1、若集合 A2，1，0，1，2，Bx|x21，则 AB（ ） Ax|x1 或 x1 B2，2 C2 D0 2 （5 分）已知复数 z 满足 3z1i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为（ ） A2 B C5 D 3 （5 分）如图， 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈10 尺） ，现被风折断， 尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺 A5.45 B4.55 C4.2 D5.8 4 （5 分）函数的零点所在区间为（ ） A （1，0） B C D （1，2） 5 （5 分）三个数
2、 70.8，0.87，log0.87 的大小顺序是（ ） Alog0.870.8770.8 Blog0.8770.80.87 C0.8770.8log0.87 D70.80.87log0.87 6 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）设是非零向量，则 2 是成立的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 第 2 页（共 23 页） C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 8 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的体积是，底面 ABCD 是正方形，PAB 是等边三
3、 角形，平面 PAB平面 ABCD，则四棱锥 PABCD 外接球体积为（ ） A B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边经过点 P（1，m） （m0） ， 则下列各式一定为正的是（ ） Asin+cos Bcossin Csincos D 10 （5
4、 分）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排 名其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ） A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足条件 f（x+2）f（x） ，且函数 yf（x 1）为奇函数，则（ ） A函数 yf（x）是周期函数 B
5、函数 yf（x）的图象关于点（1，0）对称 C函数 yf（x）为 R 上的偶函数 第 3 页（共 23 页） D函数 yf（x）为 R 上的单调函数 12 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点， 则（ ） A以线段 AB 为直径的圆与直线 y 轴相离 B以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切 C当 D|AB|的最小值为 4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 tan3，则的值为 14 （5 分）在的展开式中常数项是 ；中间项是 15 （5 分）已知椭
6、圆 M：+1（ab0） ，双曲线 N：1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭 圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 16 （5 分）已知函数，当 x0，10时，把函数 F（x）f（x）6 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，记数列xn的前 n 项 和为 Sn，则 2Sn（x1+xn） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC 面积 SABC2，ADC这两个条件中
7、任选一个，补充在下 面问题中， 求AC 如图， 在平面四边形ABCD中， ABC， BACDAC， ， CD2AB4，求 AC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知数an，bn满足：an+1+12an+n，bnann，b12 第 4 页（共 23 页） （1）证明数列bn是等比数列，并求数列bn的通项 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 19 （12 分）如图，扇形 ADB 的半径为 2，圆心角AOB120PO平面， 点 C 为弧 AB 上一点，点 M 在线段 PB 上，BM2MP，且 PA平面 MOC，AB 与 OC 相 交于点 N （1）求证：平面 MO
8、C平面 POB； （2）求平面 POA 与平面 MOC 所成二面角的正弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的焦距为 2， 且过点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的上顶点为 B，右焦点为 F，直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，问是否存在 直线 l，使得 F 为BMN 的垂心，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 21 （12 分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产 x（5x15）万件的该 种产品所需要的总成本 C（x）+16x+30（万元） ，依据产品尺寸，产品的品 质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量
9、尺寸，尺寸分别在25.26， 25.30） ，25.30，25.34） ，25.34，25.38） ，25.38，25.42） ，25.42，25.46） ，25.46，25.50） ， 25.50，25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示 第 5 页（共 23 页） 产品的品质情况和相应的价格 m（元/件）与年产量 x 之间的函数关系如表所示 产品品质 产品尺寸的范围 价格 m 与产量 x 的函数关系 式 优 25.34，25.46） mx+34 中 25.26，25.34） mx+25 差 25.46，25.54 mx+20 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数
10、 a 的值； （2）当产量 x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量 ，求随机变量 的分布列； （3）估计当年产量 x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值 22 （12 分）已知函数 （1） 若函数有唯一的极小值点， 求实数 a 的取值范围； （2）求证：f（x）+1g（x1） 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四
11、个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 A2，1，0，1，2，Bx|x21，则 AB（ ） Ax|x1 或 x1 B2，2 C2 D0 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 B 中不等式解得：x1 或 x1，即 Bx|x1 或 x1， A2，1，0，1，2， AB2，2， 故选：B 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）已知复数 z 满足 3z1i（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为（ ） A2 B C5 D 【分析】由已知求得 z，再由复数模的计算公式求
12、解 【解答】解：3z1i，z31+i2+i， 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）如图， 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈10 尺） ，现被风折断， 尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺 第 7 页（共 23 页） A5.45 B4.55 C4.2 D5.8 【分析】由题意可得 AC+AB10（尺） ，BC3（尺） ，运用勾股定理和解方程可得 AB， AC，即可得到所求值 【解答】解：如图，已知 AC+AB10（尺） ，
13、BC3（尺） ，AB2AC2BC29， 所以（AB+AC） （ABAC）9，解得 ABAC0.9， 因此，解得， 故折断后的竹干高为 4.55 尺， 故选：B 【点评】本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 4 （5 分）函数的零点所在区间为（ ） A （1，0） B C D （1，2） 【分析】直接利用零点判定定理求出函数值，判断即可 【解答】解：函数是增函数并且是连续函数， 可得 f（）0，f（1）10 f（）f（1）0， 所以函数的零点在（，1） 故选：C 【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基础题 5 （5 分）三个数 70.8，0.87，log0.
14、87 的大小顺序是（ ） Alog0.870.8770.8 Blog0.8770.80.87 C0.8770.8log0.87 D70.80.87log0.87 【分析】可以得出 70.81，00.871，log0.870，从而可找出正确选项 第 8 页（共 23 页） 【解答】解：70.8701，00.871，log0.87log0.810， 故选：A 【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计 算能力，属于基础题 6 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（
15、） A B C D 【分析】由相互独立可求解恰有一个一等品的概率 【解答】解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立， 所以两个零件中恰有一个一等品，另一个不为一等品 P（1）+（1）， 故选：B 【点评】本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题 7 （5 分）设是非零向量，则 2 是成立的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由已知 2 ，得共线同向，则；反之，由， 可得共线同向，不一定有 2 ，结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解：对于非零向量，由 2 ，得共线同向，则； 反之，由，可得共线同向，但不一定是 2 2 是成立的充分不必要
16、条件 故选：B 第 9 页（共 23 页） 【点评】本题考查共线向量基本定理，考查充分必要条件的判定方法，是基础题 8 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的体积是，底面 ABCD 是正方形，PAB 是等边三 角形，平面 PAB平面 ABCD，则四棱锥 PABCD 外接球体积为（ ） A B C D 【分析】首先求出锥体的下底面边长，进一步求出外接球的半径，最后求出球的体积 【解答】解：四棱锥 PABCD 的体积是，底面 ABCD 是正方形， 如图所示： 则：设正方形 ABCD 的边长为 2x，在等边三角形 PAB 中，过 P 点作 PEAB， 由于平面 PAB平面 ABCD， 所以 PE平面
17、ABCD 由于PAB 是等边三角形，解得 PE 所以， 解得 x3 设外接球的半径为 R， 所以 所以 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：锥体的体积公式的应用，球的半径的求法和应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力即空间想象能力，属于中档题型 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）在平面直角坐标系 x
18、Oy 中，角 以 Ox 为始边，终边经过点 P（1，m） （m0） ， 则下列各式一定为正的是（ ） 第 10 页（共 23 页） Asin+cos Bcossin Csincos D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及三角函数在各个象限中的符号，得 出结论 【解答】解：角 以 Ox 为始边，终边经过点 P（1，m） （m0） ， 是第四象限角， sin0，cos0， cos+sin 不一定是正数，故排除 A； cossin0，故 B 正确； cossin0，故 C 一定错误； cos0，故 D 正确， 故选：BD 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及三角函数在各个象限
19、中的符号， 属于基础题 10 （5 分）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排 名其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ） A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【分析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前甲 同学的阅读表达成绩排名靠后 第 11 页（共 2
20、3 页） 【解答】解：根据图示，对于 A，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲 同学更靠前，故 A 正确； 对于 B，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表 达排名比逻辑排名成绩更靠前，故 B 错误 对于 C，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前故 C 正确 对于 D，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名 比他的逻辑思维成绩排名更靠后，故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了逻辑推理、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足
21、条件 f（x+2）f（x） ，且函数 yf（x 1）为奇函数，则（ ） A函数 yf（x）是周期函数 B函数 yf（x）的图象关于点（1，0）对称 C函数 yf（x）为 R 上的偶函数 D函数 yf（x）为 R 上的单调函数 【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，函数 yf（x）满足 f（x+2）f（x） ，则 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函 数 f（x）是周期为 4 的周期函数，A 正确； 对于 B，yf（x1）是奇函数，则 f（x1）的图象关于原点对称，又由函数 f（x）的 图象是由 yf（x1）向左平移 1 个单位长度得
22、到，故函数 f（x）的图象关于点（1， 0）对称，B 正确； 对于 C，由 B 可得：对于任意的 xR，都有 f（1x）f（1+x） ，即 f（1x） +f（1+x）0，变形可得 f（2x）+f（x）0，则有 f（2x）f（x）f（x+2） 对于任意的 xR 都成立，令 t2+x，则 f（t）f（t） ，即函数 f（x）是偶函数，C 正 确； 对于 D，f（x）为偶函数，则其图象关于 y 轴对称，f（x）在 R 上不是单调函数，D 错误； 故选：ABC 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题考查函数的对称性，涉及函数的周期性与奇偶性的判断，属于基础题 12 （5 分）过抛物线 y24x 的
23、焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点， 则（ ） A以线段 AB 为直径的圆与直线 y 轴相离 B以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切 C当 D|AB|的最小值为 4 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设 A，B，M 在准线上的射影为 A，B，M，由 抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断 A； 当直线 AB 的斜率不存在时，显然成立；当直线 AB 的斜率存在时，设为 1，求得 A，B， M 的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断 B； 以 F 为极点， x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为 ， 设 A （1， ） ， B（2，+） ，求得
24、|AF|，|FB|，可判断 C； 考虑直线 AB 垂直于 x 轴，取得最小值，可判断 D 【解答】解：y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 设 A，B，M 在准线上的射影为 A，B，M， 由|AF|AA|，|BF|BB|，|MM|（|AA|+|BB|）（|AF|+|FB|）|AB|， 可得线段 AB 为直径的圆与准线相切，与直线 y 轴相交，故 A 错； 当直线 AB 的斜率不存在时，显然以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切； 当直线 AB 的斜率存在且不为 0， 可设直线 AB 的方程为 ykxk， 联立 y24x， 可得 k2x2 （2k2+4）x+k20， 设 A（x1
25、，y1） ，B（x2，y2） ， 可得 x1+x22+，x1x21，设 x13+2，x232， 可得 M 的横坐标为 1+，MB 的中点的横坐标为（1+x2） ，|BM|x21 |， 当 k1 时，MB 的中点的横坐标为，|MB|2，显然以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相交，故 B 错； 第 13 页（共 23 页） 以 F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为 ， 设 A（1，） ，B（2，+） ，可得 1，2， 可得+1，又|AF|2|FB|，可得|AF|3，|FB|， 则|AB|AF|+|FB|，故 C 正确； 显然当直线 AB 垂直于 x 轴，可得|AB|取得最小值 4
26、，故 D 正确 故选：CD 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意运 用联立直线方程和抛物线方程，以及抛物线的极坐标方程，直线和圆的位置关系的判断， 考查方程思想和运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 tan3，则的值为 【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可化简求值得解 【解答】解：tan3， 故答案为： 【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系在三角函数化简求值中的应用，考 查了转化思想，属于基础题 14 （5 分）在的展开式中常数项是 T56
27、0 ；中间项是 T4160x3 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项， 令 x 的指数为 0， 得展开式的常数项； 第 14 页（共 23 页） 令 r3 得展开式的中间项 【解答】解：的展开式的通项（1）r26 rC6rx123r 令 123r0 得 r4 展开式的常数项为 T54C6460 令 r3 得展开式的中间项为 T48C63x3160x3 故答案为 60，160x3 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 15 （5 分）已知椭圆 M：+1（ab0） ，双曲线 N：1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦
28、点恰为一个正六边形的顶点， 则椭 圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 2 【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率； 利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可 【解答】解：椭圆 M：+1（ab0） ，双曲线 N：1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0） ，正六边形的一个顶点（，） ，可得：， 可得，可得 e48e2+40，e（0，1） ， 解得 e 同时，双曲线的渐近线的斜率为，即， 可得：，即， 可得双曲线的离心率为 e2 故答案为：；2 【点评】本题考查椭圆以及双
29、曲线的简单性质的应用，考查计算能力 第 15 页（共 23 页） 16 （5 分）已知函数，当 x0，10时，把函数 F（x）f（x）6 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3xn，记数列xn的前 n 项 和为 Sn，则 2Sn（x1+xn） 【分析】求出函数 ysin（2x）的对称轴，由对称性得出每隔两相邻零点的和，由 等差数列的求和公式进而得到所求值 【解答】解：F（x）f（x）6 的零点即 f（x）6，即 sin（2x）， 由 2x2k+，kZ，解得 x（2k+） ，k0，1，9，即为 ysin（2x ）的图象的对称轴方程， 则 x1+x2，x3+x4，x19+x2
30、0， 可得 Sn （+） 10， x1+xn （+arcsin+18+arcsin+） ， 则 2Sn（x1+xn）， 故答案为： 【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，考查等差数列的求和公 式的运用，化简运算能力，属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC 面积 SABC2，ADC这两个条件中任选一个，补充在下 面问题中， 求 AC 如图， 在平面四边形 ABCD 中， ABC， BACDAC， ABC 面积 SABC2 ，CD2A
31、B4，求 AC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】条件，利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果 第 16 页（共 23 页） 条件，设BACCAD，在ABC 和ACD 中利用正弦定理求出 AC，可得到 2sincos，进而可得 AC 【解答】解：选择ABC 面积 SABC2，CD2AB4，ABC， 所以 AB2 故，解得 BC2 则：， 解得：AC2 故答案为：ABC 面积 SABC2AC2 选择 设BACCAD，则 0，BCA， 在 ABC 中， 即， 所 以 AC 在ACD 中，即，所以 AC 所以，解得 2sincos， 又 0，所以 sin，所以 AC 【点
32、评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）已知数an，bn满足：an+1+12an+n，bnann，b12 （1）证明数列bn是等比数列，并求数列bn的通项 （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由已知数列 bnann，b12 求得 a1，由 an+1+12an+n，得 an+1+n+12 （an+n） ，可得，即，得到数列bn是首项为 2，公比为 2 的等 第 17 页（共 23 页） 比数列，则数列bn的通项可求； （2）由 bnann，得，然后利用数列的分组求和得答案 【解
33、答】解： （1）bnann，b12，a11， an+1+12an+n，an+1+n+12（an+n） ， ，即 数列bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则； （2）由 bnann，得， Snb1+b2+bn （21+22+23+2n）（1+2+3+n） 【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等差数列与等比数列的 前 n 项和及数列的分组求和，是中档题 19 （12 分）如图，扇形 ADB 的半径为 2，圆心角AOB120PO平面， 点 C 为弧 AB 上一点，点 M 在线段 PB 上，BM2MP，且 PA平面 MOC，AB 与 OC 相 交于点 N （1）求证：平面 M
34、OC平面 POB； （2）求平面 POA 与平面 MOC 所成二面角的正弦值 【分析】 （1）利用余弦定理可求得 AB，BN，ON 的长度，进而得到 OBON，又 PO ON，由此得到 ON平面 POB，再利用面面垂直的判定得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式得解 【解答】解： （1）证明：PA平面 MOC，PA 在平面 PAB 内，平面 PAB平面 MOC 第 18 页（共 23 页） MN， PAMN， BM2MP， BN2AN， 在 AOB中 ， 由 余 弦 定 理 有 ， ， ， 又在OBN 中，OBN30，由余弦定理有， ， OB2+ON2BN2，故
35、OBON， 又 PO平面 ABC，ON 在平面 ABC 内， POON， 又 POOBO，且 PO，OB 都在平面 POB 内， ON平面 POB， 又 ON 在平面 MOC 内， 平面 MOC平面 POB； （2）以点 O 为坐标原点，OC，OB，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 ， 则， ， 设 平 面 POA 的 一 个 法 向 量 为， 则， 可 取 ； 第 19 页（共 23 页） 设平面 MOC 的一个法向量为，则，可取 ， ， 平面 POA 与平面 MOC 所成二面角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角的
36、余弦值，同时也涉及了余 弦定理的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的焦距为 2， 且过点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的上顶点为 B，右焦点为 F，直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，问是否存在 直线 l，使得 F 为BMN 的垂心，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由题意知焦距和过的点的坐标及 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）可得 B，F 的坐标假设存在这样的直线满足体积设直线方程，求出两根之和 及两根之积，由垂心可得垂直关系，即数量积为 0 求出直线 l 的方程
37、 【解答】解： （1）由题意知：2c2，1，a2b2+c2，解得：a22，b21， 第 20 页（共 23 页） 所以椭圆的方程为：+y21； （2）假设存在这样的直线 l，使得 F 为BMN 的垂心，由（1）得 B（0，1） ，F（1，0） ， kBF1， 由题意可得 lBF，NFBM，设直线 l 的方程为：yx+m，M（x，y） ，N（x，y） ， 联立直线与椭圆的方程整理得：3x2+4mx+2m220，16m243（2m22） 0，可得 m23，即， 且 x+x，xx，yyxx+m（x+x）+m2 （x1，y） （x，y1）xxx+yyyxx+yyx（x+m）2xx+（m 1） （x+x
38、）+m2m2（m1）+m2m， 因为 NFBM，所以0， 所以 3m2+m40，解得：m1 或 m， 当 m1 过了 B 点，所以舍去 所以存在直线 l：yx符合 F 为BMN 的垂心 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 21 （12 分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产 x（5x15）万件的该 种产品所需要的总成本 C（x）+16x+30（万元） ，依据产品尺寸，产品的品 质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在25.26， 25.30） ，25.30，25.34） ，25.34，25.38） ，25.38，25.42） ，25.
39、42，25.46） ，25.46，25.50） ， 25.50，25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示 第 21 页（共 23 页） 产品的品质情况和相应的价格 m（元/件）与年产量 x 之间的函数关系如表所示 产品品质 产品尺寸的范围 价格 m 与产量 x 的函数关系 式 优 25.34，25.46） mx+34 中 25.26，25.34） mx+25 差 25.46，25.54 mx+20 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数 a 的值； （2）当产量 x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量 ，求随机变量 的分布列； （3）估计当年产量 x 为何值时，该
40、公司年利润最大，并求出最大值 【分析】 （1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为 1；即可求出 a； （2）分析出产品的品质为优、中、差时对应的频率即可列出其分布列； （3）求出年利润的函数关系式再利用导数求出其最大值即可 【解答】解： （1）由题意得：0.04（2+3+4+a+2.5+4.5+3）1；解得 a6； （2）当产品品质为优时频率为：0.04（4+6+2.5）0.5，此时价格为x+34； 当产品品质为中时频率为：0.04（2+3）0.2，此时价格为x+25； 当产品品质为差时频率为：0.04（4.5+3）0.3，此时价格为x+20； 以频率作为概率，随机变量 的分布列： 第 2
41、2 页（共 23 页） x+34 x+25 x+20 p 0.5 0.2 0.3 ； （3）设公司年利润为 f（x） ； 则 f （x） x （x+34） 0.5+ （x+25） 0.2+ （x+20） 0.3 （+16x+30） ， 整理得 f（x）+x2+12x30； f（x）x2+3x+12（x+3） （x12） ； x5，12时，f（x）0；x12，15时，f（x）0； 显然当 x12 时函数 f（x）取最大值 f（12）138； 估计当年产量 x 为 12 时，该公司年利润最大，最大值为 138 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列，考查运算求 解能力和应
42、用意识，是中档题 22 （12 分）已知函数 （1） 若函数有唯一的极小值点， 求实数 a 的取值范围； （2）求证：f（x）+1g（x1） 【分析】 （1）对函数求导，分类讨论根据函数有唯一极小值点的条件，可求出实数 a 的 范围， （2）对所要证明的式子进行变形，构造函数 F（x），结合导数与单调性 的关系可证 【解答】解： （1）， 则 h（x）ax+1，x0， 令 g（x）（ax+a+1） （x1） ， 当 a0 时，g（x）x1，易得函数 h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+） 上单调递增，此时存在唯一的极小值点，满足题意， 当 a0 时，令 g（x）0 可得 x1，x10（舍
43、） ， 易得当 0x1 时，g（x）0，即 h（x）0，则函数 h（x）在（0，1）上单调递减， 第 23 页（共 23 页） 当 a0 时，令 g（x）0 可得 x21，x11， （i）若10，则不合题意，故10，且 x1x2，即1a0 且 a， 设 mmaxx1，x2，nminx1，x2， 当 x（0，n）时，g（x）0，即 h（x）0，h（x）在（n，m）上单调递减， 当 x（n，m）时，g（x）0，即 h（x）0，h（x）在（n，m）上单调递增， 当 x（m，+）时，g（x）0，即 h（x）0，h（x）在（n，m）上单调递减， 此时存在唯一的极小值点，满足题意， 综上可得，a1 且 a， （2）令 F（x），则 F（x）（x+1） （） ， 令 H（x），易得 H（x）上单调递增且 H（1）0， 当 x（0，1）时，H（x）0，从而 F（x）0，F （x）单调递减， 当 x（1，+）时，H（x）0，从而 F（x）0，F （x）单调递增， 故 F（x）F（1）0， 即0， 所以， 所以，f（x）+1g（x1） 【点评】本题主要考查了函数极值存在求解参数范围的问题，还考查了利用不等式证明 不等式恒成立问题，考查了逻辑推理与运算的能力
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