1、设全集 UR，集合 Ax|x2，Bx|0x5，则集合（UA）B（ ） Ax|0x2 Bx|0x2 Cx|0x2 Dx|0x2 2 （5 分）设复数 z，则复数 z 的虚部是（ ） A B1 Ci D1 3 （5 分）设平面向量 （2，4） ， （x，6） ，若 ，则实数 x（ ） A12 B3 C4 D6 4 （5 分）要得到函数 ysin（4x）的图象，只需要将函数 ysin4x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 5（5 分） 某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是， 则正视图中的 x 的值是 （ ） A2 B C D3 6 （5
2、分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+4y 的最小值是（ ） A6 B10 C5 D10 7 （5 分）已知角 ， 均为锐角，且 cos，tan（），tan（ ） A B C D3 第 2 页（共 18 页） 8 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，a2， ，则 b 的值为（ ） A B C D 9 （5 分）设an是公差不为 0 的等差数列，a12 且 a1，a3，a6成等比数列，则an的前 n 项和 Sn（ ） A B C Dn2+n 10 （5 分）下列命题中，真命题的个数是（ ） 已知 a，bR，则“2”是“a0 且 b0”的充分不必要
3、条件 “xy1”是“lgx+lgy0”的必要不充分条件 已知两个平面 ，若两条异面直线 m，n 满足 m，n 且 m，n，则 x0（，0） ，使成立 A.0 B.1 C.2 D ，3 11 （5 分）已知非零向量与满足且则 ABC 为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）ax，则方程 g（x）f（x）恰有两 个不同的实根时，实数 a 的取值范围是（ ） （注：e 为自然对数的底数） A B C D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）
4、 13 （5 分）已知函数，若 f（x）1，则 x 14 （5 分）定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列， 且 a11，公和为 1，那么这个数列的前 2011 项和 S2011 第 3 页（共 18 页） 15（5 分） 已知第一象限内的点 A （a， b） 在直线 x+4y10 上， 则的最小值为 16 （5 分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依 次排在了数表的奇数行和偶数行，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（4，3）
5、10，则 a（41，20） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）ABC 中，已知 A45，角 B 为锐角 （1）求 sinC 的值； （2）若 BC10，求ABC 的面积 18 （12 分）设等差数列an的前 n 项的和为 Sn，已知 a11，12 （1）求an的通项公式 an； （2）bn，bn的前 n 项和 Tn，求证；Tn 19 （12 分） 如图， 在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中， ABC90， SA面 ABCD， SAABBC2，AD1 （1）求证：面 SAB面 SBC； （2）求 SC
6、与底面 ABCD 所成角的正切值 20 （12 分）某投资商到一开发区投资 72 万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支 出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元设 f（n） 表示前 n 年的纯利润总和， （f（n）前 n 年的总收入前 n 年的总支出投资额 72 万 第 4 页（共 18 页） 元） （）该厂从第几年开始盈利？ （）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值 21 （12 分）ABC 中，角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，满足 2a2（b+c）2 （）求角 A 的大小； （）求 2cos2sin（B）的最大值
7、，并求取得最大值时角 B、C 的大小 22 （12 分）已知函数 f（x）mexx1 （其中 e 为自然对数的底数） （1）若曲线 yf（x）过点 P（0，1） ，求曲线 yf（x）在点 P（0，1）处的切线方程 （2）若 f（x）0 恒成立，求 m 的取值范围 （3）若 f（x）两个零点为 x1，x2且 x1x2，求 y（） （m）的值 域 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年山东省济宁市高三（上）学年山东省济宁市高三（上）12 月调研数学试卷月调研数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分
8、，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 UR，集合 Ax|x2，Bx|0x5，则集合（UA）B（ ） Ax|0x2 Bx|0x2 Cx|0x2 Dx|0x2 【分析】根据全集 UR，集合 Ax|x2，易知UAx|x2再根据交集定义即可求 解 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x2 UAx|x2 Bx|0x5 （UA）Bx|0x2 故选：B 【点评】本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题 2 （5 分）设复数 z，则复数 z 的虚部是（ ） A B1 Ci D1 【分析】先把（1+
9、i）2化成 2i，然后分子分母同乘以 i 进行化简，然后根据复数的概念进 行求解虚部即可 【解答】解：因为 zi， 所以复数 z 的虚部是1，故选 B 【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，属于基础题 3 （5 分）设平面向量 （2，4） ， （x，6） ，若 ，则实数 x（ ） A12 B3 C4 D6 【分析】利用垂直向量数量积为 0，即可求出 x 的值 【解答】解：， 又向量 （2，4） ， （x，6） ， 第 6 页（共 18 页） 2x+240，x12， 故选：A 【点评】本题主要考查了平面向量的垂直关系，数量积的坐标运算，是基础题 4 （5 分）要得到函
10、数 ysin（4x）的图象，只需要将函数 ysin4x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果 【解答】解：要得到函数 ysin（4x）的图象，只需要将函数 ysin4x 的图象向右 平移个单位， 即：ysin4（x）sin（4x） 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函 数图象的变换能力，属于基础题型 5（5 分） 某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是， 则正视图中的 x 的值是 （ ） A2 B C D3 【分析】由三视图可知：原几
11、何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、 2、2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面据此可求出原几何体的体积 【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别 为 1、2、2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面 则体积为，解得 x 故选：C 第 7 页（共 18 页） 【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+4y 的最小值是（ ） A6 B10 C5 D10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求
12、得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（3，3） ， 化目标函数 z2x+4y 为 y，由图可知，当直线 y过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为6 故选：A 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 7 （5 分）已知角 ， 均为锐角，且 cos，tan（），tan（ ） A B C D3 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tan 的值，再根据 tan（） ，利用两角差的正切公式求得 tan 的值 【解答】解：角 ， 均为锐角，且 cos，sin，tan， 又 tan（），tan3
13、， 故选：D 第 8 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用，属于基础 题 8 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，a2， ，则 b 的值为（ ） A B C D 【分析】在锐角ABC 中，利用 sinA，SABC，可求得 bc，再利用 a2， 由余弦定理可求得 b+c，解方程组可求得 b 的值 【解答】解：在锐角ABC 中，sinA，SABC， bcsinAbc， bc3， 又 a2，A 是锐角， cosA， 由余弦定理得：a2b2+c22bccosA， 即（b+c）2a2+2bc（1+cosA）4+6（
14、1+）12， b+c2 由得：， 解得 bc 故选：A 【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题 9 （5 分）设an是公差不为 0 的等差数列，a12 且 a1，a3，a6成等比数列，则an的前 n 项和 Sn（ ） A B C Dn2+n 【分析】设数列an的公差为 d，由题意得（2+2d）22 （2+5d） ，解得或 d0（舍 去） ，由此可求出数列an的前 n 项和 【解答】解：设数列an的公差为 d， 则根据题意得（2+2d）22 （2+5d） ， 第 9 页（共 18 页） 解得或 d0（舍去） ， 所以数列an的前 n 项和 故选：A 【点评】
15、本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答 10 （5 分）下列命题中，真命题的个数是（ ） 已知 a，bR，则“2”是“a0 且 b0”的充分不必要条件 “xy1”是“lgx+lgy0”的必要不充分条件 已知两个平面 ，若两条异面直线 m，n 满足 m，n 且 m，n，则 x0（，0） ，使成立 A.0 B.1 C.2 D ，3 【分析】逐个对所给命题进行推导，看结论是否成立来判断命题的真假 【解答】解：已知 a，bR，则“200， 2 是 a0 且 b0 的必要条件，不正确； “lgx+lgy0lg（xy）0 且 x0，y0xy1，x0，y0， xy1”是“lgx+lgy0”的必
16、要不充分条件正确； m，n 且 m，在 内过 m 上一点 P 作 n 的平行线 l，ln，l，n l，m，lmp，故正确； 如上图，x0 时，不存在 x00，使成立，所以不正确 故选：C 第 10 页（共 18 页） 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题 11 （5 分）已知非零向量与满足且则 ABC 为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 【分析】通过向量的数量积为 0，判断三角形是等腰三角形，通过求 出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状 【解答】解：因为， 所以BAC 的平分线与 BC 垂直，三角形是等腰三角形 又因为，所以BAC
17、60， 所以三角形是正三角形 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考 查计算能力 12 （5 分）已知函数 f（x），g（x）ax，则方程 g（x）f（x）恰有两 个不同的实根时，实数 a 的取值范围是（ ） （注：e 为自然对数的底数） A B C D 【分析】作出 f（x）与 g（x）的函数图象，根据图象和交点个数判断 a 的范围 【解答】解：作出 f（x）与 g（x）的函数图象，如图所示： 设直线 yax 与 ylnx 相切，切点坐标为（x0，y0） ， 则，解得 x0e，y01，a 第 11 页（共 18 页） 由图象可知当a时，两图象有
18、 2 个交点， 故选：B 【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数，若 f（x）1，则 x 0 【分析】由已知得到：当 x0 时，x3+11；当 x0 时，x2+21由此能求出结果 【解答】解：，f（x）1， 当 x0 时，x3+11，解得 x0； 当 x0 时，x2+21，无解 x0 故答案为：0 【点评】本题考查函数值的应用及求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数 的性质的合理运用 14 （5 分）定义“等和数列”
19、：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列， 且 a11，公和为 1，那么这个数列的前 2011 项和 S2011 1004 【分析】由题意可得 an；从而求前 n 项和即可 【解答】解：数列an是等和数列，且 a11，公和为 1， 第 12 页（共 18 页） an； S2011（a1+a2）+（a3+a4）+（a2009+a2010）+a2011 10051+（1） 1004 故答案为：1004 【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力与应用能力，属于基础题 15 （5 分） 已知第一象限内的点 A （
20、a， b） 在直线 x+4y10 上， 则的最小值为 9 【分析】第一象限内的点 A（a，b）在直线 x+4y10 上，可得 a+4b1，a，b0再 利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：第一象限内的点 A（a，b）在直线 x+4y10 上， a+4b1，a，b0 则（a+4b）5+9，当且仅当 a2b时取 等号 故答案为：9 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题 16 （5 分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依 次排在了数表的奇数行和偶数行，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（4，3）
21、10，则 a（41，20） 839 【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，利用等差数列的 前 n 项和公式求出 a（41，20）前面所有的奇数的个数，分析对应数字与行列的关系可得 答案 【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第 n 行有 n 个数， 第 13 页（共 18 页） 因为 a（41，20）对应的数字为奇数， 则前面奇数行共有：1+3+5+39400 个奇数， 故 a（41，20）为第 420 个奇数， 由 24201839，可得 a（41，20）839， 故答案为：839 【点评】本题考查归纳推理，以及等差数列的前 n 项和公式
22、，难点是根据能够找出数之 间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，属于基础题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）ABC 中，已知 A45，角 B 为锐角 （1）求 sinC 的值； （2）若 BC10，求ABC 的面积 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出 sinC 的值 （2）利用（1）的结论和正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用和三角形的面积公 式的应用求出结果 【解答】解： （1）ABC 中，已知 A45，角 B 为锐角 所以， 则：sinCsin（A+B）sinAcosB+cos
23、AsinB （2）利用正弦定理，即，解得 AC6， 所以 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）设等差数列an的前 n 项的和为 Sn，已知 a11，12 （1）求an的通项公式 an； （2）bn，bn的前 n 项和 Tn，求证；Tn 【分析】 （1）利用前 n 项和公式列方程计算公差 d，从而得出 an； 第 14 页（共 18 页） （2）bn（） ，使用裂项法求出 Tn即可得出结论 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，则 S22a1+d，S3
24、3a1+3d，S44a1+6d， 12， 3a1+3d12，即 3+3d12， 解得 d3， an1+3（n1）3n2 （2）bn（） ， Tn（1）+（）+（）+（） （1+） （1） Tn 【点评】本题考查了等差数列的性质，求和公式，数列求和的计算，属于中档题 19 （12 分） 如图， 在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中， ABC90， SA面 ABCD， SAABBC2，AD1 （1）求证：面 SAB面 SBC； （2）求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值 【分析】 （1）证明 SABC 利用 ABBC，即可证明 BC面 SAB，利用平面与平面垂直 的判定定理证明面 SAB
25、面 SBC （2）连结 AC，说明SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角，在直角三角形 SCA 中，求 解即可 【解答】 （1）证明：SA面 ABCD，BC面 ABCD， 第 15 页（共 18 页） SABC 又ABBC，SAABA，BC面 SAB， BC面 SAB， 面 SAB面 SBC（6 分） （2）解：已知 SA面 ABCD，连结 AC， 则SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角，在直角三角形 SCA 中，SA2， ，（12 分） 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查 空间想象能力以及计算能力 20 （12 分）某投资商到一开发
26、区投资 72 万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支 出 12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元设 f（n） 表示前 n 年的纯利润总和， （f（n）前 n 年的总收入前 n 年的总支出投资额 72 万 元） （）该厂从第几年开始盈利？ （）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值 【分析】 （ I）每年的支出构成一个等差数列，每年的收入是一个常数列，故根据 f（n） 前 n 年的总收入前 n 年的总支出投资额 72 万元，可建立函数关系； （II）求出年平均纯利润，再利用基本不等式，即可求得年平均纯 利润的最大值 【解答】解： （
27、 I）依题意，根据 f（n）前 n 年的总收入前 n 年的总支出投资额 72 万元 可得 f（n）50n12n+4722n2+40n72 由 f（n）0，即2n2+40n720 第 16 页（共 18 页） 解得 2n18 由于 nN+，故从第三年开始赢利 （II）年平均纯利润 当且仅当 n6 时等号成立，此时年平均纯利润最大值为 16 万元， 即第 6 年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值 16 万元 【点评】本题重点考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查利用基 本不等式求函数的最值，解题的关键是寻找等量关系，建立函数关系式 21 （12 分）ABC 中，角 A
28、、B、C 对边分别是 a、b、c，满足 2a2（b+c）2 （）求角 A 的大小； （）求 2cos2sin（B）的最大值，并求取得最大值时角 B、C 的大小 【分析】 （）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出 A 的余弦值，然后求角 A 的大 小； （ ） 通 过 A 利 用 2012 年 6 月 7 日 17 ： 54 ： 00 想 的 内 角 和 ， 化 简 为 C 的三角函数，通过 C 的范围求出表达式的最大值，即 可求出最大值时角 B、C 的大小 【解答】解 （）由已知， 化为 2bccosAa2b2c22bc， （2 分） 由余弦定理 a2b2+c22bccosA 得 4bcco
29、sA2bc， ， （4 分） 0A， （6 分） （）， 第 17 页（共 18 页） （8 分） ， 当 C+，取最大值， 解得 BC （12 分） 【点评】本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力 22 （12 分）已知函数 f（x）mexx1 （其中 e 为自然对数的底数） （1）若曲线 yf（x）过点 P（0，1） ，求曲线 yf（x）在点 P（0，1）处的切线方程 （2）若 f（x）0 恒成立，求 m 的取值范围 （3）若 f（x）两个零点为 x1，x2且 x1x2，求 y（） （m）的值 域 【分析】 （1）代入，求导，利用导数的概念求值即可； （2）对不等
30、式整理得 m，构造函数，利用导函数求出右式的最大值即可 （3）把零点代入，对函数整理为 y（） （m） （x2x1） ，利用换元法令 x2x1t，得出函数 g（t）t（t0） ，利用导函数 得出函数的单调性，根据单调性得出函数的值域 【解答】解： （1）当 x0 时，f（0）m11， m2， f（x）2ex1，f（0）1， 所求切线方程 yx+1，即 xy+10； （2）由 f（x）0 得 mexx10，即有 m 令 （x），则 （x），（5 分） 令 （x）0 得 x0，（x）0 得 x0 （x）在（0）上单调递增，在（0，+）上单调递减 （x）的最大值为 （0）1， 第 18 页（共 18 页） m1； （3）由题意，mex1x110，mex2x210 （9 分） y（） （m）（x2x1） 令 x2x1t g（t）t（t0） ， g（t）0， g（t）在（0，+）在上单调递减， g（t）g（0）0 g（t）（，0） y（） （m）的值域为（，0） 【点评】本题考查了导函数的应用，函数的构造，换元法的应用和零点的概念
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