1、已知集合 Ax|x（x1）0，Bx|yln（xa），若 ABA，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，0） B （，0 C （1，+） D1，+） 2 （5 分）已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A|z|i B i Cz21 Dz 的虚部为i 3 （5 分） “x0”是“ln（x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知 cos（）2cos（+） ，且 tan（+），则 tan 的值为（ ） A7 B7 C1 D1 5 （5 分）已知定义在m5，12m上的奇函数 f（x） ，满足 x0 时，f（x）2x1，则 f（m）
2、的值为（ ） A15 B7 C3 D15 6 （5 分） “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传 统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴 春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾 客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是 （ ） A B C D 7 （5 分）已知 alog0.55、blog32、c20.3、d（）2，从这四个数中任取一个数 m，
3、使函数 f（x）x3+mx2+x+2 有极值点的概率为（ ） A B C D1 第 2 页（共 26 页） 8 （5 分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线 的对称轴； 反之， 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点 已 知抛物线 y24x 的焦点为 F，一条平行于 x 轴的光线从点 M（3，1）射出，经过抛物线 上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则ABM 的周长为（ ） A B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项
4、符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错分，有选错的得的得 0 分分. 9 （5 分）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效 应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某 单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测结合图，下列说法正确的是 （ ） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放
5、缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 10 （5 分）已知函数 f（x）sinxcosx，g（x）是 f（x）的导函数，则下列结论中正确的 是（ ） A函数 f（x）的值域 g（x）的值域不相同 第 3 页（共 26 页） B把函数 f（x）的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数 g（x）的图象 C函数 f（x）和 g（x）在区间（，）上都是增函数 D若 x0是函数 f（x）的极值点，则 x0是函数 g（x）的零点 11 （5 分）下列判断正确的是（ ） A若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P
6、（2）0.21 B已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，则“”是“lm”的充分不必要条件 C若随机变量 服从二项分布：，则 E（）1 Dam2bm2是 ab 的充分不必要条件 12 （5 分）关于函数 f（x）+lnx，下列判断正确的是（ ） Ax2 是 f（x）的极大值点 B函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点 C存在正实数 k，使得 f（x）kx 成立 D对任意两个正实数 x1，x2，且 x1x2，若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x24 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题，每小题小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若非零向量满足，向量与垂直，则
7、与的夹角 为 14 （5 分）设 （1）当时，f（x）的最小值是 ； （2）若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围是 15 （5 分）双曲线的左、右焦点分别为 F1（2，0） 、F2 （2，0） ，M 是 C 右支上的一点，MF1与 y 轴交于点 P，MPF2的内切圆在边 PF2上的 切点为 Q，若，则 C 的离心率为 第 4 页（共 26 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）（2a） （x1）2lnx若函数 f（x）在（0，）上无零点， 则 a 的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出
8、文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 4acosAccosB+bcosC （1）若 a4，ABC 的面积为，求 b，c 的值； （2）若 sinBksinC（k0） ，且ABC 为钝角三角形，求 k 的取值范围 18 （12 分）已知数列an的各项均为正数，它的前 n 项和 Sn满足， 并且 a2，a4，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（1）n+1anan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，求 T2n 19 （12 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，PA 垂直于圆 O 所在的平面，
9、G 为AOC 的重心 （1）求证：平面 OPG平面 PAC； （2）若 PAAB2AC2，求二面角 AOPG 的余弦值 20 （12 分）近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重 大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为 了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管 理时间的关系如表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 y （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 第
10、5 页（共 26 页） 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 r 的大小，并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关？ （2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中 任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 x，求 x 的分布列及数学期望 参考公式： ，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：25
11、.2 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2， 过点 F1的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，延长 BF2交椭圆 C 于点 M，ABF2的周长为 8 （1）求 C 的离心率及方程； （2）试问：是否存在定点 P（x0，0） ，使得为定值？若存在，求 x0；若不存在， 请说明埋由 22 （12 分）设函数 f（x）ln（1+ax）+bx，g（x）f（x）bx2 第 6 页（共 26 页） （）若 a1，b1，求函数 f（x）的单调区间； （）若曲线 yg（x）在点（1，ln3）处的切线与直线 11x3y0 平行 （i）求 a，b 的值； （i
12、i）求实数 k（k3）的取值范围，使得 g（x）k（x2x）对 x（0，+）恒成立 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年山东省淄博实验中学高三（上）期末数学试卷学年山东省淄博实验中学高三（上）期末数学试卷 参考参考答案与试题解析答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x1）0，Bx|yln（xa），若 ABA，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，0） B （
13、，0 C （1，+） D1，+） 【分析】可求出 Ax|0x1，Bx|xa，根据 ABA 即可得出 AB，从而得出 a0 【解答】解：Ax|0x1，Bx|xa； ABA； AB； a0； 实数 a 的取值范围为（，0） 故选：A 【点评】考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义 域，以及交集、子集的定义 2 （5 分）已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A|z|i B i Cz21 Dz 的虚部为i 【分析】利用复数的运算法则求出复数i，由此能求出结 果 【解答】解：复数i， i 故选：B 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、模、共轭复数、虚部等基础知识
14、， 考查运算求解能力，是基础题 第 8 页（共 26 页） 3 （5 分） “x0”是“ln（x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】解：x0，x+11，当 x+10 时，ln（x+1）0； ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0， “x0”是 ln（x+1）0 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关 键，比较基础 4 （5 分）已知 cos（）2cos（+） ，且 tan（+），则
15、tan 的值为（ ） A7 B7 C1 D1 【分析】 由题意利用诱导公式求得 tan 的值， 再利用两角和的正切公式， 求得 tan 的值 【解答】解：已知 cos（）2cos（+） ，即 sin2cos，即 tan2 又tan（+），则 tan7， 故选：B 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题 5 （5 分）已知定义在m5，12m上的奇函数 f（x） ，满足 x0 时，f（x）2x1，则 f（m）的值为（ ） A15 B7 C3 D15 【分析】先根据奇函数定义域关于原点对称求出 m，然后代入即可求解 【解答】解：由奇函数的对称性可知，m5+12m0， m4，
16、 x0 时，f（x）2x1， 则 f（m）f（4）f（4）15 故选：A 【点评】本题考查奇函数的性质，转化思想，正确转化是关键 6 （5 分） “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传 统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴 第 9 页（共 26 页） 春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾 客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是 （ ） A
17、B C D 【分析】有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数 n3481，他们中有且仅有 2 人领 取的礼品种类相同包含的基本事件个数 m36， 则他们中有且仅有 2 人领取的礼 品种类相同的概率 【解答】解：从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数 n3481， 他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数 m36， 则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 7 （5 分）已知 alog0.55、blog3
18、2、c20.3、d（）2，从这四个数中任取一个数 m， 使函数 f（x）x3+mx2+x+2 有极值点的概率为（ ） A B C D1 【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出 m 的范围，通过判断 a，b，c， d 的范围，得到满足条件的概率值即可 【解答】解：f（x）x2+2mx+1， 若函数 f（x）有极值点， 则 f（x）有 2 个不相等的实数根， 故4m240，解得：m1 或 m1， 而 alog0.552，0blog321、c20.31，0d（）21， 满足条件的有 2 个，分别是 a，c， 第 10 页（共 26 页） 故满足条件的概率 p， 故选：B 【点评】本题考查
19、了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质， 是一道中档题 8 （5 分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线 的对称轴； 反之， 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点 已 知抛物线 y24x 的焦点为 F，一条平行于 x 轴的光线从点 M（3，1）射出，经过抛物线 上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则ABM 的周长为（ ） A B C D 【分析】根据抛物线的光学性质得出 A、B 的坐标，从而得出三角形的周长 【解答】解：MAx 轴， A（，1） ， 由题意可知 AB 经过抛物线 y24x 的焦点 F
20、（1，0） ， 直线 AB 的方程为 y（x1） 联立方程组，解得 B（4，4） ， AM3，AB，MB ABM 的周长为 9+ 故选：D 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 第 11 页（共 26 页） 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、
21、服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效 应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某 单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测结合图，下列说法正确的是 （ ） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【分析】结合图形直接得出结果 【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项
22、表达错误 故选：ABD 【点评】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力本题属基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）sinxcosx，g（x）是 f（x）的导函数，则下列结论中正确的 是（ ） A函数 f（x）的值域 g（x）的值域不相同 B把函数 f（x）的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数 g（x）的图象 第 12 页（共 26 页） C函数 f（x）和 g（x）在区间（，）上都是增函数 D若 x0是函数 f（x）的极值点，则 x0是函数 g（x）的零点 【分析】求出函数 f（x）的导数 g（x） ，再根据三角函数的图象与性质判断选项中的命题 是否正确 【解答】解：函数 f（x）s
23、inxcosx，g（x）f（x）cosx+sinx， 对于 A，f（x）sin（x） ，值域是，； g（x）sin（x+） ，值域是，它们的值域相同，所以 A 错误； 对于 B，函数 f（x）的图象向右平移个单位长度， 得 yf（x）sin（x）sin（x+）的图象，不是 g（x）的图象， 所以 B 错误； 对于 C，x（，）时，x（，0） ，f（x）是单调增函数； x（，）时，x+（0，） ，g（x）是单调增函数；所以 C 正确； 对于 D，若 x0是函数 f（x）的极值点，则 g（x0）0， 即 x0是函数 g（x）的零点，D 正确 故选：CD 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用
24、问题，也考查了命题真假的判断问题， 是基础题 11 （5 分）下列判断正确的是（ ） A若随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，P（4）0.79，则 P（2）0.21 B已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，则“”是“lm”的充分不必要条件 C若随机变量 服从二项分布：，则 E（）1 Dam2bm2是 ab 的充分不必要条件 【分析】A，根据正态分布概率的性质，计算即可； B，判断充分性与必要性是否成立即可； C，根据二项分布计算即可； 第 13 页（共 26 页） D，判断充分性与必要性是否成立即可 【解答】解：对于 A，随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，所以图象关于 x1 对称， 根
25、据 P（4）0.79，可得 P（4）1P（4）0.21， 所以 P（2）P（4）0.21，A 正确； 对于 B，直线 l平面 ，直线 m平面 ， 若 ，则 lm 是真命题；若 lm，则 是假命题； 所以“”是“lm”的充分不必要条件” ，B 正确； 对于 C，随机变量 服从二项分布：，则 E（）41，C 正确； 对于 D，若 am2bm2，则 ab 是真命题； 若 ab，则 am2bm2是假命题，如 m20 时不成立； 所以 am2bm2是 ab 的充分不必要条件，D 正确 故选：ABCD 【点评】本题以命题真假的判断为载体，主要考查了正态分布、二项分布、以及充分必 要条件的判断问题，是中档题
26、 12 （5 分）关于函数 f（x）+lnx，下列判断正确的是（ ） Ax2 是 f（x）的极大值点 B函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点 C存在正实数 k，使得 f（x）kx 成立 D对任意两个正实数 x1，x2，且 x1x2，若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x24 【分析】A求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断； B求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可； C利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和 极值进行判断即可； D令 g（t）f（2+t）f（2t） ，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可 【解答】解：A函数的的定
27、义域为（0，+） ，函数的导数 f（x）， （0，2）上，f（x）0，函数单调递减， （2，+）上，f（x）0，函数单调递 增， x2 是 f（x）的极小值点，即 A 错误； 第 14 页（共 26 页） Byf（x）xlnxx， 函数在（0，+）上单调递减，且 f（1）12+ln1110，f（2）21+ln22 ln210， 函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点，即 B 正确； C若 f（x）kx，可得 令 g（x），则 g（x）， 令 h（x）4+xxlnx，则 h（x）lnx， 在 x（0，1）上，函数 h（x）单调递增，x（1，+）上函数 h（x）单调递减， h（x）h（1）0，g
28、（x）0， 在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立，即 C 不正确； D令 t（0，2） ，则 2t（0，2） ，2+t2， 令 g（t）f（2+t）f（2t）ln（2+t）ln（2t）ln， 则， g（t）在（0，2）上单调递减，则 g（t）g（0）0， 令 x12t，由 f（x1）f（x2） ，得 x22+t，则 x1+x22t+2+t4， 当 x24 时，x1+x24 显然成立，对任意两个正实数 x1，x2，且 x2x1， 若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x24，故 D 正确 故选：BD 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数
29、的单调性和极值，函数零点个数的判 断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，属难题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若非零向量满足，向量与垂直，则与的夹角为 120 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求出 与 的夹角的 第 15 页（共 26 页） 余弦值，可得 与 的夹角 【解答】解：非零向量满足，向量与 垂直， （2 + ） 2+0， 即 2 ， 即 2| | |cos ， ， cos ， ， ， 120，即 与 的夹角为 120， 故答案为：120 【点评】本题主要考查两
30、个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，属于基础题 14 （5 分）设 （1）当时，f（x）的最小值是 ； （2）若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围是 0， 【分析】 （1）当时，分别求出当 x0 和 x0 时函数的最小值，进行比较即可 （2）先判断当 x0 时，函数的最小值为 2，然后讨论 a 的取值范围，结合一元二次函数 的最值性质进行比较即可 【解答】解： （1）当时，当 x0 时，f（x）（x）2（）2， 当 x0 时，f（x）x+22，当且仅当 x1 时取等号， 则函数的最小值为， （2）由（1）知，当 x0 时，函数 f（x）2，此时的最小值为 2， 若 a0，则
31、当 xa 时，函数 f（x）的最小值为 f（a）0，此时 f（0）不是最小值，不 满足条件 若 a0，则当 x0 时，函数 f（x）（xa）2为减函数， 则当 x0 时，函数 f（x）的最小值为 f（0）a2， 要使 f（0）是 f（x）的最小值，则 f（0）a22，即 0a， 即实数 a 的取值范围是0， 故答案为：，0， 【点评】本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当 x 第 16 页（共 26 页） 0 和当 x0 时的最值，进行比较是解决本题的关键注意合理分类讨论 15 （5 分）双曲线的左、右焦点分别为 F1（2，0） 、F2 （2，0） ，M 是 C 右
32、支上的一点，MF1与 y 轴交于点 P，MPF2的内切圆在边 PF2上的 切点为 Q，若，则 C 的离心率为 【分析】根据切线长定理求出 MF1MF2，即可得出 a，从而得出双曲线的离心率 【解答】解：设MPF2的内切圆与 MF1，MF2的切点分别为 A，B， 由切线长定理可知 MAMB，PAPQ，BF2QF2， 又 PF1PF2， MF1MF2（MA+AP+PF1）（MB+BF2）PQ+PF2QF22PQ， 由双曲线的定义可知 MF1MF22a， 故而 aPQ，又 c2， 双曲线的离心率为 e 故答案是： 【点评】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理， 考查学生
33、的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键 16 （5 分）已知函数 f（x）（2a） （x1）2lnx若函数 f（x）在（0，）上无零点， 则 a 的最小值为 24ln2 【分析】根据函数无零点，得到函数的导函数小于 0 在一个区间上不恒成立，得到函数 在这个区间上没有零点，构造新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小 值 第 17 页（共 26 页） 【解答】解：因为函数 f（x）在（0，）上无零点即 f（x）0 或 f（x）0 在（0，） 上恒成立， 但是 f（x）0 恒成立不可能，故只有 f（x）（2a） （x1）2lnx0 在（0，） 上恒成立， 即 a2在（0，
34、）上恒成立， 令 h（x）2，x（0，） ，则 h（x）， 令 m（x）2lnx2+，x（0，） ，则 m（x）， 易得，m（x）在（0，）上单调递减，则可得 m（x）2ln2+20， 即 h（x）0，h（x）在（0，）上单调递增，h（x）h（）24ln2， 故 a24ln2 即 a 的最小值 24ln2 故答案为：24ln2 【点评】本小题主要考查函数与导数等知识，考查恒成立问题，化归与转化的数学思想 方法，以及推理论证能力和运算求解能力 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17
35、 （10 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 4acosAccosB+bcosC （1）若 a4，ABC 的面积为，求 b，c 的值； （2）若 sinBksinC（k0） ，且ABC 为钝角三角形，求 k 的取值范围 【分析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出 cosA、sinA 的值； （1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出 b、c 的值； （2）利用正弦定理和余弦定理，讨论 B 为钝角和 C 为钝角时，分别求出 k 的取值范围 【解答】解：ABC 中，4acosAccosB+bcosC， 4sinAcosAsinCcosB+si
36、nBcosCsin（C+B）sinA， cosA， sinA； （1）a4， 第 18 页（共 26 页） a2b2+c22bccosAb2+c2bc16； 又ABC 的面积为： SABCbcsinAbc， bc8； 由组成方程组，解得 b4，c2 或 b2，c4； （2）当 sinBksinC（k0） ，bkc， a2b2+c22bccosA（kc）2+c22kcc（k2k+1）c2； 当 B 为钝角时，a2+c2b2， 即（k2k+1）+1k2，解得 k4； 当 C 为钝角时，a2+b2c2， 即（k2k+1）+k21，解得 0k； 所以ABC 为钝角三角形，k 的取值范围是 0k或 k4
37、 【点评】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理 的应用问题，是综合性题目 18 （12 分）已知数列an的各项均为正数，它的前 n 项和 Sn满足， 并且 a2，a4，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（1）n+1anan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，求 T2n 【分析】 （1）根据可类比的得到， 然后两式相减得到（an+an1） （anan13）0，再由an的各项均为正数，可得到 an an13，再由等差数列的通项公式法可得到答案 （2） 先根据 bn （1） n+1anan+1， 可得到 T2nb1+b2+b2na1a2a2a
38、3+a3a4a4a5+ a2na2n+1，再由等差数列的前 n 项和公式可得到答案 【解答】解： （1）对任意 nN*，有当 n2 时， 有 第 19 页（共 26 页） 当并整理得（an+an1） （anan13）0， 而an的各项均为正数，所以 anan13 当 n1 时，有，解得 a11 或 2， 当 a11 时，an1+3（n1）3n2，此时 a42a2a9成立； 当 a12 时，an2+3（n1）3n1，此时 a42a2a9不成立；舍去 所以 an3n2，nN*， （2）T2nb1+b2+b2n a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1 a2（a1a3）+a4（a3a5）
39、+a2n（a2n1a2n+1） 6a26a46a2n6（a2+a4+a2n） 【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用和等差数列的求和公式的应用考查综合 运用能力 19 （12 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，PA 垂直于圆 O 所在的平面，G 为AOC 的重心 （1）求证：平面 OPG平面 PAC； （2）若 PAAB2AC2，求二面角 AOPG 的余弦值 【分析】 （1） 延长 OG 交 AC 于点 M 可得 OMBC 由 AB 是圆 O 的直径， 得 OMAC 由 PA平面 ABC，可得 OM平面 PAC即 OG平面 PAC，证得平面 OPG平面 PAC （2）以点 C
40、 为原点，方向分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系 Cxyz，则C（0，0，0）， 利用向量法求解 【解答】解： （1）证明：如图，延长 OG 交 AC 于点 M 第 20 页（共 26 页） 因为 G 为AOC 的重心，所以 M 为 AC 的中点 因为 O 为 AB 的中点，所以 OMBC 因为 AB 是圆 O 的直径，所以 BCAC，所以 OMAC 因为 PA平面 ABC，OM平面 ABC，所以 PAOM 又 PA平面 PAC，AC平面 PAC，PAACA，所以 OM平面 PAC 即 OG平面 PAC，又 OG平面 OPG， 所以平面 OPG平面 PAC （2）解：以点 C 为原
41、点，方向分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐 标系 Cxyz， 则C（0，0，0）， ， 则 平面 OPG 即为平面 OPM，设平面 OPM 的一个法向量， 则 令 z1，得 过点 C 作 CHAB 于点 H，由 PA平面 ABC， 易得 CHPA，又 PAABA，所以 CH平面 PAB，即 CH 为平面 PAO 的一个法向量 在 RtABC 中，由 AB2AC，得ABC30，则 所以， 所以 设二面角 AOPG 的大小为 ， 第 21 页（共 26 页） 则 即二面角 AOPG 的余弦值为 【点评】本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求二面角，考查了转化思想、计算能 力，属于中档题 2
42、0 （12 分）近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重 大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为 了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管 理时间的关系如表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 y （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 r 的大小，并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关？
43、 （2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中 任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 x，求 x 的分布列及数学期望 第 22 页（共 26 页） 参考公式： ，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：25.2 【分析】 （1）分别求出 3， 16，从而10，254， 47，求出 0.933，从而得到管理时间 y 与土地使用
44、面积 x 线性相关 （2）完善列联表，求出 K218.7510.828，从而有 99.9%的把握认为村民的性别与参与 管理的意愿具有相关性 （3）x 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的 男性村民的概率为，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）依题意 3， 16， 故4+1+1+410，64+36+9+81+64254， （2）（8）+（1）（6）+19+2847， 则0.933， 故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 第 23 页（共 26 页） 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 15
45、0 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得 K2的观测值为： 18.7510.828， 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性 （3）依题意，x 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名， 则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故 P（X0）（）3，P（X1）， P（X2），P（X3）， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 则数学期望为： E（X）+3 【点评】本题考查相关系数的求法，考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布 列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）
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