1、设全集 U 是实数集 R， Mx|log2x1， Nx|1x3， 则 （UM） N （ ） Ax|2x3 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|x2 2 （4 分）已知等差数列an中，anan1（n2） ，若 a31，a2a4，则 a1（ ） A1 B0 C D 3 （4 分）已知 sin2，则 cos2（）（ ） A B C D 4 （4 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺， 重士斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺， 一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 10 斤；在细的一端截下 1 尺，重 4 斤，问依 次每
2、一尺各重多少斤？”设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（ ） A5.5 斤 B8.5 斤 C35 斤 D40 斤 5 （4 分）设正实数 a，b，c 分别满足 a2a1，blog2b1，clog3c1，则 a，b，c 的大小 关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 6 （4 分）在ABC 中，BD 为 AC 边上的中线，E 为 BD 的三等分点且 DE2BE，则 （ ） A B C D 7 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）2 x1，若 f（a2 3）+f（2a）0，则实数 a 的数值范围（ ） A （，31，+） B3，1
3、 C （3，1） D （，3）（1，+） 8 （4 分）已知函数 f（x）x2的在 x1 处的切线与函数 g（x）的图象相切，则实数 a（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 9 （4 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的周期为 ，将其图 象向右平移个单位长度后关于 y 轴对称，现将 yf（x）的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 所得图象对应的函数为 g （x） ， 若， 则 （ ） A B C D 10 （4 分）已知函数 f（x）x+与函数 g（x）3+的图象在区间上恰有 两对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是（
4、） A B C2ln2，2） D （2ln2，2） 11 （4 分）下列结论正确的是（ ） A若 ab0，cd0，则一定有 B若 xy0，且 xy1，则 x+ C设an是等差数列，若 a2a10，则 a2 D若 x0，+） ，则 ln（1+x）x 12 （4 分）已知函数的定义域为m，n（mn） ，值域为 ，则 nm 的值不可能是（ ） A B C D 13 （4 分）已知函数 yf（x）是 R 上的奇函数，对任意 xR，都有 f（2x）f（x）+f （2）成立，当 x1，x20，1，且 x2x2时，都有，则下列结论正 确的有（ ） Af（1）+f（2）+f（3）+f（2019）0 B直线 x
5、5 是函数 yf（x）图象的一条对称轴 C函数 yf（x）在7，7上有 5 个零点 D函数 yf（x）在7，5上为减函数 第 3 页（共 23 页） 二、填空题，本大题共有二、填空题，本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）已知，则向量的夹角 为 15 （4 分）已知 x0，y0，x+3y+xy9，则 x+3y 的最小值为 16 （4 分）已知函数 f（x）x1alnx（a0）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f （x）在1，e2上的最大值与最小值的和为 17 （4 分）已知函数 f（x），对于任意的， 存在，使 f（x1）g（x2） ，则
6、实数 a 的取值范围为 ；若不等式 f （x）+xg（x）有且仅有一个整数解，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （13 分）已知an为公差不为 0 的等差数列，a12，且 a1，a3，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bccosA+asinC （1）求角 C； （2）若 AC 边上的高长为b，求 cosB 20
7、（13 分）已知函数 f（x）exax2（aR） （1）当 a2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围 21 （13 分）随着创新驱动发展战略的不断深入实施，高新技术企业在科技创新和经济发展 中的带动作用日益凸显，某能源科学技术开发中心拟投资开发某新新能源产品，估计能 获得 25900 万元的投资收益， 现准备制定一个对科研课题组的奖励议案； 奖金 y （单位： 万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过 90 万元，同时奖金不超 过投资收益的 20% （即：设奖励方案函数模拟为 yf（x）时
8、，则公司对函数模型的基 本要求是：当 x25，900时，f（x）是增函数；f（x）90 恒成立；f（x） 恒成立 ） （1）现有两个奖励函数模型： （I）f（x）x+10； （II）f（x）26试分析这 第 4 页（共 23 页） 两个函数模型是否符合公司要求？ （2）已知函数 f（x）a符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取 值范围 22（15 分） 若各项均为正数的数列an的前 n 项和 Sn满足 an+122Sn+n+2 （nN*） ， 且 a3+a5 10 （1）判断数列an是否为等差数列？并说明理由； （2）求数列an的通项公式； （3）若 bn2nan，求数列bn的前 n
9、项和 Tn 23 （15 分）已知函数 f（x）mlnxx+ （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，不等式a 恒成立，求实数 a 的取 值范围 第 5 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题： 本大题共一、 选择题： 本大题共 13 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 52 分 在每小题给出的四个选项中， 第分 在每小题给出的四个选项中， 第 1 10 题只有一项符合题目要求，第题只有一项符合题目要求，第 111
10、3 题有多项符合题目要求全部选对的得题有多项符合题目要求全部选对的得 4 分，选对分，选对 但不全的得但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 1 （4 分） 设全集 U 是实数集 R， Mx|log2x1， Nx|1x3， 则 （UM） N （ ） Ax|2x3 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|x2 【分析】先求出集合 M，N，由此能求出UM，从而能求出（UM）N 【解答】解：全集 U 是实数集 R， Mx|log2x1x|x2，Nx|1x3， UMx|x2， （UM）Nx|1x2 故选：C 【点评】本题考查补集、交集求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考 查运算求
11、解能力，是基础题 2 （4 分）已知等差数列an中，anan1（n2） ，若 a31，a2a4，则 a1（ ） A1 B0 C D 【分析】由 a31，利用等差数列的性质可得：a2+a42a32，又 a2a4，求出 a2， a4进而可得 a1 【解答】解：因为数列an为等差数列， 所以 a2+a42a32，又 a2a4， 又因为 anan1（n2） ，解得 a2，a4， 故 d， 所以 a1a2d0 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，属于基础题 第 6 页（共 23 页） 3 （4 分）已知 sin2，则 cos2（）（ ） A B C D 【分析】直接对关系式进
12、行恒等变换，然后根据已知条件求出结果 【解答】解：， 由于：， 所以：， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关 的运算问题，注意关系式的变换技巧 4 （4 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺， 重士斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺， 一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 10 斤；在细的一端截下 1 尺，重 4 斤，问依 次每一尺各重多少斤？”设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（ ） A5.5 斤 B8.5 斤 C35 斤 D40 斤 【分析
13、】金杖每一尺的重量组成等差数列，求出前 5 项和即可 【解答】解：设金杖从粗到细每一尺的重量为 an，则an为等差数列，n5 由题意可知 a110，a54， 设an的前 n 项和为 Sn，则 S535 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的应用，属于基础题 5 （4 分）设正实数 a，b，c 分别满足 a2a1，blog2b1，clog3c1，则 a，b，c 的大小 关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 【分析】可在同一坐标系中作出函数和 ylog3x 的图象，根据 图象上交点的横坐标的大小即可判断出 a，b，c 的大小关系 第 7 页（共 23 页） 【解答】解：在同一坐标系
14、中，作出的图象， 由图象得，cba 故选：C 【点评】本题考查了通过作函数图象解决问题的方法，考查了作图能力，属于中档题 6 （4 分）在ABC 中，BD 为 AC 边上的中线，E 为 BD 的三等分点且 DE2BE，则 （ ） A B C D 【分析】利用向量共线定理、向量三角形法则即可得出 【解答】解：如图所示， +，（+） 故选：A 【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 第 8 页（共 23 页） 7 （4 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）2 x1，若 f（a2 3）+f（2a）0，则实数 a 的数
15、值范围（ ） A （，31，+） B3，1 C （3，1） D （，3）（1，+） 【分析】根据 f（x）是 R 上的奇函数可得出 f（0）0，从而根据 x0 时的 f（x）解析 式可判断出 f（x）在 R 上是减函数，从而根据 f（a23）+f（2a）0 可得出 a23 2a，解出 a 的范围即可 【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数， f（0）0，且 x0 时，f（x）2 x1 是减函数， f（x）在 R 上是减函数， 由 f（a23）+f（2a）0 得，f（a23）f（2a） ， a232a，解得 a3 或 a1， 实数 a 的取值范围是（，31，+） 故选：A 【点评】本题考查了奇函
16、数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为 0，指数 函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题 8 （4 分）已知函数 f（x）x2的在 x1 处的切线与函数 g（x）的图象相切，则实数 a（ ） A B C D 【分析】利用导数求出函数 f（x）x2在 x1 处的切线的方程，设该切线与函数 g（x） 的图象切于（） ，再由斜率相等及在（）处的函数值相等联立 求解 【解答】解：由 f（x）x2，得 f（x）2x，则 f（1）2 函数 f（x）x2的在 x1 处的切线方程为 y12（x1） ，即 y2x1； 设直线 y2x1 与函数 g（x）的图象相切于（） ， 则 g（x0）， 第 9
17、页（共 23 页） 联立解得，a 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法， 考查计算能力，是中档题 9 （4 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的周期为 ，将其图 象向右平移个单位长度后关于 y 轴对称，现将 yf（x）的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 所得图象对应的函数为 g （x） ， 若， 则 （ ） A B C D 【分析】利用函数的周期求解 ，函数的图象的平移求解 ，通过伸缩变换求出 g（x） 的解析式，利用已知条件求解 A，然后求解 f（）即可 【解答】解：函数 f（x）Asin（x
18、+） （A0，0，0）的周期为 ，可得 2， 将其图象向右平移个单位长度后关于 y 轴对称， 可得 yAsin（2x+）0，所以 ，所以 将 yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 所得图象对应的函数为 g（x）Asin（x+） ， 若，可得：Asin（+） ，可得 A， f（x）sin（2x+） ， f（）sin（+）sin， 故选：B 【点评】本题考查三角函数的图象的变换，函数的解析式的求法以及函数值的求法，考 查分析问题解决问题的能力，是中档题 10 （4 分）已知函数 f（x）x+与函数 g（x）3+的图象在区间上恰有 两对关于 x 轴对称的点，则实数
19、m 的取值范围是（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C2ln2，2） D （2ln2，2） 【分析】将问题转化 g（x）f（x）为在，2上有两个解，然后分离参数得 m3x lnxx2，讨论函数 y3xlnxx2的图象与 ym 在，2上有两个解 【解答】解：函数 f（x）x+与函数 g（x）3+的图象在区间上恰有 两对关于 x 轴对称的点； 即 g（x）f（x）为在，2上有两个解； 即 在，2上有两个解； 即 m3xlnxx2 在，2上有两个解； 设 h（x）3xlnxx2，则； h（x）在上单调递增，在1，2上单调递减； 又 h（1）2，h（2）2ln2，且 h（）h（2） ； m2
20、； 故选：A 【点评】本题考查函数图象的对称性，分离参数的思想方法，利用导数讨论函数的单调 性，属于中档题 11 （4 分）下列结论正确的是（ ） A若 ab0，cd0，则一定有 B若 xy0，且 xy1，则 x+ C设an是等差数列，若 a2a10，则 a2 D若 x0，+） ，则 ln（1+x）x 【分析】利用综合法证明，判断 A 正确； 令 x2，y，得出不等式不成立，判断 B 错误； 根据等差数列的性质和基本不等式，判断 C 正确； 第 11 页（共 23 页） 令 x4，得出不等式不成立，判断 D 错误 【解答】解：对于 A，cd0，cd0， 又ab0，acbd， ， ，即；A 正确
21、 对于 B，令 x2，y，则 2+，且log2（2+） ，B 错误 对于 C，等差数列an中，a2a10，得 a30 且 a2（a1+a3） ， 由基本不等式得，即 a2；C 正确 对于 D，x4 时，ln（1+4）42，D 错误 故选：AC 【点评】本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题 12 （4 分）已知函数的定义域为m，n（mn） ，值域为 ，则 nm 的值不可能是（ ） A B C D 【分析】把已知函数解析式变形，由函数值域为，不妨令 2n，则 2m的最小值为，最大值为，由此求得 n 值域 m 的范围，得到 nm 的范 围，则答案可求 【解答】解： 函数
22、的值域为，不妨令 2n，则 2m的最小值为， 最大值为 第 12 页（共 23 页） 即当 n时，m 的最小值为，最大值为 nm 的范围为， nm 的值不可能是 C 或 D 故选：CD 【点评】本题考查 yAsin（x+）型函数的图象和性质，考查分析问题与解决问题的 能力，是中档题 13 （4 分）已知函数 yf（x）是 R 上的奇函数，对任意 xR，都有 f（2x）f（x）+f （2）成立，当 x1，x20，1，且 x2x2时，都有，则下列结论正 确的有（ ） Af（1）+f（2）+f（3）+f（2019）0 B直线 x5 是函数 yf（x）图象的一条对称轴 C函数 yf（x）在7，7上有
23、5 个零点 D函数 yf（x）在7，5上为减函数 【分析】根据题意，利用特殊值法求出 f（2）的值，进而分析可得 x1 是函数 f（x）的 一条对称轴，函数 f（x）是周期为 4 的周期函数和 f（x）在区间1，1上为增函数，据 此分析选项即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 yf（x）是 R 上的奇函数，则 f（0）0； 对任意 xR，都有 f（2x）f（x）+f（2）成立，当 x2 时，有 f（0）2f（2）0， 则有 f（2）0， 则有 f（2x）f（x） ，即 x1 是函数 f（x）的一条对称轴； 又由 f（x）为奇函数，则 f（2x）f（x） ，变形可得 f（x+2）f（x） ，则
24、有 f （x+4）f（x+2）f（x） ， 故函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 当 x1，x20，1，且 x2x2时，都有，则函数 f（x）在区间0，1 上为增函数， 又由 yf（x）是 R 上的奇函数，则 f（x）在区间1，1上为增函数； 据此分析选项： 第 13 页（共 23 页） 对于 A，f（x+2）f（x） ，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）f（1）+f（3）+f（2） +f（4）0， f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1）+f（2） +（3）f（2）0，A 正确； 对于 B，x1 是函数 f（x）的一条对
25、称轴，且函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，则 x 5 是函数 f（x）的一条对称轴， 又由函数为奇函数，则直线 x5 是函数 yf（x）图象的一条对称轴，B 正确； 对于 C，函数 yf（x）在7，7上有 7 个零点：分别为6，4，2，0，2，4，6； C 错误； 对于 D，f（x）在区间1，1上为增函数且其周期为 4，函数 yf（x）在5，3上 为增函数， 又由 x5 为函数 f（x）图象的一条对称轴，则函数 yf（x）在7，5上为减函数， D 正确； 故选：ABD 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性、周期性的综合应用，注意分析函数的周期， 属于中档题 二、填空题，本大题共有二、填空
26、题，本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分 14 （4 分）已知，则向量的夹角为 【分析】先求 的模，再代入到数量积公式，就可得出答案 【解答】解：设 和 的夹角为 ， ， | |1， ， | | |cos9， cos， 第 14 页（共 23 页） ， 故答案为： 【点评】本题主要考查向量的模的求法，向量的数量积运算，属于基础题型 15 （4 分）已知 x0，y0，x+3y+xy9，则 x+3y 的最小值为 6 【分析】由于要求 x+3y 的最小值，故在解题时注意把 x+3y 看为一个整体，需将已知方 程中的 xy 利用基本不等式转化为 x+3y 的形式
27、【解答】解：由于 x0，y0，x+3y+xy9， 则 9（x+3y）xy， 当且仅当 x3y 时，取“” 则此时， 由于 x0，y0，解得， 故 x+3y6 故答案为 6 【点评】本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题，可以训练答题者 灵活变形及选用知识的能力 16 （4 分）已知函数 f（x）x1alnx（a0）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f （x）在1，e2上的最大值与最小值的和为 e23 【分析】f（x）1， （a0） ，x（0，+） xa 时，函数 f（x）取得极 小值根据函数 f（x）x1alnx（a0）在（0，+）内有且只有一个零点，因此只 有函数 f（x）的
28、极小值 f（a）0进而得出结论 【解答】解：f（x）1， （a0） ，x（0，+） xa 时，函数 f（x）取得极小值 函数 f（x）x1alnx（a0）在（0，+）内有且只有一个零点， 只有函数 f（x）的极小值 f（a）a1alna0 令 g（a）a1alna， （a0） g（a）11lnalna 可得 a1 时，函数 g（a）取得极大值 g（1）0 第 15 页（共 23 页） 因此 a1 f（x）x1lnx，x1，e2， f（x），x1，e2 则 f（x）在1，e2上单调递增 其最大值与最小值分别为：f（e2）e23，f（1）0 则 f（x）在1，e2上的最大值与最小值的和为 e23
29、故答案为：e23 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17 （4 分）已知函数 f（x），对于任意的， 存在， 使 f （x1） g （x2） ， 则实数 a 的取值范围为 ； 若不等式 f（x）+xg（x）有且仅有一个整数解，则实数 a 的取值范围为 【分析】第一小问等价于函数 f（x）在上的最大值小于等于函数 g（x）在 上的最大值，由二次函数的图象及性质可求得函数 f（x）在上的最 大值为，由导数知识可求得函数 g（x）在上的最大值为 ，进而解不等式即可求得实数 a 的取值范围； 第 二 小 问 通 过 变
30、形 可 得有 且 仅 有 一 个 整 数 解 ， 令 ，可知函数 h（x）在 xe 处取得最大值，由 2e3，h（2）h （3）及函数图象可知，h（2）ah（3） ，进而得到答案 【解答】解：对于任意的，存在，使 f（x1）g（x2） ，即 函数 f（x）在上的最大值小于等于函数 g（x）在上的最大值， f（x）x22ex+a 的对称轴为 xe，易知，函数 f（x）在上的最大值为 ， 第 16 页（共 23 页） ，令 g（x）0，解得 xe， 当 x（0，e）时，g（x）0，g（x）为增函数，故函数 g（x）在上的最大 值为， ， ，即实数 a 的取值范围为； 不等式 f（x）+xg（x）即
31、为， 有且仅有一个整数解， 令，则，易知，函数 h（x）在（0，+） 上为减函数，且 h（e）0， 当 x（0，e）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， 当 x（e，+）时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 函数 h（x）在 xe 处取得最大值， 作函数 h（x）的草图如下， 由 2e3，h（2）h（3）及函数图象可知，要使有且仅有一个整 数解，则需 h（2）ah（3） ，即， 故答案为：； 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查导数 中的任意与存在型问题，培养了学生的转化思想、数形结合思想及推理能力与计算能力， 属于难题 第 17 页（共 23 页）
32、 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （13 分）已知an为公差不为 0 的等差数列，a12，且 a1，a3，a9成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）若，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由已知利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求得首项与公差， 则数列an的通项公式； （2）把（1）中求得的通项公式代入，利用分组求和结合 等差数列与等比数列的前 n 项和求得数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）a1，a3，a9成等比数列，
33、 即，得， d0，da12， ana1+（n1）d2+（n1）22n； （2）由题意得：， ， 【点评】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查等差数列与等比数列的 前 n 项和，是基础的计算题 19 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bccosA+asinC （1）求角 C； （2）若 AC 边上的高长为b，求 cosB 【分析】 （1）利用已知条件通过正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解即可 （2）求出 ab 关系，利用余弦定理转化求解即可 【解答】解： （1）因为 bccosA+asinC，所以由正弦定理得：sinBsinCcosA+si
34、nC， 所以 sin（A+C）sinCcosA+sinAsinC， 即 sinAcosC+cosAsinCsinCcosA+sinAsinC 即 sinAcosCsinAsinC， 第 18 页（共 23 页） 因为 sinA0，所以 tanC1， （2）由题意可得：， 在ABC中，由余弦定理可得： ， 由余弦定理，可得 【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力，是基 础题 20 （13 分）已知函数 f（x）exax2（aR） （1）当 a2 时，求函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范
35、围 【分析】 （1）求出导数，计算 f（0） ，f（0） ，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间，确定 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）ex2x2，f（0）1， f（x）ex4x，f（0）1， 所以切线方程为 xy+10； （2）f（x）ex2ax，由已知得：ex2ax0 恒成立， 令 g（x）ex2ax，则 g（x）ex2a， 当 a0 时，g（x）0，g（x）在 R 上单调递增，且 x时，g（x），无 最小值，不合题意； 当 a0 时，f（x）ex，此时函数 f（x）在 R 上单调递增，所以 a0 符合条件； 当 a0 时，令 g（x
36、）0，得 xln（2a）x（，ln（2a） ）时，g（x）0，g （x）单调递减； x（ln（2a） ，+）时，g（x）0，g（x）单调递增 ， 1ln（2a）0， 综上， 第 19 页（共 23 页） 【点评】本题考查了切线方程以及函数的单调性问题，考查分类讨论思想，转化思想， 是一道常规题 21 （13 分）随着创新驱动发展战略的不断深入实施，高新技术企业在科技创新和经济发展 中的带动作用日益凸显，某能源科学技术开发中心拟投资开发某新新能源产品，估计能 获得 25900 万元的投资收益， 现准备制定一个对科研课题组的奖励议案； 奖金 y （单位： 万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而
37、增加，奖金不超过 90 万元，同时奖金不超 过投资收益的 20% （即：设奖励方案函数模拟为 yf（x）时，则公司对函数模型的基 本要求是：当 x25，900时，f（x）是增函数；f（x）90 恒成立；f（x） 恒成立 ） （1）现有两个奖励函数模型： （I）f（x）x+10； （II）f（x）26试分析这 两个函数模型是否符合公司要求？ （2）已知函数 f（x）a符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取 值范围 【分析】 （1）讨论两个函数的单调性，最大值即可得出结论； （2）根据 3 个条件列出关于 a 的不等式得出 a 的范围 【解答】解： （1）对于函数（I） ：因为 f（30）
38、126，即函数（I）不符合条件， 所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求； 对于函数（II） ：当 x25，900时，f（x）是增函数， 且 f（x）maxf（900）23065490，所以 f（x）90 恒成立， 设，因为， 所以当， 所以恒成立所以函数（II）模型符合公司要求， （2）因为 a2，所以函数 g（x）满足条件， 由函数 g（x）满足条件得：， 由函数 g（x）满足条件得：恒成立， 即恒成立，因为 当且仅当 x50 时等号成立，所以， 第 20 页（共 23 页） 综上所述，实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了函数单调性，函数最值，函数恒成立问题，属于中档题 22（15
39、 分） 若各项均为正数的数列an的前 n 项和 Sn满足 an+122Sn+n+2 （nN*） ， 且 a3+a5 10 （1）判断数列an是否为等差数列？并说明理由； （2）求数列an的通项公式； （3）若 bn2nan，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）利用递推关系式的应用求出数列不为等差数列 （2）利用分段法求出数列的通项公式 （3）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和 【解答】解： （1）因为，当， 两式相减：， 因为 an0， 所以 an+1an+1，即 an+1an1， 所以，当 n2 时，an是公差 d1 的等差数列 因为 a3+a510， 所以 a4
40、5，所以 a23 当 n1 时，所以 a13，因为 a2a101， 所以，数列an不是等差数列 （2）由（1）知：数列an从第二项开始是等差数列， 当 n2 时，ann+1 所以数列an的通项公式 （3）由（2）的通项公式， 所以， 当 n2 时 ， ， 第 21 页（共 23 页） 当 n1 时，T16，满足上式， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数 列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 23 （15 分）已知函数 f（x）mlnxx+ （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x
41、2，不等式a 恒成立，求实数 a 的取 值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）求出的解析式，问题转化为上恒成立， 根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）由题意得：x（0，+） ， ， 令 g（x）x2mx+m，m24mm（m4） ， 当 0m4 时，0，g（x）0 恒成立， 则 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减， 当 m0 时，0，函数 g（x）与 x 轴有两个不同的交点 x1，x2（x1x2） ， 且 x1+x2m0，x1x2m0， x10，x20，又因为 x（0，+） ， 时，g（x）0，f（x）0，f（
42、x）单调递增； 当单调递减， 第 22 页（共 23 页） 当 m4 时，0，函数 g（x）与 x 轴有两个不同的交点 x1，x2（x1x2） ， 且 x1+x2m0，x1x2m0， x10，x20，又因为 x（0，+） ， 时，f（x）单调递减，时，f （x）单调递增； 时，f（x）单调递减， 综上所述：当 0m4 时，f（x）在（0，+）上单调递减 当单调递增；时，f （x）单调递减 当 m4 时，时，f（x）单调递减， 时，在（0，+）时，f（x）单调递减； （2）由（1）知：m4 时 f（x）有两个极值点 x1，x2， 且 x1，x2为方程 x2mx+m0 的两根，x1+x2m，x1x2m， ， ， 所以， 上恒成立， 令， 令 （m）1lnm，则 （m）0， 第 23 页（共 23 页） （m）在（4，+）上单调递减， 且上恒成立， 即上为减函数， 所以 h（m）h（4）ln2， ah（4）ln2， aln2 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，函数恒成立问题，是一道综合题
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