1、2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文） 一、选择题（本大题共 12 小题. 每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.已知集合 Ax N 0x3 ，BxR2x2则 AB( ) A. 0,1 B. 1 C. 0,1 D. 0,2) 2.已知复数 z 的共轭复数 1 12 i z i ，则复数 z 的虚部是（ ） A. 3 5 B. 3 5 i C. 3 5 - D. 3 5 i 3.下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若 2 1x ，则1x ”的否命题为：“若 2 1x ，则1x ” B. “1x”是“ 2 560xx ”必要不充分条件
2、 C. 命题“xR ，使 2 10xx ”的否定是：“xR 均有 2 10xx ” D. 命题“若x y ，则sinsinxy”的逆否命题为真命题 4.角的终边在直线 2yx 上，则 sincos sincos （ ） A. 1 3 B. 1 C. 3 D. 1 5. 已知向量1,1a ，1,bm，若向量a 与b a 的夹角为 4 ，则实数 m =（ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 6.设变量想 x、y 满足约束条件为 26 0 0 xy x y 则目标函数 3zxy 的最大值为( ) A. 0 B. -3 C. 18 D. 21 7.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体
3、积为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 2 8.执行如下的程序框图，则输出的 S 是（ ） A. 36 B. 45 C. 36 D. 45 9.我国古代数学典籍 九章算术 第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题： 有厚墙 5 尺， 两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一 天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 10. 已知函数 2 1 cos 4 f xxx， fx是函数 f x的导函数，则 fx的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 11.双曲线 C：
4、22 2 1 9 xy b 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 在双曲线 C 上，且 12 PFF 是 等腰三角形，其周长为 22，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 8 9 B. 14 9 C. 8 3 D. 14 3 12.若定义在 R 上的函数 f x 满足 2f xf x 且 1,1x 时， f xx ，则方程 3 logf xx 的根的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 0, ，且 2 sin() 410 ，则tan2_ 14.现有 7 名志愿者，其中只会俄语的有 3 人，既会俄语又会英语的有
5、4 人.从中选出 4 人担 任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_ 种不同的选法。 15.已知直线 l： 330mxym 与圆 22 12xy 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于 C、D 两点，若| | 2 3AB ，则| |CD _ 16.已知三棱锥 PABC，PA平面 ABC，ACBC，PA2，ACBC1，则三棱锥 P ABC 外接球的体积为_ . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题 12 分） 已知数列an满足 1 2a ， 1 24 nn aa
6、 （1）证明：4 n a 是等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 18. （本小题 12 分） 如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱 1 AA 底面 ABC，AB BC ，D 为 AC 的中 点， 1 2,3AAABBC . （1）求证： 1 AB /平面 1 BC D； （2）求 AB1与 BD 所成角的余弦值 19. （本小题 12 分） 某科研课题组通过一款手机APP软件， 调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量 （简 称“周跑量”） ，得到如下的频数分布表 周 跑 量 （k m/ 周） 10 15， 15 20， 20 25， 25 30， 30 3
7、5， 35 40， 40 45， 45 50， 50 55， 人 数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 （1）在答题卡上补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图: 注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑 （2） 根据以上图表数据计算得样本的平均数为 28.5km， 试求样本的中位数 （保留一位小数） ， 并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点 （3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备 的价格不一样，如下表: 周跑量 小于20公里 20 公里到 40 公 里 不小于 40 公里 类别
8、休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元） 2500 4000 4500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元? 20. （本小题 12 分） 已知点0, 2A，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 2 , 2 F是椭圆 E 的右焦点， 直线 AF 的斜率为 2，O 为坐标原点 （1）求 E 的方程； （2） 设过点03P，且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两 M、 N， 且 8 2 | 7 MN ， 求 k 的值. 21. （本小题 12 分） 已知函数 1 x f xxae （1）讨论 f(x)的单调性； （2）设
9、12 ,x x是 f(x)的两个零点，证明： 12 4xx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. （本小题 10 分） 已知曲线 C： 2 2 2 8 1 2(1) 1 k x k k y k （k 为参数）和直线 l： 2cos 1sin xt yt （t 为参数） （1）将曲线 C 的方程化为普通方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P（2，1）为弦 AB 的中点，求弦 AB 所在的直 线方程 23. （本小题 10 分） 设函数( )1f xxx 的最大值为 m. （1）
10、求 m 的值； （2）若正实数 a，b 满足abm，求 22 11 ab ba 的最小值. 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析 参考答案参考答案 1. 【答案】A 【解析】 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可 【详解】A0，1，2，3，BxR|2x2； AB0，1 故选：A 2. 【答案】A 【解析】 11 211 313 12121 2555 iiii zi iii ，则 13 55 zi ，则复数z的虚部是 3 5 . 故选：A. 3. 【答案】D 【解析】 A命题“若 2 1x ，则1x ”的否命题为：“若 2 1x ，则1x ”，则A错误 B由 2 560xx，解得
11、6x或1x，则“1x”是“ 2 560xx ”的充分不必 要条件，故B错误 C命题“xR 使得 2 10xx ”的否定是：“xR 均有 2 1 0xx ”，故C错误 D 命题“若x y ， 则s i ns i n xy”为真命题， 则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y ， 则sinsinxy”的逆否命题为真命题，故D正确 故选：D 4. 【答案】C 【解析】 角的终边在直线2yx上，tan2， 则 sincossin sincossincos cso sincostan1 3 sincostan1 ，故选：C。 5. 【答案】B 【解析】 由题意得：1, 1a ，2,1bam 2a ， 2
12、 41bam 2 212 cos 42 241 aba m aba m ，解得：1m 本题正确选项：B 6. 【答案】C 【解析】 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数3zxy在点6,0A处取得最大值，且最 大值为3 6 0 18z .故选 C. 7. 【答案】D 【解析】 由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形， 直角梯形的上底是 1，下底是 2，垂直于底边的腰是 2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是 2. 四棱锥的体积是 1221 22 32 . 故选：D. 8. 【答案】A 【解析】 1 8i 满足，执行第一次循环， 1 2 0111S ，1 12i ； 28
13、i 成立，执行第二次循环， 2 2 1123S ，2 13i ； 38i 成立，执行第三次循环， 3 2 3136S ，3 14i ； 48i 成立，执行第四次循环， 4 2 61410S ，4 15i ； 58i 成立，执行第五次循环， 5 2 101515S ，5 16i ； 68i 成立，执行第六次循环， 6 2 151621S ，6 17i ； 78i 成立，执行第七次循环， 7 2 211728S ，7 1 8i ； 88i 成立，执行第八次循环， 8 2 281836S ，8 19i ； 98i 不成立，跳出循环体，输出S的值为36，故选：A. 9. 【答案】B 第一天：大老鼠 1
14、+小老鼠 1=2； 第二天：大老鼠 2+小老鼠 1.5=3.5 第三天：大老鼠 4+小老鼠 1.75=5.75 相遇 10. 【答案】A 【解析】由题意得： 1 sin 2 fxxx 1 sin 2 fxxxfx f x为奇函数，图象关于原点对称 可排除,B D 又当 2 x 时，10 24 f ，可排除C 本题正确选项：A 11. 【答案】B 【解析】 双曲线 22 2 1 9 xy C b ：，可得 a3， 因为 12 PFF是等腰三角形，当 211 =PF FF时， 由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|， 在F1PF2中，2c+2c+|PF2|22， 即 6c2a22， 即 c 14
15、 3 ， 解得 C 的离心率 e 14 9 ， 当 221 =PFFF时，由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|=2a+2c， 在F1PF2中，2a+2c +2c+2c22， 即 6c222a=16， 即 c 8 3 ， 解得 C 的离心率 e 8 9 1（舍） ， 故选：B 12. 【答案】A 【解析】 因为函数 f x满足 2f xf x，所以函数 f x是周期为2的周期函数. 又 1,1x 时， |f xx，所以函数 f x的图象如图所示. 再作出 3 logyx的图象，易得两图象有4个交点，所以方程 3 ( )log |f xx有4个零 点故应选 A 13. 【答案】 24 7 【解
16、析】 由 2 sin() 410 得： 221 sincossincos 2105 解方程组： 22 1 sincos 5 sincos1 得： 4 sin 5 3 cos 5 或 3 sin 5 4 cos 5 因为0,，所以sin0,所以 3 sin 5 4 cos 5 不合题意，舍去 所以 4 tan 3 ，所以22 4 2 2tan24 3 tan2 1tan7 4 1 3 ，答案应填： 24 7 . 14. 【答案】60 【解析】 因为英语翻译只能从多面手中选，所以有 （1）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有 22 43 18C C 种选法； （2） 当选出
17、的多面手 2 人从事英语翻译， 1 人从事俄语翻译， 所以有 121 342 36C C C 种选法； （3）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，2 人从事俄语翻译，所以有 2 4 6C 种选法； 共有 18+36+6=60 种选法。 15. 【答案】4 【解析】 因为2 3AB ，且圆的半径为 2 3r ，所以圆心0,0到直线330mxym的 距离为 2 2 3 2 AB r ，则由 2 33 3 1 m m ，解得 3 3 m ，代入直线l的方程，得 3 2 3 3 yx，所以直线l的倾斜角为 30 ，由平面几何知识知在梯形ABDC中， 4 cos30 AB CD 故答案为 4 16. 【
18、答案】6 【解析】如图所示,取 PB 的中点 O，PA平面 ABC，PAAB，PABC，又 BC AC，PAACA，BC平面 PAC，BCPC.OA 1 2 PB，OC 1 2 PB， OAOBOCOP，故 O 为外接球的球心又 PA2，ACBC1，AB 2， PB 6 ，外接球的半径 R 6 2 . V球 4 3 R3 4 3 ( 6 2 )3 6,故填6. 三、解答题（本大题共 6 道题，其中 17 题 10 分，其余每题 12 分，共计 70 分，请将准确 的答案写在答题卡相应的区域内.） 17. 【答案】 （1）见解析； （2） 1 242 n n Sn 【解析】 （1）由题意，数列
19、n a满足 1 2a ，所以 1 42a 又因为 1 24 nn aa ，所以 1 42824 nnn aaa ，即 1 4 2 4 n n a a ， 所以4 n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1） ，根据等比数列的通项公式，可得42n n a ，即24 n n a ， 所以 22 12 2424242224 nn nn Saaan 1 2 12 4224 12 n n nn ， 即 1 242 n n Sn 18. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 26 13 . 【解析】 (1)证明：如图，连接 1 BC，设 1 BC与 1 BC相交于点 O，连接 OD. 四
20、边形 11 BCC B是平行四边形 点 O 为 1 BC的中点 D 为 AC 的中点， OD 为 1 ABC的中位线， 1 / /ODAB OD平面 1 BC D， 1 AB 平面 1 BC D， 1/ / AB平面 1 BC D . （2）由（1）可知，ODB为 1 AB与BD所成的角或其补角 在Rt ABC中，D 为 AC 的中点，则 13 22 AC BD 同理可得， 13 2 OB 在OBD中， 222 26 cos 213 ODBDOB ODB OD BD 1 AB与 BD 所成角的余弦值为 26 13 . 19. 【答案】(1)见解析；(2) 中位数为 29.2，分布特点见解析；
21、(3)3720 元 【解析】 （1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下： （2）中位数的估计值： 由5 0.02 5 0.024 5 0.0260.350.5 ，0.35 5 0.0360.530.5 所以中位数位于区间25 30，中， 设中位数为x，则0.35250.0360.5x， 解得29.2x，因为28.529.2， 所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数 （3）依题意可知，休闲跑者共有5 0.02 5 0.0241000220 人， 核心跑者5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.0301000680 人， 精英跑者1000 2
22、20 680 100人， 所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要 220 2500680 4000 100 4500 3720 1000 元 20. 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） 3k 或 3 . 【解析】 解： （1）由离心率 e 2 2 c a ，则 a2 c， 直线 AF 的斜率 k 02 0c 2，则 c1，a 2 ， b2a2c21， 椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y； （2）设直线 l：ykx 3，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则 2 2 3 1 2 ykx x y ，整理得： （1+2k2）x24 3kx+40， （4 3k）24
23、4（1+2k2）0，即 k21， x1+x2 2 4 3 12 k k ，x1x2 2 4 12k ， 22 2 22 121212 2 411 8 2 114 127 kk MNkxxkxxx x k ， 即 42 1732570kk , 解得： 2 3k 或 19 17 （舍去） k 3， 21. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 （1） 1 x fxae， 当0a时， 0fx ，则 f x在R上单调递增 当0a时，令 0fx ，得 1 lnx a ，则 f x的单调递增区间为 1 ,ln a ， 令 0fx ，得 1 lnx a ，则 f x的单调递减区间为 1 ln, a
24、（2）证明：由 0f x 得 1 x x a e ，设 1 x x g x e ，则 2 x x gx e 由 0g x ，得2x；由 0g x ，得2x 故 2 min 1 20g xg e 的最小值 当1x 时， 0g x ，当1x时， 0g x ， 不妨设 12 xx，则 12 1,2 ,2,xx， 12 4xx等价于 21 4xx， 1 42x且 g x2,上单调递增， 要证： 12 4xx，只需证 21 4g xgx， 12 g xg xa， 只需证 11 4g xgx，即 11 11 4 13 xx xx ee ， 即证 1 24 11 310 x exx ； 设 24 31,1,
25、2 x h xexxx ， 则 24 251 x h xex ， 令 m xh x ，则 24 42 x m xex ， 1,2 ,0xm x ， m x在1,2上单调递减，即 h x 在1,2上单调递减， 20h xh ， h x在1,2上单调递增， 1 24 11 20,310 x h xhexx ， 从而 12 4xx得证 22. 【答案】 （1）， （2）x+2y40 【解析】（1）由，得，即，又，两 式相除得， 代入，得，整理得，即为 C 的普通方程 （2）将代入， 整理得（4sin2+cos2）t2+（4cos+8sin）t80 由 P 为 AB 的中点，则 cos+2sin0，即，故，即， 所以所求的直线方程为 x+2y40 23. 【答案】(1) m1 (2) 1 3 【解析】 （1）f(x)|x1|x| 由 f(x)的单调性可知，当 x1 时，f(x)有最大值 1 所以 m1 （2）由（1）可知，ab1， ()(b1)(a1) a2b2 (a2b22) (ab)2 当且仅当 ab时取等号 即的最小值为
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