2019-2020学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（含详细解答）

1、已知集合 Ax|x2x20，Bx|y，则 AB（ ） Ax|lx2 Bx|0x2 Cx|xl Dx|x0 2 （5 分）命题“xR，x2x+10”的否定是（ ） AxR，x2x+10 BxR，x2x+10 Cx0R，x02x0+10 Dx0R，x02x0+10 3 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为，则双曲线 C 的渐 近线方程为（ ） A2xy0 Bx2y0 Cy0 Dy0 4 （5 分）设 alog0.53，b0.53，c，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 5 （5 分）为弘扬我国古代的“六艺文化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期

2、开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周若课程“乐”不排在 第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A216 B480 C504 D624 6 （5 分）函数 y|x|+sinx 的部分图象可能是（ ） A B C D 7 （5 分）设当 x 时，函数 f（x）3sinx+4cosx 取得最小值，则 sin（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8 （5 分）函数，若方程 f（x）2x+m 有且只有两个不相等的 实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，4） B （，4 C （2，4） D （2，4 二、多

3、项选择题：本題共二、多项选择题：本題共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 符合題目要求，全部选对得符合題目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分） 某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度， 随机调査了 50 名男生和 50 名女生， 每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的 观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P （k2k） 0.100 0.050 0.

4、010 k 2.706 3.841 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（3x+） （）的图象关于直线 x对称， 则（ ） A函数 f（x+）为奇函数 B函数 f（x）在，上单调递増 C若|f（x1）f（x2）|2，则|x1x2|的最小值为 D函数 f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数 ycos3x 的图象 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点

5、P 在线段 B1C 上运动，则（ ） 第 3 页（共 25 页） A直线 BD1平面 A1C1D B三棱锥 PA1C1D 的体积为定值 C异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是45，90 D直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 12 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，点 P 在 l 上的射影为 P1，则（ ） A若 x1+x26则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M（0，1） ，则|PM|+|PP1| D过点 M（0，1）与抛物线 C 有且

6、只有一个公共点的直线至多有 2 条 三、填空題：本題共三、填空題：本題共 4 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若向量 ， 满足| |1，| |，且 （ + ） ，则 与 的夹角为 14 （5 分）已知随机变量 XN（1，2） ，P（1X1）0.4，则 P（X3） 15（5分） 设点P是曲线yex+x2上任一点， 则点P到直线xy1O的最小距离为 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA平面 ABC，PA6， AB2，AC2，BC4，则： （1）球 O 的表面积为 ； （2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的

7、截面，则截面面积的最小值是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟 17（10 分） 在条件 （a+b）（sinAsinB） （cb） sinC， asinBbcos （A+） ， bsin asinB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b+c6，a， 求ABC 的面积 第 4 页（共 25 页） 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 2Sn（n+1）an（

8、nN）且 a12 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（an1）2求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，ABCD 为直角梯形，ADBC，BCCD，平面 SCD平面 ABCDSCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC2AD2CD4，E 为 BS 上一点，且 BE2ES （1）证明：直线 SD平面 ACE； （2）求二面角 SACE 的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的的离心率为，F 是其右焦点，直线 ykx 与椭圆交 于 A，B 两点， |AF|+|BF|8 （1）求椭圆的标准方程； （2）设 Q（3，0） ，若AQB 为锐角，求实数

9、k 的取值范围 21 （12 分）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障各条生产 线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； （2） 为提高生产效益， 该企业决定招聘 n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修 已 知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元此外， 第 5 页（共 25 页） 统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障 能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将 不创造利润以该企业每月

10、实际获利的期望值为决策依据，在 n1 与 n2 之中选其一， 应选用哪个？（实际获利生产线创造利润一维修工人工资） 22 （12 分）已知函数，其中 0ae （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）讨论函数 f（x）零点的个数； （3）若 f（x）存在两个不同的零点 x1，x2，求证：x1x2e2 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在

11、每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合題目要求的有一项是符合題目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|y，则 AB（ ） Ax|lx2 Bx|0x2 Cx|xl Dx|x0 【分析】推导出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2x20x|1x2， Bx|yx|x0， ABx|x1 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）命题“xR，x2x+10”的否定是（ ） AxR，x2x+10 BxR，x2x+10 Cx0R，x02x0+10 Dx0R，x02x0+10 【分析】欲写出命题的否定，必须

12、同时改变两个地方： “” ；： “”即可，据此 分析选项可得答案 【解答】解：命题“xR，x2+x+10“的否定是x0R，x02x0+10， 故选：C 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定 用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是” ，而不是“都 不是” 特称命题的否定是全称命题， “存在”对应“任意” 3 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为，则双曲线 C 的渐 近线方程为（ ） A2xy0 Bx2y0 Cy0 Dy0 【分析】通过双曲线的离心率求出 b 与 a 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程 第 7 页（共 25

13、 页） 【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为， 可得：，即， 可得， 则双曲线 C 的渐近线方程为：x2y0 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分）设 alog0.53，b0.53，c，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：alog0.530，b0.53（0，1） ，c30.51， 则 abc 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 5 （5 分）为弘扬我国古代的“六艺文

14、化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周若课程“乐”不排在 第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A216 B480 C504 D624 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：， “御”排在第一，将剩下的“五艺”全排列， 安排在剩下的 5 周；， “御”不排在第一，由分步计数原理求出此时的排法数目，进而 由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ， “御”排在第一，将剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的 5 周，有 A55120 种排 法， ， “御”不排在第一，

15、则“御”的排法有 4 种， “乐”的排法有 4 种，将剩下的“四艺” 全排列，安排在剩下的 4 周，有 A4424 种情况， 则此时有 4424384 种排法， 第 8 页（共 25 页） 则一共有 120+384504 种排法； 故选：C 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题 6 （5 分）函数 y|x|+sinx 的部分图象可能是（ ） A B C D 【分析】先写出分段函数解析式，求导分析单调性，用排除法得到答案 【解答】解：当 x0 时，yx+sinx， y1+cosx0，函数 y 单调递增， 当 x0，时，1y2， 所以函数 yx+sinx 在0

16、，图象在 yx 上方，排除 A，C 当 x0 时，yx+sinx， y1+cosx0，函数 y 单调递减， 当 x，0时，1y0， 所以函数 yx+sinx 在，0图象在 yx 下方，排除 B， 故选：D 【点评】本题考查函数图象的变换，属于中档题 7 （5 分）设当 x 时，函数 f（x）3sinx+4cosx 取得最小值，则 sin（ ） A B C D 【分析】利用辅助角公式将函数化为 yAsin（x+）的形式，结合三角函数的图象和 性质，求出 f（x）的最小值解出 ， 第 9 页（共 25 页） 【解答】 解：， 其中， ， 由 f（）5sin（+）5， 可得 sin（+）1， ，kZ

17、， ，kZ， ， 故选：C 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三 角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于基础题 8 （5 分）函数，若方程 f（x）2x+m 有且只有两个不相等的 实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，4） B （，4 C （2，4） D （2，4 【分析】作出图象，根据图象即可求出答案 【解答】解：根据函数解析式作出函数图象如图： 则有21+m2，解得 m4， 故选：A 【点评】本题考查利用分段函数解析式画出图象求解问题，数形结合是关键，属于基础 题 二、多项选择题：本題共二、多项选择题：本題共 4 小题，每小题小题，每

18、小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项 第 10 页（共 25 页） 符合題目要求，全部选对得符合題目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分） 某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度， 随机调査了 50 名男生和 50 名女生， 每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的 观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P （k2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841

19、 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【分析】根据统计的数据，用频率估计概率可得该学校男、女生对食堂服务满意的概率 的估计值；题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选 的观测值表进行比较，发现它大于 3.841，有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评 价有差异 【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：；男生对食堂的满意率为； 故 A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，

20、A 正确； 对于 B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，k24.7623.841，参照附表，可得： 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故 C 正确，D 错误 故选：AC 【点评】本题考查统计与概率，独立性检验的应用，本题有创新的地方就是给出了观测 值，只要进行比较就可以，属于基础题 第 11 页（共 25 页） 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（3x+） （）的图象关于直线 x对称， 则（ ） A函数 f（x+）为奇函数 B函数 f（x）在，上单调递増 C若|f（x1）f（x2）|2，则|x1x2|的最小值为 D函数 f（x）的图象向右平

21、移个单位长度得到函数 ycos3x 的图象 【分析】使用代入法先求出 的值，得函数解析式；再根据三角函数的性质逐一判断 【解答】解：函数 f（x）sin（3x+） （）的图象关于直线 x对 称，3+k，kZ； ，；f（x）sin（3x） ； 对于 A，函数 f（x+）sin3（x+）sin（3x） ，根据正弦函数的奇偶性， 所以 f（x）f（x）因此函数 f（x）是奇函数，故 A 正确 对于 B，由于 x，3x0，函数 f（x）sin（3x）在， 上不单调，故 B 错误； 对于 C，因为 f（x）max1，f（x）min1 又因为|f（x1）f（x2）|2，f（x）sin（3x ）的周期为 T

22、，所以则|x1x2|的最小值为，C 正确； 对于 D，函数 f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数 f（x）sin3（x） sin3x，故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于基础题 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（ ） 第 12 页（共 25 页） A直线 BD1平面 A1C1D B三棱锥 PA1C1D 的体积为定值 C异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是45，90 D直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 【分析】在 A 中，推导出 A1C1

23、BD1，DC1BD1，从而直线 BD1平面 A1C1D；在 B 中，由 B1C平面 A1C1D，得到 P 到平面 A1C1D 的距离为定值，再由A1C1D 的面积是 定值，从而三棱锥 PA1C1D 的体积为定值；在 C 中，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取 值范用是60，90；在 D 中，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大 值为 【解答】解：在 A 中，A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1B1， A1C1平面 BB1D1，A1C1BD1，同理，DC1

24、BD1， A1C1DC1C1，直线 BD1平面 A1C1D，故 A 正确； 在 B 中，A1DB1C，A1D平面 A1C1D，B1C平面 A1C1D， B1C平面 A1C1D， 点 P 在线段 B1C 上运动，P 到平面 A1C1D 的距离为定值， 又A1C1D 的面积是定值，三棱锥 PA1C1D 的体积为定值，故 B 正确； 在 C 中，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是60，90，故 C 错误； 在 D 中，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 1，P（a，1，a） ， 则 D（0

25、，0，0） ，A1（1，0，1） ，C1（0，1，1） ，（1，0，1） ，（0，1，1） ， （a，0，a1） ， 第 13 页（共 25 页） 设平面 A1C1D 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为： ， 当 a时，直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为，故 D 正确 故选：ABD 【点评】本题考查命题真假的判断，空间图形中直线与直线、平面的位置关系，异面直 线的判断，基本知识与定理的灵活运用，属于中档题 12 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直

26、线与抛物线交于两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，点 P 在 l 上的射影为 P1，则（ ） A若 x1+x26则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M（0，1） ，则|PM|+|PP1| D过点 M（0，1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条 【分析】利用抛物线的性质，结合抛物线的方程，得出结论 【解答】解：若直线的斜率存在，设 yk（x1） ， 由，联立解方程组 k2x2（2k2+4）x+k20， 第 14 页（共 25 页） ，x1x21， A，若 x1+x26，则 k21，故 k1 或1，|PQ| ，故 A 正确； 取 PQ 点中点 M

27、，M 在 l 上的投影为 N，Q 在 l 上的投影为 Q，根据抛物线的定义，|PP1| |PM|，|QQ|QM|， M，N 为梯形的中点，故|MN|（|PP1|+|QQ|）|PQ|，故 B 成立； 对于 C，M（0，1） ，|PM|+|PP1|MP|+|PF|MF|， 过 M（0，1）相切的直线有 2 条，与 x 轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一 条，所以最多有三条 故选：ABC 【点评】考查抛物线的性质，抛物线与直线的关系，中档题 三、填空題：本題共三、填空題：本題共 4 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若向量 ， 满足| |1，| |，且

28、（ + ） ，则 与 的夹角为 【分析】设 与 的夹角为 ，则有0，化简可得 11cos，求出 cos 的值，即可求得 的值 【解答】解：向量 ， 满足| |1，| |，且 （ + ） ， 设 与 的夹角为 ， 则有 0，即 ，故有 11cos， cos 再由 0，可得 ， 故答案为 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题 14 （5 分）已知随机变量 XN（1，2） ，P（1X1）0.4，则 P（X3） 0.1 【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，得到 P（1X3）0.4，则 P（X3）可 求 【解答】解：随机变量 XN（1，2） ，对称轴为 x1，

29、又 P（1X1）0.4，P（1X3）0.4， 第 15 页（共 25 页） 则 P（X3） 故答案为：0.1 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 15（5分） 设点P是曲线yex+x2上任一点， 则点P到直线xy1O的最小距离为 【分析】求出原函数的导函数，得到切点坐标，写成过 P 且与直线 xy10 平行的直 线方程，利用两平行线间的距离公式求解 【解答】解：由 yex+x2，得 yex+2x， 设平行于直线 xy10 的直线与曲线 yex+x2上切于（x0，y0） ， 则，解得 x00，则切点为（0，1） ，

30、过切点的直线方程为 yx+1，即 xy+10 点 P 到直线 xy10 的最小距离为 d 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了两平行线间的距离 公式的应用，是基础题 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA平面 ABC，PA6， AB2，AC2，BC4，则： （1）球 O 的表面积为 52 ； （2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是 4 【分析】 （1）一条侧棱垂直于底面的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面 的直线与中截面的交点，由勾股定理求出外接球的半径，进而求表面积，

31、（2）过 D 做垂 直于 OD 的截面最小，既是底面外接圆的半径 【解答】解： （1）由题意如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形， 所以底面外接圆的半径 r2，球心为过底面外接圆的圆心 O垂直于底面与中截面 的交点 O， 即 OO3，连接 OA， 设外接球的半径为 R，所以 R2r2+OO222+3213， 所以外接球的表面积 S4R241352； （2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，D，O重合， 第 16 页（共 25 页） 则截面面积的最小时是与 OO垂直的面，既是三角形 ABC 的外接圆， 而三角形 ABC 是外接圆半径是斜边的一半，即 2，所以截面面积为 2

32、24； 故答案分别为：52，4 【点评】考查算法，即球的表面积公式属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟分解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟 17（10 分） 在条件 （a+b）（sinAsinB） （cb） sinC， asinBbcos （A+） ， bsin asinB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b+c6，a， 求ABC 的面积 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】若选：由正弦定理，余弦定理可求 cosA 的值，

33、结合范围 A（0，） ，可求 A ，由余弦定理可求 bc 的值，根据三角形的面积公式即可得解； 若选 ：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 tanA，结合范围 0A， 可得 A由余弦定理可求 bc 的值，根据三角形的面积公式即可求解； 若选 ：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 sin，进而可求 A利 用余弦定理可求 bc 的值，根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解：若选： 由正弦定理得 （a+b） （ab）（cb）c，即 b2+c2a2bc， 所以 cosA， 因为 A（0，） ， 第 17 页（共 25 页） 所以 A， 又 a2b2+c2bc（b+c）23bc， a2，b+c

34、6，所以 bc4， 所以 SABCbcsinA 若选 ： 由正弦定理得：sinAsinBsinBcos（A+） 因为 0B， 所以 sinB0，sinAcos（A+） ， 化简得 sinAcosAsinA， 即 tanA，因为 0A，所以 A 又因为 a2b2+c22bccos， 所以 bc，即 bc2412， 所以 SABCbcsinA63 若选 ： 由正弦定理得 sinBsinsinAsinB， 因为 0B，所以 sinB0， 所以 sinsinA，又因为 B+CA， 所以 cos2sincos， 因为 0A，0，所以 cos0， sin， 所以 A 又 a2b2+c2bc（b+c）23b

35、c，a2，b+c6， 所以 bc4， 第 18 页（共 25 页） 所以 SABCbcsinA 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换 的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 2Sn（n+1）an（nN）且 a12 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（an1）2求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（1）题根据 2Sn（n+1）an，nN*，有 2Sn+1（n+2）an+1，nN*两 式相，化简整理可得数列为常数列再根据2，即可得到数列an的通 项公式；第（2）题先算出数列bn

36、的通项公式，然后根据通项公式的特点可用错位相减 法来求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，2Sn（n+1）an，nN* 则 2Sn+1（n+2）an+1，nN* 两式相减，得 2an+1（n+2）an+1（n+1）an， 整理，得 nan+1（n+1）an 即，nN* 数列为常数列 2， 数列an的通项公式为：an2n （2）由（1） ，设 bn（an1）2（2n1） 4n则 Tn141+342+543+（2n1） 4n， 4Tn142+343+544+（2n3） 4n+（2n1） 4n+1 两式相减，得： 3Tn4+2（42+43+4n）（2n1） 4n+1 3Tn4+

37、2（2n1） 4n+1 化简，得 Tn+ 【点评】本题主要考查通项公式的求法以及运用错位相减法来求一个数列的前 n 项和 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，ABCD 为直角梯形，ADBC，BCCD，平面 第 19 页（共 25 页） SCD平面 ABCDSCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC2AD2CD4，E 为 BS 上一点，且 BE2ES （1）证明：直线 SD平面 ACE； （2）求二面角 SACE 的余弦值 【分析】 （1）连接 BD 交 AC 于点 F，连接 EF由 ADBC，得AFD 与BCF 相似推 导出 EFSD由此能证明直线 SD平面 ACE （2）

38、推导出 BC平面 SCD以 C 为坐标原点，所在的方向分别为 y 轴、z 轴 的正方向， 与均垂直的方向作为 x 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 Cxyz 利 用向量法能求出二面角 SACE 的余弦值 【解答】解： （1）证明：连接 BD 交 AC 于点 F，连接 EF 因为 ADBC，所以AFD 与BCF 相似 所以2 又2，所以 EFSD 因为 EF平面 ACE，SD平面 ACE，所以直线 SD平面 ACE （2）解：平面 SCD平面 ABCD，平面 SCD平面 ABCDCD，BC平面 ABCD， BCCD，所以 BC平面 SCD 以 C 为坐标原点，所在的方向分别为 y 轴、z 轴的正

39、方向， 与均垂直的方向作为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz 第 20 页（共 25 页） 则 C（0，0，0） ，S（1，1，0） ，A（0，2，2） ，E（） ， （0，2，2） ，（1，1，0） ，（） 设平面 SAC 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，令 x1，得 （1，1，1） ， 设平面 EAC 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，令 z1，得 （1，1，1） 设二面角 SACE 的平面角的大小为 ， 则 cos 所以二面角 SACE 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础

40、知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆的的离心率为，F 是其右焦点，直线 ykx 与椭圆交 于 A，B 两点， |AF|+|BF|8 （1）求椭圆的标准方程； 第 21 页（共 25 页） （2）设 Q（3，0） ，若AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）由椭圆的离心率及椭圆与直线交点的对称性可得 a，c，的值，再由 a，b， c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）设 A，B 的坐标，直线与椭圆联立求出两根之积，由AQB 为锐角，可得数量积 ，求出斜率 k 的范围 【解答】解： （1）设 F为椭圆的左焦点，连接 FB，由椭圆的对称性可知，|AF|FB|，

41、 所以|AF|+|BF|AF|+|AF|2a8，所以 a4， 又 e，a2b2+c2，解得 b2， 所以椭圆的标准方程为： （2）设点 A（x，y） ，B（x，y） ，则（x3，y） ，（x3，y） ， 联立直线与椭圆的方程整理得： （1+4k2）x2160， 所以 x+x0，xx，yyk2xx， 因为AQB 为锐角，所以， 所以（x3） （x3）+yyxx3（x+x）+9+yy90，整理得： 20k27， 解得：k，或 k 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 21 （12 分）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障各条生产 线是否出现故障相互独立，且出现故障

42、的概率为 （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； （2） 为提高生产效益， 该企业决定招聘 n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修 已 知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元此外， 统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障 能及时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将 不创造利润以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 n1 与 n2 之中选其一， 第 22 页（共 25 页） 应选用哪个？（实际获利生产线创造利润一维修工人工资） 【分析】 （1）设 3

43、 条生产线中出现故障的条数为 X，则 XB（3，） 由此能求出该企 业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率 （2）当 n1 时，设该企业每月的实际获利为 Y1万元求出实际获利 Y1的均值，当 n 2 时，设该企业每月的实际获利为 Y2万元求出实际获利 Y2的均值，由 EY1EY2得 到应选用 n2 【解答】解： （1）设 3 条生产线中出现故障的条数为 X，则 XB（3，） 该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率： P（X1） （2）当 n1 时，设该企业每月的实际获利为 Y1万元 若 X0，则 Y1123135， 若 X1，则 Y1122+81+01131， 若 X2，则 Y11

44、21+81+01119， 若 X3，则 Y1120+81+0217， 又 P（X0）， P（X2）， P（X3）， 此时，实际获利 Y1的均值为： EY1 当 n2 时，设该企业每月的实际获利为 Y2万元 若 X0，则 Y2123234， 若 X1，则 Y2122+81230， 若 X2，则 Y2121+82226， 若 X3，则 Y2120+82+01214， EY2， 因为 EY1EY2 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 n1 与 n2 之中选其一， 第 23 页（共 25 页） 应选用 n2 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用， 考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 22 （12 分）已知函数，其中 0ae （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）讨论函数 f（x）零点的个数； （3）若 f（x）存在两个不同的零点 x1，x2，求证：x1x2e2 【分析】 （1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可判断函数单调