1、已知集合 A0，1，2，3，4，5，Bx|2x4，则 AB（ ） A5 B3，4 C1，2，3 D0，1，2，3 2 （5 分）若复数（1ai）22i 是纯虚数，则实数 a（ ） A0 B1 C1 D1 3 （5 分）实数 a 使函数 f（x）（xa）2在（0，1）上是增函数”是“实数 a 对x（0， +） ，a恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知，0，则 tan（ ） A B C D 5 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为（ ） A2 B3 C D8 6 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b
2、0）的离心率为 3，则双曲线 C 的渐近线 方程为（ ） Ayx Byx Cy2x Dy2x 7 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）的图象如图所示，为了得到函 数 g（x）sin2x 的图象，只需把 f（x）上所有的点（ ） A向右平行移动个单位长度 第 2 页（共 27 页） B向右平行移动个单位长度 C向左平行移动个单位长度 D向左平行移动个单位长度 8 （5 分） 设 D 为ABC 所在平面内一点， 若2，+， 则 （ ） A2 B C D2 9 （5 分）如图，圆柱 O1O2的底面直径与高都等于球 O 的直径，记圆柱 O1O2的表面积为 S1，球 O 的表面积为 S
3、2，则（ ） A1 B C D 10 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足 f （1+x）f （1x） 若 f （1） 1，则 f （1）+f （2）+f （3）+f （2019）（ ） A1 B0 C1 D2019 11 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与抛 物线 C 的一个交点，若3，则|QF |（ ） A3 B C4 或 D3 或 4 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）f（x）kx+1若 g（x）恰有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，） C （） D （1
4、，） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） （x）6的展开式中的常数项是 （用数字作答） 第 3 页（共 27 页） 14 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若（ab） （sinA+sinB）c （sinB+sinC） ，则 A 16 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 P 是棱 AA1的中点，则过点 P 且 与直线 BC1垂直的平面截正方体所得的截面的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答
5、应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 （12 分）已知数列an满足 a12，anan+12n （1）证明：为常数； （2）设数列an的前 n 项和为 Tn，求 T2n 18 （12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，以 BE 为折痕把ABE 折起使点 A 到达点
6、A1的位 置，且 A1C1，如图 2 第 4 页（共 27 页） （1）证明：平面 A1BE平面 BCDE； （2）求二面角 CA1BE 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P（， 1）在椭圆 C 上，且满足1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设倾斜角为 45的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，记OAB 的面积为 S，求 S 取最大 值时直线 l 的方程 20 （12 分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位 120 名职工进行了一次业务技能测 试，测试项目共 5 项现从中随机抽取了 10 名职工的测试结果，将它们编号后得到它们 的统
7、计结果如下表（表 1）所示（ “”表示测试合格， “”表示测试不合格） ： 表 1 测试项目 编号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 5 页（共 27 页） 10 规定：每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分 （1）以抽取的这 10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率 设抽取的这 10 名职工中，每名职工测试合格项的项数为 X，根据上面的测试结果统计 表，列出 X 的分布列，并估计这 120 名职工的平均得分； 假设各名职工的各项测试结果相互独立某科室有 5 名职工，求这 5 名职工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率； （2）已知在测试中
8、，测试难度的计算公式为 Ni，其中 N 为第 i 项测试的难度，Ri 为第 i 项合格的人数，Z 为参加测试的总人数，已知抽取的这 10 名职工每项测试合格人 数及相应的实测难度如下表（表 2） 表 2 测试项目 1 2 3 4 5 实测合格人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 定义统计量 S（N1N）2+（N2N）2+（NnN）2，其中 Ni为第 i 项的 实测难度，N为第 i 项的预估难度（i1，2，n） 规定：若 S0.05，则称该次测 试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表（表 3） 所示 表 3： 测试项目 1 2
9、 3 4 5 测试前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 判断本次测试的难度预估是否合理 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2tex+2t2 （1）讨论 f（x）在 R 上的单调性； （2）tR，xR，总有 f（x）x2+2tx+成立，求实数 m 的取值范围 (二）选考题：共二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 第 6 页（共 27 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原
10、点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2） 已知过点M （1， 0） 且倾斜角为的直线l与曲线C交于A， B两点， 求 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|mx1|+|2x1| （1）当 m1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）2x+1 在 x1，2上恒成立，求 m 的取值范围 第 7 页（共 27 页） 2018-2019 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考
11、答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，4，5，Bx|2x4，则 AB（ ） A5 B3，4 C1，2，3 D0，1，2，3 【分析】直接利用交集运算得答案 【解答】解：AB0，1，2，3，4，5x|2x40，1，2，3 故选：D 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）若复数（1ai）22i 是纯虚数，则实数 a（ ） A0 B1 C
12、1 D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解 【解答】解：由（1ai）22i（1a）（2a+2）i 是纯虚数， 得，即 a1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）实数 a 使函数 f（x）（xa）2在（0，1）上是增函数”是“实数 a 对x（0， +） ，a恒成立”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】实数 a 使函数 f（x）（xa）2在（0，1）上是增函数，利用二次函数的单调 性即可得出 a 的取值范围由实数 a 对x（0，+） ，a恒成立
13、” ，则 a 由 x（0，+） ，利用基本不等式的性质可得的最小值 【解答】解：实数 a 使函数 f（x）（xa）2在（0，1）上是增函数，则 a0 第 8 页（共 27 页） x（0，+） ，x+22，当且仅当 x1 时取等号 实数 a 对x（0，+） ，a恒成立” ，a1 实数 a 使函数 f（x）（xa）2在（0，1）上是增函数”是“实数 a 对x（0，+） ， a恒成立”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考 查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知，0，则 tan（ ） A B C D 【分析】将已知等式
14、记作，左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简求出 2sincos 的值， 并根据 2sincos 的值为负数及 的范围得到 sin 大于 0， cos 小于 0， 进而得到 sincos 大于 0，然后利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简 （sincos） 2，将 2sincos 的值代入求出（sincos）2 的值，开方求出 sincos 的值，记作，联立求出 sin 与 cos 的值，然后将所求的式子利用同角三角函数 间的基本关系弦化切，即可求出 tan 的值 【解答】 解： 将 sin+cos， 左右两边平方得：（sin+cos） 2sin2+cos2+2sincos
15、， 又 sin2+cos21，1+2sincos，即 2sincos0， 又 0，sin0，cos0，即 sincos0， （sincos）2sin2+cos22sincos12sincos， sincos，或 sincos（舍去） ， 联立解得：sin，cos， 则 tan 另解：将 sin+cos，左右两边平方得： 第 9 页（共 27 页） （sin+cos）2sin2+cos2+2sincos， 即为， 即有 12tan2+25tan+120， 解得 tan或 由 sin+cos0，且 cos0， 易得 tan1，则 tan 故选：A 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完
16、全平方公式的运用，熟练掌握 基本关系是解本题的关键 5 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为（ ） A2 B3 C D8 【分析】先根据约束条件画出可行域，由 zx+2y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求 出直线 z2x+y 过可行域内的点 B 时，从而得到 zx+2y 的最大值即可 【解答】解：x，y 满足约束条件画出可行域， 设 zx+2y，由，解得 B（3，） 将 z 的值转化为直线 zx+2y 在 y 轴上的截距的一半， 当直线 zx+2y 经过点 B（3，）时，z 最大， 最大值为：8 故选：D 第 10 页（共 27 页） 【点评】本题主要考查了用平面
17、区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结 合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分 三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 6 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的离心率为 3，则双曲线 C 的渐近线 方程为（ ） Ayx Byx Cy2x Dy2x 【分析】利用双曲线的离心率，而渐近线中 a，b 关系，结合 c2a2+b2找关系即可 【解答】解：e3，又因为在双曲线中，c2a2+b2， 所以 e21+9， 故 2， 所以双曲线 C：1 的渐近线方程为 yx2x， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质：离心率和渐近线，属基础知识的考查在双曲
18、线中， 要注意条件 c2a2+b2的应用 7 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）的图象如图所示，为了得到函 数 g（x）sin2x 的图象，只需把 f（x）上所有的点（ ） A向右平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度 C向左平行移动个单位长度 D向左平行移动个单位长度 【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（x）得解析式，再利用函数 第 11 页（共 27 页） yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：根据函数 f（x）sin（x+） （0，|）的图象，可得 ，2， 再根据五点法作图可得 2+，f（x）sin（2x+） 故把 f（x）
19、上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数 g（x）sin2x 的图象， 故选：A 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ， 由五点法作图求出 的值，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 8 （5 分） 设 D 为ABC 所在平面内一点， 若2，+， 则 （ ） A2 B C D2 【分析】 由向量共线的充要条件有： 点 B 为 AD 的中点， 由平面向量的线性运算得： +2+2（）+2，即 1，2，得解 【解答】 解：由2，得：点 B 为 AD 的中点， 则+2+2（）+2， 即 1，2， 即， 故选：A 【点评】本题考查了向量共线及平面
20、向量的线性运算，属简单题 9 （5 分）如图，圆柱 O1O2的底面直径与高都等于球 O 的直径，记圆柱 O1O2的表面积为 S1，球 O 的表面积为 S2，则（ ） 第 12 页（共 27 页） A1 B C D 【分析】设球 O 的直径为 2R，则 S12R2+2R2R6R2，S24R2，由此能求 出的值 【解答】解：设球 O 的直径为 2R， 圆柱 O1O2的底面直径与高都等于球 O 的直径， 记圆柱 O1O2的表面积为 S1，球 O 的表面积为 S2， S12R2+2R2R6R2， S24R2， 故选：C 【点评】本题考查圆柱的表面积和球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位
21、置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空 间想象能力，是中档题 10 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足 f （1+x）f （1x） 若 f （1） 1，则 f （1）+f （2）+f （3）+f （2019）（ ） A1 B0 C1 D2019 【分析】推导出函数 f（x）为周期为 4 的周期函数，f （1）1，f（2）f（0+2） f（0）0，f（3）f（1+2）f（1）1，f（4）f（0）0，由此能求出 f （1） +f （2）+f （3）+f （2019）的值 第 13 页（共 27 页） 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数
22、，满足 f （1+x）f （1x） 函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，则有 f（x）f（x+2） ， 又由函数 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x） ，则有 f（x）f（x+4） ， 则函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， f （1）1，f（2）f（0+2）f（0）0， f（3）f（1+2）f（1）1，f（4）f（0）0， f （1）+f （2）+f （3）+f （2019） 504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1）+f（2）+f（3） 5040+1+01 0 故选：B 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，是
23、基础题 11 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与抛 物线 C 的一个交点，若3，则|QF |（ ） A3 B C4 或 D3 或 4 【分析】过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 Q，根据已知条件，结合抛物线的定义得得 ，即可得出结论 【解答】解：过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 Q，根据已知条件，结合抛物线的定义得 ， FFp2，|QQ|， |QF| 故选：B 第 14 页（共 27 页） 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），
24、g（x）f（x）kx+1若 g（x）恰有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，） C （） D （1，） 【分析】由题意可得 f（x）kx1 有四个不等实根，作出 yf（x）的图象和直线 ykx 1，将直线绕着（0，1）旋转，考虑直线与 ylnx 相切时 k 的值，即可得到所求范围 【解答】解：函数 f（x）， g（x）f（x）kx+1 若 g（x）恰有 4 个零点， 则 f（x）kx1 有四个不等实根， 作出 yf（x）的图象和直线 ykx1， 当 k0 时，x2+（3k）x+10， 由（3k）24k26k+50， yf（x）的图象与直线 ykx1 有三个交
25、点； 当 k0 时，当直线 ykx1 与 ylnx 相切时， 设切点为（m，lnm） ，即有 k，km1lnm， 解得 m1，k1， 由图象可得 0k1 时，yf（x）和直线 ykx1 有四个交点 故选：A 第 15 页（共 27 页） 【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查导数的几何意义，以 及运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） （x）6的展开式中的常数项是 15 （用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求 得
26、展开式中的常数项 【解答】解：（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）r， 令 60，求得 r4，故（x）6的展开式中的常数项是 15， 故答案为：15 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，求展开式中某项的系数，属于中档题 14 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 42 第 16 页（共 27 页） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 s0，a2，i1 执行循环体，s2，a4，i2 不满
27、足条件 i6，执行循环体，s6，a6，i3 不满足条件 i6，执行循环体，s12，a8，i4 不满足条件 i6，执行循环体，s20，a10，i5 不满足条件 i6，执行循环体，s30，a12，i6 不满足条件 i6，执行循环体，s42，a14，i7 满足条件 i6，退出循环，输出 s 的值为 42 故答案为：42 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若（ab） （sinA+sinB）c （sinB+sinC） ，则 A 【分析】由已知利用正弦定理可得 b2+c
28、2a2bc再利用余弦定理可得 cosA，进而可求 A 的值 【解答】解：（ab） （sinA+sinB）c（sinB+sinC） ， 第 17 页（共 27 页） 由正弦定理可得： （ab） （a+b）c（b+c） ，化为 b2+c2a2bc 由余弦定理可得：cosA， A（0，） ， 可得 A， 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了转化思想，属于基础题 16 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 P 是棱 AA1的中点，则过点 P 且 与直线 BC1垂直的平面截正方体所得的截面的面积为 2 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出过点 P 与直
29、线 BC1垂直的截面图形是矩形， 求出它的面积值 【解答】解：如图所示，取 AD 的中点 Q，BC 的中点 M，BB1的中点 N， 连接 PQ、QM、MN 和 NP， 则平面 PQMN平面 A1B1CD， 又 BC1平面 A1B1CD， BC1平面 PQMN， 且 PQA1D； PN2， 矩形 PQMN 的面积为 22， 过点 P 与直线 BC1垂直的截面面积为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了正方体的截面面积计算问题，解题的关键是找出满足条件的面积， 第 18 页（共 27 页） 是基础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证
30、明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 （12 分）已知数列an满足 a12，anan+12n （1）证明：为常数； （2）设数列an的前 n 项和为 Tn，求 T2n 【分析】 （1）将 anan+12n中的 n 换为 n+1，两式相除，即可得证； （2）由（1）可得a2n1以 2 为首项，2 为公比的等比数列，a2n以 1 为首项，2 为公 比的等比数列，再由数列的分组求和和等比数列的求和公式，即可得到所求和
31、 【解答】解： （1）证明：数列an满足 a12，anan+12n， 可得 an+1an+22n+1， 两式相除可得2， 即为常数； （2）a12，a1a22， 可得 a21， 即有a2n1以 2 为首项，2 为公比的等比数列， a2n以 1 为首项，2 为公比的等比数列， T2n（a1+a3+a2n1）+（a2+a4+a2n） + 32n3 【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等比数列的求和公式的运用，以及 运算能力，属于中档题 18 （12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，以 BE 为
32、折痕把ABE 折起使点 A 到达点 A1的位 置，且 A1C1，如图 2 第 19 页（共 27 页） （1）证明：平面 A1BE平面 BCDE； （2）求二面角 CA1BE 的余弦值 【分析】 （1）推导出 BEAC，AOOC，A1OOC，从而 A1O平面 BCDE，由此能证 明平面 A1BE平面 BCDE （2）分别以 OB，OC，OA1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出二面角 CA1BE 的余弦值 【解答】证明： （1）在图（1）中，ADBC，ABBC1，AD2， E 是 AD 的中点，BAD， 四边形 ABCE 为正方形，BEAC，AOOC， 即在图 2
33、 中，A1OBE，BEOC，A1OOC， A1C1，在A1OC 中，+OC2， A1OOC， A1O平面 BCDE， A1O平面 A1BE，平面 A1BE平面 BCDE 解： （2）由（1）知 OA1，OB，OC 互相垂直，分别以 OB，OC，OA1所在直线为 x，y， z 轴，建立空间直角坐标系， A1BA1EBCED1， O（0，0，0） ，B（，0，0） ，A1（0，0，） ，C（0，0） ， （，0） ，（0，） ，（0，0） ， 设平面 A1BC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 第 20 页（共 27 页） 由（1）得平面 A1BE平面 BCDE，
34、且 OCBE， OC平面 A1BE，（0，0）是平面 A1BE 的法向量， 设二面角 CA1BE 的平面角为 ， 则 cos 二面角 CA1BE 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P（， 1）在椭圆 C 上，且满足1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设倾斜角为 45的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，记OAB 的面积为 S，求 S 取最大 值时直线 l 的方程 【分析】 （1）设 F1（c，0） ，F2（
35、c，0） ，由1，可得 c22，由 PF1+PF2 42a，可得 a2，即可得椭圆 C 的方程； （2） 设倾斜角为 45的直线 l 方程为 yx+m， AB ，O 到直线 l 的距离 d S即可求解 【解答】 解： （1） 设 F1（c， 0） ， F2（c， 0） ， 第 21 页（共 27 页） 12c2+11，c22， ， PF1+PF242a，a2，可得 b2a2c22 椭圆 C 的方程：； （2）设倾斜角为 45的直线 l 方程为 yx+m 由可得 3x2+4mx+2m240488m20，m28 ， AB， O 到直线 l 的距离 d S 当且仅当 m26m2，即 m OAB 的面
36、积的最大值为此时直线 l 的方程为 yx 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值的求法，是中档题，解题时 要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用 20 （12 分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位 120 名职工进行了一次业务技能测 试，测试项目共 5 项现从中随机抽取了 10 名职工的测试结果，将它们编号后得到它们 的统计结果如下表（表 1）所示（ “”表示测试合格， “”表示测试不合格） ： 表 1 测试项目 编号 1 2 3 4 5 1 2 3 第 22 页（共 27 页） 4 5 6 7 8 9 10 规定：每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分
37、（1）以抽取的这 10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率 设抽取的这 10 名职工中，每名职工测试合格项的项数为 X，根据上面的测试结果统计 表，列出 X 的分布列，并估计这 120 名职工的平均得分； 假设各名职工的各项测试结果相互独立某科室有 5 名职工，求这 5 名职工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率； （2）已知在测试中，测试难度的计算公式为 Ni，其中 N 为第 i 项测试的难度，Ri 为第 i 项合格的人数，Z 为参加测试的总人数，已知抽取的这 10 名职工每项测试合格人 数及相应的实测难度如下表（表 2） 表 2 测试项目 1 2 3 4 5 实测
38、合格人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 定义统计量 S（N1N）2+（N2N）2+（NnN）2，其中 Ni为第 i 项的 实测难度，N为第 i 项的预估难度（i1，2，n） 规定：若 S0.05，则称该次测 试的难度预估合理，否则为不合理测试前，预估了每个测试项目的难度，如下表（表 3） 所示 表 3： 测试项目 1 2 3 4 5 测试前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 第 23 页（共 27 页） 判断本次测试的难度预估是否合理 【分析】 （1）根据测试结果统计表，得 X 的分布列，从而求出 X 的数学期望 E（X） 3.2估计这 1
39、20 名职工的平均得分为 5E（X） ，由此能求出结果 “得分不小于 20 分” ， 即 “X4” ， P （X4） P （X4） +P （X5） 0.4+0.10.5 设 该科室 5 名职工中得分不小于 20 分的人数为 ，则 B（5，0.5） ，由此能求出这 5 名职 工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率 （2）由题意知 S2（0.80.9）2+（0.80.8）2+（0.70.7）2+（0.70.6）2+（0.2 0.4）20.0120.05，从而本次测试的难度预估是合理的 【解答】解： （1）根据上面的测试结果统计表，得 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 0 0.
40、1 0.2 0.2 0.4 0.1 X 的数学期望 E（X）10.1+20.2+30.2+40.4+50.13.2 每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分， 估计这 120 名职工的平均得分为 5E（X）3.2516 “得分不小于 20 分” ，即“X4” ， 由知 P（X4）P（X4）+P（X5）0.4+0.10.5 设该科室 5 名职工中得分不小于 20 分的人数为 ，则 B（5，0.5） ， P（4）P（4）+P（5） ， 这 5 名职工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率为 （2）由题意知： S2（0.80.9）2+（0.80.8）2+（0.70.7）2+（0.70.6）2+（
41、0.20.4）20.012 0.05， 本次测试的难度预估是合理的 【点评】本题概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识 解决简单实际问题的能力，数据处理能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2tex+2t2 （1）讨论 f（x）在 R 上的单调性； 第 24 页（共 27 页） （2）tR，xR，总有 f（x）x2+2tx+成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）求出函数 f（x）的导数，通过讨论 t 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）等价于tR，xR，2t22（ex+x）t+e2x+x20 恒成立，得到4（ex+x） 28（e2x+x
42、2 ）0， 法一：问题转化为 m2e2x2xex+x2成立，根据函数的单调性求出 m 的范围即可； 法二：问题转化为 m2（exx）2，令 （x）exx，根据函数的单调性求出 m 的范 围即可 【解答】解： （1）函数 f（x）e2x2tex+2t2， f（x）2ex（ext） ， 当 t0 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在 R 递增， 当 t0 时，由 f（x）0，解得：xlnt， 故 xlnt 时，f（x）0，f（x）递减， xlnt 时，f（x）0，f（x）递增， 综上，当 t0 时，f（x）在 R 递增， 当 t0 时，f（x）在（，lnt）递减，在（lnt，+）递增； （2）由
43、 f（x）x2+2tx+， 得 2t22（ex+x）t+e2x+x20， 故tR，xR，总有 f（x）x2+2tx+成立， 等价于tR，xR，2t22（ex+x）t+e2x+x20 恒成立， 故4（ex+x）28（e2x+x2）0， 法一：整理得：xR，m2e2x2xex+x2成立， 令 g（x）e2x2xex+x2，则 g（x）2（ex1） （exx） ， 令 （x）exx，则 （x）ex1， 当 x0 时，（x）0，（x）在（0，+）递增， 当 x0 时，（x）0，（x）在（，0）递减， 故 （x）（0）10， 故 x0 时，g（x）0，g（x）在（0，+）递增， 第 25 页（共 27 页） 当 x0 时，g（x）0，g（x）在（，0）递减， 故 g（x）ming（0）1， 故 m21，解得：1m1， 故实数 m 的范围是（1，1） ； 法二：整理得 m2（exx）2， 令 （x）exx，则 （x）ex1， 当 x0 时，（x）0，（x）在（0，+）递增， 当 x0 时，（x）0，（x）在（，0）递减， 故 （x）min（0）10， 故 m21，解得：1m1， 故实数 m 的范围是（1，1）
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