1、2020 年年全国卷全国卷 I 高考数学高考数学(理科理科) 终极冲刺卷（模拟三）终极冲刺卷（模拟三） 1.已知集合 2 1Ax x ，3, 2, 1,1,2,3B ，则AB（ ） A 3, 2, 1,2,3 B2, 1 C1,1,2,3 D3, 2 2.若复数 z 满足i24iz ，则 z 的虚部是( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.已知“命题 :pxR ，使得 2 210axx 成立”为真命题，则实数 a 满足( ) A.0,1 B.(1), C.1,) D.(1, 4.已知平面向量, a b的夹角为 3 ，且 12ab，则 2abb（ ） A64 B36 C8 D6 5.已知
2、等差数列 n a ，若 1810 2,36aaa ，则 11 a( ) A.22 B.24 C.26 D.28 6. 342 111 n xxx 的展开式中 2 x的系数是( ) A. 3 3n C B. 3 2n C C. 3 2 1 n C D. 3 3 1 n C 7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 1 的正方形，其中正视图、侧视图 中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( ) A. 5 6 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 6 8.已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点，若直线3yx与双曲线C 在第一象限交于点P，
3、过P向 x 轴作垂线，垂足为D，且D为 2 OF (O为坐标原点)的 中点，则该双曲线离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 21 D. 31 9.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了”完全数，”6 和 28，后人进一步研究发现 后续 3 个“完全数”分别为 496，8 128，33 550 336，现将这 5 个“完全数”随机分为 两组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 恰好在同一组的概率为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 5 D. 1 10 10.已知函数 ( )cossinf xxmx 的图象过点 (,2) 3 ，若函数 ( )f x在区间, a a 上单调
4、递增， 则 a 的取值范围为( ) A. (0, 6 B. (, 6 3 C. (0, 3 D. (, 6 4 11.已知点 P 在圆 22 4xy上，2,0 ,2,0AB，M 为BP中点，则sinBAM的最大值为 （ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 10 10 D. 1 4 12.已知函数( )lne(0) xa f xxaxx a ，若 ( )0f x 在 2,)x上恒成立，则实数 a 的最小值为( ) A.2e B. e C. e D. e 2 13.若实数 , x y满足条件 0 23 0 26 0 xy xy xy ，则z xy 的最小值为_. 14.已知函数 3 2 1,0,
5、 ( ) 2,0, xx f x xx 若 ( )1f x ，则x _. 15.已知等比数列 n a 的前 n 项和为 n S，且 13 1,3aS ，则 5 S=_。 16.若正三棱柱 111 ABCABC 的所有棱长都相等，D 是底边 11 AC的中点，则直线AD与平面 1 B DC所成角的正弦值为_ 17.在四边形ABCD中， 1 120 ,60 ,cos,2 7 BADBCDDADDC （1）求cosDAC及AC的长； （2）求BC的长 18.如图，在正方体 1111 ABCDABC D 中，点, ,E F G分别是棱 1111 ,BC AB BC的中点. (1)求异面直线EF与DG所
6、成角的余弦值; (2)求平面ABD与平面DBG夹角的余弦值. 19.某学习小组在研究性学习中，对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行 研究，该小组在 4 月份记录了 1 日至 6 日每天昼夜最高、最低温度（如图 1），以及浸泡的 100 颗绿豆种子当天内的出芽数（如图 2）. 根据上述数据作出散点图，可知绿豆种子出芽数（颗）和温差具有线性相关关系. 附： 11 2 2 2 11 , nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y baybx xxxnx . （1）求绿豆种子出芽数（颗）关于温差的回归方程； （2）假如 4 月 1 日至 7 日的日温差的平均值为 11
7、，估计 4 月 7 日浸泡的 10000 颗绿豆种 子一天内的出芽数. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点为 12 ,F F，左右两顶点 12 ,F F，点M为椭 圆C上任意一点，满足直线,MA MB的斜率之积为 3 4 ，且 12 MFMF 的最大值为 4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线AM与过点B且与 x 轴垂直的直线交于点D，过点,B D作 2, BPPF DQPF ，垂足分别为 ,P Q两点，求证：BPDQBD. 21.已知函数 ( )ln()f xxax aR. （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）若 2 (0,), ( )
8、xf xx 恒成立，求实数 a 的取值范围. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， C的参数方程为 12cos , 22sin x y （为参数）以O为 极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2cos2 4 （1）直线l上的M到极点O的距离是 2，求点M 的极坐标（ 0 2)， ）； （2）设直线l与C相交于,A B两点，求四边形OACB的面积 23.已知函数( )212 3.f xxx （1）求不等式( )6f x 的解集； （2）若关于 x 的不等式( )1f xa的解集非空，求实数 a 的取值范围. 参考答案及解析参考答案及解析 1.答
9、案：A 解析： (2)022 10 0 x xx xxx ，解得0x 或2x ，所以3, 2, 1,2,3AB 2.答案：D 解析：i24iz ，得 i 24i 42i,zz 的虚部是-2. 3.答案：B 解析：若0a 时，不等式 2 210axx 等价为2 10x ，解得 1 2 x ，结论成立 当0a 时，令 2 2( )1f xaxx，要使 2 210axx 成立，则满足 0 0 a 或0a ，解得 01a或0a ，综上1a ，故选 B 4.答案：D 解析：平面向量, a b的夹角为 3 ，且12ab， 则 22 1 222 1 226 2 abba bb . 故选：D. 5.答案：A
10、解析：因为 810 36aa ，所以 9 18a ，又因为 91 8aad ，所以公差2d ，所以 11 21022ad. 6.答案：D 解析：由组合数性质： 1 1 mmm nnn CCC ，可得 展开式中 2 x的系数为： 2223222 3423342 1 nn CCCCCCC 322 442 1 n CCC 32 52 1 n CC 3 3 1 n C ， 故选 D. 7.答案：A 解析：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体， 正方体的体积为 1， 四棱锥的体积为： 111 1 1 326 ， 故组合体的体积 15 1 66 V ， 故选：A 8.答案：D 解
11、析：把3yx代入双曲线方程： 22 22 1 xy ab 得： 22 2 22 3 a b x ba ， D为 2 OF (O为坐标原点)的中点， 222 22 34 a bc ba ，又 222 bca， 222222 ()44a cacca， 4224 480aa cc， 24 48ee0，解得 2 e42 3或 2 e42 3， 又e1， e31. 9.答案：B 解析：记 5 个“完全数”中随机抽出 2 个为第一组.剩下 3 个为第二组，则基本事件总数为 2 5 10C ，又 6 和 28 恰好在第一组有 1 种情况，6，28 和其他 3 个数中的 1 个在第二组有 3 种情况，所以所求
12、概率为 132 105 . 10.答案：C 解析： 因为函数 ( )cossinf xxmx 的图象过点 (,2) 3 ， 所以 cossin2 33 m ， 解得3m ， 所以 ( )cos3sin2sin() 6 f xxxx. 由 , xa a ，得 , 666 xaa.因为( )f x在, a a上单调递增，所以 ,2 ,2 ,Z 6622 aakkk ，则 2 26 2 62 ka ak ，解得 2 2 3 2 3 ak ak ， 因为aa ，所以0a .又Zk ，所以0k ，解得 0 3 a. 11.答案：B 解析：设点 M 的坐标为x y,，则22,2Pxy，将点 P 的坐标代入
13、圆的方程可得点 M 的 轨迹方程为 2 2 11xy，如图所示，当AM与圆 K 相切时，sinBAM取得最大值，此 时 1 sin 3 MK BAM AK . 12.答案：B 解析：由 ( )0f x 在 2,)x上恒成立，得ln lnee aaxx xx 在 2,)x上恒成立， 易知当 2,)x，0a 时，01,0e1 ax x ，令函数 ( )ln(01)g tttt ，则 1 ( )10g t t ，( )g t单调递增，故有 e ax x ，则 log e ln x x x a x 在2,)x上恒成立. 令( )(2) ln x F xx x ，则 2 1 ln ( ) (ln ) x
14、 F x x ，易得( ) ln x F x x 在2,e)上单调递增，在e,) 上单调递减，所以 max ( )(e)eF xF ，所以ea ，实数 a 的最小值为e 13.答案：3 解析： 作出实数 , x y满足条件 0 23 0 26 0 xy xy xy ， 的阴影区域， 如图所示， 易知， 目标函数z xy 经过点 (3,0)A 时，此时 z 最小，此时3z . 14.答案：0 解析： 3 2 1,0 ( ) 2,0 xx f x xx ， ( )1f x ， 当0x 时， 3 11x ，解得 0x ； 当0x 时， 2 21x ，无解。 0x . 故答案为：0. 15.答案：5
15、或 11 解析： 设等比数列 n a 的公比是为 q. 13 1,3aS ， 2 113qq， 解得1q 或2q ， 则 5 5S 或 5 5 12 11 12 S . 16.答案： 4 5 解析：如图，连接 1 B D易证 1 B D 平面 1 AC，过点作AGCD ， 则由 1 B D 平面 1 AC， 得 1 A G BD ， 由线面垂直的判定定理得AG 平面 1 B DC， 于是ADG 即为直线AD与平面 1 B DC所成角， 由已知，不妨令棱长为 2，则可得5ADCD， 由等面积法算得 1 4 5 5 ACAA AG CD ， 所以直线AD与面 1 B DC的正弦值为 4 5 AG
16、AD . 17.答案：（1）ACD中，由余弦定理可得： 222 164 22 22 77 AC ， 解得 8 7 7 AC ， 18 71 AC 2 7 272 cos AD27 DAC ； （2）设DACDCA ， 由（1）可得： 2 721 cos,sin 77 ， 32 71213 21 sinsin 120 272714 BAC ， sinsin()sin 1802BBACBCA 2 7214 3 sin22 777 ， 在BAC中，由正弦定理可得： sinsin BCAC BACB ， 8 73 21 714 3 4 3 7 BC 18.答案：(1)如图，以 1 ,DA DC DD为
17、正交基底建立空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为为 2，则 1 (0,0,0),(1,2,0),(2,12,2),(1,2, ),(0,0,2)DEFDG 所以(1, 1,2),(1,2,2)EFDG 所以1 1( 1)22 23EF DG . 22 |1( 1)26,| 3EFDG 从而 36 cos, 6|63 EF DG EF DG EFDG ， 所以异面直线EF与DG所成角的余弦值为 6 6 ， (2)由(1)得(2,2,0),(2,2,0)BDB ， 设平面DBG的法向量为 1( , , )nx y z 则 1 1 220 220 DB nxy DG nxyz . 取2x ，则
18、 2,1yz 则平面DBG的一个法向量为 1(2, 2,1)n 又平面ABD的一个法向量为 2 1 (0,0,2)nDD 所以 12 12 12 21 cos, 323 nn n n n n 所以平面ABD与平面DBG夹角的余弦值为 1 3 . 19.答案：（1）依照最高（低）温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表： 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 温差 x 7 8 12 9 13 11 出芽数 y 23 26 37 31 40 35 故10,32xy， i xx -3 -2 2 -1 3 1 i yy -9 -6 5 -1 8 3 6 2 1 ( 3)( 9)( 2)(
19、 6)25( 1)3 81 377 ii i xxyy ， 6 2 222222 1 ( 3)( 2)2( 1)3128 i i xx ， 所以 6 1 6 2 1 7711 284 ii i i i xxyy b xx ， 则 119 3210 42 aybx ， 所以绿豆种子出芽数 y（颗）关于温差 x（）的回归方程为 119 42 yx. （2）因为 4 月 1 日至 7 日的日温差的平均值为 11， 所以 4 月 7 日的温差 7 7 116 1017x （）， 所以 7 119 1751.25 42 y ， 所以 4 月 7 日浸泡的 10000 颗绿豆种子一天内的出芽数约为 512
20、5 颗. 20.答案：（1）根据题意 1222 12 ()4,2 2 MFMF MFMFaa ， 又设 00 (,)M xy ，所以 0 0 00 2 2 2 2 2 00 22222 00 (1) x b y yyb a xa xaxaxaa ，所以 2 2 3 4 b a ， 故 2 3b ，从而椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy . （2）证明：设直线:2 (0)AM yk xk，则： (2,4 )Dk，BD的中点为E为(2,2 )k， 联立 22 1 43 (2) xy yk x ，消去 y 整理得： 2222 (34)1616120kxk xk 设 00 ,P x y ，由韦达
21、定理得： 2 0 2 1612 2 34 k x k ， 解得： 2 0 2 68 34 k x k ，故有： 00 2 12 2 34 k yk x k ， 又 2 1,0F ，所以当 1 2 k 时， 3 1, 2 M ， 2, 2D ，此时 2 MFx 轴， 所以四边形BPQD为矩形，所以2,2BPDQBD，所以BP DQBD. 当 1 2 k 时， 0 2 0 4 = 114 PF yk k xk ，所以直线 2 2 4 :1 14 k PFyx k ， 即： 22 44 0 1414 kk xy kk ， 所以点E到直线 2 PF的距离 22 2 2 84 2 1414 2 4 ()
22、1 14 kk k kk dk k k ， 而 =4BDk，即知： 1 2 dBD ，所以以BD为直径的圆与直线 2 PF相切， 所以四边形BPQD为直角梯形，BD的中点为E， 所以 24BPDQdkBD. 21.答案：（1） 1 ( )(0)fxa x x ， 当0a时， ( )0fx ，函数 ( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，令 ( )0fx ，解得 1 0x a ，令( )0fx，解得 1 x a ，故此时函数( )f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减. （2） 2 (0,), ( )xf xx 恒成立，即 (0,)x ，都有 ln x ax x
23、， 设 ln ( )(0) x g xx x x ，则 2 2 1 ln ( ) xx g x x ， 令 2 ( )1 ln(0)h xxx x ，则 1 ( )20h xx x ， 所以( ) h x在(0,)上单调递减，且(1)0h ， 所以当 (0,1)x 时，( ) 0,( )0, ( )h xg xg x 为增函数， 当 (1,)x时，( )0,( )0, ( )h xg xg x 为减函数， 所以 max ( )(1)1g xg ，即实数 a 的取值范围为 1,) . 22.答案：（1）在直线l的极坐标方程中令2=得 c o s1 4 ，所以 4 ， 点M的极坐标为 2, 4 （
24、2）把C的方程化为普通方程得 22 (1) +(2) =4xy，圆心 (1, 2)C ， 把直线l的方程化为直角坐标方程得 2xy =0，所以， 点O到直线l的距离为 1 2d =，点C到直线l的距离为 2 2 2 d =， 把直线l的方程化为参数方程得 2 , 2 2 2 2 xt yt ，代入C的普通方程得 2+ 2 3=0tt ， 设, A B两点分别对应参数 12 ,t t，则 121 2 2,3ttt t ， 所以 2 12121 2 | |()414ABttttt t， 所以四边形OACB的面积 12 13 7 |() 22 OAB SABdd 23.答案：（1）原不等式等价于 3 2 (21)(23)6 x xx 或 13 22 (21)(23)6 x xx 或 1 2 (21)(23)6 x xx 解之得 3 2 2 x或 13 22 x或 1 1 2 x ， 即不等式的解集为| 1xx （2） ( )2123 (21)(23)4f xxxxx ， 14a ，解此不等式得 3a 或 5a .
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