1、第第 23 讲讲 分数百分数行程问题分数百分数行程问题 理解行程问题中的各种比例关系理解行程问题中的各种比例关系. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题掌握寻找比例关系的方法来解行程问题 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活 性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于 工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、
2、时 间、路程分别用,vvtts s 乙乙乙甲甲甲， ；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为时间相同，即ttt 乙甲 ,所以由 ss tt vv 甲乙 乙甲 乙甲 ， 得到 ss t vv 甲乙 乙甲 ， sv sv 甲甲 乙乙 ，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之比 等于他们速度的反比。 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为路
3、程相同，即sss 乙甲 ，由svtsvt 乙乙乙甲甲甲， 得svtvt 乙乙甲甲 ， vt vt 甲乙 乙甲 ，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 考点一：比例初步考点一：比例初步利用简单倍比关系进行解题利用简单倍比关系进行解题 例例 1、甲、乙两车从相距 330 千米的 A、B 两城相向而行，甲车先从 A 城出发，过一段时间后，乙车才从 B 教学目标 典例分析 知识梳理 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的 5 6 。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了 30 千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。 【解析】两车相遇时共行驶 330 千米，但是甲多行 30 千米，可以求出两车分别行
4、驶的路程，可得甲车行驶 180 千米，乙车行驶 150 千米，由甲车速度是乙车速度的 5 6 可以知道，当乙车行驶 150 千米的时候，甲车实 际只行驶了 5 150125 6 千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了 180-125=55 千米。 例例 2、上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追 上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是 几点几分？ 【解析】画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离
5、是 4 8 12 （千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12 43（倍）.按照这个倍数计算，小明 骑 8 千米，爸爸可以骑行 8 324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216（千米）.少 骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 8 8=1（千米/分），爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.881632. 所以这时是 8 点 32 分。 注意：小明第 2 个 4 千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走 12 千米，这一点是本题的关键对时间 相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键本题的解答就巧妙地运 用了这一点 例例
6、 3、从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的 2 3 。一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从 甲地到乙地共行 7 时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？ 【解析】8 时。 解：根据题意，上山与下山的路程比为 23，速度比为1:2，所用时间比为 3 21 : 322:4:3 2 。因为从甲地到乙地共行 7 时，所以上山用 4 时，下山用 3 时。 如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的 2 倍，所以从乙到丙用 3 26（时），从丙到 甲用 4 22（时），共用 628（时）。 丙 乙甲 例例 4、一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9 千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通
7、行已知小汽车的速 度是大卡车速度的 3 倍，两车倒车的速度是各自速度的 1 5 ，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的 4 倍如果小汽车的速度是每小时 50 千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时? 【解析】 如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可 立即通过 小汽车倒车的路程为 9 47.2 41 千米，大卡车倒车的路程为 9 11.8 41 千米 小汽车倒车的路程为 1 5010 5 千米小时，大卡车倒车的速度为 1110 50 353 千米/小时 当小汽车倒车时，倒车需 7.2 10=O.72 小时，而行驶过狭路需 9 50=0.1
8、8 小时，共需0.720.180.9小时； 当大卡车倒车时，倒车需 10 1.80.54 3 小时，而行驶过狭路需 50 90.54 3 小时，共0.540.541.08小时 显然当小轿车倒车时所需时间最少，需 0.9 小时 考点二：时间相同速度比等于路程比考点二：时间相同速度比等于路程比 例例 1、甲、乙分别从 A，B 两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是 ab。从相遇算起，甲到达 B 地与乙到达 A 地所用的时间比是多少？ 【解析】b2a2。解：因为甲、乙的速度比是 ab，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是 ba，还要用的 时间比是（b a）（a b）b2：a2。 例例 2、甲、乙
9、两人分别从AB、两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是 3：2，相遇后，甲的速 度提高 20%， 乙的速度提高 1 3 ， 这样当甲到达B地时， 乙离A地还有 41 千米， 那么AB、两地相遇_ 千米。 【解析】 相遇前 :VV 3 2 甲乙 相遇后 :VV 54 3227 20 63 甲乙 km 41 41135 125 如图！ 即 kmAB 135 例例 3、甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行 进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米，则 A、 B
10、两地相距多少千米？ 【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路 程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三个全程中 甲走了 45 31 77 个全程，与第一次相遇地点的距离为 542 (1) 777 个全程所以 A、 B 两地相距 2 30105 7 (千米) 考点三：路程相同速度比等于时间的反比考点三：路程相同速度比等于时间的反比 例例 1、一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3 4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时若 出发 1 小时后又前进 90 公里再因
11、故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3 4 前进，则到达目的地仅晚 1 小 时，那么整个路程为多少公里？ 【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3 4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时， 所以后面以原速的 3 4 前进的时间比原定时间多用1.50.51小时， 而速度为原来的 3 4 ，所用时间为原来的 4 3 ， 所以后面的一段路程原定时间为 4 1(1)3 3 小时，原定全程为 4 小时； 出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时， 然后同样以原速的 3 4 前进， 则到达目的地仅 晚 1 小时，所以后面以原速的 3 4 前进的时间比原定时间
12、多用10.50.5小时 所以后面的一段路程原定时间为 4 0.5(1)1.5 3 小时， 类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要：3 1.51.5小时 而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 901.54240公里 例例 2、一辆汽车按计划行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的 3 5 继续行驶，到达目的地的时间比计划的时 间迟了 2 时。 如果按计划速度行驶的路程再增加 60 千米， 那么到达目的地的时间比计划时间只迟 1 时。 问： 计划速度是多少？全程有多远？ 【解析】40 千米时；160 千米。提示：按计划速度多行驶 60 千米可以少迟到 1 时，那么按计划速度多行 驶 120
13、千米就可以按时到达，即行驶 1 时后还剩 120 千米。设计划速度为 x 千米/时，则有120 120 2 3 5 x x 。 课堂狙击课堂狙击 1.甲乙两地相距 12 千米，上午 10：45 一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还 有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的 1 3 加上未走路程的 2 倍，恰好等于已走的路程，又知出 租车的速度是 30 千米/小时，那么现在的时间是 。 【解析】可设已走路程为 X 千米，未走路程为（12-X）千米。 实战演练 列式为：X- 1 3 X=(12-X) 2 解得：X=9 9306018分钟，现在时间是11:03 2.欢欢和
14、贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了 一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00 赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分 【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟，她调头后速度提高到原来的 2 倍，根据路程一定，时间比等 于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用 了 20- 6-3- 6 =5 分钟，故
15、她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分钟，还剩下 4 分 钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 （6 4）= 21 分 钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的 3.甲、乙两车同时从 A 地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间已知甲车的速度比乙车快，并且两车 出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地甲车的速度是乙车速度的多少倍？ 【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全 程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C
16、 地，也就是 2 个 BC 段由于两次的总行程相等，所以每次乙车 走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC 2 :1 ，所以甲车的速度 是乙车速度的 2 倍 4.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 123，某人走这三段路所用的时间之比 是 456。已知他上坡时每小时行 2.5 千米，路程全长为 20 千米。此人走完全程需多长时间？ 【解析】20.5 时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。 5.一段路程分为上坡、平路、下坡三
17、段，各段路程的长度之比是 235，某人骑车走这三段路所用的时间 之比是 654。已知他走平路时速度为 4.5 千米时，全程用了 5 时。问：全程多少千米？ 【解析】 21.25 千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。 6.甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进， 甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千 米，则 A、 B 两地相距多少千米？ 【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路 程比为 4 : 3第一次相遇时甲
18、走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三个全程中 甲走了 45 31 77 个全程，与第一次相遇地点的距离为 542 (1) 777 个全程所以 A、 B 两地相距 2 30105 7 (千米) 【答案】105 千米 7.甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的 3 7 ， 并且甲、 乙两车第 2007 次相遇 （这里特指面对面的相遇） 的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千 米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？ 【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10
19、份，这样一个全程中甲走 3 份， 第 2007 次相遇时甲总共走了 3 （2007 2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3 （2008 2-1） =12045 份，所以总长为 120 12045-12040-（12040-12039） 10=300 米. 【答案】300 米 8.小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的 4 3 倍，营地有一辆摩托车，只能搭乘 一人，它的速度是小明步行速度的 16 倍。为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距 离之比是多少？ 【解析】1115。解：设开始时小光乘车，小明步行；车行至 B 点，小光下车步行
20、，车调头去接小明；车 到 A 点接上小明后调头，最后小明、小光同时到达学校（见下图）。 由题中条件，车速是小明速度的 16 倍，是小光速度的 12 倍。 设从营地到 A 点的距离为 a。当车接到小明时，小明走了 a，车行了 16a，因为车开到 B 后又返 回到 A，所以 A 到 B 的距离为 7.5a。 车放下小光后，直到又追上小光，比小光多行 15a。由于车速是小光的12倍，所以小光走的距 离是车追上距离的 1 11 ，即 15 11 a。小明和小光步行的距离之比是 15 :11:15 11 aa 课后反击课后反击 1.明明每天早上 7：00 从家出发上学，7：30 到校。有一天，明明 6：
21、50 就从家出发，他想：“我今天出门 早，可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走 lO 米，结果他到校时比往常迟到了 5 分钟。明明家离学校 _米。 【解析】平时明明用 30 分钟，今天用了 45 分钟，时间比为 2:3,则速度比为 3:2，那么可知平时速度为 30 米 /分钟，所以明明家离学校 900 米。 【答案】900 米 2.小红从家步行去学校如果每分钟走 120 米，那么将比预定时间早到 5 分钟：如果每分钟走 90 米，则比 预定时间迟到 3 分钟，那么小红家离学校有多远？ 【解析】两次的速度比为120:904:3，路程不变，所有时间比应该是3:4，两次所有时间相差8分钟，所以 应该
22、分别用了24分钟和32分钟，120242880米 3.在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点， 又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？ 【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周 需 12820（分），乙需 20 4 630（分）. 4.一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达如果按原速行驶一段距离后，再将 速度提高 30% ，也可以提
23、前 1 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？ 【解析】车速提高 20%，即为原速度的 6/5，那么所用时间为原来的 5/6，所以原定时间为 5 1(1)6 6 小 时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的 13/10，所用时间为原来的 10/13，所以 按原速度后面这段路程需要的时间为 101 1(1)4 133 小时 所以前面按原速度行使的时间为 15 64 33 小时， 根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的 55 6 318 5.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20，那么可以比原定时间提前 1 时到达；如果以原速行驶 100 千米
24、后再将车速提高 30，那么也比原定时间提前 1 时到达。求甲、乙两地的距离。 【解析】360 千米。解：时间与速度成反比，车速提高20%，所用时间为原来的 5 6 ，原来需要 5 116 6 （时）。同理，车速提高了30%，所用时间是原来的10 13 。因为提前1小时到达，所以车速提高后的这段路 原来用 1013 11 133 （时）。甲、乙两地相距 13 10066360 3 （千米） 6.B 地在 A，C 两地之间。甲从 B 地到 A 地去，甲出发后 1 时乙从 B 地出发到 C 地，乙出发后 1 时丙突然想 起要通知甲、乙一件重要事情，于是从 B 地出发骑车去追赶甲和乙。已知甲、乙的速度
25、相等，丙的速度是 甲、乙速度的 3 倍，为使丙从 B 地出发到最终赶回 B 地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先 追乙再返回追甲？ 【解析】先追乙。若先追甲，甲已走了 2 时，则追上甲需 1 时，返回 B 地又用 1 时，此时乙已走了 3 时， 再追上乙需 1.5 时，返回 B 地再用 1.5 时。共用 5 时。若先追乙，乙已走了 1 时，则追上乙需 0.5 时，返回 B 地又用 0.5 时，此时甲已走了 3 时，再追上甲需 1.5 时，返回 B 地再用 1.5 时。共用 4 时。 7.大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为 45，两车开出后 60 分相遇，并继续前
26、 进。 问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？ 【解析】27 分。大客车还需 5 6075 4 分，小客车还需 4 6048 5 分。大客车比小客车晚到754827分。 几个基本量之间的运算关系几个基本量之间的运算关系 1、基本关系：路程速度*时间； 2、相遇问题（相向而行）：相遇时两种运动物体的行程和等于总路程(相遇时间相等)； 关系式： 甲走的路程+乙走的路程=总路程； 3、追击问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多 用时间=追这所用时间； 追及路程 速度差=追及时间 重点回顾 追及路程 追及时间=速度差 速度差 追及时间=追及路程 追及路程
27、 速度差=追及时间 追及路程 追及时间=速度差 速度差 追及时间=追及路程 4、环形跑道 同向追及：前者走的路程-后者走的路程=环形周长； 反向相遇：甲走的路程+乙走的路程=环形周长。 解题方法解题方法: 1，审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间 后”就是从开始计时 看地点是指是同 地还是两地甚至更多。 看方向是同向、背向还是相向 看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对 我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点， 从而找到路程差。 比如“用 10 秒钟快比慢多跑 100 米”我们 立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差 。 2，简单题利用公式 3，复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和， 追击问题就找路程差 本节课我学到本节课我学到 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是我需要努力的地方是
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