1、第第 2 27 7 讲讲 同余法解题同余法解题 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和 同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 一、带余除法的定义及性质一、带余除法的定义及性质 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是 abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当0r 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 二、三大余数定理：二、三大余数定理： 1.1.余数的加
2、法定理余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 2.2.余数的乘法定理余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 3.3.同余定理同余定理 若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两
3、个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab) 教学目标 知识梳理 三、中国剩余定理三、中国剩余定理 1.1.中国古代趣题中国古代趣题 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列 余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人， 则兵有多少？ 首先我们先
4、求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最 小公倍数为这些数的积），然后再加 3，得 9948（人）。 2.2.核心思想和方法核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经 中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3，5，7 后，得到三个余数分别为 2，3，2.那么我们首先 构造一个数字，使得这个数字除以 3 余 1，并且还是 5 和 7 的公倍数。 先由5735，即 5 和
5、 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数35270是否可以，很显然 70 除以 3 余 1 类似的，我们再构造一个除以 5 余 1，同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显然 21 可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 2 703 212 453,5,72333,5,7kk ，其中 k 是从 1 开始的自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所 求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满
6、足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2 703 212 452 3,5,723 得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可，即 23+105=128。 考点一：考点一：带余除法的定义和性质带余除法的定义和性质 典例分析 例例 1 1、两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是_ 【解析】因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179（）（）， 所以，被除数为7948324。 例例 2 2、用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 16.
7、被除数、除数、商、余数的和是 933，求这 2 个自然数各是多少？ 【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到 4016 4016933 xy xy ,解方程组得 856 21 x y ，即这两个自然数分别是 856，21. 例例 3 3、一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数 【解析】因为一个两位数除以 13 的商是 6，所以这个两位数一定大于13 678，并且小于13 (6 1)91； 又因为这个两位数除以 11 余 6，而 78 除以 11 余 1，这个两位数为78583 考点二：三大余数定理的应用考点二：三
8、大余数定理的应用 例例 1 1、一个三位数除以 17 和 19 都有余数，并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商 与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？ 【解析】 设这个三位数为s， 它除以 17 和 19 的商分别为a和b， 余数分别为m和n， 则1 71 9sa mb n 根据题意可知ambn，所以samsbn ，即1618ab，得89ab所以a是 9 的倍数，b 是 8 的倍数此时，由ambn知 81 99 nmabaaa 由于s为三位数，最小为 100，最大为 999，所以10017999am，而116m， 所以17117999aam ，1
9、00171716ama，得到558a，而a是 9 的倍数，所以a最小为 9， 最大为 54 当54a 时， 1 6 9 nma，而18n ，所以12m ，故此时s最大为175412930； 当9a 时， 1 1 9 nma，由于1m ，所以此时s最小为1791154 所以这样的三位数中最大的是 930，最小的是 154 例例 2 2、 3031 3130被13除所得的余数是多少？ 【解析】31 被 13 除所得的余数为 5，当 n 取 1，2，3，时5n被 13 除所得余数分别是 5，12，8，1，5， 12，8，1以 4 为周期循环出现，所以 30 5被 13 除的余数与 2 5被 13 除
10、的余数相同，余 12，则 30 31除以 13 的余数为 12； 30 被 13 除所得的余数是 4，当 n 取 1，2，3，时，4n被 13 除所得的余数分别是 4，3，12，9，10，1， 4，3，12，9，10，以 6 为周期循环出现，所以 31 4被 13 除所得的余数等于 1 4被 13 除所得的余数，即 4， 故 31 30除以 13 的余数为 4； 所以 3031 3130被 13 除所得的余数是124133 例例 3 3、 19967 77777 个 除以 41 的余数是多少？ 【解析】找规律：7417，774136，7774139，77774128， 77777410，所以
11、77777 是 41 的倍数，而199653991，所以 19967 77777 个 可以分成 399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7 例例 4 4、求所有的质数 P，使得 2 41p 与 2 61p 也是质数 【解析】如果5p ，则 2 41 101p ， 2 61 151p 都是质数，所以 5 符合题意如果 P 不等于 5，那么 P 除以 5 的余数为 1、2、3 或者 4， 2 p除以 5 的余数即等于 2 1、 2 2、 2 3或者 2 4除以 5 的余数，即 1、4、9 或 者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4 两种情况如果 2 p除以
12、5 的余数为 1，那么 2 41p 除以 5 的余数等于 4 1 15 除以 5 的余数，为 0，即此时 2 41p 被 5 整除，而 2 41p 大于 5，所以此时 2 41p 不是质数； 如果 2 p除以 5 的余数为 4，同理可知 2 61p 不是质数，所以 P 不等于 5， 2 41p 与 2 61p 至少有一个不是 质数，所以只有5p 满足条件 例例 5 5、甲、乙、丙三数分别为 603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的 2 倍，A除乙 数所得余数是A除丙数所得余数的 2 倍求A等于多少？ 【解析】根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表
13、示出来： 11 603AKr 5049495 33 393AKr 由于 12 2rr， 23 2rr，要消去余数 1 r, 2 r, 3 r,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减 这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大 2 倍，同理，第三个式子乘以 4 于是我们可以得到下面的式子： 11 603AKr 22 939 222AKr 33 393 424AKr 这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数，意味着能被A整除 93926031275，3934603969，1275,969513 17 51 的约数有 1、3、17、51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51
14、 可知 17 满足，所以A等于 17 考点三：余数综合应用考点三：余数综合应用 例例 1 1、设21n是质数，证明： 2 1， 2 2， 2 n被21n除所得的余数各不相同 【解析】假设有两个数a、b，(1ban)，它们的平方 2 a， 2 b被21n除余数相同那么，由 同 余 定 理 得 22 0(mod(21)abn， 即() ()0 ( m o d ( 21) )ababn， 由 于21n是 质 数 ， 所 以 0(mod(21)abn或0(mod(21)abn， 由于ab，ab均小于21n且大于 0， 可知，ab与21n 互质，ab也与21n互质，即ab，ab都不能被21n整除，产生矛
15、盾，所以假设不成立，原题得证 例例 2 2、从 1，2，3，n 中，任取 57 个数，使这 57 个数必有两个数的差为 13，则 n 的最大值为多少？ 【解析】被 13 除的同余序列当中，如余 1 的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到两个 相邻的，这两个数的差为 13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为 13，不同的同余序列当中不可 能有两个数的差为 13，对于任意一条长度为 x 的序列，都最多能取 2 x x 个数，使得取出的数中没有两个 数的差为 13，即从第 1 个数起隔 1 个取 1 个 基于以上，n 个数分成 13 个序列，每条序列的长度为 13 n 或1
16、 13 n ，两个长度差为 1 的序列，要使取出 的数中没有两个数的差为 13，能够被取得的数的个数之差也不会超过 1，所以为使 57 个数中任意两个数的 差都不等于 13，则这 57 个数被分配在 13 条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过 1，那么 13 个序列有 8 个序列分配了 4 个数，5 个序列分配了 5 个数，则这 13 个序列中 8 个长度为 8，5 个长度为 9， 那么当 n 最小为8 895109 时，可以取出 57 个数，其中任两个数的差不为 13，所以要使任取 57 个数 必有两个数的差为 13，那么 n 的最大值为 108 例例 3 3、 已知 n 是正整数
17、， 规定!1 2nn ， 令1 !1 2 !2 3 !32 0 0 7 !2 0 0 7m ， 则整数 m 除以 2008 的余数为多少？ 【解析】 1!12!23!32007!2007m 1!212!313!412007!20081（）（）（）（） 2! 1! 3! 2! 4! 3!2008! 2007! 2008! 1 2008 能够整除2008!，所以2008! 1的余数是 2007 例例 4 4、有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二 个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和。 【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和
18、，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字 之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以 一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的余数为 8，那 么1031 除以 9 的余数也必须为 8，只能是 3.将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三 位数的乘积， 即3103131 1001143217 所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是 360。 例例 5 5、设 2009 2009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的
19、各位数字之 和为D，那么D ？ 【解析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以 2009 2009与A、B、C、D 除以 9 都同余， 而 2009 除以 9 的余数为 2， 则 2009 2009除以 9 的余数与 2009 2除以 9 的余数相同， 而 6 264除 以 9 的余数为 1，所以 334 20096 334 565 2222 除以 9 的余数为 5 2除以 9 的余数，即为 5 另一方面，由于 200920098036 20091000010，所以 2009 2009的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不 超过9 803672324
20、， 即72324A； 那么A的各位数字之和9545B ，B的各位数字之和9218C ， C小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么C为 5 或 14，C的各位数字之和为 5，即5D 考点四：中国剩余定理考点四：中国剩余定理 例例 1 1、一个自然数在 1000 和 1200 之间，且被 3 除余 1，被 5 除余 2，被 7 除余 3，求符合条件的数 【解析】方法 1：先列出除以 3 余 1 的数：1，4，7，10，13，16，；再列出除以 5 余 2 的数：2，7，12， 17，22，27，； 这两列数中，首先出现的公共数是 73 与 5 的最小公倍数是 15两个条件合并成一个就是 715
21、整数，列出这一串数是 7，22，37，52，；再列出除以 7 余 3 的数： 3，10，17，24，31，38，45，52，；就得出符合题目条件的最小数是 52事实上，我们已把题目中三个 条件合并成一个：被 105 除余 52那么这个数在 1000 和 1200 之间，应该是105 10521102 方法 2：我们先找出被 3 除余 1 的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46， 49，52，；被 5 除余 2 的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，；被 7 除余 3 的数： 3，10，17，24，31，
22、38，45，52，； 三个条件都符合的最小的数是 52， 其后的是一次加上 3、 5、 7 的最小公倍数， 直到加到 1000 和 1200 之间 结 果是105 10521102 方法 3：设这个自然数为a，被 3 除余 1，被 5 除余 2，可以理解为被 3 除余321，被 5 除与52，所以 满足前面两个条件的157am (m为自然数)， 只需157m 除以7余3， 即15m除以7余3， 而1 5 7 2 1， 只需 m 除以 7 余 3， m 最小为 3， 所以满足三个条件的最小自然数为3 15752， 那么这个数在 1000 和 1200 之间，应该是105 10521102 例例
23、2 2、一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？ 【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718 ，这样我们可以把余 数都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以 7 余 8，所以可以看成这个 数除以 5、7、9 的余数都是 8，那么它减去 8 之后是 5、7、9 的公倍数而5,7,9315，所以这个数最小 为3158323 例例 3 3、一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然数为多少？ 【解析】法一：根据
24、总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步 骤如下： 分别找出除以 7 余 4 的 3、5 的公倍数，除以 5 余 3 的 3、7 的公倍数，除以 3 余 2 的 5、7 的公倍数，分别 是：60、63、35； 可见606335158满足我们的条件，但是要求的是满足条件的最小的自然数，158 不是最小的，对此的 处理方法就是减去 3、5、7 的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数所以答案为：15810553 法二：逐步构造符合条件的最小自然数， 首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用 7 的倍数加 4，当 4 被加上两个 7 时得到 18，恰好除以 5
25、余 3，此时符合后两个条件； 再依次用 7 和 5 的最小公倍数的倍数加 18，当 18 被加上 1 个 35 个，得到 53，检验符合三个条件所以所 求的最小自然数就是 53. 例例 4 4、在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被 7 整除，最大的能 被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？ 【解析】先找出两个连续自然数，第一个被 3 整除，第二个被 7 整除例如，找出 6 和 7，下一个连续自然 数是 83 和 7 的最小公倍数是 21，考虑 8 加上 21 的整数倍，使加得的数能被 13 整除821 12260， 能被 13
26、整除，那么 258，259，260 这三个连续自然数，依次分别能被 3，7，13 整除，又恰好在 200 至 300 之间由于 3，7，13 的最小公倍数为 273，所以在 200 至 300 之间只有 258，259，260 这三个数满足条件 例例 5 5、一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5，求符合条件的最小的数 【解析】法一：将 3、5、7、11 这 4 个数 3 个 3 个一起分别计算公倍数，如表： 3、 5、 7 的公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找， 但注意到 210 除以 11 余 1， 所以21051050被 11 除余 5， 由此可知7706931
27、6510502678是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去 3、5、7、11 的公 倍数使得它小于它们的最小公倍数 由于 3、5、7、11 的最小公倍数是 1155，所以267811552368是符合条件的最小值 法二：对于这种题目，也可以先求满足其中 3 个余数条件的，比如先求满足除以 3、5、7 的余数分别是 2、 3、4 的，既可采用中国剩余定理，得到70221 3154263 是满足前 3 个余数条件的，从而其中最小 的是263 105253；由于 53 除以 11 的余数为 9，105 除以 11 的余数为 6，可知96 327除以 11 的 余数为 5，所以53 105 33
28、68是满足条件的最小数 也可以直接观察发现这个数乘以 2 之后除以 3、5、7 的余数分别是 4、6、8，也就是除以 3、5、7 的余数都 是 1，所以满足前三个条件的数最小为(3 5 71)253 ，后面的步骤与上面的解法相同 课堂狙击课堂狙击 1、有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数. 【解析】(法 1) 39336，1473144，(36,144)12，12 的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为 3 要小于 除数，这个数是4,6,12； (法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数5139
29、12，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12 实战演练 2、求 1997 3的最后两位数 【解析】即考虑 1997 3除以 100 的余数由于100425，由于 3 327除以 25 余 2，所以 9 3除以 25 余 8， 10 3除以 25 余 24，那么 20 3除以 25 余 1；又因为 2 3除以 4 余 1，则 20 3除以 4 余 1；即 20 31能被 4 和 25 整 除，而 4 与 25 互质，所以 20 31能被 100 整除，即 20 3除以 100 余 1，由于199720 9917，所以 1997 3除 以 100 的余数即等于 17 3除
30、以 100 的余数， 而 6 3729除以 100 余 29， 5 3243除以 100 余 43， 176 25 3(3 )3， 所以 17 3除以 100 的余数等于292943除以 100 的余数， 而29294336163除以 100 余 63， 所以 1997 3除 以 100 余 63，即 1997 3的最后两位数为 63 3、试求不大于 100，且使374 nn 能被 11 整除的所有自然数 n 的和 【解析】 通过逐次计算， 可以求出3n被 11 除的余数， 依次为： 1 3为 3， 2 3为 9， 3 3为 5， 4 3为 4， 5 3为 1， ， 因而3n被 11 除的余数
31、 5 个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地，可以求出7n被 11 除的余数 10 个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是374 nn 被 11 除的余数 也是 10 个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；这就表明，每一个周期中，只有第 3、4、 6 个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,93,94,96n时374 nn 能被 11 整除，所以，所有满足条件 的自然数 n 的和为：34613 1416.9394961343.2831480 4、 将 1 至 2008 这 2008 个自然数， 按从小到大的次序
32、依次写出， 得一个多位 1234567891011121320072008， 试求这个多位数除以 9 的余数 【解析】以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于1 9992000被 9 除的余数，但是 由于 1999 与1 999被 9 除的余数相同， 2000 与2000被 9 除的余数相同， 所以 19992000 就与 19992000被 9 除的余数相同 由此可得，从 1 开始的自然数 1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同 根据等差数列求和公式，这个和为： 120082008 201703
33、6 2 ，它被 9 除的余数为 1 另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 123456789， 101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可见它被 9 除的余数 与 2008 被 9 除的余数相同 因此，此数被 9 除的余数为 1 5、1 3 51991 的末三位数是多少？ 首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1 3 5991 的平方再乘以993 995 997999的末三位 而993 995 997999993 999995 997 993000993995000
34、995 39930009939950002985， 其末三位为7 15105；然后来看前者它是一个奇数的平方，设其为 2 5k (k 为奇数)， 由于 2 22 52525251kkk，而奇数的平方除以 8 余 1，所以 2 1k 是 8 的倍数，则 2 251k 是 200 的 倍 数 ， 设 2 2 512 0 0km， 则 2 2 52 52 512 52 0 0kkm， 所 以 它 与105的 乘 积 2 51 0 52 52 0 01 0 52 1 0 0 02 6 2 5kmm， 所以不论 m 的值是多少，所求的末三位都是 625 6、有一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，
35、问这个数除以 12 余几？ 【解析】方法一：除以 3 余 2 的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，； 它们除以 12 的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，； 除以 4 余 1 的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，； 它们除以 12 的余数是：1，5，9，1，5，9，； 一个数除以 12 的余数是唯一的上面两行余数中，只有 5 是共同的，因此这个数除以 12 的余数是 5 方法二：一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，可以理解为除以 3 余32，除以 4 余4 1，所以这个数减去 5 后，既能被 3 整除，又能被 4 整除，设这个数为a，则125am，
36、(m 为自然数)所以这个数除以 12 余 5。 课后反击课后反击 1、一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。 【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题” 转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与 余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的两位数约数还要满足比 37 大， 符合条件的有 39，91. 2、求 89 143除以 7 的余数 【解析】法一：由于1433 mod7 (143 被 7
37、除余 3)， 所以 8989 1433mod7 ( 89 143被 7 除所得余数与 89 3被 7 除所得余数相等) 而 6 3729，7291 mod7（729 除以 7 的余数为 1），所以 8966655 14 3333335 mod7 个 故 89 143除以 7 的余数为 5. 法二：计算 89 3被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 mod7 3 2 6 4 5 1 3 于是余数以 6 为周期变化所以 895 335 mod7 3、若a为自然数，证明 20051949 10 ()aa 【解析】1025，由于
38、2005 a与 1949 a的奇偶性相同，所以 20051949 2 ()aa 20051949194956 (1)aaaa，如果a 能被 5 整除，那么 194956 5(1)aa；如果a不能被 5 整除，那么a被 5 除的余数为 1、2、3 或者 4， 4 a被 5 除 的余数为 4 1、 4 2、 4 3、 4 4被 5 除的余数，即为 1、16、81、256 被 5 除的余数，而这四个数除以 5 均余 1， 所以不管a为多少， 4 a被 5 除的余数为 1， 而 5 64 1 4 ()aa， 即 14 个 4 a相乘， 所以 56 a除以 5 均余 1， 则 56 1a 能被 5 整除
39、，有 194956 5(1)aa所以 20051949 5 ()aa由于 2 与 5 互质，所以 20051949 10 ()aa 4、将自然数 1，2，3，4依次写下去，若最终写到 2000，成为12319992000，那么这个自然数除以 99 余几？ 【解析】由于999 11，可以分别求这个数除以 9 和 11 的余数，进而求出它除以 99 的余数实际上求得 这个数除以 9 和 11 的余数均为 3，所以这个数减去 3 后是 9 和 11 的倍数，那么也是 99 的倍数，所以这个 数除以 99 的余数为 3 5、一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，
40、问满足条件的最小自然数是多少？ 【解析】法一：仔细分析可以发现321527 ，所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7，由于 3,5,11165 ，所以这个数最小是1657172 法二：事实上，如果没有“大于 10”这个条件，7 即可符合条件，所以只需要在 7 的基础上加上 3、5、11 的最小公倍数，得到 172 即为所求的数 6、对任意的自然数 n，证明2903803464261 nnnn A能被 1897 整除 【解析】18977271，7 与 271 互质，因为29035(mod7)，8035(mod7)， 4642(mod7)，2612(mod7)，所以， 29038034642
41、6155220(mod7) nnnnnnnn A，故A能被 7 整除 又因为2903193(mod271)，803261(mod271)，464193(mod271)，所以 29038034642611932611932610(mod271) nnnnnnnn A，故A能被 271 整除 因为 7 与 271 互质，所以A能被 1897 整除 1、(南京市少年数学智力冬令营试题) 2003 2与 2 2003的和除以 7 的余数是_ 【解析】找规律用 7 除 2， 2 2， 3 2， 4 2， 5 2， 6 2，的余数分别是 2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2 的个数是 3 的倍数时，用
42、 7 除的余数为 1；2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为 4因为 20033 667 2 22 ，所以 2003 2除以 7 余 4又两个数的积除以 7 的余数， 与两个数分别除以 7 所得余数的积相同而 2003 除以 7 余 1，所以 2 2003除以 7 余 1故 2003 2与 2 2003的和 除以 7 的余数是415 2、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲 取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡
43、片上的数之和一个人是另个人的 2 倍，则丙 手中卡片上的数是_(第五届小数报数学竞赛初赛) 【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知，甲、乙手中五张卡 片上的数之和应是 3 的倍数计算这六个数的总和是 1193 1258184218661912249410565， 直击赛场 10565 除以 3 余 2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数，那么丙手中的卡片上 的数除以 3 余 2六个数中只有 1193 除以 3 余 2，故丙手中卡片上的数为 1193 3、(奥数网杯)已知 20082008 200820082008a 个 ，问：a除以 13
44、 所得的余数是多少？ 【解析】2008 除以 13 余 6，10000 除以 13 余 3，注意到200820082008 100002008； 20082008200820082008 100002008； 2008200820082008200820082008 100002008； 根据这样的递推规律求出余数的变化规律： 20082008 除以 13 余6361311 ，200820082008 除以 13 余11 36390 ，即 200820082008 是 13 的倍数 而2008除以 3 余 1，所以 20082008 200820082008a 个 除以 13 的余数与2008
45、除以 13 的余数相同，为 6. 4、(“华杯赛”试题)3 个三位数乘积的算式234235286abcbcacab (其中abc)， 在校对时，发 现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位 6 是正确的，问原式中的abc是多少？ 【解析】由于2342352862342352868(mod9) ， 3 () (mod9)abcbcacababc， 于是 3 ()8(mod9)abc，从而(用0,1,2,.,8(mod9)abc代入上式检验) 2,5,8(mod9)abc(1)，对a进行讨论： 如果9a ，那么2,5,8(mod9)bc(2)，又ca b的个位数字是 6，所以bc的个位数字为
46、 4，bc可 能为4 1、72、8 3、64，其中只有( , )(4,1),(8,3)b c 符合(2)，经检验只有983 839398328245326 符合题意 如果8a ，那么3,6,0(mod9)bc(3)，又bc的个位数字为 2 或 7，则bc可能为2 1、43、62、 76、7 1，其中只有( , )(2,1)b c 符合(3)，经检验，821abc 不合题意 如果7a ，那么4,7,1(mod9)bc(4)，则bc可能为42、63，其中没有符合(4)的( , )b c 如果6a ，那么5b ，4c ，700600500210000000222334586abcbcacab，因此这时abc不 可能符合题意综上所述，983abc 是本题唯一的解 5、(华杯赛试题)如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时 针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔他先试着每隔 2 孔跳一步，结果
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