1、已知函数 f（x）x22x+m若：f（x）有零点；q：0m1，则（ ） Ap 是 q 的充分不必要条件 Bp 是 q 的必要不充分条件 Cp 是 q 的充要条件 Dp 是 q 的不充分不必要条件 3 （3 分）若 a、b 不全为 0，必须且只需（ ） Aab0 Ba、b 中至多有一个不为 0 Ca、b 中只有一个为 0 Da、b 中至少有一个不为 0 4 （3 分）设实数 a，b 满足 logb2loga20，则 aa，ab，ba的大小关系是（ ） Abaabaa Bbaaaab Caabaab Daaabba 5 （3 分）已知数列an满足，则 a10（ ） A10 B20 C100 D20
2、0 6 （3 分）已知函数 f（x）|lnx|满足 f（a）f（2a） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （1，3） 7 （3 分）函数 y的部分图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 8 （3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）0，当 x0 时，xf（x）+f（x） 0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，0） D （0，1）（1，+） 9 （3 分）已知函数 f（x）x3在其定义域（0，+）内既有极大值也有极小值，
3、则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1）（1，） B （0，1） C （，+） D （1，） 10 （3 分）对x（） ，（m，n） （mn） ，则 nm 的最小值为（ ） A B C D 二二.多选题（共多选题（共 3 小题）小题） 11 （3 分）已知函数 f（x）cos2xcossin2xsin（0）的图象的一个对称中心 为（，0） ，则下列说法正确的是（ ） A直线 x 是函数 f（x）的图象的一条对称轴 B函数 f（x）在0，上单调递减 C函数 f（x）的图象向右平移个单位可得到 ycos2x 的图象 D函数 f（x）在0，上的最小值为1 12 （3 分）已知函数 f（x）的定
4、义域1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数 yf（x） 的图象如图所示，下列关于函数 f（x）的结论正确的是（ ） x 1 0 4 5 第 3 页（共 21 页） f（x） 1 2 2 1 A函数 f（x）的极大值点有 2 个 B函数 f（x）在0，2上是减函数 C若 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4 D当 1a2 时，函数 yf（x）a 有 4 个零点 13 （3 分）已知函数 f（x）2cos22x2，下列命题中的真命题有（ ） AR，f（x+）为奇函数 B（0，） ，f（x）f（x+2）对 xR 恒成立 Cx1，x2R，若|f（x1）f（x2）|2，则|x1
5、x2|的最小值为 Dx1，x2R，若 f（x1）f（x2）0，则 x1x2k（kZ） 二、填空题二、填空题 14 （3 分）已知 sin（），则 cos（+2） 15 （3 分）在各项均为正数的等比数列an中，若 a4a725，则 log5a1+log5a2+log5a10 16 （3 分）若 （0，） ，cos，则 sin ，tan2 17 （3 分）已知，则 cos2 四四.解答题（共解答题（共 6 小题小题 18 （1）计算：sin （2）化简 sin50（1+tan10） 19已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a24，2Sn（n+1）an（nN*） （）求数列an的通项公式；
6、 （）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 第 4 页（共 21 页） 20已知函数 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将函数 f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一 半，纵坐标不变，得到新的函数 yg（x） ，当时，求 g（x）的值域 21已知函数为奇函数 （1）求实数 a 的值并证明函数 f（x）的单调性； （2）解关于 m 不等式：f（m2）+f（m2）2m2m 2210 月 1 日，某品牌的两款最新手机（记为 W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商 为了解这两款手机的销售情况，在 10 月 1 日当天，随机调查了 5 个手机店中这两款手机
7、的销量（单位：部） ，得到如表 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 （）若在 10 月 1 日当天，从 A，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 1 部， 求抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率； （）现从这 5 个手机店中任选 3 个举行促销活动，用 X 表示其中 W 型号手机销量超过 T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）经测算，W 型号手机的销售成本 （百元）与销量 （部）满足关系 3+4若 表中 W 型号手机销量的方差， 试给出表中 5 个手机店的
8、 W 型号手机销售成 本的方差 S2的值 （用 m 表示，结论不要求证明） 23已知函数 g（x）xex，f（x）g（x）exax2（a 是常数） 若对aR，函数 h（x） kx（k 是常数）的图象与曲线 yf（x）总相切于一个定点 （1）求 k 的值； （2）若对x1，x2（0，+） ，f（x1）h（x1）f（x2）h（x2）0，求实数 a 的取 值范围 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省青岛二中高三（上）学年山东省青岛二中高三（上）10 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、解答题（共一、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 30
9、 分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|x+10，Bx|log2x1，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|x1 Cx|1x1 Dx|0x2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x1，Bx|0x2， ABx|0x2 故选：D 【点评】考查描述法的定义，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算 2 （3 分）已知函数 f（x）x22x+m若：f（x）有零点；q：0m1，则（ ） Ap 是 q 的充分不必要条件 Bp 是 q 的必要不充分条件 Cp 是 q 的充要条件 Dp 是 q 的不充分不必要条件 【分析】利用判别式大于等于 0 求得 m 的范围，然后结合充
10、分必要条件的判定方法得答 案 【解答】解：函数 f（x）x22x+m 有零点，则44m0，即 m1 p 不能推出 q，但 q 能够推出 p p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查函数零点的判定方法，考查充分必要条件的判定，是基础题 3 （3 分）若 a、b 不全为 0，必须且只需（ ） Aab0 Ba、b 中至多有一个不为 0 Ca、b 中只有一个为 0 Da、b 中至少有一个不为 0 【分析】a、b 不全为 0，即 a0，b0 或 a0，b0 或 a0，b0，根据选项即可得 答案 【解答】解：a、b 不全为 0，即 a0，b0 或 a0，b0 或 a0，b0， 第 6 页（
11、共 21 页） 因此必须且只需 a、b 中至少有一个不为 0， 故选：D 【点评】本题考查等价命题的判断与应用，属基础题 4 （3 分）设实数 a，b 满足 logb2loga20，则 aa，ab，ba的大小关系是（ ） Abaabaa Bbaaaab Caabaab Daaabba 【分析】先判断 0ab1，再利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论 【解答】解：实数 a，b 满足 logb2loga20， 0ab1，yax在 R 上是单调递减函数，故 aaab， yxa在（0，+）上单调递增，baaa， 则 aa，ab，ba的大小关系为 baaaab， 故选：B 【点评】本题主要考查指数函数
12、、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题 5 （3 分）已知数列an满足，则 a10（ ） A10 B20 C100 D200 【分析】通过数列的递推关系式，利用累加法求解即可 【解答】解：数列an满足， 可得1， 1， 1， 1， 1， 累加可得：10， 所以 a10100 故选：C 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，累加法的应用，是基本知识的考查 6 （3 分）已知函数 f（x）|lnx|满足 f（a）f（2a） ，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 7 页（共 21 页） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （1，3） 【分析】根据题意化简函数 f（x） ，得出 f（
13、x）在其定义域上的单调性；在定义域内讨论 不等式 f（a）f（2a）成立时，a 的取值范围 【解答】解：根据题意可得， f（x），f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递 增； 根据题意可知，0a2； 当 0a1，2a1 时，f（a）f（2a） lnaln（2a）a（2a）1，解得 a1； 0a1； 当 a1 时，f（a）f（2a）不符合题意（舍） ； 当 1a2，02a1 时，f（a）f（2a） lnaln（2a）a（2a）1，解得 a； 综上，a 的取值范围为（0，1） 故选：A 【点评】本题考查了分段函数的单调性应用问题，关键是得到关于 a 的不等式，属于中 档题 7 （3
14、分）函数 y的部分图象大致为（ ） A B 第 8 页（共 21 页） C D 【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数判断函数的单调性即可 【解答】 解： 函数 y是奇函数， 排除选项 B、 D， 1x0 时， y 0， 所以 0x1 时，函数是增函数，排除选项 C 故选：A 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用是判断函 数的图象的基本方法 8 （3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）0，当 x0 时，xf（x）+f（x） 0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C
15、（，1）（1，0） D （0，1）（1，+） 【分析】构造函数，利用函数的奇偶性以及函数的的单调性，利用数形结合转化求解即 可 【解答】解：构造原函数 F（x）xf（x） ， 因为 f（x）为奇函数，所以 F（x）xf（x）为偶函数， 且当 x0 时，F（x）0，F（x）单调递减，画出如下草图： 注意草图是 yxf（x）的图象，可以判断 f（x）0 时， x（1，0）（1，+） 故选：B 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题考查函数的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性，数形结合的方法的应 用 9 （3 分）已知函数 f（x）x3在其定义域（0，+）内既有极大值也有极小值， 则实数 a 的取
16、值范围是（ ） A （0，1）（1，） B （0，1） C （，+） D （1，） 【分析】只需方程方程 x2ax0 在（0，+）有两个不相等实根即 lna，令 g （x），则结合其图象即可求解 【解答】解：f（x）x2ax 要使函数 f（x）x3在其定义域（0，+）内既有极大值也有极小值，只需方 程方程 x2ax0 在（0，+）有两个不相等实根 即 lna，令 g（x），则 g（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减其图象如下： lna，1ae 故选：D 【点评】本题考查了导数的应用、数形结合思想，属于中档题 10 （3 分）对x（） ，（m，n） （mn） ，则 nm 的最小值为（ ） A
17、 B C D 【分析】求导，利用讨论函数的单调性，可得 nm 的最小值 第 10 页（共 21 页） 【解答】 解： x （） ， （m， n）（mn） ， 设 f （x） x （） 则 f（x），x（） 设 g（x）sinxxcosx，g（x）cosx（cosxxsinx）xsinx， 则：g（x）cosx（cosxxsinx）xsinx0，在 x（）上恒成立， 函数 g（x）sinxxcosx， 在 x（）上单调递增， g（x）g（）sincos0.050 所以：f（x）0，x（）上恒成立， 即函数设 f（x）在 x（） 上单调递增， 所以：f（）f（x）f（） ； 即：f（x）； 则 n
18、m 的最小值为， 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题 二二.多选题（共多选题（共 3 小题）小题） 11 （3 分）已知函数 f（x）cos2xcossin2xsin（0）的图象的一个对称中心 为（，0） ，则下列说法正确的是（ ） A直线 x 是函数 f（x）的图象的一条对称轴 B函数 f（x）在0，上单调递减 C函数 f（x）的图象向右平移个单位可得到 ycos2x 的图象 D函数 f（x）在0，上的最小值为1 【分析】利用两角和的余弦化简，由题意求得 ，然后利用余弦函数的性质逐一核对四 个选项得答案 【解答】 解： f （x） cos2xcossin2
19、xsincos （2x+） 的图象的一个对称中心为 （， 第 11 页（共 21 页） 0） ， cos（）0，则， 0， 则 f（x）cos（2x+） f（）cos（2）cos1，直线 x 是函数 f（x）的图象 的一条对称轴，故 A 正确； 当 x0，时，2x+，函数 f（x）在0，上单调递减，故 B 正确； 函数 f（x）的图象向右平移个单位，得到 ycos2（x）cos（2x） 的图象，故 C 错误； 当 x0，时，2x+，函数 f（x）在0，上的最小值为 cos 1，故 D 正确 故选：ABD 【点评】本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了余弦型函数的图象和性质，是中 档题 12
20、（3 分）已知函数 f（x）的定义域1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数 yf（x） 的图象如图所示，下列关于函数 f（x）的结论正确的是（ ） x 1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 A函数 f（x）的极大值点有 2 个 B函数 f（x）在0，2上是减函数 C若 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4 D当 1a2 时，函数 yf（x）a 有 4 个零点 第 12 页（共 21 页） 【分析】根据函数的导数图象，判断函数的单调性，极值，集合函数最值，零点性质， 利用数形结合进行判断即可 【解答】解：由 f（x）的图象，当1x0 或 2x4，f（x）0，函数 f
21、（x）为 增函数， 当 0x2 或 4x5，f（x）0，函数 f（x）为减函数， 即当 x0 时，函数 f（x）取得极大值，当 x4 时，函数 f（x）取得极大值，即函数 f（x） 有两个极大值点，故 A 正确， 函数 f（x）在0，2上是减函数，故 B 正确， 作出 f（x）的图象如图：若 x1，t时，f（x）的最大值是 2， 则 t 满足 0t5，即 t 的最大值是 5，故 C 错误， 由 yf（x）a0 得 f（x）a， 若 f（2）1，当 1a2 时，f（x）a 有四个根， 若 1f（a）2，当 1a2 时，f（x）a 不一定有四个根，有可能是 2 个，故函数 y f（x）a 有 4
22、个零点不一定正确，故 D 错误， 故正确的是 A，B， 故选：AB 【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用导数图象研究函数的单调性和极值，以及 第 13 页（共 21 页） 作出的草图是解决本题的关键 13 （3 分）已知函数 f（x）2cos22x2，下列命题中的真命题有（ ） AR，f（x+）为奇函数 B（0，） ，f（x）f（x+2）对 xR 恒成立 Cx1，x2R，若|f（x1）f（x2）|2，则|x1x2|的最小值为 Dx1，x2R，若 f（x1）f（x2）0，则 x1x2k（kZ） 【分析】化简函数 f（x） ，画出 f（x）的图象，根据图象平移判断函数 f（x+）不是奇函 数，
23、判断 A 错误；根据 f（x）f（x+2）求出方程在 （0，）的解，判断 B 正确； 由|f（x1）f（x2）|2 时，|x1x2|的最小值为，判断 C 正确；当 f（x1）f（x2） 0 时，x1x2kT，判断 D 错误 【解答】解：由题意，f（x）2cos22x2cos4x1； f（x）cos4x1 的图象如图所示； 函数 f（x+）的图象是 f（x）的图象向左或向右平移|个单位， 它不会是奇函数的，故 A 错误； f（x）f（x+2） ，cos4x1cos（4x+8）1， 82k，kZ； 又 （0，） ，取 或时， f（x）f（x+2）对 xR 恒成立，B 正确； |f（x1）f（x2）
24、|cos4x1cos4x2|2 时， |x1x2|的最小值为，C 正确； 当 f（x1）f（x2）0 时， x1x2kTk（kZ） ，D 错误； 故选：BC 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的应用问题， 是综合题 二、填空题二、填空题 14 （3 分）已知 sin（），则 cos（+2） 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得 cos（+2）的值 【解答】解：已知 sin（），则cos（2）1 21+2， 故答案为： 【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 15 （3 分）在各项均为正数的等比
25、数列an中，若 a4a725，则 log5a1+log5a2+log5a10 10 【分析】等比数列an各项均为正数，a4a7a1a1025，log5a1+log5a2+log5a10log5 （a1a2a10）5log52510， 【解答】解：依题意，等比数列an各项均为正数，a4a7a1a1025， 所以 log5a1+log5a2+log5a10log5（a1a2a10）5log525 10， 故答案为：10 【点评】本题考查了等比数列的性质，对数运算等，属于基础题 16 （3 分）若 （0，） ，cos，则 sin ，tan2 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 sin 的值
26、，可得 tan 的值，再利用二 倍角公式求得 tan2 的值 第 15 页（共 21 页） 【解答】解：若 （0，） ，cos，则 sin， tan，tan24， 故答案为：；4 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题 17 （3 分）已知，则 cos2 【分析】根据已知1 推出 sin0，cos0，利用（sin+cos） 2（sincos）2+4sincos 关系可以求得 sin+cos，继而可以求得 cos2（cos sin） （cos+sin）的值 【解答】解：已知1， sin0，cos0，且 12sincos， 即 2sincos， 则（sin+cos
27、）21+2sincos， sin+cos， cos2（cossin） （cos+sin） 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的二倍角公式，属于一般基本题型 四四.解答题（共解答题（共 6 小题小题 18 （1）计算：sin （2）化简 sin50（1+tan10） 【分析】利用三角恒等变换化简求值即可 【解答】解： （1）sin 1； 第 16 页（共 21 页） （2）sin50（1+tan10） 【点评】本题主要考查了三角函数中恒等变换的应用，涉及同角三角函数的基本关系式， 倍角公式，属基础题 19已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a24，2Sn（n+1）an（nN*） （）求
28、数列an的通项公式； （）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系，进一步利用叠乘法求 出数列的通项公式 （）利用（）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解： （）数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a24，2Sn（n+1）an（nN*） 当 n2 时，2S23a2，整理得 a12 所以 2Sn（n+1）an，故 2Sn1（n+11）an1， 两式相减得（n1）annan1，所以2n（首项符合通项） 故 an2n （）由于 an2n，所以 bn 故 Tnb1+b2+bn4n+1 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项
29、公式求法及应用，叠乘法的应用，裂项相消 法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 20已知函数 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将函数 f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一 第 17 页（共 21 页） 半，纵坐标不变，得到新的函数 yg（x） ，当时，求 g（x）的值域 【分析】 （1）首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进 一步求出函数的单调区间 （2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，进一步利用函数的定义域求出函数 的值域 【解答】解： （1）函数 ， 令：（kZ） ， 解得：（kZ）
30、 ， 所以函数的单调递增区间为：（kZ） （2）将函数 f（x）的图象向右平移个单位， 再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变， 得到：g（x）的图象， 由于：， 所以：， 所以：， 故1g（x）2， 故函数的值域为：1，2 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基 础题型 21已知函数为奇函数 （1）求实数 a 的值并证明函数 f（x）的单调性； 第 18 页（共 21 页） （2）解关于 m 不等式：f（m2）+f（m2）2m2m 【分析】（1） 根据题意， 由奇函
31、数的性质可得 f （x） +f （x） 0， 即， 变形分析可得 a 的值，即可得函数的解析式，进而利用作差法分析可得答案； （2）根据题意，分析可得 f（m2）+m2f（2m）+2m，设函数 g（x）f（x）+x， 结合函数的单调性分析可得 m22m，即 m2+m20，解可得 m 的取值范围，即可得 答案 【解答】解： （1）根据题意，因为函数为奇函数， 所 以f （ x ） +f （ x ） 0 ， 即， 即 ， 即（2x1） （2 x+1+a）+（2x1） （2x+1+a）0， 化简得（a2） （2x+2 x2）0，所以 a2 则， 任取 x1x2， 则 因为 x1x2，所以，所以 f（
32、x1） f（x2）0 所以 f（x1）f（x2） ，所以 f（x）在 R 上单调递增； （2）f（m2）+f（m2）2m2m 可化为 f（m2）+m2f（2m）+2m， 设函数 g（x）f（x）+x，由（1）可知，g（x）f（x）+x 在 R 上也是单调递增， 所以 m22m，即 m2+m20，解得2m1 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式，属于 基础题 2210 月 1 日，某品牌的两款最新手机（记为 W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商 第 19 页（共 21 页） 为了解这两款手机的销售情况，在 10 月 1 日当天，随机调查了 5 个手机店中这
33、两款手机 的销量（单位：部） ，得到如表 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 （）若在 10 月 1 日当天，从 A，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 1 部， 求抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率； （）现从这 5 个手机店中任选 3 个举行促销活动，用 X 表示其中 W 型号手机销量超过 T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）经测算，W 型号手机的销售成本 （百元）与销量 （部）满足关系 3+4若 表中 W 型号手机销量的方差， 试给出表中 5
34、个手机店的 W 型号手机销售成 本的方差 S2的值 （用 m 表示，结论不要求证明） 【分析】 （I）根据相互独立事件的概率公式计算； （II）根据超几何分布列的概率公式求出 X 的各种取值对应的概率，得出分布列，再计 算数学期望； （III）根据方差的性质和变量间的关系即可得出 D（） 【解答】解： （I）设事件 M1为从 A 店售出的手机中随机抽取 1 部手机，抽取的手机为 W 型号手机， 设事件 M2为从 A 店售出的手机中随机抽取 1 部手机，抽取的手机为 W 型号手机， 则事件 M1，M2相互独立，且 P（M1），P（M2）， 抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率
35、为 P+ （II） 由表格可知 W 型号手机销售量超过 T 型号手机的店有 2 个， 故 X 的肯取值有 0， 1， 2 且 P（X0），P（X1），P（X2） X 的分布列为： 第 20 页（共 21 页） X 0 1 2 P 数学期望为 E（X）0+1+2 （III）D（）s02m，3+4， S2D（）9D（）9m 【点评】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列，变量方差的性质， 属于中档题 23已知函数 g（x）xex，f（x）g（x）exax2（a 是常数） 若对aR，函数 h（x） kx（k 是常数）的图象与曲线 yf（x）总相切于一个定点 （1）求 k 的值； （2）
36、若对x1，x2（0，+） ，f（x1）h（x1）f（x2）h（x2）0，求实数 a 的取 值范围 【分析】 （1）根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，设函数 h（x）kx 的图象与 曲线 yf（x）总相切于定点（x0，f（x0） ） ，由导数的几何意义分析可得答案； （2）由（1）的结论，设 u（x）f（x）h（x）f（x）xx（exax1） ，分析可 得x1，x2（0，+） ，u（x）u（x2）0，也即 u（x1）与 u（x2）同号，也即 u（x） 0（x0）恒成立或 u（x）0（x0）恒成立，设 p（x）exax1（x0） ，求出其 导数，原问题可以转化为 p（x）p（0） （x0）恒
37、成立或 p（x）p（0） （x0）恒成 立；据此分析可得答案 【解答】解： （1）由已知得 f（x）xexax2，f（x）（x+1）ex2ax 可设函数 h（x）kx 的图象与曲线 yf（x）总相切于定点（x0，f（x0） ） ， 可得，且 f（x0）的值是与 a 无关的常数，因而 x00，f （x0）1， 进而可求得切线方程为 yx，得 h（x）x，所以 k1， （2）因为 h（x）x，所以可设 u（x）f（x）h（x）f（x）xx（exax1） （x 0） 可得题设即x1，x2（0，+） ，u（x1）u（x2）0，也即 u（x1）与 u（x2）同号，也 即 u（x）0（x0）恒成立或 u（
38、x）0（x0）恒成立 第 21 页（共 21 页） 设 p（x）exax1（x0） ，可得 p（x）exa（x0） 可得题设即 p（x）p（0） （x0）恒成立或 p（x）p（0） （x0）恒成立； 当 a1 时，可得 p（x）exa（x0） ，所以 p（x）是增函数，此时满足题意， 当 a1 时，可得 p（x）在（0，lna） ， （lna，+）上分别是减函数、增函数， 进而可得题设即 p（x）p（0） （x0）恒成立 取 p（a）eaa21（a1） ，下面判断 p（a）的正负： 设函数 q（a）eaa21（a1） ，可得 q（a）ea2a，q（a）ea10（a1） ， q（a）是增函数， 因而 q（a）q（1）e20（a1） ，q（a）是增函数； 故 q（a）q（1）e20（a1） ，p（a）0（a1） ， 说明 a1 时不满足题意 综上所述，可得所求实数 a 的取值范围是（，1 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线的方程，关键是掌握导数的几何 意义，属于综合题
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