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    【精品】六年级奥数培优教程讲义第27讲同余法解题(教师版)

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    【精品】六年级奥数培优教程讲义第27讲同余法解题(教师版)

    1、第第 2 27 7 讲讲 同余法解题同余法解题 余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和 同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 一、带余除法的定义及性质一、带余除法的定义及性质 一般地,如果 a 是整数,b 是整数(b0),若有 ab=qr,也就是 abqr, 0rb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里: (1)当0r 时:我们称 a 可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当0r 时:我们称 a 不可以被 b 整除,q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 二、三大余数定理:二、三大余数定理: 1.1.余数的加

    2、法定理余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 2.2.余数的乘法定理余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以 c 所得的余数。 3.3.同余定理同余定理 若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式。 同余式读作:a 同余于 b,模 m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论: 若两

    3、个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为:如果有 ab ( mod m ),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|(ab) 教学目标 知识梳理 三、中国剩余定理三、中国剩余定理 1.1.中国古代趣题中国古代趣题 韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每 3 人一列 余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人, 则兵有多少? 首先我们先

    4、求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945(注:因为 5、9、13、17 为两两互质的整数,故其最 小公倍数为这些数的积),然后再加 3,得 9948(人)。 2.2.核心思想和方法核心思想和方法 对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经 中的问题为例,分析此方法: 今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何? 题目中我们可以知道,一个自然数分别除以 3,5,7 后,得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先 构造一个数字,使得这个数字除以 3 余 1,并且还是 5 和 7 的公倍数。 先由5735,即 5 和

    5、 7 的最小公倍数出发,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数35270是否可以,很显然 70 除以 3 余 1 类似的,我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,显然 21 可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1,同时又是 3,5 公倍数的数字,45 符合要求,那么所求的自然数可以这样计算: 2 703 212 453,5,72333,5,7kk ,其中 k 是从 1 开始的自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所 求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满

    6、足上面条件最小的自然数”, 那么我们可以计算2 703 212 452 3,5,723 得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可,即 23+105=128。 考点一:考点一:带余除法的定义和性质带余除法的定义和性质 典例分析 例例 1 1、两数相除,商 4 余 8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,则被除数是_ 【解析】因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍,所以根据和倍问题可知,除数为4154884179()(), 所以,被除数为7948324。 例例 2 2、用一个自然数去除另一个自然数,商为 40,余数是 16.

    7、被除数、除数、商、余数的和是 933,求这 2 个自然数各是多少? 【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y,可以得到 4016 4016933 xy xy ,解方程组得 856 21 x y ,即这两个自然数分别是 856,21. 例例 3 3、一个两位数除以 13 的商是 6,除以 11 所得的余数是 6,求这个两位数 【解析】因为一个两位数除以 13 的商是 6,所以这个两位数一定大于13 678,并且小于13 (6 1)91; 又因为这个两位数除以 11 余 6,而 78 除以 11 余 1,这个两位数为78583 考点二:三大余数定理的应用考点二:三

    8、大余数定理的应用 例例 1 1、一个三位数除以 17 和 19 都有余数,并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商 与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少? 【解析】 设这个三位数为s, 它除以 17 和 19 的商分别为a和b, 余数分别为m和n, 则1 71 9sa mb n 根据题意可知ambn,所以samsbn ,即1618ab,得89ab所以a是 9 的倍数,b 是 8 的倍数此时,由ambn知 81 99 nmabaaa 由于s为三位数,最小为 100,最大为 999,所以10017999am,而116m, 所以17117999aam ,1

    9、00171716ama,得到558a,而a是 9 的倍数,所以a最小为 9, 最大为 54 当54a 时, 1 6 9 nma,而18n ,所以12m ,故此时s最大为175412930; 当9a 时, 1 1 9 nma,由于1m ,所以此时s最小为1791154 所以这样的三位数中最大的是 930,最小的是 154 例例 2 2、 3031 3130被13除所得的余数是多少? 【解析】31 被 13 除所得的余数为 5,当 n 取 1,2,3,时5n被 13 除所得余数分别是 5,12,8,1,5, 12,8,1以 4 为周期循环出现,所以 30 5被 13 除的余数与 2 5被 13 除

    10、的余数相同,余 12,则 30 31除以 13 的余数为 12; 30 被 13 除所得的余数是 4,当 n 取 1,2,3,时,4n被 13 除所得的余数分别是 4,3,12,9,10,1, 4,3,12,9,10,以 6 为周期循环出现,所以 31 4被 13 除所得的余数等于 1 4被 13 除所得的余数,即 4, 故 31 30除以 13 的余数为 4; 所以 3031 3130被 13 除所得的余数是124133 例例 3 3、 19967 77777 个 除以 41 的余数是多少? 【解析】找规律:7417,774136,7774139,77774128, 77777410,所以

    11、77777 是 41 的倍数,而199653991,所以 19967 77777 个 可以分成 399 段 77777 和 1 个 7 组成,那么它除以 41 的余数为 7 例例 4 4、求所有的质数 P,使得 2 41p 与 2 61p 也是质数 【解析】如果5p ,则 2 41 101p , 2 61 151p 都是质数,所以 5 符合题意如果 P 不等于 5,那么 P 除以 5 的余数为 1、2、3 或者 4, 2 p除以 5 的余数即等于 2 1、 2 2、 2 3或者 2 4除以 5 的余数,即 1、4、9 或 者 16 除以 5 的余数,只有 1 和 4 两种情况如果 2 p除以

    12、5 的余数为 1,那么 2 41p 除以 5 的余数等于 4 1 15 除以 5 的余数,为 0,即此时 2 41p 被 5 整除,而 2 41p 大于 5,所以此时 2 41p 不是质数; 如果 2 p除以 5 的余数为 4,同理可知 2 61p 不是质数,所以 P 不等于 5, 2 41p 与 2 61p 至少有一个不是 质数,所以只有5p 满足条件 例例 5 5、甲、乙、丙三数分别为 603,939,393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的 2 倍,A除乙 数所得余数是A除丙数所得余数的 2 倍求A等于多少? 【解析】根据题意,这三个数除以A都有余数,则可以用带余除法的形式将它们表

    13、示出来: 11 603AKr 5049495 33 393AKr 由于 12 2rr, 23 2rr,要消去余数 1 r, 2 r, 3 r,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减 这样我们先把第二个式子乘以 2,使得被除数和余数都扩大 2 倍,同理,第三个式子乘以 4 于是我们可以得到下面的式子: 11 603AKr 22 939 222AKr 33 393 424AKr 这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数,意味着能被A整除 93926031275,3934603969,1275,969513 17 51 的约数有 1、3、17、51,其中 1、3 显然不满足,检验 17 和 51

    14、 可知 17 满足,所以A等于 17 考点三:余数综合应用考点三:余数综合应用 例例 1 1、设21n是质数,证明: 2 1, 2 2, 2 n被21n除所得的余数各不相同 【解析】假设有两个数a、b,(1ban),它们的平方 2 a, 2 b被21n除余数相同那么,由 同 余 定 理 得 22 0(mod(21)abn, 即() ()0 ( m o d ( 21) )ababn, 由 于21n是 质 数 , 所 以 0(mod(21)abn或0(mod(21)abn, 由于ab,ab均小于21n且大于 0, 可知,ab与21n 互质,ab也与21n互质,即ab,ab都不能被21n整除,产生矛

    15、盾,所以假设不成立,原题得证 例例 2 2、从 1,2,3,n 中,任取 57 个数,使这 57 个数必有两个数的差为 13,则 n 的最大值为多少? 【解析】被 13 除的同余序列当中,如余 1 的同余序列,1、14、27、40、53、66,其中只要取到两个 相邻的,这两个数的差为 13;如果没有两个相邻的数,则没有两个数的差为 13,不同的同余序列当中不可 能有两个数的差为 13,对于任意一条长度为 x 的序列,都最多能取 2 x x 个数,使得取出的数中没有两个 数的差为 13,即从第 1 个数起隔 1 个取 1 个 基于以上,n 个数分成 13 个序列,每条序列的长度为 13 n 或1

    16、 13 n ,两个长度差为 1 的序列,要使取出 的数中没有两个数的差为 13,能够被取得的数的个数之差也不会超过 1,所以为使 57 个数中任意两个数的 差都不等于 13,则这 57 个数被分配在 13 条序列中,在每条序列被分配的数的个数差不会超过 1,那么 13 个序列有 8 个序列分配了 4 个数,5 个序列分配了 5 个数,则这 13 个序列中 8 个长度为 8,5 个长度为 9, 那么当 n 最小为8 895109 时,可以取出 57 个数,其中任两个数的差不为 13,所以要使任取 57 个数 必有两个数的差为 13,那么 n 的最大值为 108 例例 3 3、 已知 n 是正整数

    17、, 规定!1 2nn , 令1 !1 2 !2 3 !32 0 0 7 !2 0 0 7m , 则整数 m 除以 2008 的余数为多少? 【解析】 1!12!23!32007!2007m 1!212!313!412007!20081()()()() 2! 1! 3! 2! 4! 3!2008! 2007! 2008! 1 2008 能够整除2008!,所以2008! 1的余数是 2007 例例 4 4、有 2 个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是 1031,第一个数各个位的数字之和是 10,第二 个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和。 【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和

    18、,同时发现乘积的一部分已经给出,即乘积的一部分数字 之和已经给出,我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式,所以 一定可以满足弃九法的条件,两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8,所以等式一边除以 9 的余数为 8,那 么1031 除以 9 的余数也必须为 8,只能是 3.将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三 位数的乘积, 即3103131 1001143217 所以两个三位数是 143 和 217,那么两个三位数的和是 360。 例例 5 5、设 2009 2009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,C的

    19、各位数字之 和为D,那么D ? 【解析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同,所以 2009 2009与A、B、C、D 除以 9 都同余, 而 2009 除以 9 的余数为 2, 则 2009 2009除以 9 的余数与 2009 2除以 9 的余数相同, 而 6 264除 以 9 的余数为 1,所以 334 20096 334 565 2222 除以 9 的余数为 5 2除以 9 的余数,即为 5 另一方面,由于 200920098036 20091000010,所以 2009 2009的位数不超过 8036 位,那么它的各位数字之和不 超过9 803672324

    20、, 即72324A; 那么A的各位数字之和9545B ,B的各位数字之和9218C , C小于 18 且除以 9 的余数为 5,那么C为 5 或 14,C的各位数字之和为 5,即5D 考点四:中国剩余定理考点四:中国剩余定理 例例 1 1、一个自然数在 1000 和 1200 之间,且被 3 除余 1,被 5 除余 2,被 7 除余 3,求符合条件的数 【解析】方法 1:先列出除以 3 余 1 的数:1,4,7,10,13,16,;再列出除以 5 余 2 的数:2,7,12, 17,22,27,; 这两列数中,首先出现的公共数是 73 与 5 的最小公倍数是 15两个条件合并成一个就是 715

    21、整数,列出这一串数是 7,22,37,52,;再列出除以 7 余 3 的数: 3,10,17,24,31,38,45,52,;就得出符合题目条件的最小数是 52事实上,我们已把题目中三个 条件合并成一个:被 105 除余 52那么这个数在 1000 和 1200 之间,应该是105 10521102 方法 2:我们先找出被 3 除余 1 的数:1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46, 49,52,;被 5 除余 2 的数:2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,;被 7 除余 3 的数: 3,10,17,24,31,

    22、38,45,52,; 三个条件都符合的最小的数是 52, 其后的是一次加上 3、 5、 7 的最小公倍数, 直到加到 1000 和 1200 之间 结 果是105 10521102 方法 3:设这个自然数为a,被 3 除余 1,被 5 除余 2,可以理解为被 3 除余321,被 5 除与52,所以 满足前面两个条件的157am (m为自然数), 只需157m 除以7余3, 即15m除以7余3, 而1 5 7 2 1, 只需 m 除以 7 余 3, m 最小为 3, 所以满足三个条件的最小自然数为3 15752, 那么这个数在 1000 和 1200 之间,应该是105 10521102 例例

    23、2 2、一个大于 10 的自然数,除以 5 余 3,除以 7 余 1,除以 9 余 8,那么满足条件的自然数最小为多少? 【解析】根据总结,我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718 ,这样我们可以把余 数都处理成 8,即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8,除以 7 余 1 相当于除以 7 余 8,所以可以看成这个 数除以 5、7、9 的余数都是 8,那么它减去 8 之后是 5、7、9 的公倍数而5,7,9315,所以这个数最小 为3158323 例例 3 3、一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,问满足条件的最小自然数为多少? 【解析】法一:根据

    24、总结,我们发现前面两种都不符合,所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”,步 骤如下: 分别找出除以 7 余 4 的 3、5 的公倍数,除以 5 余 3 的 3、7 的公倍数,除以 3 余 2 的 5、7 的公倍数,分别 是:60、63、35; 可见606335158满足我们的条件,但是要求的是满足条件的最小的自然数,158 不是最小的,对此的 处理方法就是减去 3、5、7 的最小公倍数的若干倍,使结果小于最小公倍数所以答案为:15810553 法二:逐步构造符合条件的最小自然数, 首先求符合后面两个条件的最小自然数,依次用 7 的倍数加 4,当 4 被加上两个 7 时得到 18,恰好除以 5

    25、余 3,此时符合后两个条件; 再依次用 7 和 5 的最小公倍数的倍数加 18,当 18 被加上 1 个 35 个,得到 53,检验符合三个条件所以所 求的最小自然数就是 53. 例例 4 4、在 200 至 300 之间,有三个连续的自然数,其中,最小的能被 3 整除,中间的能被 7 整除,最大的能 被 13 整除,那么这样的三个连续自然数分别是多少? 【解析】先找出两个连续自然数,第一个被 3 整除,第二个被 7 整除例如,找出 6 和 7,下一个连续自然 数是 83 和 7 的最小公倍数是 21,考虑 8 加上 21 的整数倍,使加得的数能被 13 整除821 12260, 能被 13

    26、整除,那么 258,259,260 这三个连续自然数,依次分别能被 3,7,13 整除,又恰好在 200 至 300 之间由于 3,7,13 的最小公倍数为 273,所以在 200 至 300 之间只有 258,259,260 这三个数满足条件 例例 5 5、一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5,求符合条件的最小的数 【解析】法一:将 3、5、7、11 这 4 个数 3 个 3 个一起分别计算公倍数,如表: 3、 5、 7 的公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找, 但注意到 210 除以 11 余 1, 所以21051050被 11 除余 5, 由此可知7706931

    27、6510502678是符合条件的一个值,但不是最小值,还需要减去 3、5、7、11 的公 倍数使得它小于它们的最小公倍数 由于 3、5、7、11 的最小公倍数是 1155,所以267811552368是符合条件的最小值 法二:对于这种题目,也可以先求满足其中 3 个余数条件的,比如先求满足除以 3、5、7 的余数分别是 2、 3、4 的,既可采用中国剩余定理,得到70221 3154263 是满足前 3 个余数条件的,从而其中最小 的是263 105253;由于 53 除以 11 的余数为 9,105 除以 11 的余数为 6,可知96 327除以 11 的 余数为 5,所以53 105 33

    28、68是满足条件的最小数 也可以直接观察发现这个数乘以 2 之后除以 3、5、7 的余数分别是 4、6、8,也就是除以 3、5、7 的余数都 是 1,所以满足前三个条件的数最小为(3 5 71)253 ,后面的步骤与上面的解法相同 课堂狙击课堂狙击 1、有一个整数,除 39,51,147 所得的余数都是 3,求这个数. 【解析】(法 1) 39336,1473144,(36,144)12,12 的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为 3 要小于 除数,这个数是4,6,12; (法 2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差 的公约数5139

    29、12,14739108,(12,108)12,所以这个数是4,6,12 实战演练 2、求 1997 3的最后两位数 【解析】即考虑 1997 3除以 100 的余数由于100425,由于 3 327除以 25 余 2,所以 9 3除以 25 余 8, 10 3除以 25 余 24,那么 20 3除以 25 余 1;又因为 2 3除以 4 余 1,则 20 3除以 4 余 1;即 20 31能被 4 和 25 整 除,而 4 与 25 互质,所以 20 31能被 100 整除,即 20 3除以 100 余 1,由于199720 9917,所以 1997 3除 以 100 的余数即等于 17 3除

    30、以 100 的余数, 而 6 3729除以 100 余 29, 5 3243除以 100 余 43, 176 25 3(3 )3, 所以 17 3除以 100 的余数等于292943除以 100 的余数, 而29294336163除以 100 余 63, 所以 1997 3除 以 100 余 63,即 1997 3的最后两位数为 63 3、试求不大于 100,且使374 nn 能被 11 整除的所有自然数 n 的和 【解析】 通过逐次计算, 可以求出3n被 11 除的余数, 依次为: 1 3为 3, 2 3为 9, 3 3为 5, 4 3为 4, 5 3为 1, , 因而3n被 11 除的余数

    31、 5 个构成一个周期:3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,;类似地,可以求出7n被 11 除的余数 10 个构成一个周期:7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,;于是374 nn 被 11 除的余数 也是 10 个构成一个周期:3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,;这就表明,每一个周期中,只有第 3、4、 6 个这三个数满足题意,即3,4,6,13,14,16,93,94,96n时374 nn 能被 11 整除,所以,所有满足条件 的自然数 n 的和为:34613 1416.9394961343.2831480 4、 将 1 至 2008 这 2008 个自然数, 按从小到大的次序

    32、依次写出, 得一个多位 1234567891011121320072008, 试求这个多位数除以 9 的余数 【解析】以 19992000 这个八位数为例,它被 9 除的余数等于1 9992000被 9 除的余数,但是 由于 1999 与1 999被 9 除的余数相同, 2000 与2000被 9 除的余数相同, 所以 19992000 就与 19992000被 9 除的余数相同 由此可得,从 1 开始的自然数 1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同 根据等差数列求和公式,这个和为: 120082008 201703

    33、6 2 ,它被 9 除的余数为 1 另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质,将原多位数分成 123456789, 101112131415161718,199920002001200220032004200520062007,2008 等数,可见它被 9 除的余数 与 2008 被 9 除的余数相同 因此,此数被 9 除的余数为 1 5、1 3 51991 的末三位数是多少? 首先,仅考虑后三位数字,所求的数目相当于1 3 5991 的平方再乘以993 995 997999的末三位 而993 995 997999993 999995 997 993000993995000

    34、995 39930009939950002985, 其末三位为7 15105;然后来看前者它是一个奇数的平方,设其为 2 5k (k 为奇数), 由于 2 22 52525251kkk,而奇数的平方除以 8 余 1,所以 2 1k 是 8 的倍数,则 2 251k 是 200 的 倍 数 , 设 2 2 512 0 0km, 则 2 2 52 52 512 52 0 0kkm, 所 以 它 与105的 乘 积 2 51 0 52 52 0 01 0 52 1 0 0 02 6 2 5kmm, 所以不论 m 的值是多少,所求的末三位都是 625 6、有一个数,除以 3 余 2,除以 4 余 1,

    35、问这个数除以 12 余几? 【解析】方法一:除以 3 余 2 的数有:2,5,8,11,14,17,20,23,; 它们除以 12 的余数是:2,5,8,11,2,5,8,11,; 除以 4 余 1 的数有:1,5,9,13,17,21,25,29,; 它们除以 12 的余数是:1,5,9,1,5,9,; 一个数除以 12 的余数是唯一的上面两行余数中,只有 5 是共同的,因此这个数除以 12 的余数是 5 方法二:一个数,除以 3 余 2,除以 4 余 1,可以理解为除以 3 余32,除以 4 余4 1,所以这个数减去 5 后,既能被 3 整除,又能被 4 整除,设这个数为a,则125am,

    36、(m 为自然数)所以这个数除以 12 余 5。 课后反击课后反击 1、一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数。 【解析】本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题-即“不整除问题” 转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与 余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273,说明 273 是所求余数的倍数,而 273=3713,所求的两位数约数还要满足比 37 大, 符合条件的有 39,91. 2、求 89 143除以 7 的余数 【解析】法一:由于1433 mod7 (143 被 7

    37、除余 3), 所以 8989 1433mod7 ( 89 143被 7 除所得余数与 89 3被 7 除所得余数相等) 而 6 3729,7291 mod7(729 除以 7 的余数为 1),所以 8966655 14 3333335 mod7 个 故 89 143除以 7 的余数为 5. 法二:计算 89 3被 7 除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表: 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 mod7 3 2 6 4 5 1 3 于是余数以 6 为周期变化所以 895 335 mod7 3、若a为自然数,证明 20051949 10 ()aa 【解析】1025,由于

    38、2005 a与 1949 a的奇偶性相同,所以 20051949 2 ()aa 20051949194956 (1)aaaa,如果a 能被 5 整除,那么 194956 5(1)aa;如果a不能被 5 整除,那么a被 5 除的余数为 1、2、3 或者 4, 4 a被 5 除 的余数为 4 1、 4 2、 4 3、 4 4被 5 除的余数,即为 1、16、81、256 被 5 除的余数,而这四个数除以 5 均余 1, 所以不管a为多少, 4 a被 5 除的余数为 1, 而 5 64 1 4 ()aa, 即 14 个 4 a相乘, 所以 56 a除以 5 均余 1, 则 56 1a 能被 5 整除

    39、,有 194956 5(1)aa所以 20051949 5 ()aa由于 2 与 5 互质,所以 20051949 10 ()aa 4、将自然数 1,2,3,4依次写下去,若最终写到 2000,成为12319992000,那么这个自然数除以 99 余几? 【解析】由于999 11,可以分别求这个数除以 9 和 11 的余数,进而求出它除以 99 的余数实际上求得 这个数除以 9 和 11 的余数均为 3,所以这个数减去 3 后是 9 和 11 的倍数,那么也是 99 的倍数,所以这个 数除以 99 的余数为 3 5、一个大于 10 的数,除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 11 余 7,

    40、问满足条件的最小自然数是多少? 【解析】法一:仔细分析可以发现321527 ,所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7,由于 3,5,11165 ,所以这个数最小是1657172 法二:事实上,如果没有“大于 10”这个条件,7 即可符合条件,所以只需要在 7 的基础上加上 3、5、11 的最小公倍数,得到 172 即为所求的数 6、对任意的自然数 n,证明2903803464261 nnnn A能被 1897 整除 【解析】18977271,7 与 271 互质,因为29035(mod7),8035(mod7), 4642(mod7),2612(mod7),所以, 29038034642

    41、6155220(mod7) nnnnnnnn A,故A能被 7 整除 又因为2903193(mod271),803261(mod271),464193(mod271),所以 29038034642611932611932610(mod271) nnnnnnnn A,故A能被 271 整除 因为 7 与 271 互质,所以A能被 1897 整除 1、(南京市少年数学智力冬令营试题) 2003 2与 2 2003的和除以 7 的余数是_ 【解析】找规律用 7 除 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2,的余数分别是 2,4,1,2,4,1,2,4,1,,2 的个数是 3 的倍数时,用

    42、 7 除的余数为 1;2 的个数是 3 的倍数多 1 时,用 7 除的余数为 2;2 的个数是 3 的倍数多 2 时,用 7 除的余数为 4因为 20033 667 2 22 ,所以 2003 2除以 7 余 4又两个数的积除以 7 的余数, 与两个数分别除以 7 所得余数的积相同而 2003 除以 7 余 1,所以 2 2003除以 7 余 1故 2003 2与 2 2003的和 除以 7 的余数是415 2、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数,甲 取 3 张,乙取 2 张,丙取 1 张,结果发现甲、乙各自手中卡

    43、片上的数之和一个人是另个人的 2 倍,则丙 手中卡片上的数是_(第五届小数报数学竞赛初赛) 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知,甲、乙手中五张卡 片上的数之和应是 3 的倍数计算这六个数的总和是 1193 1258184218661912249410565, 直击赛场 10565 除以 3 余 2;因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数,那么丙手中的卡片上 的数除以 3 余 2六个数中只有 1193 除以 3 余 2,故丙手中卡片上的数为 1193 3、(奥数网杯)已知 20082008 200820082008a 个 ,问:a除以 13

    44、 所得的余数是多少? 【解析】2008 除以 13 余 6,10000 除以 13 余 3,注意到200820082008 100002008; 20082008200820082008 100002008; 2008200820082008200820082008 100002008; 根据这样的递推规律求出余数的变化规律: 20082008 除以 13 余6361311 ,200820082008 除以 13 余11 36390 ,即 200820082008 是 13 的倍数 而2008除以 3 余 1,所以 20082008 200820082008a 个 除以 13 的余数与2008

    45、除以 13 的余数相同,为 6. 4、(“华杯赛”试题)3 个三位数乘积的算式234235286abcbcacab (其中abc), 在校对时,发 现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位 6 是正确的,问原式中的abc是多少? 【解析】由于2342352862342352868(mod9) , 3 () (mod9)abcbcacababc, 于是 3 ()8(mod9)abc,从而(用0,1,2,.,8(mod9)abc代入上式检验) 2,5,8(mod9)abc(1),对a进行讨论: 如果9a ,那么2,5,8(mod9)bc(2),又ca b的个位数字是 6,所以bc的个位数字为

    46、 4,bc可 能为4 1、72、8 3、64,其中只有( , )(4,1),(8,3)b c 符合(2),经检验只有983 839398328245326 符合题意 如果8a ,那么3,6,0(mod9)bc(3),又bc的个位数字为 2 或 7,则bc可能为2 1、43、62、 76、7 1,其中只有( , )(2,1)b c 符合(3),经检验,821abc 不合题意 如果7a ,那么4,7,1(mod9)bc(4),则bc可能为42、63,其中没有符合(4)的( , )b c 如果6a ,那么5b ,4c ,700600500210000000222334586abcbcacab,因此这时abc不 可能符合题意综上所述,983abc 是本题唯一的解 5、(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个),小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时 针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到 A 孔他先试着每隔 2 孔跳一步,结果


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