得 AD5 因为5 不合题意， 所以 AD5 在 RtACD 中，sinACD， AC19.2（m） 答
24、：改造后的自动扶梯 AC 的长约为 19.2m 19如图，点 A（，4） ，B（3，m）是直线 AB 与反比例函数 y（x0）图象的两个交 点，ACx 轴，垂足为点 C，已知 D（0，1） ，连接 AD，BD，BC （1）求直线 AB 的表达式； （2）ABC 和ABD 的面积分别为 S1，S2求 S2S1 【分析】 （1）先将点 A（，4）代入反比例函数解析式中求出 n 的值，进而得到点 B 的 坐标，已知点 A、点 B 坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB 的表达式； （2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出 S1，S2的值，即可求出 S2S1 【解答】解： （1）由点 A（，4）
25、，B（3，m）在反比例函数 y（x0）图象上 4 n6 反比例函数的解析式为 y（x0） 将点 B（3，m）代入 y（x0）得 m2 B（3，2） 设直线 AB 的表达式为 ykx+b 解得 直线 AB 的表达式为 y； （2）由点 A，B 坐标得 AC4，点 B 到 AC 的距离为 3 S143 设 AB 与 y 轴的交点为 E，可得 E（0，6） ，如图： DE615 由点 A（，4） ，B（3，2）知点 A，B 到 DE 的距离分别为，3 S2SBDESAED535 S2S13 20 如图， AB 是O 的直径， 点 C 为O 上一点， AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E，
26、AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB：PC1：2 （1）求证：AC 平分BAD； （2）探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AD3，求ABC 的面积 【分析】 （1）首先连接 OC，由 PE 是O 的切线，AE 和过点 C 的切线互相垂直，可证 得 OCAE，又由 OAOC，易证得DACOAC，即可得 AC 平分BAD； （2） 由 AB 是O 的直径， PE 是切线， 可证得PCBPAC， 即可证得PCBPAC， 然后由相似三角形的对应边成比例与 PB：PC1：2，即可求得答案； （3）首先过点 O 作 OHAD 于点
27、 H，则 AHAD，四边形 OCEH 是矩形，即可 得 AE+OC， 由 OCAE， 可得PCOPEA， 然后由相似三角形的对应边成比例， 求得 OC 的长，再由PBCPCA，证得 AC2BC，然后在 RtABC 中，AC2+BC2 AB2，可得（2BC）2+BC252，即可求得 BC 的长，继而求得答案 【解答】 （1）证明：连接 OC， PE 是O 的切线， OCPE， AEPE， OCAE， DACOCA， OAOC， OCAOAC， DACOAC， AC 平分BAD； （2）线段 PB，AB 之间的数量关系为：AB3PB 理由：AB 是O 的直径， ACB90， BAC+ABC90，
28、OBOC， OCBABC， PCB+OCB90， PCBPAC， P 是公共角， PCBPAC， ， PC2PBPA， PB：PC1：2， PC2PB， PA4PB， AB3PB； （3）解：过点 O 作 OHAD 于点 H，则 AHAD，四边形 OCEH 是矩形， OCHE， AE+OC， OCAE， PCOPEA， ， AB3PB，AB2OB， OBPB， ， OC， AB5， PBCPCA， ， AC2BC， 在 RtABC 中，AC2+BC2AB2， （2BC）2+BC252， BC， AC2， SABCACBC5 21 若 x1， x2是方程 x22mx+m2m10 的两个根， 且
29、x1+x21x1x2， 则 m的值为 1 【分析】根据根与系数的关系结合 x1+x21x1x2，可得出关于 m 的一元二次方程，解 之即可得出 m 的值，再根据方程有实数根即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可 得出 m 的取值范围，从而即可确定 m 的值，此题得解 【解答】解：x1，x2是方程 x22mx+m2m10 的两个根， x1+x22m，x1x2m2m1 x1+x21x1x2，即 2m1（m2m1） ， m12，m21 方程 x22mx+m2m10 有两个实数根， （2m）24（m2m1）4m+40， 解得：m1， m1 故答案为：1 22在4、2，1、2 四个数中、随机取两个
30、数分别作为函数 yax2+bx+1 中 a，b 的值， 则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 【分析】 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数， 根据二次函数的性质， 找出满足 a0， b0 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数， 满足 a0， b0 的结果数为 4， 但 a1， b2 时， 0； a2， b2 时， 0， 抛物线不过第四象限， 所以满足该二次函数图象恰好经过第一、 二、四象限的结果数为 2， 所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率 故答案为 23如图，直线 l：yx+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A
31、和点 A1，过点 A1作 A1B1l，交 x 轴于点 B1，过点 B1作 B1A2x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2作 A2B2l，交 x 轴于点 B2，过点 B2作 B2A3x 轴，交直线 l 于点 A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积 为 S1，阴影A2B1B2的面积为 S2，阴影A3B2B3的面积为 S3，则 Sn 【分析】由直线 l：yx+1 可求出与 x 轴交点 A 的坐标，与 y 轴交点 A1的坐标，进 而得到 OA，OA1的长，也可求出 RtOAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角 形， 以下所作的三角形都是含有 30角的直角三角形， 然后这个求出 S1、 S
32、2、 S3、 S4、 根据规律得出 Sn 【解答】解：直线 l：yx+1，当 x0 时，y1；当 y0 时，x A（，0）A1（0，1） OAA130 又A1B1l， OA1B130， 在 RtOA1B1中，OB1OA1， S1； 同理可求出：A2B1，B1B2， S2； 依次可求出：S3；S4；S5 因此：Sn 故答案为： 24如图，一次函数 y2x 与反比例函数 y（k0）的图象交于点 A，B，点 P 在以 C （2，0）为圆心，1 为半径的C 上，Q 是 AP 的中点，若 OQ 长的最大值为，则 k 的值为 【分析】 作辅助线， 先确定 OQ 长的最大时， 点 P 的位置， 当 BP 过
33、圆心 C 时， BP 最长， 设 B（t，2t） ，则 CDt（2）t+2，BD2t，根据勾股定理计算 t 的值，可得 k 的值 【解答】解：连接 BP， 由对称性得：OAOB， Q 是 AP 的中点， OQBP， OQ 长的最大值为， BP 长的最大值为23， 如图，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，过 B 作 BDx 轴于 D， CP1， BC2， B 在直线 y2x 上， 设 B（t，2t） ，则 CDt（2）t+2，BD2t， 在 RtBCD 中，由勾股定理得：BC2CD2+BD2， 22（t+2）2+（2t）2， t0（舍）或， B（，） ， 点 B 在反比例函数 y（k0）的图
34、象上， k； 故答案为： 25如图，O 的直径 AB 的长 12，长度为 4 的弦 DF 在半圆上滑动，DEAB 于点 E，OC DF 于点 C，连接 CE，AF，则 sinAEC 的值是 ，当 CE 的长取得最大值时 AF 的长是 4 【分析】先求出 OC，在判断出点 O，C，D，E 是以 OD 为直径的圆上，进而得出AEC 的值，再判断出 CE 最大时，OCAB，即可得出结论 【解答】解：如图 1， 连接 OD，DOAB6， OCDF， OCD90，CDCFDF2， 在 RtOCD 中，根据勾股定理得，OC4， sinODC， DEAB， DEO90OCD， 点 O，C，D，E 是以 OD
35、 为直径的圆上， AECODC， sinAECsinODC， 如图 2， CE 是以 OD 为直径的圆中的弦，CE 要最大， 即：CE 是以 OD 为直径的圆的直径， CEOD6，COE90， OCDOED90， 四边形 OCDE 是矩形，DFAB， 过点 F 作 FGAB 于 G， 易知，四边形 OCFG 是矩形， OGCF2，FGOC4， AGOAOG4 连接 AF， 在 RtAFG 中，根据勾股定理得，AF4， 故答案为，4 26某种蔬菜的销售单价 y1与销售月份 x 之间的关系如图 1 所示，成本 y2与销售月份 x 之 间的关系如图 2 所示 （1）已知 6 月份这种蔬菜的成本最低，
36、此时出售每干克的收益是多少元？（收益售价 成本） （2）分别求出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由 【分析】 （1）找出 x6 对应的 y1和 y2，两者差即为利润； （2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出 y1和 y2的解析式； （3）由收益 Wy1y2列出 W 与 x 的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值 【解答】解： （1）由图可知，6 月份每千克售价为 3 元，成本为 1 元， 每千克收益为 312 元； （2）设 y1kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得， ，解得 y1 设 y2a（x6）2+1，把（3，
37、4）代入得， 4a（36）2+1，解得 a y2（x6）2+1，即 y2x24x+13 （3）收益 Wy1y2 （x5）2+， a0， 当 x5 时，W最大值 故 5 月出售每千克收益最大，最大为 27如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C（2，0） ，点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合） ，连结 BD， 作 DEDB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF （1）填空：点 B 的坐标为 （2，2） ； （2）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长
38、度；若 不存在，请说明理由； （3）求证：； 设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论） ，并 求出 y 的最小值 【分析】 （1）求出 AB、BC 的长即可解决问题； （2） 存在 先推出ACO30， ACD60由DEC 是等腰三角形， 观察图象可知， 只有 EDEC，DCEEDC30，推出DBCBCD60，可得DBC 是等 边三角形，推出 DCBC2，由此即可解决问题； （3）先表示出 DN，BM，再判断出BMDDNE，即可得出结论； 作 DHAB 于 H想办法用 x 表示 BD、DE 的长，构建二次函数即可解决问题； 【解答】解： （1）四边
39、形 AOCB 是矩形， BCOA2，OCAB2，BCOBAO90， B（2，2） 故答案为（2，2） （2）存在理由如下： OA2，OC2， tanACO， ACO30，ACB60 如图 1 中，当 E 在线段 CO 上时，DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 ED EC， DCEEDC30， DBCBCD60， DBC 是等边三角形， DCBC2， 在 RtAOC 中，ACO30，OA2， AC2AO4， ADACCD422 当 AD2 时，DEC 是等腰三角形 如图 2 中，当 E 在 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有 CDCE，DBC DECCDE15， ABDADB7
40、5， ABAD2， 综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或 2 （3）如图 1， 过点 D 作 MNAB 交 AB 于 M，交 OC 于 N， A（0，2）和 C（2，0） ， 直线 AC 的解析式为 yx+2， 设 D（a，a+2） ， DNa+2，BM2a BDE90， BDM+NDE90，BDM+DBM90， DBMEDN，BMDDNE90， BMDDNE， 如图 2 中，作 DHAB 于 H 在 RtADH 中，ADx，DAHACO30， DHADx，AHx， BH2x， 在 RtBDH 中，BD， DEBD， 矩形 BDEF 的面积为 y2（x26x+12） ， 即 yx22x+
41、4， y（x3）2+， 0， x3 时，y 有最小值 28在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交点分别为 A（3， 0） 、B（1，0） ，与 y 轴交于点 D（0，3） ，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合） ，当ADE 与 ACD 面积相等时，求点 E 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，过点 P 向 CD 所在的直线作垂 线，垂足为点 Q，以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACH 相似时，求点
42、P 的坐标 【分析】 （1）把点 A、B、D 的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）过点 C 作 CEAD 交抛物线于点 E，则ADE 与ACD 面积相等；过点 H 作直线 EEAD，则ADE、ADE与ACD 面积相等，分别求解即可 （3）分ACHCPQ、ACHPCQ 两种情况，求解即可 【解答】解： （1）把点 A、B、D 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：yx22x+3， 函数的对称轴为：x1， 则点 C 的坐标为（1，4） ； （2）过点 C 作 CEAD 交抛物线于点 E，交 y 轴于点 H， 则ADE 与ACD 面积相等， 直线 AD 过点 D，则其
43、表达式为：ymx+3， 将点 A 的坐标代入上式得：03m+3，解得：m1， 则直线 AD 的表达式为：yx+3， CEAD，则直线 CE 表达式的 k 值为 1， 设直线 CE 的表达式为：yx+n， 将点 C 的坐标代入上式得：41+n，解得：n5， 则直线 CE 的表达式为：yx+5， 则点 H 的坐标为（0，5） ， 联立并解得：x1 或2（x1 为点 C 的横坐标） ， 即点 E 的坐标为（2，3） ； 在 y 轴取一点 H，使 DHDH2， 过点 H作直线 EEAD， 则ADE、ADE与ACD 面积相等， 同理可得直线 EE的表达式为：yx+1， 联立并解得：x， 则点 E、E的坐
44、标分别为（，） 、 （，） ， 点 E 的坐标为： （2，3）或（，）或（，） ； （3）设：点 P 的坐标为（m，n） ，nm22m+3， 把点 C、D 的坐标代入一次函数表达式：ykx+b 得：，解得：， 即直线 CD 的表达式为：yx+3， 直线 AD 的表达式为：yx+3， 直线 CD 和直线 AD 表达式中的 k 值的乘积为1，故 ADCD， 而直线 PQCD，故直线 PQ 表达式中的 k 值与直线 AD 表达式中的 k 值相同， 同理可得直线 PQ 表达式为：yx+（nm）， 联立并解得：x，即点 Q 的坐标为（，） ， 则：PQ2（m）2+（n）（m+1）2m2， 同理可得：PC2（m+1）21+（m+1）2， AH2，CH4，则 AC2， 当ACHCPQ 时， ，即：4PC25PQ2， 整理得：3m2+16m+160，解得：m4 或， 点 P 的坐标为（4，5）或（，） ； 当ACHPCQ 时， 同理可得：点 P 的坐标为（，）或（2，5） ， 故：点 P 的坐标为： （4，5）或（，）或（，）或（2，5）
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