1、已知向量 ， 满足，则 与 的夹角 为（ ） A B C D 5 （3 分） 已知 2a32b 1， ，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 6 （3 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一 个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、 兔、 狗和羊， 丙同学哪个吉祥物都喜欢， 则让三位同学选取的礼物都满意的概率是 （ ） A B C D 7 （3 分）双曲线（a0，b0）的右焦点为，点 A 的坐标为（0，
2、 1） ，点 P 为双曲线左支上的动点，且APF1周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为 （ ） A B C2 D 8（3 分） 对于数列an， 规定an为数列an的一阶差分数列， 其中anan+1an（nN*） ， 对自然数 k（k2） ，规定kan为数列an的 k 阶差分数列，其中kank 1a n+1 k1an若 a11，且2anan+1+an2n（nN*） ，则数列an的通项公式为（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 （3 分）已知点 A 是直线上一定点，点 P、Q 是圆 x2+y21 上的动点，若 PAQ 的最大值为 90，则点 A
3、 的坐标可以是（ ） A B C D 10 （3 分） 已知 f （x） 为定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， 有 f （x+1） f （x） ， 且当 x0， 1）时，f（x）log2（x+1） ，下列命题错误的是（ ） Af（2019）+f（2020）0 B函数 f（x）在定义域上是周期为 2 的函数 C直线 yx 与函数 f（x）的图象有 2 个交点 D函数 f（x）的值域为1，1 11 （3 分）针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢 抖音的人数占女生人数，若有 95%的
4、把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中 男生可能有（ ）人 附表： P（K2k0） 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附： A25 B45 C60 D75 12 （3 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线的斜率为且经过点 F，直 线 l 与抛物线 C 交于点 A、B 两点（点 A 在第一象限） ，与抛物线的准线交于点 D，若|AF| 8，则以下结论正确的是（ ） Ap4 B C|BD|2|BF| D|BF|4 三、填空题：三、填空题： 13 （3 分）随机变量 X 的取值为 0、1、2，P（X0）0.2，DX0.4，则 EX 第 3 页（共 24 页）
5、 14 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+）的最大值为， 其相邻两个零点之间的距离为，且 f（x）的图象关于直线对称，则当 时，函数 f（x）的最小值为 15 （3 分）的展开式中，常数项为 ；系数最大的项是 16 （3 分）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就， 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 PA平面 ABCE，四边形 ABCD 为正方形，若鳖臑 PADE 的外接球的体积为 ，则阳马 PABCD 的外接球的表面积等于 四、解四、解答题：答题： 1
6、7已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an0，4Snan2+2an （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中 的三个：；cos2A+2cos21；a；b2 （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC 的面积 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 19如图（1） ，边长为 2 的正方形 ABEF 中，D，C 分别为 EF、AF 上的点，且 EDCF， 现沿 DC 把CDF 剪切、拼接成如图（2）的图形
7、，再将BEC，CDF，ABD 沿 BC， CD，BD 折起，使 E、F、A 三点重合于点 A，如图（3） 第 4 页（共 24 页） （1）求证：BACD； （2）求二面角 BCDA最小时的余弦值 20顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面 积为的菱形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 相切于点 A，过点 O 作 OMl，垂足为 M，求AMO 面积的最 大值 21已知函数 f（x）lnx+ax2（a+2）x+2（a 为常数） （1）若 f（x）在（1，f（1） ）处的切线与直线 x+3y0 垂直，求 a 的值； （2）若 a0，讨论函数 f（x）的单调性；
8、（3）若 a 为正整数，函数 f（x）恰好有两个零点，求 a 的值 22某公司为了了解年研发资金投人量 x（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）的影 响对公司近 12 年的年研发资金投入量 xi和年销售额 yi的数据，进行了对比分析，建立 了两个函数模型：y+x2，yex+t，其中 、t 均为常数，e 为自然对数的 底数并得到一些统计量的值令，vilnyi（i1，2，12） ，经计算得如下 数据： 第 5 页（共 24 页） 20 66 77 2 460 4.20 31250 215 3.08 14 （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2） （）根据（1）的选择及表中
9、数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元？ 附：相关系数， 回归直线中公式分别为：，； 参考数据：308477，e4.499890 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：一、单项选择题： 1 （3 分）已知全集 UR，Ax|x29，Bx|2x4，则 A（RB）等于（ ） Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 【分析】先求 A 和 B 的补集，再求结论
10、【解答】解：因为：全集 UR，Ax|x29，Bx|2x4， Ax|3x3；RBx|x4 或 x2 则 A（RB）x|3x2| 故选：D 【点评】不呢提考查集合之间的基本运算以及不等式的解法，属于基础题目 2 （3 分）已知复数 z 满足（其中 i 为虚数单位） ，则（ ） A B C D 【分析】由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解 【解答】解：，|z|2， 则 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是 基础题 3 （3 分） “x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是（ ） Aa1 B Ca2 Da0 【分析】由x1，2，ax2+10，
11、得 ax21，从而 a0，进而 ax24a，a，由此得 到 a，由此能求出“x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件 【解答】解：x1，2，ax2+10，ax21，a0， x1，2，ax24a，a， a， 第 7 页（共 24 页） “x1，2，ax2+10”“a“， “a”“x1，2，ax2+10” “x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是 a 故选：B 【点评】本题考查充分条件条件的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 4 （3 分）已知向量 ， 满足，则 与 的夹角 为（ ） A B C D 【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可 【解
12、答】解：由， 则3+2 134+212cos13， 解得 cos， 又 0， 所以 ， 即 与 的夹角为 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题 5 （3 分） 已知 2a32b 1， ，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 【分析】先由 2a32b 1 得到：2a2b2a b 120ab0ab；再结合 log（x+1） 2+2log 21cb0cb；即可求出结 论 第 8 页（共 24 页） 【解答】解：因为 2a32b 1；所以：2a 2b2a b 120ab0ab； log（x+1）2+2log21cb0cb； 则实
13、数 a，b，c 的大小关系是：abc 故选：A 【点评】本题主要是考查不等式大小的比较，涉及到指数以及对数的运算，属于基础题 6 （3 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一 个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、 兔、 狗和羊， 丙同学哪个吉祥物都喜欢， 则让三位同学选取的礼物都满意的概率是 （ ） A B C D 【分析】根据题意，按同学甲的选择分 3 种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加 法原理计算可得符合条件的个数，再求出总数即可
14、求出结论 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： 如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中 任意选，此时的选法有30 种； 如果同学甲选羊，那么同学乙只能选兔、狗和牛中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中 任意选，此时的选法有30 种； 如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种 中任意选，此时的选法有40 种 则不同的选法共有 30+30+40100 种， 而总数有：121110 种 故让三位同学选取的礼物都满意的概率是：P 故选：C 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于中档题
15、7 （3 分）双曲线（a0，b0）的右焦点为，点 A 的坐标为（0， 第 9 页（共 24 页） 1） ，点 P 为双曲线左支上的动点，且APF1周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为 （ ） A B C2 D 【分析】由题意可得|AF1|3，可得|PA|+|PF1|的最小值为 4，设 F2为双曲线的右焦点，由 双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a 的最小值为 4，当 A，P，F2三点共线时，取得最小值， 可得 a1，由离心率公式可得所求值 【解答】解：由右焦点为，点 A 的坐标为（0，1） ，|AF1|3，三 角形 APF1的周长的最小值为 8， 可得|PA|+|PF1|的最小值为 5
16、， 又 F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|PF2|+2a， 当 A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF1|取得最小值，且为|AF2|3， 即有 3+2a5，即 a1，c2， 可得 e2 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取 得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 8（3 分） 对于数列an， 规定an为数列an的一阶差分数列， 其中anan+1an（nN*） ， 对自然数 k（k2） ，规定kan为数列an的 k 阶差分数列，其中kank 1a n+1 k1an若 a11，且2anan+1+an2n（nN*） ，则数列an的通项
17、公式为（ ） A B C D 【 分 析 】 根 据 题 中 定 义 结 合 等 式， 可 得 第 10 页（共 24 页） ，等式两边同时除以 2n+1，得出，从而得到数列是 以为首项，以为公差的等差数列，然后求出数列的通项公式，即可得出 an 【解答】解：根据题中定义，可得 ， 即，即， 等式两边同时除以 2n+1，得， 且， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， ， 故选：B 【点评】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定 义，考查运算求解能力，属于中等题 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 （3 分）已知点 A 是直线上一定点，点 P、Q 是圆 x2+y
18、21 上的动点，若 PAQ 的最大值为 90，则点 A 的坐标可以是（ ） A B C D 【分析】利用直线与圆的方程画出图图形，利用排除法判断 A 的位置即可得到选项 【解答】解：设点 A 坐标为（t，t） ，当 AP、AQ 均为圆切线时，PAQ90， 此时四边形 PAQO 为正方形，则|OA|，即 t2+（t）22， 解得 t0，t， 故 A（0，） ，B（，0） ， 故选：AC 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用 第 11 页（共 24 页） 10 （3 分） 已知 f （x） 为定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， 有 f （x+1） f （x
19、） ， 且当 x0， 1）时，f（x）log2（x+1） ，下列命题错误的是（ ） Af（2019）+f（2020）0 B函数 f（x）在定义域上是周期为 2 的函数 C直线 yx 与函数 f（x）的图象有 2 个交点 D函数 f（x）的值域为1，1 【分析】根据题意，分析函数的图象，据此分析选项，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时，有 f（x+1）f（x） ，且当 x0，1）时，f（x） log2（x+1） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x）的大致图象如图： 据此依次分析选项： 对于 A，当 x0 时，有 f（x+1）f（x） ，则 f（x+2）f（x+1）f（x） ，
20、即有 f（x+2） f（x） ， 又由当 x0，1）时，f（x）log2（x+1） ，则 f（0）log210， 同时 f（1）f（0）0， 又由 f（2019）f（1）0，f（2020）f（0）0， 又由 f（x）为奇函数，则 f（2020）f（2020）0， 故 f（2019）+f（2020）0；A 正确； 对于 B，函数 f（x）在定义域上不是周期为 2 的函数，B 错误； 对于 C，直线 yx 与函数 f（x）的图象有 1 个交点，即（0，0） ； C 错误； 对于 D，函数 f（x）的值域为（1，1） ，D 错误； 故选：BCD 【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，涉及函数的
21、解析式，属于基础题 11 （3 分）针对时下的“抖音热” ，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢 抖音的人数占女生人数，若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中 男生可能有（ ）人 附表： P（K2k0） 0.050 0.010 第 12 页（共 24 页） k 3.841 6.635 附： A25 B45 C60 D75 【分析】设男生可能有 x 人，依题意填写列联表，由 K23.841 求出 x 的取值范围，从而 得出正确的选项 【解答】解：设男生可能有 x 人，依题意可得列联表如下；
22、喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 x x x 女生 x x x 总计 x x 2x 若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 K23.841， 由 K23.841，解得 x40.335， 由题意知 x0，且 x 是 5 的整数倍，所以 45，60，和 75 都满足题意 故选：BCD 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础 题 12 （3 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线的斜率为且经过点 F，直 线 l 与抛物线 C 交于点 A、B 两点（点 A 在第一象限） ，与抛物线的准线交于点 D，若|AF| 8，则以下结论正确的是（
23、） Ap4 B C|BD|2|BF| D|BF|4 【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得 A 的坐标，再由焦 半径公式求 p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案 【解答】解：如图，F（，0） ，直线 l 的斜率为，则直线方程为 y（x） ， 联立，得 12x220px+3p20 第 13 页（共 24 页） 解得：，P， 由|AF|+2p8，得 p4 抛物线方程为 y28x xBp，则|BF|+2； |BD|，|BD|2|BF|， |BD|+|BF|+8，则 F 为 AD 中点 运算结论正确的是 A，B，C 故选：ABC 【点评】本题考查抛物线的简
24、单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方 法，是中档题 三、填空题：三、填空题： 13 （3 分）随机变量 X 的取值为 0、1、2，P（X0）0.2，DX0.4，则 EX 1 【分析】设 P（X1）a，则 P（X2）0.8a，0a0.8，则 EX00.2+a+2（0.8 a）1.6a，从而 DX（a1.6）20.2+（a0.6）2a+（a+0.4）2（0.8a）0.4， 解得 a0.6，由此能求出 EX 【解答】解：随机变量 X 的取值为 0、1、2，P（X0）0.2，DX0.4， 设 P（X1）a，则 P（X2）0.8a，0a0.8， 则 EX00.2+a+2（0.8a）1.6a
25、， DX（a1.6）20.2+（a0.6）2a+（a+0.4）2（0.8a）0.4， 整理，得：a20.2a0.240， 第 14 页（共 24 页） 解得 a0.6 或 a0.4（舍） ， EX1.6a1.60.61 故答案为：1 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查随机变量的分布列、数学期 望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+）的最大值为， 其相邻两个零点之间的距离为，且 f（x）的图象关于直线对称，则当 时，函数 f（x）的最小值为 【分析】根据由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式求出函数 f（x）
26、的解析式， 进而根据正弦函数的图象和性质可求函数的最小值 【解答】解：函数 f（x）Asin（x+）中，A， T，2， f（x）sin（2x+） ， 又 f（x）的图象关于直线对称， 2（）+k+，kZ，解得 k+，kZ， |， ； f（x）sin（2x+） ； ，2x+，可得 sin（2x+），1， f（x）min 故答案为： 【点评】本题考查了由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图 象和性质的应用问题，是中档题 15 （3 分）的展开式中，常数项为 60 ；系数最大的项是 240x6 【分析】在二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可
27、求得展 第 15 页（共 24 页） 开式中的常数项的值再根据二项式展开式的通项公式，求得系数最大的项 【解答】解：展开式的通项公式为 Tr+1（2x2）6 r （ ）r26 r x12 3r，令 123r0，则 r4， T52260，故展开式的常数项为：60 （2）若设第 r+1 项的系数最大，则有： 解得：2r，rZ，r2，T326 2 x12 32240x6； 系数最大项：240x6 故答案为：60，240x6 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于中档题 16 （3 分）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、
28、汉时期的数学成就， 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 PA平面 ABCE，四边形 ABCD 为正方形，若鳖臑 PADE 的外接球的体积为 ，则阳马 PABCD 的外接球的表面积等于 20 【分析】先把鳖臑 PADE 补成一个长方体，由已知条件即可求出 PA 的长，再把阳马 P ABCD 补成一个长方体，则长方体的外接球即为阳马 PABCD 的外接球，求出阳马 P ABCD 的外接球的半径，从而求出阳马 PABCD 的外接球的表面积 【解答】解：鳖臑 PADE 可以看成如图所示的长方体的
29、一部分： 则长方体的外接球即为鳖臑 PADE 的外接球， 又鳖臑 PADE 的外接球的体积为， 第 16 页（共 24 页） 鳖臑 PADE 的外接球的半径 R， ，PA， 阳马 PABCD 可以看成如图所示的长方体的一部分： 则长方体的外接球即为阳马 PABCD 的外接球， 阳马 PABCD 的外接球的半径 R， 阳马 PABCD 的外接球的表面积为 4520， 故答案为：20 【点评】本题主要考查了三棱锥与四棱锥的外接球，是中档题 四、解答题：四、解答题： 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an0，4Snan2+2an （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn，求数列bn的前
30、 n 项和 Tn 【分析】 （1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式可得所求； 第 17 页（共 24 页） （2）运用等差数列的求和公式求得 bn，再由数列的裂项 相消求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）an0，4Snan2+2an， 当 n1 时，4a1a12+2a1，解得 a12， n2 时，4Sn1an12+2an1，又 4Snan2+2an， 两式相减可得 4anan2+2anan122an1， 化为（an+an1） （anan12）0， 由 an0 可得 anan12， 则 an2+2（n1）2n； （2）Snn（2+2n）n（n+1） ， 则 bn， 可得 Tn1+n
31、 1nn 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的 运用，数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题 18已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中 的三个：；cos2A+2cos21；a；b2 （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC 的面积 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【分析】 （1），利用余弦定理化为：cosB可得B cos2A+2cos21，化为：cosA，A（0，） ，解得 A于是判断出不能 同时出现作为条件即可得出满足有解三
32、角形的序号组合 （2）取利用正弦定理可得：sinB1，可得 B，进而得出ABC 的面积 【解答】解： （1），化为：cosB由 第 18 页（共 24 页） ，可得B cos2A+2cos21，化为：cosA，A（0，） ，解得 A 可得不能同时出现作为条件 满足有解三角形的序号组合有：， （2）取 由正弦定理可得：，解得 sinB1，B（0，） ，B c，ABC 的面积 S 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 19如图（1） ，边长为 2 的正方形 ABEF 中，D，C 分别为 EF、AF 上的点，且 EDCF， 现沿 D
33、C 把CDF 剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC，CDF，ABD 沿 BC， CD，BD 折起，使 E、F、A 三点重合于点 A，如图（3） （1）求证：BACD； （2）求二面角 BCDA最小时的余弦值 【分析】 （1）通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直，证明 BA平面 ACD，然后证 明 BACD （2）作 AECD 交 CD 于点 E，连结 BE，由 BACD，从而AEB 为二面角 B CDA的平面角，由此能求出二面角 BCDA最小时的余弦值 【解答】解： （1）证明：折叠前，BEEC，BAAD， 折叠后 BAAC，BAAD， 又 ACADA， 所以 BA平面 ACD， 第 19
34、页（共 24 页） 因为 CD平面 ACD，所以 BACD （2）解：作 AECD 交 CD 于点 E，连结 BE， BACD，AEB 为二面角 BCDA的平面角， 令 ACa，ADb，a+b2， 由题意得 CAAD，AE， tan2 2 二面角 BCDA最小时的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的最小值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面 积为的菱形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 相切于点 A，过点 O 作 OMl，垂足为 M，求AM
35、O 面积的最 大值 第 20 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据题意即 a 与 b 和 c 的关系，求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线 l 的方程，联立方程组，利用0，求得 k 与 t 的关系，求得 A 及 M 点坐 标，根据两点之间的距离公式求得|AM|及|OM|，利用三角形的面积公式和基本不等式即 可求得AMO 面积的最大值 【解答】解： （1）由题意知：a2+b2（）27，4，解得：a24，b2 3， 所以椭圆的标准方程为：； （2）显然直切线的的斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx+t， 联立方程组，消去 y，整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，
36、且64k2t2 4（3+4k2） （4t212）0， 得 t24k2+3，所以 xA， 联立，得 xM， 所以|OM|， 则|AM|， SAMO|AM|OM|， 当且仅当 k1 时，等号成立， 第 21 页（共 24 页） 故ABM 面积最大值为， 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积公式的应 用，利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）lnx+ax2（a+2）x+2（a 为常数） （1）若 f（x）在（1，f（1） ）处的切线与直线 x+3y0 垂直，求 a 的值； （2）若 a0，讨论函数 f（x）的单调性； （3）若 a 为正
37、整数，函数 f（x）恰好有两个零点，求 a 的值 【分析】 （1）由题意得出 f（1）3，即可求出实数 a 的值； （2）由 a0，可得出，对与的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，可 得出函数 yf（x）的单调增区间和减区间； （3）分 a1、a2 和 a2 三种情况讨论，结合（2）中函数 yf（x）的单调性以及零 点存在定理来判断出函数 yf（x）的零点个数，可得出整数 a 的值 【解答】解： （1）由题意 x0，则 f（1） a1， 由于函数 yf（x）的图象在（1，f（1） ）处的切线与直线 x+3y0 垂直， 则，f（1）a13，因此，a4； （2）a0，则若 0a2 时， 当或时
38、，f（x）0，时，f（x）0， yf（x）在和单调递增，在单调递减， 若 a2 时，对 x0，f（x）0 恒成立，yf（x）在（0，+）单调递增； 第 22 页（共 24 页） 若 a2 时，当或时，f（x）0，时，f（x） 0， yf（x）在和单调递增，在单调递减； （3）a 为正整数，若 0a2，则 a1，f（x）lnx+x23x+2， 由（2）知 yf（x）在和（1，+）单调递增，在单调递减， 又 f（1）0，yf（x）在区间内仅有 1 实根， 又 f（e 2）e43e2e2（e23）0，yf（x）在区间 内仅有 1 个实 根 此时 yf（x）在区间（0，+）内恰有 2 个实根； 若 a
39、2，yf（x）在（0，+）单调递增，至多有 1 个实根 若 a2， 令，则，ylntt+1， 由（2）知 yf（x）在单调递减，在和单调递增， ，yf（x）在（0，+）至多有 1 个实根 综上，a1 【点评】本题考查了利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用 导数研究函数的零点问题，一般结合函数的单调性与零点存在定理来分析，考查分析问 题和解决问题的能力，属中档题 22某公司为了了解年研发资金投人量 x（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）的影 响对公司近 12 年的年研发资金投入量 xi和年销售额 yi的数据，进行了对比分析，建立 了两个函数模型：y+x2，yex+t，
40、其中 、t 均为常数，e 为自然对数的 底数并得到一些统计量的值令，vilnyi（i1，2，12） ，经计算得如下 数据： 第 23 页（共 24 页） 20 66 77 2 460 4.20 31250 215 3.08 14 （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2） （）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元？ 附：相关系数， 回归直线中公式分别为：，； 参考数据：308477，e4.499890 【分析】 （1）由题意计算相关系数，比较它们的大小即可； （2
41、） （i）先建立 v 关于 x 的线性回归方程，再转化为 y 关于 x 的回归方程； （ii）利用回归方程计算 y90 时 x 的值即可 【解答】 解： （1） 由题意， r1 0.86， r20.91， 所以|r1|r2|，从相关系数的角度，模型 yex+t的拟合程度更好； （2） （i）先建立 v 关于 x 的线性回归方程， 由 yex+t，得 lnyt+x，即 vt+x；（6 分） 第 24 页（共 24 页） 由于 0.18， t 4.20.1823.84， 所以 v 关于 x 的线性回归方程为 0.18x+3.84， 所以 ln 0.18x+3.84，则 e0.18x+3.84； （ii）下一年销售额 y 需达到 90 亿元，即 y90， 代入 e0.18x+3.84，得 90e0.18x+3.84， 又 e4.499890，所以 4.49980.18x+3.84， 所以 x3.67； 所以预测下一年的研发资金投入量约是 3.67 亿元 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与利用问题，也考查了运算求解能力，是中档 题
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