1、2020 年北京市海淀区高考数学二模试卷年北京市海淀区高考数学二模试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）若全集 UR，Ax|x1，Bx|x1，则（ ） AAB BBA CBUA DUAB 2 （4 分）下列函数中，值域为0，+）且为偶函数的是（ ） Ayx2 By|x1| Cycosx Dylnx 3（4 分） 若抛物线 y212x 的焦点为 F， 点 P 在此抛物线上且横坐标为 3， 则|PF|等于 （ ） A4 B6 C8
2、D10 4 （4 分）已知三条不同的直线 l，m，n 和两个不同的平面 ，下列四个命题中正确的 为（ ） A若 m，n，则 mn B若 lm，m，则 l C若 l，l，则 D若 l，l，则 5 （4 分）在ABC 中，若 a7，b8，cosB，则A 的大小为（ ） A B C D 6 （4 分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数 g（x）的 图象，则 g（x）（ ） A B Ccos2x Dcos2x 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥 的体积为（ ） A B C2 D4 8 （4 分）对于非零向量 ， ， “ （ + ） 2 2”是“
3、 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动若 D1OOP，则D1C1P 面积的最大值为（ ） A B C D 10 （4 分）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离某公 司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全， 公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座例如图中第一列所示 情况不满足条件（其中“”表示就座人员） 根据
4、该公司要求，该会议室最多可容纳的就 座人数为（ ） A9 B10 C11 D12 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分）若复数（2i） （a+i）为纯虚数，则实数 a 12 （5 分）已知双曲线 E 的一条渐近线方程为 yx，且焦距大于 4，则双曲线 E 的标准方 程可以为 （写出一个即可） 13 （5 分）数列an中，a12，an+12an，nN*若其前 k 项和为 126，则 k 14 （5 分）已知点 A（2，0） ，B（1，2） ，C（2，2） ，O 为坐标原点， 则 ，与夹角的取值范围是 15 （5 分）已知函数，给出下
5、列三个结论： 当 a2 时，函数 f（x）的单调递减区间为（，1） ； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+） ； 若 a1 且 a0，则bR，使得函数 yf（x）b 恰有 3 个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3 1 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16 （14 分）已知an是公差为 d 的无穷等差数列，其前 n 项和为 Sn又_，且 S540， 是否存在大于 1 的正整数 k，使得 SkS1？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 从
6、a14，d2 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 17 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，BCAD，ADC90， BCCDAD1，E 为线段 AD 的中点，PE底面 ABCD，点 F 是棱 PC 的中点，平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G （）求证：BEFG； （）若 PC 与 AB 所成的角为，求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值 18 （14 分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊 疗模式，某地区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务已知该地区居民约为 2000 万，从 1 岁到 101 岁的居民年
7、龄结构的频率分布直方图如图 1 所示为了解各年龄段居民签约家庭 医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图 2 所示 （）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （）若以图 2 中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生 的概率，则从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有 1 人已签约家 庭医生的概率； （）据统计，该地区被访者的签约率约为 44%为把该地区年满 18 周岁居民的签约率提 高到 55%以上， 应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释 19 （
8、15 分）已知椭圆 w：（ab0）过 A（0，1） ，B（0，1）两点，离心 率为 （）求椭圆 w 的方程； （） 过点 A 的直线 l 与椭圆 w 的另一个交点为 C， 直线 l 交直线 y2 于点 M， 记直线 BC， BM 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2的值 20 （14 分）已知函数 f（x）ex（sinx+cosx） （）求 f（x）的单调递增区间； （）求证：曲线 yf（x）在区间（0，）上有且只有一条斜率为 2 的切线 21（14 分） 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点 对任意的点 P （x， y） ， 定义|OP|x|+|y| 任 取点 A（x1，y1） ，B（x2
9、，y2） ，记 A（x1，y2） ，B（x2，y1） ，若此时|OA|2+|OB|2|OA|2+|OB|2 成立，则称点 A，B 相关 （）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； A（2，1） ，B（3，2） ；C（4，3） ，D（2，4） （）给定 nN*，n3，点集 n（x，y）|nxn，nyn，x，yZ （i）求集合 n中与点 A（1，1）相关的点的个数； （ii）若 Sn，且对于任意的 A，BS，点 A，B 相关，求 S 中元素个数的最大值 2020 年北京市海淀区高考数学二模试卷年北京市海淀区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10
10、 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 【分析】由集合间的关系直接判断 【解答】解：RAx|x1，RBx|x1，RAB， 故选：D 2【分析】 由已知结合函数奇偶性分别进行检验， 然后求出函数的值域进行检验， 即可求解 【解答】解：A：yx2为偶函数，且值域0，+） ，符合题意； B：y|x1|为非奇非偶函数，不符合题意； C：ycosx 的值域1，1，不符合题意； D：ylnx 为非奇非偶函数，且值域 R，不符合题意 故选：A 3 【分析】利用抛物线的标准方程，求出 p，通
11、过定义转化求解即可 【解答】解：抛物线 y212x 的焦点在 x 轴上，P6， 由抛物线的定义可得：|PF|xP+3+6 故选：B 4 【分析】对于 A，m 与 n 相交、平行或异面；对于 B，l 或 l；对于 C， 与 平行 或相交；对于 D，由面面垂直的判定定理得 【解答】解：三条不同的直线 l，m，n 和两个不同的平面 ， 对于 A，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 对于 B，若 lm，m，则 l 或 l，故 B 错误； 对于 C，若 l，l，则 与 平行或相交，故 C 错误； 对于 D，若 l，l，则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 正确 故选：D 5 【分
12、析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，由正弦定理可得 sinA，结 合大边对大角可求 A 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求 A 的值 【解答】解：a7，b8，cosB， sinB， 由正弦定理，可得 sinA， ab，A 为锐角， A 故选：C 6 【分析】根据平移变换法则求解 g（x）解析式 【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后， 可得 ysin2（x+）sin（2x+）cos2x； 故选：C 7 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体 ABCD， 如图所示： VABCDVABCE
13、VACDE 故选：A 8 【分析】 “ （ + ） 2 2”化为： + 2， 进而判断出结论 【解答】解； “ （ + ） 2 2”化为： + 2，即 由“ ” 反之不成立，可能| |cos ， | | “ （ + ） 2 2”是“ ”的必要不充分条件 故选：B 9 【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得 P 的轨迹，求出 P 到棱 C1D1 的 最大值，代入三角形面积公式求解 【解答】解：如图， 由正方体性质知，当 P 位于 C 点时，D1OOC， 当 P 位于 BB1 的中点 P1 时，由已知得，DD12，DOBO， BP1B1P11， 求得，OP1， ，得 OD1OP1 又
14、OP1OCO，D1O平面 OP1 C，得到 P 的轨迹在线段 P1C 上 由 C1P1CP1，可知C1CP1 为锐角，而 CC12， 知 P 到棱 C1D1 的最大值为 则D1C1P 面积的最大值为 故选：C 10 【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安 排第三排人员就坐，从而得出结论 【解答】解：第一步，在第一排安排 3 人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座 位， 第二步，在第二排安排 3 人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位， 第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐， 若四步，在第四排安排 3 人
15、就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳 3+3+1+310 人， 重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排 2 人在中间位置就坐， 重复第四步，在第四排安排 3 人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳 3+3+2+311 人 故选：C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 【解答】解：（2i） （a+i）（2a+1）+（2a）i 为纯虚数， ，即 a 故答案为： 12 【分析】由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为 x2y2（0） ，讨论
16、0， 0 时，求得双曲线的焦距，解不等式可得所求范围，可取一个特殊值，可得所求的双曲 线的标准方程 【解答】解：双曲线 E 的一条渐近线方程为 yx， 设双曲线的方程为 x2y2（0） ， 若 0，可得1，可得焦距为 24，解得 2； 若 0，则1，可得焦距为 24，解得 2， 故双曲线的方程为 x2y2（2 或 2） ， 取 4，双曲线的方程为1， 故答案为：1 13 【分析】由已知可得数列an是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，然后结合等比数 列的求和公式即可求解 【解答】解：a12，an+12an， 数列an是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 126， 故 k6 故答案
17、为：6 14 【分析】根据题意，分析可得（1，0） ，进而可得|1，即可得| |1，据此分析可得 P 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆，则设 P（2+cos，sin） ，与夹 角为 ，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，A（2，0） ，B（1，2） ，C（2，2） ，则（1，0） ， 则|1， 又由， 则|1， P 是以 A 为圆心， 半径为 1 的圆， 则设 P （2+cos， sin） ， 与夹角为 ， （02，0） ； 则（2+cos，sin） ，（2，0） ， 则|， |2， 4+2cos， 则有 cos （）（+） ， 又由+2， 当且仅当 5
18、+4cos3， 即 cos1 时， 等号成立， 则有 cos（+），又由 0，则 0， 即与夹角的取值范围是0，； 故答案为：1，0， 15 【分析】对于，当 a2 时，函数 yax+1 在（，0单调递减，y|lnx|在（0，1） 上单调递减，作出函数图象即可判断出结论 对于，对 a 分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误； 对于，令 f（x）b0，即当 x0 时，ax+1b；当 x0 时，|lnx|b；不妨设 x10 x2x3，若函数有三个零点，可得 x10，x2e b，x 3eb，进而判断出结论 【解答】解：对于，当 a2 时，函数 yax+1 在（，0单调递减，
19、y|lnx|在（0， 1）上单调递减，但是函数 f（x）在（，1）不单调递减因此错误； 对于，因为 y|lnx|0，当 a0 时，x0，y1，此时函数的最小值为 0； 当 a0 时，yax+1 在（，0上单调递增，没有最小值，且 x是，y； 当 a0 时，yax+1 在（，0上单调递减，最小值为 1，所以函数 f（x）的最小值为 0； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+） ，正确； 对于，令 f（x）b0，即当 x0 时，ax+1b；当 x0 时，|lnx|b； 不妨设 x10x2x3， 若函数有三个零点，则 x10，x2e b，x 3eb， 则 x2x31 令 x11，可
20、得 b1a a0 时，b1a0，则三个零点 x1x2x31 0a1 时，1b1a0，则三个零点 x1x2x31 综上可得：正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16 【分析】分别选择，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断 【解答】解：若选，a14， 因为an是等差数列， 所以 S554+10d40， 故 d2，k2+3k，S1a14， 由 SkS1可得 k2+3k4 可得 k1 或 k4（舍） ， 故不存在 k1 使得 SkS1； 若选，d2，因为an是等差数列，
21、 由 S55a1+10（2）40，可得 a112，13kk2， 因为 SkS1， 所以 13kk212，解可得 k1 或 k12， 因为 k121， 存在在 k1 使得 SkS1； 17 【分析】 （）由已知证明四边形 BCDE 为平行四边形，得 BECD，由直线与平面平行 的判定可得 BE平面 PDC，再由直线与平面平行的性质得到 BEGF； （）由（）可得，BECD，结合ADC90，且 PE平面 ABCD，以 E 为坐标原 点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 A（0，0，p） ，由 PC 与 AB 所成的角为，利用数量积求夹角公式解得 p，再求出
22、平面 BEF 的一个法向量及 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值 【解答】 （）证明：E 为线段 AD 的中点，且 BCAD， DEBC， 又ADBC，DEBC， 四边形 BCDE 为平行四边形，得 BECD， CD平面 PDC，BE平面 PDC，BE平面 PDC， BE平面 BEGF，平面 BEGF平面 PDCFG， BEGF； （）解：由（）可得，BECD， ADC90，AEB90，且 PE平面 ABCD， 以 E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 A（0，0，p） ，A（1，0，0） ，B（
23、0，1，0） ，C（1，1，0） ， ， PC 与 AB 所成的角为， ， （p0） ， 解得 p 则 P（0，0，） ，F（，） ，E（0，0，0） ， 设平面 BEF 的一个法向量为 由，取 z1，得 设直线 PB 与平面 BEF 所成角为 ， 则 sin 即直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值为 18 【分析】 （）由题知该地区居民约为 2000 万，由图 1 知该地区年龄在 7180 岁的居民 人数为 80 万， 由图 2 知年龄在 7180 岁的居民签约率为 0.7， 由此能求出该地区年齡在 71 80 岁且已签约家庭医生的居民人数 （）由题知此地区年龄段在 7180 的每个居
24、民签约家庭医生的概率为 p0.7，设“从该 地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人”为事件 B，由此能求出这两人中恰有 1 人已签 约家庭医生的概率 （）由图 1，2，列出表格，得到这个地区在 3150 这个年龄段的人为 740 万，基数较其 他年齡段是最大的，且签约率为 37.1%，非常低，为把该地区满 18 周岁居民的签约率提高 到 55%以上，应该着重提高 3150 这个年龄段的签约率 【解答】解： （）由题知该地区居民约为 2000 万， 由图 1 知该地区年龄在 7180 岁的居民人数为：0.00410200080 万， 由图 2 知年龄在 7180 岁的居民签约率为 0.7，
25、该地区年齡在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数为：800.756 万 （）由题知此地区年龄段在 7180 的每个居民签约家庭医生的概率为 p0.7， 且每个居民之间是否签约都是独立的， 设“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人”为事件 B， 随机变量为 x，这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为： P（x1）0.42 （）由图 1，2，知， 年龄段 该地区人数（万） 签约率% 1830 0.005102000100 0.018102000360 大于 360，小于 460 30.3 3140，4150 （0.021+0.016）102000 740 37.1 5160 0.
26、015102000300 55.7 6170 0.010102000200 61.7 7180 0.00410200080 55.7 80 以上 0.010102000200 61.7 由以上数据可知这个地区在 3150 这个年龄段的人为 740 万， 基数较其他年齡段是最大的， 且签约率为 37.1%，非常低， 为把该地区满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以上，应该着重提高 3150 这个年龄段 的签约率 19 【分析】 （）由题意可得，解得 a2，b1，c，即可求出椭圆方 程； （）设直线 l：ykx+1，与直线方程联立求出 C 的坐标，再根据斜率公式即可求出 【解答】解： （）由题
27、意可得，解得 a2，b1，c， 所以椭圆 w 的方程为+y21； （）由题意可知，直线 l 斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx+1， 由可得（4k2+1）x2+8kx0，解得 xC， 在直线 l：ykx+1，令 y2，可得 xM，即 M（，2） ， k1k+k， k23k， k1k23k 20 【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （）问题等价于在区间（0，）上，方程 excosx1 有唯一解，设 g（x）excosx，x （0，） ，求出 g（x）1 在（0，）上存在唯一一个根，从而证明结论 【解答】解： （）f（x）ex（sinx+cosx）+e
28、x（cosxsinx）2excosx， 令 f（x）2excosx0，解得：2kx2k+，kZ， 故 f（x）在（2k，2k+） （kZ）递增； （）原命题等价于：在区间（0，）上，方程 excosx1 有唯一解， 设 g（x）excosx，x（0，） ， 则 g（x）excosxexsinxexsin（x） ， x，g（x） ，g（x）的变化如下表： x （0，） （， ） g（x） + 0 g（x） 递增 极大值 递减 而 g（0）1，g（）1，g（）0， g（x）1 在（0，）上存在唯一一个根， 即 f（x）2excosx20 在（0，）上存在唯一一个零点， 曲线 yf（x）在区间（0，
29、）上有且只有一条斜率为 2 的切线 21 【分析】 （）根据题意若点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）相关，则（x1x2） （y1y2）0， 利用此不等式即可判定两点是否相关， （） （i）根据（x1x2） （y1y2）0，分别讨论在 4 个象限内，及坐标轴上与点 A（1，1） 相关的点的个数，即可算出结果； （ii）由（）可知若两个不同的点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）相关，则（x1x2） （y1y2） 0，再证明|（x1+y1）（x2+y2）|1，即可求出 S 中元素个数的最大值 【解答】解：若点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）相关，不妨设 x1，y1，x2，y20， 则
30、， （x1x2） （y1y2）0， （1）（23） （12）0，因此相关；（42） （34）0，因此不相关， （2） （i）在第一象限内， （x1） （y1）0，可知 1xn 且 1yn，有 n2个点，同理 可得在第二，第三，第四象限内，各有 n2个点， 在 x 轴正半轴上，点（1，0）满足条件， 在 y 轴正半轴上，点（0，1）满足条件， 原点（0，0）满足条件， 因此集合 n中共有 4n2+5 个点与点 A（1，1）相关， （ii）若两个不同的点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）相关，其中 x1，x20，y1，y20， 可知（x1x2） （y1y2）0，下面证|（x1+y1）（x2+y2）|1， 若 x1x2，则 y1y2，成立，若 x1x2，则 y1y2，若 x1x2，则 y1y2，亦成立， 由于|（x1+y1）（x2+y2）|（n+n）（0+0）2n， 因此最多有 2n+1 个点两两相关，其中最多有 2n1 个点在第一象限，最少有 1 个点在坐标 轴正半轴上，一个点为原点， 因此 S 中元素个数的最大值为 4（2n1）+21+18n1
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