1、 1 20202020 年大连市高三第二次模拟考试数学年大连市高三第二次模拟考试数学试卷试卷( (理科理科) ) 第 I 卷 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) (1)已知集合 2 |430, |24Ax xxBxx 则()AB 1,42,32,41,3ABCD (2)已知,ia bR为虚数单位，若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数，则(a+bi)2为( ) (A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i (3)双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线方程是( ) 1 ( )( )( )2()4
2、 42 1 A yxB yxC yxD yx (4)瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cossin ( ix exix i为虚数单位)”，欧拉公式将指数函数的定义 域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”， 根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (5)设函数 2 1 log2,1 ,1 x xx f x xe 则2ln6ff( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6)已知各项均为正数的数列an为等比数列 1534 16,12,a aaa则 7 (
3、)a (A)16 (B)32 (C)64 (D)256 (7)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是( ) ( )sin( )sin xxxx A yeeB yee ( )cos()cos xxxx C yeeD yee (8)已知关于某设备的使用年限 x(单位：年)和所支出的维修费用 y(单位：万元)有如下的统计资料： 由上表可得线性回归方程0.08,ybx，若规定当维修费用12y 时该设备必须报废，据此模型预报该设 备使用的年限不超过为( ) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 2 (9)已知点 P 在抛物线 C： 2 4,yx上过点 P 作两条斜率互为相反数的
4、直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若直 线 AB 的斜率为-1，则点 P 坐标为( ) )( )(1,2)( ) 1 -2( )2,2 2( )(2, 2 2)ABCD， (10)下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB 平面 MNP 的图形的序号是( ) (A) (B) (C) (D) (11)已知函数 sin0,| 2 f xx ，其图象与直线1y 相邻两个交点的距离为 ，若对 , 24 3 x 不等式 2 1 f x 恒成立，则 的取值范围是 3 , 12 612 36 2 , 6 ABCD (12)已知三棱锥,PABC面,4,4
5、 3PABABC PAPBAB面，120 ,ACB 则三棱锥 P-ABC 外 接球的表面积( ) (A)20 (B)32 (C)64 (D)80 3 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)设向量2,4a与向量,6xb共线，则实数 x= (14)已知 5 a x x 的展开式中含 x3的项的系数为 30，则 a 的值为 (15)数列 1 ,1, n nnn aaan 则 n a的前 8 项和为
6、 (16)已知函数 ln 2 ex fx x ，则 2f xfx值为 ; 若 k1 19 f k 10 =19(a+b)，则 22 ab的最小值为 . 三解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分 12 分) 在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 222 (2)2cos .acabcabcC (1)求角 B 的大小； （）1,3ab若求ABC的面积。 (18)(本小题满分 12 分) 如图，已知平面四边形 ABCP 中，D 为 PA 的中点,PACDABAB，且 PA=CD=2AB=4将此平面四 边形 AB
7、CP 沿 CD 折成直二面角 P-DC-B 连接PA PBBD、. ()证明：平面 PBD平面 PBC； ()求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值。 4 (19)(本小题满分 12 分) 在创建“全国卫生文明城”的过程中， 环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查， 每一位 市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分(满分：100 分)数据，统计结果 如下表所示： ()已知此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 2 ,14.5N， 近似为这 1000 人得分的平均值(同一组中的数 据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求3679.
8、5PZ ； （）在（）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： (i)得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费： (ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如右表。现市民甲要参加此次问卷调查，记 X 为该市民参加问卷调查 获赠的话费，求 X 的分布列概率及数学期望。 附： 2 )0.6827,PX 若X N( ,，则 220.9545,330.9973.PXPX (20)(本小题满分 12 分) 已知函数 ln1 ,1f xxxaax ()讨论 f x的单调性； 1,x ()若不等式 1f x 恒成立，求整数 a 的最大值 (21)(本小题满
9、分 12 分) 已知离心率为e 2 2 的椭圆 22 22 10 xy ab ab 的上下顶点分别为(0,1)0, 1 ,AB直线 I： 0xtym m与椭圆 Q 相交于 C，D 两点，与 y 相交于点 M ()求椭圆 Q 的标准方程； 5 （）,OCOD若求 OCD 面积的最大值; ()设直线 AC，BD 相交于点 N，求OM ON的值 请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应的标号涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的 极坐标方程为2sin3 4 ,曲线 C 的参数方程为 2cos 3sin x y ( 为参数). ()求直线的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； ()求曲线 C 上的动点到直线 l 距离的最大值. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 |2 |, ,.f xxaxb a bR ()若 2 1 1,ab ，求 2f x 的解集； 0,ab 若且 f(x)的最小值为 2，求 21 ab 的最小值 6 7 8 9 10 11 12
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