1、2020 年河南省信阳市中考数学模拟试卷（年河南省信阳市中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在实数 0，|1|中，最小的数是（ ） A0 B C D|1| 2截止到 4 月 21 日 0 时，国外感染新型冠状病毒肺炎的人数已经突破 2570000 人， “山川 异域，风月同天” ，携手抗“疫“，刻不容缓将 2570000 用科学记数法表示为（ ） A2.57106 B2.57105 C25.7105 D2.57107 3如图所示为某一物体的主视图，下面是这个物体的是（ ） A B C D 4下列运算正确的是（ ） Aa2a8a 4 Baa2a2
2、C （a3）2a6 D2 5 已知直线 l1l2， 将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图所示方式放置， 若185， 则2 等于（ ） A35 B45 C55 D65 6某校艺术社团有 80 名成员，如表是艺术社团成员的年龄分布统计表：对于不同的 x，下 列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 13 28 x 24x 15 A平均数、中位数 B平均数、方差 C众数、中位数 D众数、方差 7关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2k0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D
3、无法确定 8如图，ABCD 中，CD4，BC6，按以下步骤作图：以点 C 为圆心，适当长度为 半径作弧，分别交 BC，CD 于 M，N 两点：分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的 长为半径画弧，两弧在ABCD 的内部交于点 P；连接 CP 并延长交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于点 F，则 AF 的长为（ ） A1 B2 C2.5 D3 9在 4 张相同的小纸条上分别写上数字2、0、1、2，做成 4 支签，放在一个盒子中，搅 匀后从中任意抽出 1 支签（不放回） ，再从余下的 3 支签中任意抽出 1 支签，则 2 次抽出 的签上的数字的和为正数的概率为（ ） A B C D 10如图
4、，矩形 ABCD 的两边 BC、CD 分别在 x 轴、y 轴上，点 C 与原点重合，点 A（1， 2） ，将矩形 ABCD 沿 x 轴向右翻滚，经过一次翻滚点 A 对应点记为 A1，经过第二次翻滚 点 A 对应点记为 A2依此类推，经过 5 次翻滚后点 A 对应点 A5的坐标为（ ） A （5，2） B （6，0） C （8，0） D （8，1） 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11计算：（） 12不等式组的解集是 13 如图， 已知反比例函数 y （k0） 的图象经过 RtOAB 斜边 OA 的中点 D （6， a） ， 且与直角边 AB 相交于点 C若AOC 的面积为 18，则
5、 k 的值为 14如图，将半径为 4，圆心角为 120的扇形 AOB 绕 B 点顺时针旋转 60，点 O、A 的 对应点分别为点 O、A且点 O 刚好在弧 AB 上，则阴影部分的面积为 15如图，四边形 ABCD 是边长为 m 的正方形，若 AFm，E 为 AB 上一点且 BE3，把 AEF 沿着 EF 折叠，得到AEF，若BAE 为直角三角形，则 m 的值为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值： （1），其中 xtan30 17某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂“活动，推出了以下五种选修课程： A绘画；B唱歌；C跳舞；D演讲；E书法学校规定：每个学生都必
6、须报名且 只能选择其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统 计，并绘制了如下两幅不完整的统计图 请结合统计图中的信息解决下列问题： （1）这次抽查的学生人数是多少人？ （2）将条形统计图补充完整 （3）求扇形统计图中课程 E 所对应扇形的圆心角的度数 （4）如果该校共有 1200 名学生，请你估计该校选择课程 D 的学生约有多少人 18如图，在ABC 中，ABAC，BC 是经过H 的圆心，交H 于点 D、E，AB、AC 是 圆的切线，F、G 是切点 （1）求证：BHCH； （2）填空： 当FHG 时，四边形 FHCG 是平行四边形； 当FED 时，四边形 AFHG 是
7、正方形 19如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 C 位于它的北偏东 53方 向，再航行 3km 达到 B 处（AB3km） ，测得小岛 C 位于它的北偏东 45方向小岛 C 的周围 8km 内有暗礁，如果渔船不改变航向继续向东航行，请你通过计算说明渔船有无 触礁的危险？ （参考数据：sin53，cos53，tan53） 20 随着 “低碳生活， 绿色出行” 理念的普及， 新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具 某 汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解 2 辆 A 型汽车、3 辆 B 型 汽车的进价共计 80 万元；3 辆 A 型汽车、2 辆 B 型汽车的
8、进价共计 95 万元 （1）求 A、B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均 购买） ，请你帮助该公司设计购买方案 21如图，直线 yax+2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，与双曲线 y（x0）相交 于点 P，PCx 轴于点 C，且 PC4，点 A 的坐标为（4，0） （1）求双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，过点 Q 作 QHx 轴于点 H，当以点 Q，C， H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 22 （1）问题发现 如图 1，在平面直角坐标系中
9、，A 点的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（0，2） ，连接 AB，点 C 是 AB 的中点，点 Q 是线段 AO 上的动点，连接 OC、CQ，以 BQ 为边构造等 边BPQ，连接 OP、PQ 填空：OP 与 CQ 的大小关系是 OP 的最小值为 （2）解决问题 在（1）的条件下，点 Q 运动的过程中当ACQ 为直角三角形时，求 OP 的长？ （3）拓展探究 如图 2，当点 B 为直线 x1 上一动点，点 A（2，0） ，连接 AB，以 AB 为一边向下 作等边ABP，连接 OP，请直接写出 OP 的最小值 23如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、C（0，3） 、B（2
10、，3） （1）求抛物线的解析式； （2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的 最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由（4 个坐标） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在实数 0，|1|中，最小的数是（ ） A0 B C D|1| 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可 【解答】解：|1|1， 0|1|， 最小的数是， 故选：B 2截止到 4 月 21 日 0 时，国外感染新型冠状病毒
11、肺炎的人数已经突破 2570000 人， “山川 异域，风月同天” ，携手抗“疫“，刻不容缓将 2570000 用科学记数法表示为（ ） A2.57106 B2.57105 C25.7105 D2.57107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：将 2570000 用科学记数法表示为：2.57106 故选：A 3如图所示为某一物体的主视图，下面是这个物体的是（ ） A B C D 【分析】从该组合体的主视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有
12、两个正方体，第 二列有三个正方体，第三列有一个，据此找到答案即可 【解答】 解： 从该组合体的主视图看从左至右共有三列， 从左到右第一列有两个正方体， 第二列有三个正方体，第三列有一个，可得只有选项 D 符合题意 故选：D 4下列运算正确的是（ ） Aa2a8a 4 Baa2a2 C （a3）2a6 D2 【分析】利用同底数幂的除法和乘法法则、幂的乘方计算法则，二次根式的减法法则进 行计算即可 【解答】解：A、a2a8a 6，故原题计算错误； B、aa2a3，故原题计算错误； C、 （a3）2a6，故原题计算正确； D、2，故原题计算错误； 故选：C 5 已知直线 l1l2， 将一块含 30角
13、的直角三角板 ABC 按如图所示方式放置， 若185， 则2 等于（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出4 的度数，由直线 l1l2，利用 “两直线平行，内错角相等”可求出2 的度数 【解答】解：A+3+4180，A30，3185， 465 直线 l1l2， 2465 故选：D 6某校艺术社团有 80 名成员，如表是艺术社团成员的年龄分布统计表：对于不同的 x，下 列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 13 28 x 24x 15 A平均数、中位数 B平均数、方差 C众数、中
14、位数 D众数、方差 【分析】由频数分布表可知年龄 15 岁和年龄 16 岁的两组的频数和为 24，即可得知总人 数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 40、41 个数据的平均数，可得答案 【解答】解：由表可知，年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为 x+24x24，而 14 岁 人数有 28 人， 故该组数据的众数为 14 岁， 中位数为： （14+14）214（岁） 即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数 故选：C 7关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2k0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法
15、确定 【分析】先根据根的判别式求出“”的值，再判断即可 【解答】解：x2（k+3）x+2k0， （k+3）2412kk22k+9（k1）2+8， 即不论 k 为何值，0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：B 8如图，ABCD 中，CD4，BC6，按以下步骤作图：以点 C 为圆心，适当长度为 半径作弧，分别交 BC，CD 于 M，N 两点：分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的 长为半径画弧，两弧在ABCD 的内部交于点 P；连接 CP 并延长交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于点 F，则 AF 的长为（ ） A1 B2 C2.5 D3 【分析】证明 BFBC6，根据 AFBFAB
16、求解即可 【解答】解：由作图可知，FCDFCB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD4， FFCD， FFCB， BFBC6， AFBFBA642， 故选：B 9在 4 张相同的小纸条上分别写上数字2、0、1、2，做成 4 支签，放在一个盒子中，搅 匀后从中任意抽出 1 支签（不放回） ，再从余下的 3 支签中任意抽出 1 支签，则 2 次抽出 的签上的数字的和为正数的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意列出树状图得出所有等可能的结果和 2 次抽出的签上的数字的和为正 数的情况数，然后利用概率公式求解即可 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种等情况数，其中
17、 2 次抽出的签上的数字的和为正数的有 6 种， 则 2 次抽出的签上的数字的和为正数的概率为； 故选：C 10如图，矩形 ABCD 的两边 BC、CD 分别在 x 轴、y 轴上，点 C 与原点重合，点 A（1， 2） ，将矩形 ABCD 沿 x 轴向右翻滚，经过一次翻滚点 A 对应点记为 A1，经过第二次翻滚 点 A 对应点记为 A2依此类推，经过 5 次翻滚后点 A 对应点 A5的坐标为（ ） A （5，2） B （6，0） C （8，0） D （8，1） 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形即可得到经过 5 次翻滚后点 A 对 应点 A5的坐标，从而解答本题 【解答】解：如下
18、图所示： 由题意可得上图，经过 5 次翻滚后点 A 对应点 A5的坐标对应上图中的坐标，故 A5的坐 标为： （8，1） 故选项 A 错误，选项 B 错误，选项 C 错误，选项 D 正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11计算：（） 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案 【解答】解：原式2+ 故答案为： 12不等式组的解集是 0x2 【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小 小大中间找”来求不等式组的解集为 2x3 【解答】解：， 解不等式得，x2， 解不等式，x0， 所以，原不等式组的解集为 0x2， 故答案为：0x2
19、13 如图， 已知反比例函数 y （k0） 的图象经过 RtOAB 斜边 OA 的中点 D （6， a） ， 且与直角边 AB 相交于点 C若AOC 的面积为 18，则 k 的值为 12 【分析】由中点坐标求出点 D 的坐标为（） ，点 D 在反比例函数上得 bc4k，根 据反比例函数的几何意义，面积的和差建立方程，解得 k12 【解答】解：设点 A 的坐标为（b，c） ，则点 D 的坐标为（） ， 如图所示： 点 D 在反比例函数 y（k0）图象上， 化简得：bc4k， 又ABO90， 点 C 在反比例函数 y（k0）图象上， ， 又SAOBSBOCSAOC， ， 解得：k12， 故答案为1
20、2 14如图，将半径为 4，圆心角为 120的扇形 AOB 绕 B 点顺时针旋转 60，点 O、A 的 对应点分别为点 O、A且点 O 刚好在弧 AB 上，则阴影部分的面积为 【分析】 证明BCD 是等边三角形， 根据 S阴S扇形DCE （S扇形BDCSBCD） 计算即可 【解答】解：如图，连接 BD 由题意：CDCBBD， BCD 是等边三角形， DBC60， S阴S扇形DCE（S扇形BDCSBCD） （42） +4， 故答案为+4 15如图，四边形 ABCD 是边长为 m 的正方形，若 AFm，E 为 AB 上一点且 BE3，把 AEF 沿着 EF 折叠， 得到AEF， 若BAE 为直角三
21、角形， 则 m 的值为 或 12 【分析】根据题意可得分两种情况讨论：当BAE90时，点 B、A、F 三点共线， 当AEB90时，证明四边形 AEAF 是正方形，进而可求得 BA的长 【解答】解：根据 E 为 AB 上一个动点， 把AEF 沿着 EF 折叠，得到AEF， 若BAE 为直角三角形， 分两种情况讨论： 当BAE90时，如图 1， 点 B、A、F 三点共线， 根据翻折可知： AFAF，ABm， BFm， BABFAFm， BE3， AEAEm3， AE2+AB2BE2， ， 解得，m，或 m0（舍） ， 故 m； 当AEB90时，如图 2， AEA90， 根据翻折可知： FAEA90
22、， AFFA， 四边形 AEPF 是正方形， EAm， BEABAEm3， m12， 综上，m12 或， 故答案为：12 或 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值： （1），其中 xtan30 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式（） ， ， ， 当 xtan30时， 原式3 17某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂“活动，推出了以下五种选修课程： A绘画；B唱歌；C跳舞；D演讲；E书法学校规定：每个学生都必须报名且 只能选择其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统 计，并绘制了如下两幅不完整的统计图 请结合统计图
23、中的信息解决下列问题： （1）这次抽查的学生人数是多少人？ （2）将条形统计图补充完整 （3）求扇形统计图中课程 E 所对应扇形的圆心角的度数 （4）如果该校共有 1200 名学生，请你估计该校选择课程 D 的学生约有多少人 【分析】 （1）由 D 课程的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各课程人数之和等于总人数求出 C 课程的人数，从而补全图形； （3）用 360乘以课程 E 人数所占比例即可得； （4）用总人数乘以样本中课程 D 人数所占比例即可得 【解答】解： （1）这次抽查的学生人数是 2525%100（人） ； （2）C 课程人数为 100（10+25+25+20）20（人）
24、 ， 补全图形如下： （3）扇形统计图中课程 E 所对应扇形的圆心角的度数为 36072； （4）估计该校选择课程 D 的学生约有 120025%300（人） 18如图，在ABC 中，ABAC，BC 是经过H 的圆心，交H 于点 D、E，AB、AC 是 圆的切线，F、G 是切点 （1）求证：BHCH； （2）填空： 当FHG 90 时，四边形 FHCG 是平行四边形； 当FED 22.5 时，四边形 AFHG 是正方形 【分析】 （1）证明BFHCGH 可得结论 （2）当FHG90时，四边形 FHCG 是平行四边形分别证明 FGCH，FHCG 即可 当FED22.5时，四边形 AFHG 是正方
25、形连接 EF，首先证明AFHFHG AGH90， 推出四边形AFHG是矩形， 再根据HFHG推出四边形AFHG是正方形 【解答】 （1）证明：ABAC， BC AB、AC 是H 的切线， BFHCGH90 HFHG， BFHCGH（AAS） ， BHCH （2）解：当FHG90时，四边形 FHCG 是平行四边形 理由：BFHCGH（已证） ， BFCG， ABAC， AFAG， AFGAGF， BC，A+2AGF180，A+2C180， AGFC， FGBC， AC 是H 的切线， ACHG， FHGCGH90， FHCG， 四边形 FHCG 是平行四边形 当FED22.5时，四边形 AFHG
26、 是正方形 理由：如图 1 中，连接 EF FHD2FED45， BFHCGH（已证） ， FHBGHC45， FHG90， AB，AC 是H 的切线， ABHF，ACHG， AFHAGH90， 四边形 AFHG 是矩形， HFHG， 四边形 AFHG 是正方形 故答案为 90，22.5 19如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 C 位于它的北偏东 53方 向，再航行 3km 达到 B 处（AB3km） ，测得小岛 C 位于它的北偏东 45方向小岛 C 的周围 8km 内有暗礁，如果渔船不改变航向继续向东航行，请你通过计算说明渔船有无 触礁的危险？ （参考数据：sin53，
27、cos53，tan53） 【分析】直接设 BDCDx，则 AD3+x，在 RtACD 中，tanACD，进而得出 x 的值求出答案 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂足为点 D， 由题意可得：ACD53，BCDCBD45， 故 BDCD， 设 BDCDx，则 AD3+x， 在 RtACD 中，tanACD， 则 tan53， 故， 解得：x98， 如果渔船不改变航向继续向东航行，渔船无触礁的危险 20 随着 “低碳生活， 绿色出行” 理念的普及， 新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具 某 汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解 2 辆 A 型汽车、3 辆 B 型 汽车的进
28、价共计 80 万元；3 辆 A 型汽车、2 辆 B 型汽车的进价共计 95 万元 （1）求 A、B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均 购买） ，请你帮助该公司设计购买方案 【分析】 （1）设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元，B 型汽车每辆的进价为 y 万元，根据“2 辆 A 型汽车、3 辆 B 型汽车的进价共计 80 万元；3 辆 A 型汽车、2 辆 B 型汽车的进价共 计 95 万元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 A 型汽车 m 辆，购进 B 型汽车
29、n 辆，根据总价单价数量，即可得出关 于 m，n 的二元一次方程，结合 m，n 均为正整数即可得出各购买方案 【解答】解： （1）设 A 型汽车每辆的进价为 x 万元，B 型汽车每辆的进价为 y 万元， 依题意，得：， 解得： 答：A 型汽车每辆的进价为 25 万元，B 型汽车每辆的进价为 10 万元 （2）设购进 A 型汽车 m 辆，购进 B 型汽车 n 辆， 依题意，得：25m+10n200， m8n m，n 均为正整数， n 为 5 的倍数， ， 共 3 种购买方案，方案一：购进 A 型车 6 辆，B 型车 5 辆；方案二：购进 A 型车 4 辆， B 型车 10 辆；方案三：购进 A
30、型车 2 辆，B 型车 15 辆 21如图，直线 yax+2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，与双曲线 y（x0）相交 于点 P，PCx 轴于点 C，且 PC4，点 A 的坐标为（4，0） （1）求双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，过点 Q 作 QHx 轴于点 H，当以点 Q，C， H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值，确定出直线解析式，把 y4 代入直 线解析式求出 x 的值，确定出 P 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出双曲 线解析式； （2）设 Q（m，） ，
31、分两种情况考虑：当QCHBAO 时；当QCHABO 时， 由相似得比例求出 m 的值，进而确定出 n 的值，即可得出 Q 坐标 【解答】解： （1）把 A（4，0）代入 yax+2， 得，4a+20，解得 a， 故直线 AB 的解析式为 yx+2， 把 y4 代入 yx+2，得，x+24， 解得 x4， 点 P（4，4） 把 P（4，4）代入 y，得 k16， 故双曲线的解析式为 y； （2）把 x0 代入 yx+2，得 y2， 点 B 的坐标为（0，2） ， OB2， A（4，0） ， OA4， 设 Q（m，） ，则 CHm4，QH， 由题意可知AOBQHC90， 当AOBQHC 时，即，
32、解得：m12+2，m222 （不合题意，舍去） ， 点 Q 的坐标为（2+2，44） ， 当BOAQHC 时，即， 解得 m18，m24（不合题意，舍去） ， 点 Q 的坐标为（8，2） 综上可知，点 Q 的坐标为（2+2，44）或（8，2） 22 （1）问题发现 如图 1，在平面直角坐标系中，A 点的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（0，2） ，连接 AB，点 C 是 AB 的中点，点 Q 是线段 AO 上的动点，连接 OC、CQ，以 BQ 为边构造等 边BPQ，连接 OP、PQ 填空：OP 与 CQ 的大小关系是 OPCQ OP 的最小值为 1 （2）解决问题 在（1）的条件下，点 Q
33、 运动的过程中当ACQ 为直角三角形时，求 OP 的长？ （3）拓展探究 如图 2，当点 B 为直线 x1 上一动点，点 A（2，0） ，连接 AB，以 AB 为一边向下 作等边ABP，连接 OP，请直接写出 OP 的最小值 【分析】 （1） 证明OBC 是等边三角形， 得出 OBBC， 证明PBOQBC （SAS） ， 可得出结论； 当 CQBC 时，CQ 值最小，得出最小值为OB1； （2） 分两种情况： 以 Q 点为直角顶点时， CQAO 于点 Q， 以 C 点为直角顶点时， CQAC，由直角三角形的性质可得出答案； （3）以 OA 为对称轴，在 x1 上取 D，E 两点，作等边ADE，
34、连接 EP，并延长 EP 交 x 轴于点 F证明AEPADB（SAS） ，得出AEPADB120，可求出 HF， OF，当 OPEF 时，OP 最小，则 OPOF 【解答】解： （1）问题发现 A 点的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（0，2） ， OA2，OB2， OBA60， C 是 AB 的中点， OBOC， OBC 是等边三角形， OBBC， BPQ 是等边三角形， PBBQ，PBQ60， PBOQBC， PBOQBC（SAS） ， OPCQ， C 是 AB 的中点， CQBC 时，CQ 值最小，最小值为OB1， OP 的最小值为 1 故答案为：OPCQ；1； （2）解决问题 当三
35、角形 ACQ 为直角三角形时， 以 Q 点为直角顶点时，CQAO 于点 Q， C 为 AB 的中点， AC， CQAC1， 即 OP1， 以 C 点为直角顶点时，CQAC， AC2， CQACtan302 即 OP 综上所述：当三角形 ACQ 为直角三角形时，OP 的长为 1 或； （3）拓展探究 如图，以 OA 为对称轴，在 x1 上取 D，E 两点，作等边ADE，连接 EP，并延长 EP 交 x 轴于点 F 在AEP 与ADB 中， ABAP，BADPAE，ADAE， AEPADB（SAS） ， AEPADB120， HEF60，且 EHAF， HFHA+1， FOFH+OH+2 点 P
36、在直线 EF 上运动， 当 OPEF 时，OP 最小， OPOF， 则 OP 的最小值为+1 23如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、C（0，3） 、B（2，3） （1）求抛物线的解析式； （2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的 最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由（4 个坐标） 【分析】 （1）把点 A、B、C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析 式解答即可； （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0）
37、 ，然后利用待定系数法求出直线解析式，再 表示出 PQ，然后利用二次函数的最值问题解答； （3）求出抛物线对称轴为直线 x1，然后分AB 是直角边时，写出以点 A 为直角顶点 的直线 AM 的解析式，然后求解即可，再写出以点 B 为直角顶点的直线 BM 的解析式， 然后求解即可，AB 是斜边时，设点 M 的坐标为（1，m） ，然后利用勾股定理列方程求 出 m 的值，再写出点 M 的坐标即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、C（0，3） 、B（2，3） ， ， 解得， 所以，抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0
38、） ， 则， 解得， 所以，直线 AB 的解析式为 yx+1， 设点 P 的横坐标为 x，PQy 轴， 点 Q 的横坐标为 x， PQ（x2+2x+3）（x+1） ， x2+x+2， （x）2+， 点 P 在线段 AB 上， 1x2， 当 x时，线段 PQ 的长度最大，最大值为； （3）由（1）可知，抛物线对称轴为直线 x1， AB 是直角边时，若点 A 为直角顶点，则直线 AM 的解析式为 yx1， 当 x1 时，y112， 此时，点 M 的坐标为（1，2） ， 若点 B 为直角顶点，则直线 BM 的解析式为 yx+5， 当 x1 时，y1+54， 此时，点 M 的坐标为（1，4） ， AB 是斜边时，设点 M 的坐标为（1，m） ， 则 AM2（11）2+m24+m2，BM2（21）2+（m3）21+（m3）2， 由勾股定理得，AM2+BM2AB2， 所以，4+m2+1+（m3）2（12）2+（03）2， 整理得，m23m20， 解得 m， 所以，点 M 的坐标为（1，）或（1，） ， 综上所述，抛物线的对称轴上存在点 M（1，2）或（1，4）或（1，）或（1， ） ，使ABM 为直角三角形
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