1、已知全集 UR， 集合 A， 则集合UA 等于 （ ） Ax|x2 或 x0 Bx|x2 或 x0 Cx|x2 或 x 0 Dx|x2 或 x0 2 （3 分）给出下列三个命题： 命题 p：xR，sinx1，则p：xR，使 sinx1； ABC 中，若 AB，则 sinAsinB； 已知向量 ， ，若，则 与 的夹角为钝角 其中正确命题的个数为（ ） A0 B1 C3 D2 3 （3 分）已知两定点 A（2，0） ，B（1，0） ，如果动点 P 满足条件|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A B4 C8 D9 4 （3 分）已知 f（x）x2+sin，f（x）为
2、f（x）的导函数，则 f（x）的图象 是（ ） A B C D 5 （3 分）函数 f（x）x+2cosx 在区间0，上的最大值为（ ） A2 B2 C D 6（3 分） 若两个非零向量 ， 满足| + | |2| |， 则向量 + 与 的夹角是 （ ） A B C D 7 （3 分）已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的 第 2 页（共 25 页） 离心率等于（ ） A B C D 8 （3 分）数列an的通项公式，则该数列的前多少项之和等于 9 （ ） A98 B99 C96 D97 9 （3 分）已知 f（x）是奇函数，且 f（2x）f（x
3、） ，当 x2，3时，f（x）log2（x1） ， 则当 x1，2时，f（x）（ ） Alog2（3x） Blog2（4x） Clog2（4x） Dlog2（3x） 10 （3 分）设等差数列an的前 n 项和是 Sn，若ama1am+1（mN*，且 m2） ，则 必定有（ ） ASm0，且 Sm+10 BSm0，且 Sm+10 CSm0，且 Sm+10 DSm0，且 Sm+10 11 （3 分）在ABC 中，若 tanAtanBtanA+tanB+1，则 cosC（ ） A B C D 12 （3 分）下列不等式一定成立的是（ ） Alg（x2+）lgx（x0） Bsin x+2（x，kZ）
4、 Cx2+12|x|（xR） D1（xR） 13 （3 分）已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A、B 的坐标分别是 （4，2） ， （3，1） ，则点 C 的坐标为（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，4） D （2，4） 14 （3 分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程 为（ ） A B Cy2x D 15 （3 分）若（3x+）n的展开式中各项系数之和为 1024，则展开式中含 x 的整数次幂 的项共有（ ） 第 3 页（共 25 页） A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 16 （3 分）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记
5、“红骰子向上的点数 是 3 的倍数”为事件 A， “两颗骰子的点数和大于 8”为事件 B，则 P（B|A）（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 32 分，每题分，每题 4 分）分） 17 （4 分）已知关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+） ，则关于 x 的不等式（2x） （ax+b）0 的解集是 18 （4 分）关于函数，有以下四个命题： 函数 f（x）在区间（，1）上是单调增函数； 函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称； 函数 f（x）的定义域为（1，+） ； 函数 f（x）的值域为 R 其中所有正确命题的序号是 19 （4
6、分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x+5）16，当 x（1，4时，f（x） x22x，则函数 f（x）在0，2013上的零点个数是 20 （4 分）设 为锐角，若 cos（+），则 sin（2+）的值为 21 （4 分）函数 f（x）的定义域为（0，） ，则函数 f（x）的值域 为 22 （4 分）， 是三个平面，a，b 是两条直线，有下列三个条件：a，b；a ，b；b，a 如果命题“a，b，且 ，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条 件是 23 （4 分）若实数 x，y 满足 x2+y21，则的最小值是 24 （4 分）函数 yax（a1）的图象与二次函数 yx2的
7、图象恰有两个不同的交点，则实 数 a 的值是 三、解答三、解答题（本大题共题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） 25 （10 分）已知在ABC 中，C2A，且 227 （1）求 cosB 的值； 第 4 页（共 25 页） （2）求 AC 的长度 26 （10 分）已知数列an是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，a11，且 3a2，S3， a5成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 27 （12 分）如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，ABEF，矩形 ABCD 所在 平面和圆 O 所在的平面互相垂直已
8、知 AB2，EF1 （1）求证：平面 DAF平面 CBF； （2）求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小； （3）当 AD 的长为何值时，二面角 DFEB 的大小为 60？ 28 （12 分）随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入， 促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站 2017 年 18 月促销 费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用 x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量 y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 （1）根据数据可知 y 与 x 具有线性相关关系，请
9、建立 y 关于 x 的回归方程 x+ （系 数精确到 0.01） ； （2）已知 6 月份该购物网站为庆祝成立 1 周年，特制定奖励制度：以 z（单位：件）表 示日销量，z1800，2000） ，则每位员工每日奖励 100 元；z2000，2100） ，则每位员 工每日奖励 150 元；z2100，+） ，则每位员工每日奖励 200 元现已知该网站 6 月 份日销量 z 服从正态分布 N（0.2，0.0001） ，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多 第 5 页（共 25 页） 少元 （当月奖励金额总数精确到百分位） 参考数据：xiyi338.5，xi21308，其中 xi，yi分别为第 i
10、 个月的促销费用和产品 销量，i1，2，3，8 参考公式： （1）对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归方程 x+ 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为 ， x （2）若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ，则 P（，+）0.6827，P（ 2，+2）0.9545 29 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，MC，以 M 为圆心的圆 M 与 l，相切于点 Q，Q 的纵坐标为，E（5，0）是圆 M 与 x 轴除 F 外的另一个交点 （）求抛物线 C 与圆 M 的方程： （）过 F 且斜率为的直线 n 与 C 交于 A，B 两
11、点，求ABQ 的面积 30 （14 分）已知函数 f（x）x2ax+（a1）lnx （1）若 a1，讨论函数 f（x）的单调性； （2）g（x）f（x）+（a1）xlnx，是否存在实数 a，对任意 x1，x2（0，+） x1 x2，有+a0 恒成立，若存在，求出 a 的范围；若不存在，请说明理 由 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（学年山东师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（9 月份）月份） 参考答参考答案与试题解析案与试题解析 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 16 小题，共小题，共 48 分，每题分，每题 3 分）分）
12、1（3 分） 已知全集 UR， 集合 A， 则集合UA 等于 （ ） Ax|x2 或 x0 Bx|x2 或 x0 Cx|x2 或 x 0 Dx|x2 或 x0 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，根据全集 UR 求出 A 的补集即可 【解答】解：由 A 中的不等式变形得：或， 解得：2x0， 即 Ax|2x0， 全集 UR， UAx|x2 或 x0 故选：C 【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键 2 （3 分）给出下列三个命题： 命题 p：xR，sinx1，则p：xR，使 sinx1； ABC 中，若 AB，则 sinAsinB； 已知向量 ， ，若，则 与
13、 的夹角为钝角 其中正确命题的个数为（ ） A0 B1 C3 D2 【分析】根据真假命题判断的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案 【解答】解：命题 p：xR，sinx1，由全称命题与特称命题的否定，则p：xR， 使 sinx1；是正确命题； ABC 中， 由正弦定理知 2R， 若 AB 成立， 则有 ab， a2RsinA， b2RsinB，sinAsinB，是正确命题； 第 7 页（共 25 页） 已知向量 ， ，若，即 | | |cos0，cos0，则 与 的夹角 为 钝角或平角是错误命题； 其中正确命题的个数为 2 个， 故选：D 【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的之
14、间的关系，三角函数性质和正弦定理， 向量的点乘定义的应用，属于中档试题 3 （3 分）已知两定点 A（2，0） ，B（1，0） ，如果动点 P 满足条件|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A B4 C8 D9 【分析】设 P 点的坐标为（x，y） ，用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|2|PB|，整理即 得点 P 的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积 【解答】解：已知两定点 A（2，0） ，B（1，0） ，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，设 P 点 的坐标为（x，y） ， 则（x+2）2+y24（x1）2+y2，即（x2）2+y24， 所以点的轨迹是以
15、（2，0）为圆心，2 为半径的圆， 所以点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 4， 故选：B 【点评】考查两点间距离公式及圆的性质是训练基础知识的好题 4 （3 分）已知 f（x）x2+sin，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（x）的图象 是（ ） A B C D 【分析】先化简 f（x）x2+sinx2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函 数，排除 B，D再根据导函数的导函数小于 0 的 x 的范围，确定导函数在（，） 上单调递减，从而排除 C，即可得出正确答案 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：由 f（x）x2+sinx2+cosx， f（x）xsinx，它是一个奇函数，其图
16、象关于原点对称，故排除 B，D 又 f（x）cosx，当x时，cosx，f（x）0， 故函数 yf（x）在区间（，）上单调递减，故排除 C 故选：A 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 5 （3 分）函数 f（x）x+2cosx 在区间0，上的最大值为（ ） A2 B2 C D 【分析】先求出函数 f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值 【解答】解：f（x）12sinx， 令 f（x）0，解得：x或 x， 令 f（x）0，解得：x， 函数 f（x）在0，） ， （，递增，在（，）
17、递减， f（x）极大值f（）+，f（x）极小值f（）， 又 f（0）2，f（）2， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题 6（3 分） 若两个非零向量 ， 满足| + | |2| |， 则向量 + 与 的夹角是 （ ） A B C D 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公 式求出两向量的夹角 【解答】解：依题意，| + | |2| | ，3， 第 9 页（共 25 页） cos， 与的夹角的取值范围是0， 向量与的夹角是， 故选：C 【点评】本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的
18、夹角 7 （3 分）已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的 离心率等于（ ） A B C D 【分析】先根据半轴长求得 b，进而根据焦点 F 到长轴的一个端点的距离求得 a 和 c 的 关系式，进而与 b3 和 a2b2c2联立方程求得 a 和 c，则椭圆的离心率可得 【解答】解：依题意可知 或 解得 a5，b3，c4， e 故选：B 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生对椭圆基础知识的掌握和理解， 以及数形结合的思想的运用 8 （3 分）数列an的通项公式，则该数列的前多少项之和等于 9 （ ） A98 B99 C96 D97 【分析
19、】由，利用数列裂求和法能够推导出，由 此能求出该数列的前多少项之和等于 9 【解答】解：， Sna1+a2+a3+an ， ， 第 10 页（共 25 页） ， n99 故选：B 【点评】本题考查数列的求和，是基础题解题时要认真审题，注意裂项求和法的灵活 运用 9 （3 分）已知 f（x）是奇函数，且 f（2x）f（x） ，当 x2，3时，f（x）log2（x1） ， 则当 x1，2时，f（x）（ ） Alog2（3x） Blog2（4x） Clog2（4x） Dlog2（3x） 【分析】由题意，得当 x1，0时，f（x）f（2x）log2（1x） 根据 f（x）是 奇函数，得 x0，1时，f
20、（x）f（x）log2（1+x） ，最后结合 f（2x）f（x） ， 得 x1，2时，f（x）log2（3x） 【解答】解：当 x1，0时，2x2，3， 此时 f（2x）log2（2x）1log2（1x） ， f（2x）f（x） ，当 x1，0时，f（x）log2（1x） ； 当 x0，1时，x1，0，得 f（x）log2（1+x） ， f（x）是奇函数，当 x0，1时，f（x）f（x）log2（1+x） ； 设 x1，2，得 2x0，1， f（2x）log21+（2x）log2（3x） f（2x）f（x） ，当 x1，2时，f（x）log2（3x） 故选：A 【点评】本题给出函数为奇函数且图
21、象关于 x1 对称，在 x2，3时，f（x）log2（x 1）的情况下求函数 x1，2时的表达式，着重考查了函数的奇偶性和图象的对称性等 知识，属于中档题 10 （3 分）设等差数列an的前 n 项和是 Sn，若ama1am+1（mN*，且 m2） ，则 必定有（ ） ASm0，且 Sm+10 BSm0，且 Sm+10 CSm0，且 Sm+10 DSm0，且 Sm+10 【分析】由ama1am+1，可得 a1+am0，a1+am+10，结合等差数列的求和公式 即可求解 【解答】解：ama1am+1， 第 11 页（共 25 页） a1+am0，a1+am+10 0，0 故选：A 【点评】本题主
22、要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题 11 （3 分）在ABC 中，若 tanAtanBtanA+tanB+1，则 cosC（ ） A B C D 【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简 tan（A+B） ，将已知等式变形后代入求出 tan（A+B）的值，进而确定出 tanC 的值，利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数，即可 确定出 cosC 的值 【解答】解：tanAtanBtanA+tanB+1，即 tanA+tanBtanAtanB1， tan（A+B）1，即 tan（A+B）tanC1， tanC1，即 C， 则 cosCcos 故选：B 【点评】此题考查了两角和与差
23、的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌 握公式是解本题的关键 12 （3 分）下列不等式一定成立的是（ ） Alg（x2+）lgx（x0） Bsin x+2（x，kZ） Cx2+12|x|（xR） D1（xR） 【分析】利用基本不等式的性质依次判断各选项即可得出 【解答】解：对于 A：lg（x2+）lgx（x0）等价于，即， 故得 x，而题设 x0，当 x时不成立 对于 B：sin x+2（x，kZ）当且仅当 sin21 时取等号此时 x， 第 12 页（共 25 页） 与题设 x，kZ 矛盾，不成立 对于 C：x2+12|x|（xR）等价于，当且仅当 x1 取等号成立 对于 D：1
24、（xR）等价于 x2+11，即 x20，无解，不成立 故选：C 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题 13 （3 分）已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A、B 的坐标分别是 （4，2） ， （3，1） ，则点 C 的坐标为（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，4） D （2，4） 【分析】设 A（4，2）关于直线 y2x 的对称点为（x，y） ，利用垂直平分线的性质可 得：，解出可得直线 BC 所在方程；同理可得点 B 关于直线 y2x 的对 称点，即可得出直线 AC 所在方程，联立解出可得出 【解答】解：设 A（4，2
25、）关于直线 y2x 的对称点为（x，y） ，则， 解得，即（4，2） 直线 BC 所在方程为：y1（x3） ，化为：3x+y100 同理可得：点 B（3，1）关于直线 y2x 的对称点为（1，3） ， 直线 AC 所在方程为：y2（x+4） ，化为：x3y+100 联立，解得，可得 C（2，4） 故选：C 【点评】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直线方程，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 14 （3 分）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程 为（ ） 第 13 页（共 25 页） A B Cy2x D 【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为 yx再由双曲线离心率为，得
26、到 ca，由定义知 ba，代入即得此双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线 C 方程为：， 双曲线的渐近线方程为 yx 又双曲线离心率为， ca，可得 ba 因此，双曲线的渐近线方程为 yx 故选：A 【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准 方程与基本概念，属于基础题 15 （3 分）若（3x+）n的展开式中各项系数之和为 1024，则展开式中含 x 的整数次幂 的项共有（ ） A3 项 B4 项 C5 项 D6 项 【分析】通过对二项式中的 x 赋值 1 得到各项系数和，利用二项展开式的通项公式求出 通项，令 x 为整数得到整数的项数 【解答】解：中，令
27、 x1 得到展开式的各项系数和为 4n1024 解得 n5 展开式的通项为 当为整数时，r0，2，4 共 3 项 故选：A 【点评】本题考查通过赋值求各项系数和、利用二项展开式的通项公式解决展开式的特 定项 16 （3 分）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数 是 3 的倍数”为事件 A， “两颗骰子的点数和大于 8”为事件 B，则 P（B|A）（ ） 第 14 页（共 25 页） A B C D 【分析】计算 P（AB），P（B），利用条件概率公式，即可得到结论 【解答】解：由题意，P（AB），P（B） P（B|A） 故选：A 【点评】本题考查条件概率，考查学
28、生的计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 32 分，每题分，每题 4 分）分） 17 （4 分）已知关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+） ，则关于 x 的不等式（2x） （ax+b）0 的解集是 （1，2） 【分析】关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+） ，可得1，且 a0，由此对于 x 的不等式（2x） （ax+b）0 变形求解即可 【解答】解：由题意关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+） ，可得1，且 a0， （2x） （ax+b）0 可变为（x2） （x+）0，即得（x2） （x+1）0， 1x2 不等式的解
29、集是（1，2） 故答案为（1，2） 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式 axb0 的解 集是（1，+） ，解出参数 a，b 所满足的条件，再根据一元二次不等式的解法求出不等 式不等式（2x） （ax+b）0 的解集 18 （4 分）关于函数，有以下四个命题： 函数 f（x）在区间（，1）上是单调增函数； 函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称； 函数 f（x）的定义域为（1，+） ； 函数 f（x）的值域为 R 其中所有正确命题的序号是 【分析】利用对数函数的单调性判断的正误；利用函数的对称性判断的正误；求出 第 15 页（共 25 页） 函数的定义域判断的正误
30、；函数的值域判断的正误； 【解答】解：函数在 x1 时函数是减函数，x1 时是增函数，所以 正确； 函数，函数的图象关于 x1 对称，所以正确 函数的定义域是 x1，所以不正确； 函数，函数的值域是实数集，所以正确； 故答案为： 【点评】本题考查函数的基本性质，包括对称性、奇偶性、单调性，考查计算能力，好 题，常考题型 19 （4 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x+5）16，当 x（1，4时，f（x） x22x，则函数 f（x）在0，2013上的零点个数是 604 【分析】根据 yx2 与 y2x 的函数曲线在区间（0，4有两个交点，在区间（1，0 区间有一个交点，f（
31、x）x22x16 无根，可得 x（1，4时，f（x）x22x有 3 个零点，且 x（6，1时，f（x）x22x无零点，进而分析出函数的周期性，分段 讨论后，综合讨论结果可得答案 【解答】解：yx2 与 y2x 的函数曲线在区间（0，4有两个交点，在区间（1，0 区间有一个交点， 但当 x（1，4时，f（x）x22x16 无根 即当 x（1，4时，f（x）x22x有 3 个零点 由 f（x）+f（x+5）16， 即当 x（6，1时，f（x）x22x无零点 又f（x+5）+f（x+10）f（x）+f（x+5）16， f（x+10）f（x） ，即 f（x）是周期为 10 的周期函数， 在 x0，20
32、13，分为三段 x0，4，x（4，2004，x（2004，2013 在 x0，4函数有两个零点， 在 x（4，2004有 200 个完整周期，即有 600 个零点， 在 x（2004，2013共有两个零点， 综上函数 f（x）在0，2013上的零点个数是 604 第 16 页（共 25 页） 故答案为：604 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，其中熟练掌握 对数函数和二次函数的图象和性质，分析出一个周期上函数的零点个数是解答的关键 20 （4 分）设 为锐角，若 cos（+），则 sin（2+）的值为 【分析】先设 +，根据 cos 求出 sin，进而求出 sin
33、2 和 cos2，最后用两角和 的正弦公式得到 sin（2+）的值 【解答】解：设 +， sin，sin22sincos，cos22cos21， sin（2+）sin（2+）sin（2）sin2coscos2sin 故答案为： 【点评】本题要我们在已知锐角 +的余弦值的情况下，求 2+的正弦值，着重考 查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的 恒等变换应用，属于中档题 21 （4 分）函数 f（x）的定义域为（0，） ，则函数 f（x）的值域 为 ，1） 【分析】先化简函数，再利用正弦函数的性质，即可得出结论 【解答】解：f（x）+ 因为定义域为（0，） ，
34、 所以 sin（2x+）（，1， 所以 f（x）的值域为，1） 故答案为：，1） 【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，比较基础 22 （4 分）， 是三个平面，a，b 是两条直线，有下列三个条件：a，b；a 第 17 页（共 25 页） ，b；b，a 如果命题“a，b，且 ，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的 条件是 【分析】由题意，将三个条件一一代入验证，看哪些能证出线线平行的结论，即为可选 条件 【解答】解：可以，由 a 得 a 与 没有公共点，由 b，a，b 知，a，b 在面 ，且没有公共点，故平行； a，b，不可以，举出反例如下：使 ，b，a，则此时能有 a，b，
35、 但不一定 ab 这些条件无法确定两直线的位置关系 b，a 可以，由 b，a 知，a，b 无公共点，再由 a，b，可得两直 线平行 故答案为： 【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握判断两直线平行 的条件 23 （4 分）若实数 x，y 满足 x2+y21，则的最小值是 【分析】先根据约束条件画出圆：x2+y21，设 z，再利用 z 的几何意义求最值， 只需求出过定点 P（1，2）直线是圆的切线时，直线 PQ 的斜率最大，从而得到 z 值即可 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 设 z， 将最小值转化为过定点 P（1，2）的直线 PQ 的斜率最小， 当直线 PQ 是
36、圆的切线时，z 最小， 设直线 PQ 的方程为：y2k（x1）即 kxy+2k0 则：，k 最小值为： 故答案为： 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结 合的思想，属基础题巧妙识别目标函数的几何意义是研究规划问题的基础 24 （4 分）函数 yax（a1）的图象与二次函数 yx2的图象恰有两个不同的交点，则实 数 a 的值是 【分析】求出lna2，得到 2lnx02，求出 x0e，从而求出 a 的值即可 【解答】解：当 x0 时，函数 yax（a1）的图象与二次函数 yx2的图象有 1 个交点， 设当 x0 时，yax（a1
37、）与 yx2相切于 A（x0，） ， 则有 yaxlna，y2x， 故lna2， ， x0lna2lnx0， 2lnx02， x0e， elna2， a， 故答案为： 【点评】本题考查了指数函数的性质，考查二次函数的性质，是一道中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） 25 （10 分）已知在ABC 中，C2A，且 227 （1）求 cosB 的值； 第 19 页（共 25 页） （2）求 AC 的长度 【分析】 （1）由条件 ，再由两角和差的余弦公式、诱导公式求 得 cosBcos（A+C）的值 （2）由 C2A 利用正弦定理求得再由 227，求
38、得 ac24，由此可 得 AC 的长度（即 b 的值） 【解答】解： （1）C2A， ， （6 分） （2）C2A， （8 分） 227，24，即 ac24，a224 解得 a4、c6 b5，即 AC 的长度为 5（12 分） 【点评】本题主要考查两角和差的正弦、二倍角公式、诱导公式、正弦定理的应用，两 个向量的数量积的定义，属于中档题 26 （10 分）已知数列an是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，a11，且 3a2，S3， a5成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设出等差数列的公差，由 3a2，S3，a5成等比数
39、列列式求得公差，代入等差 数列的通项公式得答案； （2）求出等差数列的前 n 项和，代入，利用裂项相消法求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）设数列an的公差为 d（d0） ，则 a21+d，S33+3d，a51+4d， 3a2，S3，a5成等比数列， 即（3+3d）2（3+3d） （1+4d） ，解得 d2 an1+2（n1）2n1； 第 20 页（共 25 页） （2）由（1）得：， ， 【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列 的前 n 项和，是中档题 27 （12 分）如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，ABEF
40、，矩形 ABCD 所在 平面和圆 O 所在的平面互相垂直已知 AB2，EF1 （1）求证：平面 DAF平面 CBF； （2）求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小； （3）当 AD 的长为何值时，二面角 DFEB 的大小为 60？ 【分析】 （1）欲证平面 DAF平面 CBF，先证直线与平面垂直，由题意可得：CB平面 ABEF，所以 AFCB，又在底面圆中 AFBF，所以 AF平面 CBF，进一步易得平面 DAF平面 CBF （2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的根据（1）的证明， 有 AF平面 CBF， 所以 FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影， 则ABF 为
41、直线 AB 与平面 CBF 所成的角 （3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法由 DA平面 ABEF 可知：过点 A 作 AMEF，交 EF 的延长线于点 M，连接 DM，所以 DMA 为二面角 DFEB 的平面角，DMA60 【解答】解： （1）证明：平面 ABCD平面 ABEF，CBAB， 平面 ABCD平面 ABEFAB， CB平面 ABEF AF平面 ABEF，AFCB， 第 21 页（共 25 页） 又AB 为圆 O 的直径，AFBF， AF平面 CBF AF平面 DAF，平面 DAF平面 CBF （2）根据（1）的证明，有 AF平面 CBF， FB
42、 为 AB 在平面 CBF 上的射影， 因此，ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角 ABEF，四边形 ABEF 为等腰梯形， 过点 F 作 FHAB，交 AB 于 H AB2，EF1，则 AH 在 RtAFB 中，根据射影定理 AF2AHAB，得 AF1， sinABF，ABF30， 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 （3）过点 A 作 AMEF，交 EF 的延长线于点 M，连接 DM 根据（1）的证明，DA平面 ABEF，则 DMEF， DMA 为二面角 DFEB 的平面角， 即DMA60 在 RtAFH 中，AH，AF1， FH 又四边形 AMFH 为矩形，MAF
43、H ADMAtanDMA 因此，当 AD 的长为时，二面角 DFEB 的大小为 60 第 22 页（共 25 页） 【点评】本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与 转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 28 （12 分）随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入， 促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站 2017 年 18 月促销 费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 促销费用 x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量 y 1 1 2
44、 3 3.5 5 4 4.5 （1）根据数据可知 y 与 x 具有线性相关关系，请建立 y 关于 x 的回归方程 x+ （系 数精确到 0.01） ； （2）已知 6 月份该购物网站为庆祝成立 1 周年，特制定奖励制度：以 z（单位：件）表 示日销量，z1800，2000） ，则每位员工每日奖励 100 元；z2000，2100） ，则每位员 工每日奖励 150 元；z2100，+） ，则每位员工每日奖励 200 元现已知该网站 6 月 份日销量 z 服从正态分布 N（0.2，0.0001） ，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多 少元 （当月奖励金额总数精确到百分位） 参考数据：xiyi3
浙公网安备33030202001339号