1、 泉州中学泉州中学 2020 届高三考前冲刺适应性模拟文科数学试卷届高三考前冲刺适应性模拟文科数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1设复数z满足i2iz，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 2 20AxxxN|， 1,1,2B ，则AB A 1,1,2 B1,2 C 1,1 D1 3若椭圆1 49 22 yx 的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则E的离心率
2、是 A 5 53 B 5 54 C 13 133 D 3 5 4甲、乙、丙三部门组织人员报名参加一项志愿者活动，已知甲、乙两部门各报了 2 人，丙部门 报了 1 人，若从这 5 人中随机抽取 3 人，则这 3 人来自不同部门的概率为 A 1 3 B 2 3 C 3 10 D 2 5 5已知函数)(xfy 是R上的奇函数，当0x时， 2 sinf xxx，则)(xf在 2 x 处的 切线的斜率为 A B C 1 D 1 6 执行如图所示的程序框图，若输入的 1 , 1x，则输出的y 的取值范围是 A 1 , 1 B 4 1 , 1 C 4 1 , 2 D 1 , 0 7已知某圆锥的母线与底面所成
3、的角为 60，轴截面的面积为 34，则该圆锥的侧面积为 A 4 3 B4 C8 D16 8 2020 年是 5G 的爆发之年，5 月中国信通院发布了 2020 年 4 月国内手机市场运行分 析报告，该报告统计了从 2019 年 7 月到 2020 年 4 月这十个月国内手机市场总出货 量与国内 5G 手机出货量占同期手机出货量比重变化情况（简称市场占比） ，得到下 面两个统计图， 则下列描述不正确的是 A2020 年 4 月国内 5G 手机出货量是这十个月中的最大值 B从 2019 年 7 月到 2020 年 2 月，国内 5G 手机出货量保持稳定增长 C相比 2020 年前 4 个月，201
4、9 年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定 D 2019 年 12 月到 2020 年 1 月国内 5G 手机市场占比的增长率比 2020 年 1 月到 2 月的增长率 大 9若0cba，则 A cc ab ab B2lnlnlnbac C bccb a ba b Dloglog ab cc 10ABC中，角A的平分线交BC于D，已知422ADACAB，则BC A23 B3 C22 D3 6 11已知函数 . 0, 1) 1( , 0, )( 2 xxf xx xf则xxfxg)()(在(,3的所有零点之和等于 A0 B2 C5 D6 12 已知半径为1的球O与正方体 1111 DCBAABC
5、D的六个面均相切，P为球O的球面上的动点， 若CAPD 11 ，则P的轨迹对应的曲线长度为 A 3 6 B 3 2 C 3 4 D 3 62 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置 13已知向量2,1 ,1, tab，且aab，则实数t_ 14角的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点 1 ( , ) 2 Pb，则 sin(2 ) 2 +_ 15若椭圆1 3 : 2 2 y x E的左焦点是F，坐标原点为O，给定E上的任意一点P，则 22 |PFPO的最小
6、值为_ 16点P(,( ) 44 f 为函数( )sin()(0) 8 f xx 图象C上一点，已知P向右平移 2 个单位 后仍落在C上 * |4 ,Nk k 存在这样的，使得C上任一点向左平移 4 后仍在C上 存在这样的，使得C上的点() 1212 f ,向右平移 5 6 后仍在C上 若( )f x在 19 () 54 2 ,单调递减，则 27 4 上述四个结论中，所有正确结论的编号为_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答第试题考生都必须作答第
7、 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 记 n S为正项数列 n a的前n项和，已知 nnn Saa42 2 （1）求 n a的通项公式； （2）记 n T为正项等比数列 n b的前n项和，且 21 ab ，28 3 T，若1562 n n T，求n的 最小值 18 （12 分） 某百货公司旗下有甲、乙两家分店为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两 家店 20 天的日销售额（单位：万元） ，分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如 下： （1）经计算得到甲店日销售额的平均数为4
8、9，方差为33.87 估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 若公司规定， 分店一年 （按 360 天计算） 中日销售额不低于 58 万的天数应不少于 90 天， 结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？ （2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理 由 19 （12 分） 如图，在六棱锥PABCDEF中，底面ABCDEF是边长 为4的正六边形， 2 7PAPC （1）点Q在侧棱PE上，且PB平面CFQ，证明：Q为 PE的中点； （2）若 2 5PB ，求点E到平面PCD的距离 20 （12 分） 已知函数
9、 2 ( )(2)lnf xaxaxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 21 （12 分） 已知点 0,1F ，直线 :1 l y ，直线 l 垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交 l 于点Q （1）求点Q的轨迹C的方程； （2）过点 , 2H a 作C的两条切线，切点分别为 ,A B，记HAB的外接圆为G，不论a取 何值，试判断以HG为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说 明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如
10、果多做，则按所做的第一题计 分分 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 1 C的 极坐标方程为12sin 2 ，将曲线 1 C绕点O顺时针旋转 4 得到曲线 2 C （1）求曲线 2 C的极坐标方程和直角坐标方程； （2）过点 11P， 的直线l交曲线 2 C于BA, 两点，求PBPA的最小值 23 选修 45：不等式选讲 （10 分） 已知函数3)(xaxxf （1）当2a时，求不等式( )1f x 的解集； （2） 3,3x ，( )4f xx，求a的取值范围 答案及评分参考答案及评分参考 一
11、、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1D 2B 3A 4D 5A 6B 7C 8B 9C 10A 11C 12D 1 【解析】依题意，i i i 21 2 z，则其在复平面内对应的点位于第四象限，故选D 2 【解析】依题意，2 , 1 , 021xxAN，则 2 , 1BA ，故选B 3【解析】 椭圆 1 49 22 yx 的左、 右焦点分别为0 ,5,0 ,5， 左、 右顶点分别为 0 , 3,0 , 3， 设双曲线1:
12、2 2 2 2 b y a x E， 则有3,5ca， 故其离心率 5 53 5 3 a c e， 故选 A 4 【解析】设甲部门的两人为 21,A A，乙部门的两人为 21,B B，丙部门的一人为C， 从中随机抽取 3 人，则所有基本事件为, 121 BAA，, 221 BAA，, 21 CAA， , 211 BBA，, 11 CBA，, 21 CBA，, 212 BBA，, 12 CBA，, 22 CBA， , 21 CBB，共 10 种； 3 人来自不同部门包含的基本事件为, 11 CBA，, 21 CBA，, 12 CBA，, 22 CBA， 共 4 种； 则 3 人来自不同部门的概率
13、为 5 2 10 4 故选 D 5 【解析】方法一：由函数 xfy 是R上的奇函数可得，当0x时， xxxfsin 2 ，所 以 xxxfcos2 ， 所以 2 f ， 由导数的几何意义可得所求切线的斜率为， 故选 A 方法二：当0x时， 2 sinf xxx，所以 xxxfcos2 ，因为函数 xfy 是R上 的 奇 函 数 ， 可 导 的 奇 函 数 的 导 数 是 偶 函 数 ， 所 以 22 ff ，由导数的几何意义可得所求切线的斜率为，故 选 A 6 【解析】由程序框图可知，函数 2, 0, 22,0. x xxx y x ，绘制图象如下所示，结合图象可知，当 1 , 1x时， 1
14、1, 4 y ，故选B 7【解析】 如图是圆锥的轴截面， 由题意可得， 60,SABSBSA， 所以SAB 是等边三角形，设圆锥底面圆半径为r，则rAB2， 所以3432 2 1 rrS SAB ，所以4 2 r，所以圆锥侧面积为 28rlrr ，故选 C 8 【解析】因为 2020 年 4 月国内手机市场总出货量和国内 5G 手机市场占比均为 十个月中的最大值，所以国内 5G 手机出货量最大，故 A 正确； 从 2019 年 7 月到 2020 年 2 月，国内 5G 手机的市场占比保持稳定增长，受国内手机总 出货量影响，2 月国内 5G 手机的出货量比 1 月有所下降，故 B 错误； 由上
15、图知，相比 2020 年前 4 个月，2019 年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定， 故 C 正确；2019 年 12 月到 2020 年 1 月国内 5G 手机市场占比的增长率为 26.3% 17.8% 0.48 17.8% ，2020 年 1 月到 2 月的增长率为 37.3%26.3% 0.42 26.3% ，前者 大，故 D 正确；故选 B 9 【解析】通过()()(1)0 ccc abab abab ，或构造函数( ) c f xx x ，根据其在(0,)单调 递增，可知( )( )f af b，故 A 错误； 因为 2 b 与ac大小不能确定，故 B 错误； 因为( )1 bc
16、 b cc bb c cb a ba ab a bb ，所以 bccb a ba b，故 C 正确； 令1c ，则loglog0 ab cc，故 D 错误故选 C 10 【解析】解法一：依题意，sinsinBADCAD，sinsinCADADC，由正弦定理可 知， ABD中， sinsin BDAB BADADB ；ACD中， sinsin CDAC CADADC ， 将 ，得:AB ACBD CD，故设2BDx，则CDx， 又因为coscosADBADC，由余弦定理可知， ABD中， 222 cos 2 ADBDAB ADB AD BD ；ACD中， 222 cos 2 ADCDAC ADC
17、 AD CD ， 联立，可求得2x ，故3 2BC ，故选A 解法二：过A作EBCAE， 因为ADAC，所以EDEC ， 由角平分线定理可知，CDBDACAB:，若设 xCD，则 2 x EDEC，xBD2 在AED中， 22 4EDAE 在AEB中， 222 )(ABBDEDAE 联立可得2x ，故3 2BC ，故选A 11 【解析】 由已知可作出函数 xf的部分图象， 可得当3x时 xfy 与xy 的图象的交点的横坐标分别为1,0,1,2,3， 所以 xxfxg在(,3的所有零点之和等于 5，故选 C 12 【解析】依题意，P的轨迹为平面 11 AB D与球O的截面对应的圆 1 O 依题意
18、，可计算得， 1 3 3 OO ，记 11 B D的中点为 1 P， 在直角 1 1 OOP中，可求得 1 1 6 = 3 O P，故圆 1 O的周长为 3 62 ， 故选D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置 13 【解析】解法一：由已知2,1 ,1,t ab，得3,1 tab， 根据aab得2 3 1 (1)70tt aab，解得7t 解法二：由 aab，得,a b ab构成以b为斜边的直角三角形， 又 2 2 5,1,91ttabab ，由勾股定理，得 2 2 5911
19、tt，即5 920 t，解得7t 14 【解析】由已知可得， 2 2 11 sin(2cos22cos121 222 +） 15 【解析】解法一： 由已知，得,0 ,2F设),(yxP， 则 2 2 2222 2|yxyxPFOP 3 2 23 3 4 422 3 4 2 3 12222 2 22 2 xxx xx xx 2 5 2 5 4 23 3 4 8 15 4 23 2 23 3 4 22 2 xxx )33(x 解法二：设sin,cos3P，,0 ,2F 所以 2 2 2222 sin2cos3sincos3| PFPO cos62cos442cos62sin2cos6 222 令1
20、 , 1cost，则4624| 222 ttPFPO， 当 4 6 t， . 2 5 16 40 16 2464 | min 22 PFPO 解法三：由中线定理，得12 2 2 222| 2 2 222 22 PMPMOMPMPFPO 设sin,cos3P，,0 , 2 2 M 则 2 2 sin 2 2 cos3 PM（令1 , 1cost） 2 3 6t 2 2 3 cos6cos2 22 t 2 3 8 6 2 3 24 ，1 , 1t 所以 2 5 1 4 3 2122| 222 22 PMOMPMPFPO 16 【解析】由已知可得，图象C的周期为( 2 k k Z)，或一条对称轴为
21、1 4222 x ， 故4k或 3 2 4 k，所以错误； 存在8， 4 T ，所以正确； 因 为 图 象 有 一 条 对 称 轴 为 2 x， 则() ) 1 21 2 f ,关 于 2 x的 对 称 点 为 11 (,() 1212 f ，故存在，使得C上的点() 1212 f ,向右平移11 5 12126 后仍 在C上 ，所以正确； 因为 11 4 时，( )f x在) 4 2 （ ,单调递减，且) 4 2 （ , 19 () 542 ,，故 11 4 时，( )f x在 19 () 54 2 ,单调递减也成立，所以错误故选 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证
22、明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答第试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 记 n S为正项数列 n a的前n项和，已知 nnn Saa42 2 （1）求 n a的通项公式； （2）记 n T为正项等比数列 n b的前n项和，且 21 ab ，28 3 T，若1562 n n T，求n的 最小值 【命题意图】本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列通项与和等基础知识；考查运算求 解、推理论
23、证等基本能力；考查分类与整合、化归与转化基本思想；取向数学运 算、逻辑推理核心素养 解析：解析： （1）当1n时， 11 2 1 42Saa，可得2 1 a 1 分 当2n时，由 nnn Saa42 2 ，可得 11 2 1 42 nnn Saa 2 分 得： 1 2 1 2 22 nnnn aaaa 3 分 整理得02 11 nnnn aaaa因为0 n a，所以22 1 naa nn ， 5 分 所以nnan2212 6 分 （2）依题意，设q为 n b的公比，4 21 ab，2814 2 3213 qqbbbT， 又0q，所以2q， 8 分 所以 124 21 214 n n n T，
24、10 分 所以42524242 nnnn n T， 由156425 n ，得5n，故所求n的最小值为 5 12 分 18 （12 分） 某百货公司旗下有甲、乙两家分店为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两 家店 20 天的日销售额（单位：万元） ，分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如 下： （1）经计算得到甲店日销售额的平均数为49，方差为33.87 估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 若公司规定，分店一年（按 360 天计算）中日销售额不低于 58 万的天数应不少于 90 天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求
25、？ （2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理 由 【命题意图】本题主要考查平均数、方差、直方图基础知识；考查数据处理、运算求解基本能 力；或然与必然的统计概率基本思想；取向数据分析、数学运算核心素养 解法一：解法一： （1）估计算乙店的日销售额平均数为 20 0.1 25 0.325 0.5 10 0.720 0.947x 乙 4 分 日销售额超过 58 万的天数占比不少于 4 1 360 90 ， 6 分 甲日销售额不低于 58 万的概率约为 (6058) 0.0320 0.007520 0.00250.26 ， 8 分 乙日销售额不低于 58 万的
26、概率约为 (6058) 0.012520 0.00520 0.0100.325， 两者均大于 4 1 ，两店均有达到这一规定的要求 10 分 （2）答案不唯一，但需结合数据与统计概率相关知识加以说理，方能给分 答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，经计算，乙店方差为 771，故甲店销 售情况比乙店要稳定，所以我选甲店； 答案二：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知，甲店的销售 额方差明显低于甲店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店； 答案三：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在 80 万-100 万 出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店 12
27、 分 解法二：解法二： （1）同解法一 4 分 日销售额超过 58 万的天数占比不少于 4 1 360 90 ； 6 分 由甲店的频率分布直方图可知，若甲店日销售额不低于x万元时的概率不低于 4 1 ， 则 0.250.0075 200.0025 201 605858 0.033 x ， 8 分 由乙店的频率分布直方图可知，乙店日销售额不低于 60 万元的概率约为 1 20 0.00520 0.0100.3 4 ，两店均有达到这一规定的要求 10 分 （2）同解法一 12 分 19 （12 分） 如图， 在六棱锥PABCDEF中， 底面ABCDEF是边长为4的正六边形，2 7PAPC （1）点
28、Q在侧棱PE上，且PB平面CFQ，证明：Q为PE的中点； （2）若2 5PB ，求点E到平面PCD的距离 【命题意图】本题主要考查线面平行、线面垂直、多面体的体 积、点面距等基础知识；考查空间想象、运算求 解、推理论证等基本能力；考查转化与化归、数 形结合等基本思想；取向数学运算、直观想象、 逻辑推理等核心素养 解析：解析： （1）设CFBERI，在正六边形ABCDEF中，易知R为BE中点 1 分 因为PB平面CFQ，PB 平面PBE，平面PBE平面CFQQR， 所以PBQR 3 分 因为R为BE中点，所以Q为PE的中点 4 分 （2）设ACBEOI，连结PO 在正六边形ABCDEF中，易得A
29、CBE，AOCO 又因为PAPC，所以POAC 5 分 在正六边形ABCDEF中，4ABBC，所以2 3AOCO，2BO 又因为2 7PAPC，所以4PO 因为2 5PB ，所以 222 PBBOPO，即POBO 6 分 POAC，POBO，BOACO，,BO AC 平面ABCDEF， 所以PO平面ABCDEF 8 分 PO平面ABCDEF，PO平面PAC，所以平面PAC 平面ABCDEF， 又因为BE 平面ABCDEF，BEAC，平面PAC平面ABCDEFAC， 所以BE 平面PAC，又因为CD BE，所以CD平面PAC， 又因为PC 平面PAC，所以CDPC，易得74 PCD S 10 分
30、 记h为点E到平面PCD的距离，由 E PCDP CDE - VV，34 CDE S 11 分 可得 11 33 PCDCDE ShSPO，可得 4 21 7 h 12 分 20 （12 分） 已知函数 2 ( )(2)lnf xaxaxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 【命题意图】本题主要考查函数单调性、零点基础知识；考查运算求解、推理论证基本能力； 考查数形结合、分类与整合等基本思想；取向数学运算、逻辑推理等核心素养 解法一：解法一： （1） 2111 22(0) xax fxaxaxx xx 1 分 当0a 时，10ax ，所以 0fx
31、，所以 f x在), 0( 上递减 2 分 当0a 时，由 0fx可得 1 x a ，由 0fx可得 1 0x a ， 所以 f x在 1 0, a 上递减，在 1 , a 上递增 4 分 （2）当0a 时，由（1）可知， f x在), 0( 上递减，不可能有两个零点 5 分 当0a 时， min 11(2)11 ln1ln a f xfa aaaaa ，令 1 1lng aa a ，则 2 11 0g a aa ，所以 g a在0,上递增，而 10g， 7 分 当1a 时， min 0g af x ，从而 f x没有两个零点 8 分 当01a时， min 0g af x ， 在 1 0, a
32、 上取 1 e x ， 2 2 11112 (2)ln10 eeeeeee aa faa ， 所以 f x在 1 1 , e a 上有1个零点； 10 分 在 1 , a 上取 31 1x aa ， 因为 2 333333 1121ln11ln10faa aaaaaa ， 所以 f x在 1 , a 上有1个零点综上所述，a的取值范围为0,1 12 分 解法二：解法二： （1）同解法一 4 分 （2）方程 2 (2)ln0axaxx等价于 2 2lnxx a xx ，所以 f x有两个零点等价于 2 2lnxx a xx 有两个解， 5 分 令 2 2lnxx G x xx ， 则 2 2 2 1 22ln21xxxxx x
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