1、2020 年年全国卷全国卷 I 高考数学高考数学(文科文科)终极冲刺卷（模拟六）终极冲刺卷（模拟六） 1.集合 2 0 2A ， 2 |20Bx xx，则 R AB C( ) A. B. 2 C.2 0 ， D.0 2， 2.已知复数 2 3iRzmmm m为纯虚数，则m ( ) A. 0 B. 3 C. 0 或 3 D. 4 3.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2，则双曲线 C 的渐近线的方程为( ) A. 3 3 yx B.3yx C.5yx D. 5 5 yx 4.直线3 40xyc ，圆 22 :(1)(3)4Cxy，则5c 是直线与圆相交的（
2、） A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 2 0a ， ，2sin2cos21，则sin=（ ） A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 6.函数 lnf xx x的大致图象是( ) A. B. C. D. 7.在正方体 1111 ABCDABC D 中，E为棱 1 CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值 为( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 7 2 8.已知 01ab ， ，则下列不等式成立的是( ) A. 2 aa a bb B. 2 aa a bb C. 2 aa a bb D. 2 aa a bb
3、 9.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件、80 件、60 件.为了解 它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查， 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则n ( ) A.9 B.13 C.12 D.10 10.为了得到函数 ( )cos 6 g xx 的图象，只需将函数 ( )sin 2 4 f xx 的图象上所有点 ( ) A.横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右移动 11 24 个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 1 2 ，再向右移动 11 24 个单位长度 C.向左移动 24 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短
4、到原来的 1 2 D.向左移动 24 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 11.下图是函数 2 ( )f xxaxb的部分图象，则函数 ( )ln( )g xxfx 的零点所在的区间是 （ ） A 11 () 42 ， B. (1 2)， C. (2 3)， D 1 (1) 2 ， 12.已知三棱锥PABC 中， 2 354 3 APBPAPBACBC， 且平面PAB 平面 ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.16 B.28 C.24 D.32 13.已知向量 10 1t，ab ，若2ab与a垂直，则t _ 14.已知变量x y ，满足约束条件 320
5、 615 0 0 xy xy xy ，则 2zxy 的最大值为_. 15.如图，在平面四边形ABCD中，E F ，分别为边CD AD， 上的点，DEF为等边三角形， CEEF，且 3 ABC ，13AE ，3AF ，则ABC面积的最大值为_. 16.若椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab 的左焦点为 1 F， 点P在椭圆上， 点O为坐标原点， 且 1 OPF 为正三角形，则椭圆的离心率为_ 17.已知等差数列 n a满足 357 726aaa， n a的前 n 项和为 n S. （1）求 n a及 n S； 记 12 111 . n n T SSS ，求 n T. 18.如图，已知AB
6、CD是边长为 2 的菱形， 60BAD，ACFE是矩形，平面ACFE 平面 ABCD， 6EA . （1）求证：EC 平面FDB； （2）求三棱锥EDBF的体积. 19.为了研究中小型汽车的销售情况， 某研究员在 A 地的汽车销售中心统计了该中心 11 万元 至 20 万元汽车今年的销售情况，所得数据统计处理如下图所示. （1）以每个区间的中点值作为每组数据的代表，估计该汽车中心销售出的汽车的平均售价 及汽车售价的方差； （2）若按照分层抽样的方法，在该汽车销售中心购买 11 万元至 20 万元的汽车的顾客中随 机抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人，求恰有 1 人购买的车辆售价在1
7、4 17) ， 上的概率. 20.已知抛物线 2 :4yx焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M. （1）抛物线上的点 P 满足=5PF，求点 P 的坐标； （2）设点 A 是抛物线上的动点，点 B 是FA的中点，2MCCB，求点 C 的轨迹方程 21.已知函数( )e1 x f xmxmR，. （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）设 2 13 ( ) 22 xx，当(0)x，时，( )( )f xx有两个不同实数根，求实数 m 的取 值范围. 22.在平面直角坐标系xOy中，C的参数方程为 12cos 22sin x y (为参数)，以O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
8、直线l的极坐标方程为 2cos2 4 (1)直线l上的点M到极点O的距离是2，求点M的极坐标( 0 2)，)； (2)设直线l与C相交于A B ，两点，求OAB 的面积 23.已知函数 ( ) |32|21|f xxx. （1）求不等式 ( )8f x 的解集； （2）若关于 x 的不等式 ( )(1)f xk x 恒成立，求实数 k 的取值范围. 参考答案及解析答案及解析 1.答案：C 解析：由题意得 12B ， ， |2Bx xCR 且 1x ， 2,0AB CR.故选 C. 2.答案：B 解析： 2 3iRzmmm m为纯虚数， 2 30 0 mm m ，解得3m .故选 B 3.答案：
9、B 解析： 因为双曲线 C 的离心率为 2， 所以2 c a .不妨取1a ， 则2c ， 所以 2 213b ， 所以双曲线 C 的渐近线的方程为3 b yxx a .故选 B. 4.答案：B 解析： 因为直线l与圆C相交， 所以圆心到直线的距离 3 12 2 5 c dr 得255c 所以5c 是相交的必要不充分条件.选 B 5.答案：B 解析： 由题得 2 4sincos2cos， 求得 1 tan 2 ， 根据 22 sin1 tan cos2 sincos1 ， 解得 5 sin 5 6.答案：A 解析：函数 lnf xxx，可得 fxf x， f x是奇函数，其图象关于原点 对称，
10、 排除 C， D， 又 l n1f xx ， 令 0fx 得： 1 e x ， 得出函数 f x在 1 , e 上是增函数，排除 B，故选 A 7.答案：C 解析：如图，因为/ /ABCD，所以AE与CD所成的角为EAB. 在RtABE中，设2AB ，则5BE ，则 5 tan 2 BE EAB AB ， 所以异面直线AE与CD所成角的正切值为 5 2 .故选 C. 8.答案：D 解析：取22ab=- ， =-，则 22 1 1, 2 aaaa a bbbb 9.答案：B 解析：利用分层抽样抽取甲、乙、丙三个车间的产品数量比为 120：80：60，从丙车间的产 品中抽取了3件，则 3 3 13
11、 n，得13n ，故选 B. 10.答案：D 解析：将函数 ( )f x的图象上有所点向左移动 24 个单位长度后，得到 sin 2sin 2 241243 fxxx sin 2cos 2 266 xx 的图象，再将图 象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 ( )cos 6 g xx 的图象，故选 D. 11.答案：D 解析：由函数 2 f xxaxb的部分图象得 01,10bf，即有1ab ， 从而21a ， 而 ln2g xxxa在定义域内单调递增， 11 ln10 22 ga ， 由函数 2 f xxaxb的部分图象，结合抛物线的对称轴得到： 01 2 a ，解得20a ，
12、1ln1 220gaa， 函数 lng xxfx 的零点所在的区间是 1 ,1 2 ； 12.答案：B 解析：在PAB中，由余弦定理得3AB ，又 222 ACABBC ABC 为直角三角形，CBAB ，又平面PAB 平面ABC且交于AB， CB平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为 1 2 2 BC ， 设PAB的外接圆半径为，则 3 22 3,3 2 sin 3 rr ， 设几何体的外接球半径为 R，则 222 2( 3)7R ， 所求外接球的表面积 2 428SR 故选 B. 13.答案：1 解析： (1, ),(0,1),2(1,2)tt Qabab ， 又Q向量2a
13、b与 a 垂直， (2)10tt ，即 2 (1)0t ，解得1t . 14.答案：9 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，当直线过点 (3,3)C 时， 2zxy 取得最大值 9. 15.答案：3 3 解析：在AEF中， 2 3 AFE， 3,13AFAE，由余弦定理，得 222 2 ( 13)323cos 3 EFEF ，得 1EF ，所以1CEDEDFEF， 4,2ADCD.又 3 ADC，所以在ADC中，由余弦定理，得 222 42242cos12 3 AC ，得2 3AC . 16.答案：31 解析：不妨设 1 F为右焦点，OPF (O为坐标原点)为等边三角形， 故点P横坐标为 2
14、 c ，点P到右准线的距离 222 2 22 acac d cc ，OPF边长为 c ， 22 222 22 22 PFcce e ddace 解方程得：31e ，或 31e (舍去)， 故答案为：31. 17.答案：（1）设等差数列 n a 的公差为 d， 31 571 27 21026 aad aaad 1 3 2 a d 1 21,2 2 n nn n aa anSn n （2）由 1 知： 111 11 222 n Sn nnn 123 1111111111 1 23242 n n T SSSSnn 1111323 1 22124212 n nnnn 18.答案： （1） 证明： 因为
15、ACFE是矩形， 平面ACFE 平面ABCD， 所以EA平面ABCD， 所以EABD， 因为ABCD是菱形， 所以ACBD， 又因为,EAACA EA平面ACFE， AC 平面ACFE，所以BD 平面ACFE， 所以BDEC， 设,AC BD的交点为 O，连接FO，设 ,FOCACE ，由已知可得2 3AC ，所以 3 2EC ， 3FO ，所以 6336 sin,cos,sin,cos 3333 ， 所以cos( )0 ， 所以 90， 所以OFEC， 因为,DBOFO DB平面,FDB OF 平面FDB， 所以EC 平面FDB. （2）易知10BFFD，所以FDB为等腰三角形，易知点 O
16、为BD的中点，所以 2 E DBFB OEF VV ， 因为2 3AC ，所以 1 2 363 2 2 OEF S ， 由（1）可知BD 平面ACFE，所以BO 平面OEF，易知1BO ， 所以 11 3 212 33 B OEFOEF VSBO ， 所以22 2 E DBFB OEF VV . 19.答案：（1）依题意，( 23 ) 31xxx ，解得 1 18 x ， 故所求平均售价为 132 12.515.518.516 666 （万元）， 方差 2222 132 (12.516)(15.516)(18.516)4.25 666 s . （2）由分层抽样知识可知，11,14)的抽取 1
17、人，14,17)的抽取 3 人，17,20的抽取 2 人. 记14,17)内的 3 人为, ,A B C，另外 3 人记为 , ,d e f. 则任取 3 人，所有的可能为 ,ABC ABd ABe ABf ACd ACe ACf Ade Adf Aef BCd BCe BCf Bde Bdf Bef Cde Cdf Cefdef， ，共 20 种， 其中满足条件的为 ,Ade Adf Aef Bde Bdf Bef Cde Cdf Cef，共 9 种， 故所求概率 9 20 P . 20.答案：（1）设点 P 的坐标为 (,) pp P xy 由已知可得， (1,0),15,4 pp PFx
18、xF 代入抛物线方程 2 4yx得 4 p y ， 所以点 P 的坐标为4,4或4, 4 （2）设 ( ,( , ),), ( , )B m n AxsCty ，由已知( 1,0),2MCCMB uuu vuuv 得： 1 (31) 122 2 223 2 mx xmx yny ny ， 又因为点 B 是FA的中点得， 213 23 mssx ntty ， 点 ( , )A s t在抛物线 2 4yx上，即 2 4ts，所以点 C 的轨迹方程为： 2 4 3 yx 21.答案：（1）( )exfxm ， 当0m时， ( )0fx ， ( )f x在(,) 上单调递增； 当0m 时，令( )e0
19、 x fxm，则 ln()xm ， 则 (,ln()xm 时， ( )0fx ， ( )f x单调递减， (ln(),)xm时，( )0fx ， ( )f x单调递增. 综上，当0m时， ( )f x在(,) 上单调递增； 当0m 时， ( )f x在(,ln()m 上单调递减，在(ln( ),)m上单调递增. （2）由题意知，当 (0,)x时， 2 13 e1 22 x mxx 有两个不同实数根， 则 2 11 e 22 x x m x ，记 2 11 e 22 ( ) x x g x x ， 则 2 22 1 11 (1)(1)e e (1) 2 22 ( ) x x xx xx g x
20、xx . 由（1）知，当1m 时， ( )f x在(0,)上单调递增， ( )e1(0)2 x f xxf ，即e1 x x， 111 (1)e(1)(1)(1)0 222 x xxxx ， 当01x时，( )0g x ， 当1x 时， ( )0g x ， ( )g x 在(0,1)上单调递增，在(1, )上单调递减， ( )(1)1eg xg ，又当0x 时， ( )g x ，当x时，( )g x ， 1em . 实数 m 的取值范围为(,1 e). 22.答案：(1)在直线l的极坐标方程中令2=得 c o s1 4 ，所以 4 ， 点M的极坐标为 2, 4 (2)把C的方程化为普通方程得
21、22 (1) +(2) =4xy，圆心 (1, 2)C ， 把直线l的方程化为直角坐标方程得 20xy ，所以点O到直线l的距离为2d= ， 把直线l的方程化为参数方程得 2 , 2 2 2 2 xt yt ，代入C的普通方程得 2+ 2 3=0tt ， 设, A B两点分别对应参数 12 ,t t，则 121 2 2,3ttt t ， 所以 2 12121 2 | |()414ABttttt t， 所以 1 |7 2 OAB SAB d 23.答案：（1）依题意 2 51, 3 12 ( )3, 23 1 15 , 2 xx f xxx x x 剟. 故 2 ( )83 518 x f x x ，或 12 23 38 x x 剟 ，或 1 2 158 x x ， 解得 9 5 x 或 7 5 x ，故不等式 ( )8f x 的解集为 9 | 5 x x 或 7 5 x . （2）在同一直角坐标系中分别作出函数 ( ),(1)yf x yk x 的图象，如图所示. 临界状态如图所示，观察可知， 7 5 5 k ，故实数 k 的取值范围为 7 5, 5 .
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