1、第第 2626 讲讲 综合趣味题综合趣味题 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律； 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案； 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题。 实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力， 激发学生探索数学规 律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青 睐的这类题目的原因。 在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3 个小朋友同时唱一 首歌要 3 分钟，100 个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂的计 算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用
2、小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。 对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己 的聪明才智巧妙地解决。 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长 避短”的策略，取得了胜利。 考点一：简单的数字趣味考点一：简单的数字趣味题题 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 是我们最常见的国际通用的阿拉伯数字（或称为数码）。数是由十个数 字中的一个或几个根据位值原则排列起来，表示事物的多少或次序。 例例 1、一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的 3 倍，而个位数字是千位数字的 3 倍。这个 典例分析 知识梳理 教学目标
3、 四位数是多少？ 【解析】由于个位数字是千位数字的 3 倍，而百位数字和十位上数字又是个位上数字的 3 倍，所以，千位 上的数字只能是 1，否则，百位和十位上的数字将大于 9。因此，这个四位数的千位是 1，个位是 3，而百 位和十位上都是 9，即 1993。 例例 2、 把数字 6 写到一个四位数的左边， 再把得到的五位数加上 8000，所得的和正好是原来四位数的 35 倍。 原来的四位数是多少？ 【解析】把数字 6 写到一个四位数的左边，得到的数就比原来的四位数增加了 60000，再加上 8000，一共 增加了 68000。这时所得的数是原数的 35 倍，比原数增加了 34 倍，所以原数是
4、6800034=2000。 例例 3、有一个四位数，个位数字与千位数字对调，所得的数不变。若个位与十位的数字对调，所得的数与原 数的和是 5510。原四位数是多少？ 【解析】根据已知条件，设原数为 ABCA，则后来的数是 ABAC，写成竖式： A B C A + A B A C 5 5 1 0 （1）从千位看，A 一定是 2； （2）从个位看，C 一定是 8； （3）从百位看，B 一定是 7。 所以，原四位数是 2782。 例例 4、一个六位数的末位数字是 7，如果把 7 移动到首位，其它五位数字顺序不动，新数就是原来数的 5 倍。 原来的六位数是多少？ 【解析】用字母表示出未知的五位数，原数
5、为 ABCDE7，新数为 7ABCDE。根据题意可写出下面的竖式，再从 个位推算起。 （1）个位 75=35，E 是 5； （2）十位 553=28，D 是 8； （3）百位 852=42，C 是 2； （4）千位 254=14，B 是 4； （5）万位 451=21，A 是 1。 原数是 142857。 例例 5、某地区的邮政编码可用 AABCCD 表示，已知这六个数字的和是 11，A 与 D 的和乘以 A 等于 B，D 是最小 的自然数。这个邮政编码是多少？ 【解析】D 是最小的自然数，即 D 是 1，要满足（A1）A=B 和六个数字的和是 11 这两个条件，A 只能是 2。则 B=（21
6、）2=6。AABD=2261=11，C 一定是 0。因此，这个邮政编码是 226001。 考考点二：简单的数学应用趣味题点二：简单的数学应用趣味题 对于此类趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明 才智巧妙地解决。 例例 1、如果每人步行的速度相同，2 个人一起从学校到儿童乐园要 3 小时，那么 6 个人一起从学校到儿童乐 园要多少小时？ 【解析】2 个人一起从学校到儿童乐园要 3 小时，也就是 1 个人从学校到儿童乐园要 3 小时；6 个人一起从 学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等，所以 6 个人一起从学校到儿童乐园还是用 3 小时。 例例
7、 2 2、一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30 天能长到 20 厘米。问长到 5 厘米时要用多少天？ 【解析】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的 2 倍。这条毛毛虫在第 30 天时，身长为 20 厘米，那么在第 29 天时，这条毛毛虫的身长为 202=10 厘米；在第 28 天时，这条虫的身长为 102=5 厘米。 例例 3、小猫要把 15 条鱼分成数量不相等的 4 堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？ 【解析】小猫要把 15 条鱼分成数量各不相等的 4 堆，要让最多的一堆中小鱼条数尽量多，那么其余三堆小 鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放 1 条，在第二堆中
8、放 2 条鱼，在第三堆中放 3 条鱼， 这样第四堆就可放： 15（123）=9（条） 例例 4、把 100 只桃子分装在 7 个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带有 6 字。想一想，该怎样分？ 【解析】 因为 6 6=36 只， 这样就可以在每个篮子里装 6 只桃， 共装 6 个篮子， 还有一个篮子里装 10036=64 只桃。64 这个数，正好也含有数字 6，符号题目要求。 例例 5、舒舒和思思到书店去买书，两人都想买动脑筋这本书，但钱都不够。舒舒缺 2 元 8 角，思思缺 1 分钱，用两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？ 【解析】思思买这本书缺 1 分钱，两个人合起来的钱
9、买一本书仍然不够，这说明舒舒根本没有钱，所以这 本书的价钱是 2 元 8 角。 考点三：对策趣味题考点三：对策趣味题 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 例例 1、两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走 1 至 7 根火柴，直到移尽 为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有 1000 根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少 根时才能在游戏中保证获胜。 【解析】先移火柴的人要取胜，只要取走第 999 根火柴，即利用逆推法就可得到答案。 设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第 999 根火柴。因此，只要取到第 991 根就可 以了（如乙取 1 根甲
10、就取 7 根；如乙取 2 根甲就取 6 根。依次类推，甲取的与乙取的之和为 8 根火柴）。 由此继续推下去，甲只要取第 983 根，第 975 根，第 7 根就能保证获胜。 所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走 7 根火柴。 例例 2、有 1987 粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取 1 粒，最多取 4 粒，不能不取，取到最后 一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？ 【解析】从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下 1 至 4 粒，甲可以一次拿完。如果剩下 5 粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某
11、一时刻留下 5 粒棋子就行了。不妨设甲先取， 则甲能取胜。甲第一次取 2 粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于 5，这 样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是 5 的倍数，最后总能留下 5 粒棋子，因此，甲先取必胜。 例例 3、在黑板上写有 999 个数：2，3，4，1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙 后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必胜的策略是什么？ 【解析】甲先擦去 1000，剩下的 998 个数，分为 499 个数对：（2，3），（4，5），（6，7），（998， 999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对
12、中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样 乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。 例例 4、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不 能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。 【解析】这里关键是第一次写什么数，总共只有 10 个数，可通过归纳试验。 甲不能写 1，否则乙写 6，乙可获胜；甲不能写 3，5，7，否则乙写 8，乙可获胜；甲不能写 4，9，10， 否则乙写 6，乙可获胜。因此，甲先写 6 或 8，才有可能获胜。 甲可以获胜。如甲写 6，去掉 6 的约数 1，2，3，
13、6，乙只能写 4，5，7，8，9，10 这六个数中的一个，将 这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获 胜。 例例 5 5、一个数列有如下规则：当数n是奇数时，下一个数是1n ；当数n是偶数时，下一个数是 2 n 。如果这 列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一个数是 。 【解析】本题可以进行倒推。11的前一个数只能是偶数22，22的前一个数可以是偶数44或奇数21，44的 前一个是可以是偶数88或奇数43，而21的前一个只能是偶数42。 由于这列数的第一个是奇数，所以只有 43 满足故这列数的第一个数是 43。 也可以
14、顺着进行分析。假设第一个数是a，由于a是奇数，所以第二个数是1a ，是个偶数，那么第三 个数是 1 2 a ，第四个数是 11，11 只能由偶数 22 得来，所以 1 22 2 a ，得到43a ，即这列数的第一个数 是 43。 考点四：考点四：染色与操作趣味题染色与操作趣味题 例例 1、六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的 前后左右四个位置都叫作它的邻座如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上 去，能办到吗？为什么？ 【解析】建议建议教师在本讲可以以游戏的形式激发学生自主解决问题。划一个57的方格表，其中每一 个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜
15、色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学 都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格。但实际上图中有17个黑格，18个白格， 黑格与白格的个数不相等，故不能办到。 例例 2、 有一次车展共6636个展室， 如右图， 每个展室与相邻的展室都有门相通， 入口和出口如图所示 参 观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来? 【解析】如右图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和 出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是 18个，故不可能做到不重复走遍每个展室。 例例 3、如
16、右图，在5 5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中那么 它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中? A 【解析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。 所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步而小方格为5 525个，每格爬过一次， 就应该为25步，不是偶数。于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。 例例 4、有 7 个苹果要平均分给 12 个小朋友，园长要求每个苹果最多分成 5 份。应该怎样分？ 【解析】显然每人应该分 7 12 4 12 + 3 12 1 3 + 1 4 于是，拿 4 个苹果，每
17、个苹果 3 等分；拿 3 个苹果，每个苹果 4 等分。 例例 5、用9个1 4的长方形能不能拼成一个66的正方形？请说明理由。 【解析】本题若用传统的自然染色法，不能解决问题因为要用1 4来覆盖，我们对66正方形用四种颜 色染色为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色为了使每个1 4长方形在任何位置盖住 的都一样，我们采用沿对角线染色，如下图： 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 11 1 4321 这样，可以发现无论将1 4长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个。要不重叠地拼出66， 需9个1
18、 4长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个但实际上图中一共是9个1、10个2、9个3、8个4， 因而不可能用9个1 4长方形拼出66正方形。 考点五：游戏策略考点五：游戏策略 例例 1、请在 5 5 的棋盘中放入 10 个国际象棋中的皇后，使得标有数 N 的格子恰好受到 N 枚皇后的攻击每 个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算 最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子） 5 4 7 1 【解析】先从 5 入手，5 只有 5 个受攻击方向，可以推断 5 个方向都要受到攻击，从而位置必有皇后， 则推断 1 的打“”位
19、置都不能有皇后，从而位置必有皇后，再根据 7 推断位置必有皇后，此时 4 和 7 还缺少一个受攻击方向，则有一个皇后必须同时攻击 4 和 7，这个皇后只能在或，但如果把皇后 放在 的位置，最后最多只能放 9 个皇后，因此和的位置再放两个皇后，共 10 个皇后： 例例 2、小谢要把 32 张奖状贴到办公室的墙上. 他用胶涂好一张奖状需要 2 分钟，涂好后至少需要等待 2 分 钟才可以开始往墙上粘贴，但是若等待时间超过 6 分钟，胶就会完全干掉而失去作用。 如果小谢粘贴一张 奖状还需要 1 分钟时间。那么，小谢粘贴完全部奖状最少需要_分钟。 【解析】要想用的时间最少，那么等待的时间应尽可能地少，所
20、以应把等待的时间用在涂奖状上。 涂第1张奖状要2分钟，涂第2张也要2分钟，涂第3张也要2分钟，此时第1张已等待了4分钟，此时将第1 张粘贴需要1分钟；再涂第4张奖状，又要2分钟，此时第2张奖状已等待了5分钟，可以将第2张奖状粘 贴这样从第4张奖状起，保持总是有2张奖状在等待，直到最后两张，先后将其粘贴。可见其中没有浪 费任何一分钟，而花在每一张奖状上的时间都是213 分钟，所以共需要3 3296分钟。 例例 3、有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了 300 根香蕉，然后要走 1000 米才能到家， 如果它每次最多只能背 100 根香蕉， 并且它每走 10 米就要吃掉一根香蕉， 那
21、么， 它最多可以把 根 香蕉带回家？ 【解析】首先，猴子背着 100 根香蕉直接回家，会怎样？在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉，其 他 200 根香蕉白白浪费了！ 折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案300 1003。猴子必然要折返 3 次来拿香蕉。 我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉。 猴子的路线： BA 10y10x 家 y 储存点B储存点A 野 香 蕉 园 x 这两个储存点A与B就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是： (一)当猴子第次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉。 (二)当猴子第次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好(即身上
22、还有 100 个) (三)B点同上： XA的距离为10x，路上消耗x个香蕉AB的距离为10y，路上消耗y个香蕉； 猴子第一次到达A点，还有(100)x个香蕉，回去又要消耗x个，只能留下1002x个香蕉这 (1002 ) x个 香 蕉 将 为 猴 子 补 充 次 路 过 时 的 消 耗 和 需 求 ， 每 次 都 是x个 ， 则 1002320xxx，200XA米，猴子将在A留下 60 个香蕉； 那么当猴子次到达A时，身上又有了 100 个香蕉，到时还有100y个，从回需要y个， 可在B留下(1002 )y个，用于时补充从到的消耗y个。则： 100 1002 3 yyy； 至此，猴子到家时所剩的
23、香蕉为： 10001 3004253 103 xy。 因为猴子每走 10 米才吃一个香蕉，走到家时最后一个 10 米才走了 2 3 ，所以还没有吃香蕉，应该还剩 下 54 个香蕉。 课堂狙击 1、一个三位数的各位数字之和是 17，其中十位数字比个位数字大 1。如果把这个三位数的百位数字与个位 数字对调，得到的新三位数比原数大 198，求原数。 【解析】那么原数是 476。 2、把数字 8 写在一个三位数的前面得到一个四位数，这个四位数恰好是原三位数的 21 倍。原三位数是多 少？【解析】这个四位数减去三位数=8000 则 8000 是这个三数的 21-1=20 倍， 所以原三位数是 80002
24、0=400 算式就是 8000（21-1）=400 3、有一个六位数，它的个位数字是 6，如果把 6 移至第一位，其余数字顺序不变，所得新六位数是原数的 4 倍。原六位数是多少？ 【解析】设原数是 10x+6，则新数是 600000+x ： 4(10x+6)=600000+x 40x+24=600000+x 39x=599976 x=15384 4、5 只猫 5 天能捉 5 只老鼠，照这样计算，要在 100 天里捉 100 只老鼠要多少只猫？ 【解析】5 只猫 1 天能捉：55=1（只）； 5 只猫同时经过了 100 天，就可以捉 100 只老鼠。 答：要在 100 天里捉 100 只老鼠需要
25、 5 只猫。 5、有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过 10 天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半个池塘需 要多少天？ 【解析】因为睡莲每天长大一倍， 10-1=9（天）的时候是半个池塘， 实战演练 9 天再经过 1 天，即 10 天把池塘全部遮满。 答：睡莲遮住半个池塘需要 9 天。 6、兔妈妈拿来 1 盘萝卜共 25 个，分给 4 只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问分得最多的一只小 兔至多分得几个？ 【解析】要使其中一只分到最多,而且每只分到的数量不同 那么其中三只分到 1，2，3 个 那么第四只分到最多为 2512319 所以分的最多的一只兔子最多能分到 19 个。 7、7
26、只箱子分别放有 1 只、2 只、4 只、8 只、16 只、32 只、64 只苹果，现在要从这 7 只箱子里取出 87 只 苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？ 【解析】87 除以 64 余 23 23 除以 16 余 7 7 除以 4 余 3 3 除以 2 余 1 从 64，16，4，2，1 的箱子里取 8、王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺 600 元，李阿姨缺 900 元，用 两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？ 【解析】如果给王 600，给李 900，她们都可以买一台。 那么她们两个的钱加上 1500 正好够两台。
27、 而她们两个的钱正好是一台的钱，所以 1500 也是一台的钱。 电视机价格 1500。 9、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过 8 的自然数，把两人报的数累加起来，谁先报到 88，谁就获 胜。问：先报数者有必胜的策略吗？ 【解析】88（1+8）=9 余 7 先报数者先报 7，以后保持每次报的数和后报数者报的数的和都是 9，这样先报数者就必胜。 10、盒子里有 47 粒珠子，两人轮流取，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜 利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？ 【解析】小红胜设小明先取 n 粒，小红就取 7-n 粒，这样每
28、一轮就取 7 粒，5 轮后，第 6 轮时小明取 m 粒， 小红就取 6-m 粒，这样就只剩 6 粒，小明不管取几粒，小红都可以获胜。 11、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列 1，2，3，100，101 勾去九个数。经过这样的 11 次 删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是 55，这时判第一个勾数的人获胜。问第一个勾数的人能否获 胜？获胜的策略是什么？ 【解析】首先你要先想一下 1-101 能配对的哪有哪些，1-56,2-5746-101；你就会发现只有 47-55 这九个数无 法配对；因此，第一次九删除这九个数，好办了，第二个人如果删了 1，我就删 56； 这样下去，5 个回合后顶多
29、能删除 59=45 对，而我们一共有（101-9）2=46 对也就是中有一对数组存在。 如果第二个人把配对的如 1-56 删了，我们就必须这么做，他在哪一个回合中删了多少个配对，我们也删对 少个配对，与他保持一致就行了。 12、能否用9个所示的卡片拼成一个66的棋盘？ 【解析】不能。将66的棋盘黑白相间染色（见右图），有 18 个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是 1 或者 3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住 18 个黑 格。 课后反击 1、有一个三位数，如果把数字 4 写在它的前面可得到一个四位数，写在它的后面也能得到一个四位数，已 知这两个
30、四位数相差 2889，求原来的四位数。 【解析】假设这三位数为 x, 如果把数字 4 写在它前面可得到一个四位数:4000+x 写在它后面也能得到一个四位数:10x+4 两个四位数相差 2889 :（4000+x）-（10x+4)=3996-9x=2889 9x=3996-2889=1107 x=11079=123 所以原来四位数为 4123。 2、张家的门牌号码是一个三位数，这个三位数的三个数字都不同，且三个数字的和是 6，还是满足这些条 件的三位数中最大的一个数。请你写出这个门牌号码。 【解析】因为三个数字的和是 6，所以三位数中首位最大只能是 6，虽然 6+0+0=6； 但需保证三个数字
31、都不同，所以首位只能选 5，又因为 6-5=1，所以次位就是 1，那自然末尾为 0； 所以就是 510。 3、有一个六位数，其中右边三个数字相同，左边三个数字是从小到大的三个连续自然数，这六个数字的和 恰好等于末尾的两位数。求这个六位数。 【解析】333012 4、一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15 天能长到 4 厘米。问要长到 32 厘米共要多少天？ 【解析】每天长大一倍，15 天能长到 4 厘米； 所以 16 天能长到 8 厘米， 17 天能长到 16 厘米， 18 天能长到 32 厘米。 5、 观察下列正方形数表： 表 1 中的各数之和为 1， 表 2 中的各数之和为 17，
32、表 3 中的各数之和为 65， （每 个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数 大 1）。如果表n中的各数之和等于 15505，那么n等于_ 1 2 3 22 222 222 222 22 22 3333 33333 3 3 3 3 3 3 11 表 3表 2 表 1 【解析】表n比表1n多81n个n，也就是表n的数字总和比表1n的数字总和大81n n。表n的数 字和是 18 1 223118113nnnn n 。 因为 1 8113 15505nn n ， 所以 111938 3 19 102 3 17 18 19nn n ，所以18n 。
33、 6、有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是 偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆。开始时，第一堆有 1989 块石子，第二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子。问，能否做到：（1）某 2 堆石子全部取光？（2）3 堆中的所有石子都被取走？ 【解析】要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一 堆先 取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了而题中数字正好能满足要 求。所以，全部取光两堆是可以的。 对于第二个问题，要取走全部 3 堆，则必须 3 堆石子的总数是 3 的倍数才
34、有可能，但 1989、989、 89 之和并非 3 的倍数，所以是不可能的。 可以取光其中的两堆石子如进行如下的操作： 第 1 堆 第二堆 第三堆 1989 989 89 1900 900 0 （第一步：三堆各取走 89 块） 1900 450 450 （第二步：第二堆 900 是偶数，将其一半移入第三堆） 1450 0 0 （第三步：三堆各取走 450 块） 不能将三堆全部取光。因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子，那么每次取 走的石子数都是 3 的倍数，则不论怎么取，取走的石子总数是 3 的倍数， 而1989989893067，3067 被 3 除余 1，不是 3 的整数倍，
35、所以不能将三堆石子全部取光。 7、图是某套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复 地走完每个房间吗？ 【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现有5个白格，7个黑格。因为每次只能由黑格到白格或由白 格到黑格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为1才能不重复，但图中黑格比白格多2 个，所以无法实现不重复走遍。 8、先写出一个两位数 62，接着在 62 右端写这两个数字的和 8，得到 628，再写末两位数字 2 和 8 的和 10， 得到 62810，用上述方法得到一个有 2006 位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 则这个整数
36、的数字之和 是 。 【解析】这个 2006 位整数的前若干位如下：62810112358134711从第 6 位起，每 10 位数字循环出 现一次，这 10 位数字之和为 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 + 3 + 4 + 7 = 35。（20065）10=2001，这个整 数的数字之和是 6 + 2 + 8 + 1 + 0 + 35200 + 1 = 7018。 1、（第七届，华杯赛，决赛）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2；如果是奇数则加 1. 如此 进行直到为 1 操作停止. 求经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？ 【解析】可以先尝试一下，得出下面的图：
37、其中经 1 次操作变为 1 的 1 个，即 2，经 2 次操作变为 1 的 1 个， 即 4，经 3 次操作变为 1 的 2 个，即 3，8，经 6 次操作变为 1 的有 8 个，即 11，24，10，28，13，30， 64，31。 于是，经 1、2、次操作变为 1 的数的个数依次为 1，1，2，3，5，8， 这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即 211，321，532，853， 如果这个规律正确，那么 8 后面的数依次是 8513，13821，211334， 即经过 9 次操作变为 1 的数有 34 个. 为什么上面的规律是正确的呢？ 道理也很简单. 设经过n次操作变
38、为 1 的数的个数为 n a,则 1 a 1， 2 a 1， 3 a2， 10 24 11 12 5 13 28 30 31 64 32 15 14 16 7 63 8 421 从上面的图看出， 1n a 比 n a大. 一方面，每个经过n次操作变为 1 的数，乘以 2，就得出一个偶数， 经过1n 次操作变为 1；反过来，每个经过1n 次操作变为 1 的偶数，除以 2，就得出一个经过n 次操作变为 1 的数. 所以经过n次操作变为 1 的数与经过1n 次操作变为 1 的偶数恰好一样多.前 直击赛场 者的个数是 n a,因此后者也是 n a个. 另一方面，每个经过n次操作变为 1 的偶数，减去
39、1，就得出一个奇数，它经过1n 次操作变为 1， 反过来.每个经过1n 次操作变为 1 的奇数，加上 1，就得出一个偶数，它经过n次操作变为 1. 所 以经过n次操作变为 1 的偶数经过1n 次操作变为 1 的奇数恰好一样多.而由上面所说，前者的个 数就是 1n a ,因此后者也是 1n a . 经过n1 次操作变为 1 的数，分为偶数、奇数两类，所以： 11nnn aaa 即上面所说的规律的确成立。 满足规律，并且 12 aa1 的一串数 称为裴波那契数列，斐波那契（Fibonacci,约 11751250）是意大 利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用。 2、（第四届，走美杯）3
40、0 粒珠子依 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色、 的次序串成一圈一只蚱 蜢从第 2 粒黑珠子起跳，每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠 子上。 【解析】这些珠子按 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色、 的次序串成一圈，那么每 10 粒珠子一个 周期，我们可以推断出这 30 粒珠子数到第 9 和 10、19 和 20、29 和 30、39 和 40、49 和 50 粒 的时候，会 是黑珠子刚才是从第 10 粒珠子开始跳，中间隔 6 粒，跳到第 17 粒，接下来是第 24 粒、31 粒、38 粒、 45 粒、52 粒、59 粒，一直跳
41、到 59 粒的时候会是黑珠子，所以至少要跳 7 次。 3、（2005 年，第 3 届，走美杯）甲、乙二人轮流在右上图的 10 个方格中，甲画“”，乙画“”。甲胜的情 况是：最后一行有 4 个“”或者其它的直线上有 3 个“”；乙胜的情况是：最后一行有 4 个“”或者其它的直 线上有 3 个“”。甲先画，他要取胜，第一步应填在标号为 的方格中(有几种就填几种)。 【解析】5、2、6 生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等， 人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策 略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
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