1、2020 年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1 已知集合 A1， 0， 1， 2， By|y2x， MAB， 则集合 M 的子集个数是 （ ） A2 B3 C4 D8 2设 i 是虚数单位，复数 z ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标2010 年第六次全国人口普查资 料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体 系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提 高
2、如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（ ） A男性的平均预期寿命逐渐延长 B女性的平均预期寿命逐渐延长 C男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性 D女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性 4孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五 丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四 尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制 1 文10 尺，1 斛1.62 立方尺，圆 周率 3），则该圆柱形容器能放米（ ） A900 斛 B2700 斛 C3600 斛 D10800 斛 5已知向量 ， 满足| | |，且| |2
3、，则 在 方向上的投影是（ ） A2 B2 C1 D1 6已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a2b2m，a3b3n，若 m，n 为正数， 且 mn，则（ ） Aa1b1 Ba1b1 Ca1b1 Da1，b1的大小关系不确定 7已知随机变量 X 服从正态分布 N（0，1），随机变量 Y 服从正态分布 N（1，1），且 P （X1）0.1587，则 P（1Y2）（ ） A0.1587 B0.3413 C0.8413 D0.6587 8函数 f（x）tanxx2在 ， 上的图象大致为（ ） A B C D 9设函数 ，则下列结论中正确的是（ ） Ayf（x）的图象关于点 ， 对称 Byf（x）
4、的图象关于直线 对称 Cf（x）在 ， 上单调递减 Df（x）在 ， 上的最小值为 0 10已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA底面 ABCD，ABAD1，BC CD2，若球 O 的表面积为 36，则直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 11已知 F 是双曲线 ： ， 的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MFx 轴，过 F 作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN ON，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D2 12已知 a2，f（x）ex（xa）+x+a，有如下结论： f（x）有两个极值点；
5、f（x）有 3 个零点； f（x）的所有零点之和等于零 则正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值为 14中国古代的四书是指：大学、中庸、论语、孟子，甲、乙、丙、丁 4 名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选中庸， 乙和丙都没有选论语，则 4 名同学所有可能的选择有 种 15在数列an中，已知 a11，an+1an+tn（nN*，t 为非零常数），且 a1，a2，a3成等比 数列，则 an 16已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，
6、K 为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛 物线 C 上，设KPF，PKF，PFK，有以下 3 个结论： 的最大值是 ； tansin； 存在点 P，满足 2 其中正确结论的序号是 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a4，ABC 的面积为 （1）若 ，求ABC 的周长； （2）求 sinB sinC 的最大值 18如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为等边三角形，
7、D，E 分别为 AC，A1C1的中点， 点 F 在棱 CC1上，且 EFBF （1）证明：平面 BEF平面 BDF； （2）若 AB4，C1F2FC，求二面角 DBEF 的余弦值 19甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛 胜利在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为 p（0p1） （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率； （2）若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为 X，求其分布列和期望 E（X）； （3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求 p 的取值范围 20已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 O：x2
8、+y24 上，且|PQ|2设线 段 PQ 的中点为 M，当点 P 移动时，记点 M 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q且点 Q 在第一象限 （i）求直线 OM 的斜率； （ii）直线 l 平行 OM，交曲线 E 于不同的两点 A，B线段 AB 的中点为 N，直线 ON 与 曲线 E 交于两点 C，D，证明：|NA| |NB|NC| |ND| 21已知函数 ，f（x）为 f（x）的导函数，f（x1）f（x2）且 x1x2证明： （1）f（x）0； （2）x2x11 选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所
9、做的第一题记 分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，圆 C：4sin，直线 l：cos2以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 （1）求圆 C 的参数方程，直线 l 的直角坐标方程； （2）点 A 在圆 C 上，ABl 于 B，记OAB 的面积为 S，求 S 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|2|x1|1 （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）是否存在实数 a，使得 f（x）的图象与 x 轴有唯一的交点？若存在，求 a 的值；若 不存在，说明理由 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分
10、，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有一项 是符合题目要求的 1 已知集合 A1， 0， 1， 2， By|y2x， MAB， 则集合 M 的子集个数是 （ ） A2 B3 C4 D8 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可求出集合 M，从而可得出 M 的子集 个数 解：A1，0，1，2，By|y0， MAB1，2， M 的子集个数是 224 故选：C 2设 i 是虚数单位，复数 z ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案 解：z ， ， 则 在复平面内对应的点的坐标为（ ，
11、），位于第四象限 故选：D 3人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标2010 年第六次全国人口普查资 料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体 系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提 高如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（ ） A男性的平均预期寿命逐渐延长 B女性的平均预期寿命逐渐延长 C男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性 D女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性 【分析】根据柱状统计图即可判断 解：由柱状统计图可知无论男女的平均预期寿命都在逐渐延长，且很明显女性平均预期 寿命延长幅度
12、略高于男性， 故 A、B、D 正确，C 错误， 故选：C 4孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五 丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四 尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制 1 文10 尺，1 斛1.62 立方尺，圆 周率 3），则该圆柱形容器能放米（ ） A900 斛 B2700 斛 C3600 斛 D10800 斛 【分析】由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的 体积，除以 1.62 得答案 解：设圆柱的底面半径为 r，则 2r54，得 r9， 故米堆的体积为 92184374
13、 立方尺， 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 该圆柱形容器能放米 43741.622700 斛， 故选：B 5已知向量 ， 满足| | |，且| |2，则 在 方向上的投影是（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】本题先将已知条件| | |进行平方再进行向量运算可计算出 2，然 后根据 在 方向上的投影公式 代入进行计算可得正确选项 解：依题意，由| | |，可得 | |2| |2， 即（ ）2| |2+2 | |2| |2， 则 4+2 0，解得 2， 在 方向上的投影为 1 故选：D 6已知数列an是等差数列，bn是等比数列，a2b2m，a3b3n，若 m，n 为正数， 且 mn，则
14、（ ） Aa1b1 Ba1b1 Ca1b1 Da1，b1的大小关系不确定 【分析】本题先根据等差中项和等比中项的性质可列式并计算出 a1、b1关于 m、n 的表 达式，然后应用作差法比较 a1、b1的大小，进行不等式的计算即可得到正确选项 解：由题意，可知 数列an是等差数列，且 a2m，a3n， 2a2a1+a3，即 2ma1+n， 解得 a12mn， 又数列bn是等比数列，且 b2m，b3n， b22b1b3，即 m2nb1， 解得 b1 ， a1b12mn ， m，n 为正数，且 mn， （mn）20， a1b1 0， 即 a1b1 故选：A 7已知随机变量 X 服从正态分布 N（0，1
15、），随机变量 Y 服从正态分布 N（1，1），且 P （X1）0.1587，则 P（1Y2）（ ） A0.1587 B0.3413 C0.8413 D0.6587 【分析】根据正态分布曲线的特点可知，P（X1）0.1587P（Y2），再结合 P（Y 1）P（Y1）0.5，即可求出 P（1Y2） 解：由已知得 P（X1）0.1587P（Y2）， P（Y2）1P（Y2）0.8413 又 P（Y1）P（Y1）0.5， P（1Y2）P（Y2）P（Y1）0.3413 故选：B 8函数 f（x）tanxx2在 ， 上的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合选项直接
16、得解 解：函数 f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故排除选项 B、D； 又 ，故排除选项 C 故选：A 9设函数 ，则下列结论中正确的是（ ） Ayf（x）的图象关于点 ， 对称 Byf（x）的图象关于直线 对称 Cf（x）在 ， 上单调递减 Df（x）在 ， 上的最小值为 0 【分析】由题意利用查正弦函数的图象和性质，得出结论 解：对于函数 ，令 x ，求得 f（x） ，不是最值， 可得 yf （x） 的图象不关于点 ， 对称， 也不关于直线 对称， 故 A、 B 都不正确； 在 ， 上，2x ， ，故 f（x）在 ， 上单调递减，故 C 正确； 在 ， 上，2x ， ，故 f（x）在 ，
17、上没有单调性，最小值为 f（ ） f（0） ，故 D 不正确， 故选：C 10已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA底面 ABCD，ABAD1，BC CD2，若球 O 的表面积为 36，则直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】画出图形，判断直线 PC 与底面 ABCD 所成角，求出 AC，PC，然后求解即可 解：四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA底面 ABCD，ABAD1，BC CD2， 可得 AC ，四棱锥中，PC 经过外接球的球心， 若球 O 的表面积为 36，所以 4OP236，可得 OP3，所以 PC6， PA
18、底面 ABCD，直线 PC 与底面 ABCD 所成角就是PCA， 所以 cosPCA 故选：B 11已知 F 是双曲线 ： ， 的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MFx 轴，过 F 作直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN ON，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D2 【分析】把 xc 代入渐近线 ，可求得点 M 的坐标，由于 OMNF，利用点斜式 写出直线 NF 的方程，将其与渐近线 联立，可求得点 N 的坐标，然后结合 MN ON，直线的斜率之积为1，可得到关于 a、b、c 的等量关系式，最后结合 c2a2+b2 和 即可求得离心率 解：
19、根据题意，作出如图所示的图形， 由题意可知，点 F（c，0），渐近线方程为 ， MFx 轴，把 xc 代入 ，得 ，点 M（ ， ）， OMNF，直线 NF 的方程为 ， 联立 ，解得 ，点 N ， ， MNON， ，化简得，a 23b2， 离心率 故选：A 12已知 a2，f（x）ex（xa）+x+a，有如下结论： f（x）有两个极值点； f（x）有 3 个零点； f（x）的所有零点之和等于零 则正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】连续求导，进而可判断函数 f（x）的单调性，再结合零点存在性定理，可 知函数 f（x）有两个零点，即 f（x）有两个极值点； 由零点存在性定理
20、直接判断即可说明正确； 问题等价于直线 ya 与函数 图象的交点的横坐标之和是否为 0，由函数 的奇偶性容易得出结论正确 解：f（x）ex（xa+1）+1，f（x）ex（xa+2）， 当 x（，a2）时，f（x）0，f（x）递减，当 x（a2，+）时，f（x） 0，f（x）递增， 又 f（a2）ea2+10， ， ， 存在 x1（，a2），x2（a2，a1），使得 f（x1）0，f（x2）0， 正确； f（0）2a0， 0（x1，x2）， 又 ， ， ，f（x1）0，f（x2）0， 由零点存在性可知，f（x）有三个零点， 正确； ex（xa） + （x+a） 0 的根即为 的根， 亦即直线 y
21、a 与函数 图象 的交点的横坐标， 又函数 为偶函数， 直线 ya 与函数 图象的交点的横坐标之和为 0， 正确 故选：D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最小值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 解：由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图所示， 化目标函数 z2xy 为 y2xz， 解得 C（1，0）， 由图可知，当直线 y2xz 过 C（1，0）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值 为2 故答案为：2 14中国古代的
22、四书是指：大学、中庸、论语、孟子，甲、乙、丙、丁 4 名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选中庸， 乙和丙都没有选论语，则 4 名同学所有可能的选择有 10 种 【分析】可根据甲选没选论语分类，计算出结果 解：由题知：当甲选论语时，有 A 6 种选法； 当甲没选论语时，有 C A 4 种选法； 综合知共有 6+410 种选法 故填：10 15在数列an中，已知 a11，an+1an+tn（nN*，t 为非零常数），且 a1，a2，a3成等比 数列，则 an 【分析】由 a1，a2，a3成等比数列可得 t 的方程，可得 an+1an+n，运用累加法可求 an 解：a
23、2a1+t1+t，a3a2+2t1+3t， 依题意 a1，a2，a3成等比数列，即（1+t）21（1+3t）， 解得 t0（舍去），t1； n2 时，a2a11，a3a22，anan1n1， 以上各式相加得 ana11+2+（n1） n（n1），即有 an nl 时，表达式也成立， 所以nN*，an ； 故答案为： 16已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，K 为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛 物线 C 上，设KPF，PKF，PFK，有以下 3 个结论： 的最大值是 ； tansin； 存在点 P，满足 2 其中正确结论的序号是 【分析】设点 P（m，n），当直线 PK
24、 与抛物线相切时，可使 取得最大值利用导 数求出切线的斜率， 并与由P、 K两点求得的直线斜率构成等式， 化简整理后可得 ， 从 而得直线 PK 的斜率为 1，对应的 为 ，即正确； 过 P 作 PQx 轴于点 Q，分别在 RtPQK 和 RtPQF 中，运用锐角三角函数表示出 tan 和 sin，即可得证； 在PKF中， 由正弦定理知， ， 把2代入， 化简可得 ， 从而可求得点 P 的坐标，故可作出判断 解：设点 P（m，n），则 n22pm（1）， 当直线 PK 与抛物线相切时，可使 取得最大值 y22px，不妨取 ，则 ，此时直线 PK 的斜率为 ， 由 P（m，n），K（ ， ）可知
25、，直线 PK 的斜率为 （2）， 由（1）（2）可知， ，于是直线 PK 的斜率为 ， tan1，即 ，故正确； 过 P 作 PQx 轴于点 Q，在 RtPQK 中，tan ， 在 RtPQF 中，sinsinPFQ ， tansin，即正确； 在PKF 中，由正弦定理知， ， 若 2， 则 ， 解得 ， ， 故存在点 P 符合题意，即正确 故答案为： 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
26、b，c，已知 a4，ABC 的面积为 （1）若 ，求ABC 的周长； （2）求 sinB sinC 的最大值 【分析】（1）利用三角形面积公式得到 bc8，再利用余弦定理可求出 b+c 的值，从而 求出ABC 的周长； （2）由正弦定理得 sinB sinC ，再结合 SABC2 ，a4，可得 sinB sinC ，当 sinA1，即 A 时等号成立 解：（1）因为 SABC 2 ，所以 bc8， 由余弦定理得 ，所以（b+c） 2a2+3bc， 又a4，bc8， （b+c）240，即 b+c2 ， ABC 的周长为 4+2 ； （2）由正弦定理得： ， sinB sinC ， 又 SABC
27、2 ，a4， sinB sinC ，当 sinA1，即 A 时等号成立，此时 b 2+c2a216，bc 4 ， 即 b2 ，c2 或 b2，c2 ， 故 A 时，sinB sinC 取得最大值 18如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为等边三角形，D，E 分别为 AC，A1C1的中点， 点 F 在棱 CC1上，且 EFBF （1）证明：平面 BEF平面 BDF； （2）若 AB4，C1F2FC，求二面角 DBEF 的余弦值 【分析】（1）结合已知先证明 BDEF，EFBF，进而可证 EF平面 BDF，再由面面 垂直的判定得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角
28、公式得解 解：（1）证明：三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱， AA1平面 ABC，从而有 AA1BD， ABC 为等边三角形，D 为 AC 的中点， BDAC， 又 AA1ACA， BD平面 ACC1A1，从而有 BDEF， 又EFBF，BDBFB， EF平面 BDF， 又EF 在平面 BEF 内， 平面 BEF平面 BDF； （2）由（1）可知，EF平面 BDF，从而有 EFDF， 设 CFm，则有 m2+4+4m2+49m2，即 4m28，得 ， 以 D 为坐标原点，DB，DC，DE 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ，
29、 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 BEF 的一个法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则 ，可取 ， ， ， DC平面 BDE， 平面 BDE 的一个法向量为 ， ， ， ， ， 二面角 DBEF 的余弦值为 19甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛 胜利在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为 p（0p1） （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率； （2）若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为 X，求其分布列和期望 E（X）； （3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求 p 的取值范围 【分析】（1）设 A：甲在
30、第一局失利，B：甲获得了比赛的胜利，根据条件概率的计算 公式求出 即可； （2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，根据相互独立事件的概率逐一求出每个 X 的取 值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望； （3）由（2）可知，甲获得该场比赛胜利的概率为 ，列出关于 p 的不等 式，解之即可得解 解：（1）设 A：甲在第一局失利，B：甲获得了比赛的胜利， 则 （2）X 的可能取值为 0，1，2， 则P （X0） ； P （X1） ； P （X2） X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 E（X） （3）甲获得该场比赛胜利的概率为 ，则 p， 即 2p23p+10，解得 故 p 的取
31、值范围是 ， 20已知 P 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 O：x2+y24 上，且|PQ|2设线 段 PQ 的中点为 M，当点 P 移动时，记点 M 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q且点 Q 在第一象限 （i）求直线 OM 的斜率； （ii）直线 l 平行 OM，交曲线 E 于不同的两点 A，B线段 AB 的中点为 N，直线 ON 与 曲线 E 交于两点 C，D，证明：|NA| |NB|NC| |ND| 【分析】（1）连接 OQ，设 M 的坐标，由 M 为 PQ 的坐标可得 Q，P 的坐标，将 Q 的坐 标代入圆 O
32、中，由相关点法求出 P 的轨迹方程； （2）（i）直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q 及|PQ|2可得 P，Q 的坐标，进而可得 PQ 的 中点 M 的坐标，求出直线 OM 的斜率， （ii）由题意设直线 AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出 AB 的中点 N 的坐 标，求出直线 ON 的方程，与椭圆联立求出 C，D 的坐标，进而求出|NC| |ND|，及|NA| |NB|的表达式，可证得相等 解：（1）连接 OQ，设 M（x，y）（x0）， 由|OQ|PQ|2，由 M 为 PQ 的中点可得 P（ x，0），则 Q（ x，2y） 把 Q（ x，2y）代入 x 2+y24，整理可得：
33、y 21， 所以曲线 E 的方程为： y 21（x0）； （2）（i）当直线 PQ 与圆 O 相切于 Q，则 OQPQ，|OQ|PQ|2， 则|OP|2 ，又点 Q 在第一象限，可得 P（2 ，0），Q（ ， ）， 由 M 为 PQ 的中点，得 M（ ， ）， 所以直线 OM 的斜率为 （ii）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 l 的方程：y x+t， 由 ，整理可得 2x2+6tx+9t290，x1+x23t，x1x2 ，所以 N 点的 坐标（ ， ）， 直线 ON 方程为：y x， 由方程组 解得 C（ ， ），D（ ， ）， 所以|NC| |ND| （ ） （ ） （2
34、t 2）， 又|NA| |NB| |AB| 2 （x1+x2）24x1x2 9t 22（9t29） （2t 2）， 所以可证得：|NA| |NB|NC| |ND| 21已知函数 ，f（x）为 f（x）的导函数，f（x1）f（x2）且 x1x2证明： （1）f（x）0； （2）x2x11 【分析】（1） ，（x（0，1）（1，+）f（x） ，令 g（x） lnx，利用导数研究其单调性可得 g（x）0，即可证明结论 （2）由（1）可得：f（x）在（0，1），（1，+）上单调递减.0x11x2f（x+1） f （x） .0x1 由 （1） 得 g （x） lnx 1，当且仅当 x1 时取等号可得 l
35、n（1 ） 进而得出结论 【解答】证明：（1） ，（x（0，1）（1，+） f（x） ，令 g（x） lnx，则 g（x） 当 0x1 时，g（x）0；当 1x 时，g（x）0 g（x）g（1）10 在 f（x）中，x1，f（x）0 （2）由（1）可得：f（x）在（0，1），（1，+）上单调递减 0x11x2 f（x+1）f（x） .0x1 由（1）得 g（x） lnx1，当且仅当 x1 时取等号 ln 1即 lnxx1，当且仅当 x1 时取等号 又 x0 时，1 1因此 ln（1 ） 0x1 时， 0，又 0 f（x1+1）f（x1）f（x2）， 由 f（x）在（1，+）上单调递减，且 x1
36、+11，x21，x2x1+1 即 x2x11 一、选择题 22在极坐标系中，圆 C：4sin，直线 l：cos2以极点 O 为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 （1）求圆 C 的参数方程，直线 l 的直角坐标方程； （2）点 A 在圆 C 上，ABl 于 B，记OAB 的面积为 S，求 S 的最大值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用三角形的面积公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的 应用求出结果 解：（1）圆 C：4sin，转换为直角坐标方程为 x2+（y2）24转换为参数方程为 （ 为参数）
37、直线 l：cos2转换为直角坐标方程为 x2 （2）设 A（2cos，2+2sin），（02），则：B（2，2+2sin）， 所以 SOAB2（1cos）（1+sin） ， 当 时， 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|2|x1|1 （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）是否存在实数 a，使得 f（x）的图象与 x 轴有唯一的交点？若存在，求 a 的值；若 不存在，说明理由 【分析】（1）将 a1 代入，分类讨论解不等式，再取并集即可； （2）分 a1，a1 及 a1 讨论即可得出结论 解：（1）当 a1 时，f（x）0 化为|x+1|2|x1|10， 当 x1 时，不等式化为 x40，无解； 当1x1 时，不等式化为 3x20，解得 ； 当 x1 时，不等式化为x+20，解得 1x2； 综上，不等式的解集为 ， ； （2）存在，当 a1 时，则 ， ， ， ，此时 f（x）的最大值 为 f（1）a，所以 a0 时满足题意； 当 a1 时，则 ， ， ， ，此时 f（x）的最大值为 f（1） a2，所以 a2 满足题意； 当 a1 时，f（x）|x1|10，不满足题意； 综上，实数 a 的值为 a0 或 a2
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