1、第第 1818 讲讲 加法、乘法原理加法、乘法原理 理解加法、乘法原理的类型； 会用加法、乘法原理解应用题。 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中 的一种方法就可以完成，并且几类方法是互不影响的。在每一类方法中，又有几种可能的做法，那么考虑 完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。 还有这样的一种情况就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。 加法原理：加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 1 m种不同方法，在第二类方法
2、中有 2 m种 不同方法，在第 n 类方法中有 n m种不同方法，那么完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 乘法原理：乘法原理： 如果完成一件任务需要分成n个步骤进行， 做第1步有 1 m种方法， 做第2步有 2 m种方法， 做第 n 步有 n m种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 例例 1、一个盒子内装有 5 个小球，另一个盒子内装有 9 个小球，所有这些小球颜色各不相同。 问：从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？ 从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 【解析】“从两个盒子内任取一个小球”，则这个小球要么从第一个盒子中取
3、，要么从第二个盒子中取，共 有两类方法，所以应用加法原理。 “从两个盒子内各取一个小球”，可看成先从第一个盒子中取一个，再从第二个盒子中取一个，分 两步完成，所以应用乘法原理。 典例分析 知识梳理 教学目标 从两个盒子中任取一个小球共有： 5+9=14（种） 从两个盒子中各取一个小球共有： 5 9=45（种） 例例 2、从 1 到 399 的所有自然数中，不含有数字 3 的自然数有多少个？ 【解析】从 1 到 399 的所有自然数可分成三类。一位数中不含 3 的有 8 个，1、2、4、5、6、7、8、9。两 位数中，不含 3 的可以这样考虑：十位上不含 3 的有 1、2、4、5、6、7、8、9
4、 共八种情况；个位上，不含 3 的有 0、l、2、4、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数字，再取个位数字， 应用乘法原理，这时共有 89=72 个数字不含 3。三位数中，小于 400 并且不含数字 3 的可以这样考虑：百 位上不含 3 的有 l、2 这两种情况，十位上和个位上不含 3 的有 0、1、2、4、5、6、7、8、9 这九种情况。 在从 1 到 399 中，不含 3 的一位数有 8 个； 不含 3 的两位数有 8 9=72 个； 不含 3 的三位数有 2 9 9=162 个。 由加法原理，在从 1 到 399 中，共有： 8+72+162=242（个）不含
5、 3 的自然数。 例例 3、用 5 种颜色给图 1 的五个区域染色，相邻的区域染不同的颜色，每个区域染一 种颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 【解析】由图 1 可知 A 与 D、B 与 E 不相邻，它们之间有同色和不同色两类变化。 考虑当 A、D 染同色时，根据乘法原理。 当 A、D 染同色时，有： 5 4 3+5 4 3 2=60+120=180（种） 当 A、D 染色不同时，有： 5 4 3 2+5 4 3 2 1=120+120=240（种） 根据加法原理： 180+240=420（种） 答：共有 420 种不同的染色方法。 例例 4、学校羽毛球队有 12 名男队员，10 名女队员。
6、 （l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种不同的搭配方法？ （2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选法？ 【解析】（l）组成男、女混合双打选手，先挑选男队员有 12 种方法，再挑选女队员有 10 种方法，根据乘 法原理可求有多少种不同的搭配方法。 （2）选一名运动员去领奖，从男队员中选有 12 种选法，从女队员中选有 10 种方法，根据加法原 理可求有多少种选法。 （1）根据乘法原理，组成男、女混合双打选手有： 12 10=120（种） （2）根据加法原理，选一名运动员去领奖有： 12+10=22（种） 例例 5、找出图 2 中
7、从 A 点出发，经过 C 点和 D 点到 B 点的最短路线，共有多少条？ 【解析】要找出从 A 到 B 共有多少条不同的最短路线，只要根据加法原理找出 A 点到图上每个交点的最短 路线，便可得到。 如图 3 所示，从 A 到 、 走最短路线只有 1 种方法，而从 A 到 有 、 两种路线。根据同样的道理可 推算出 A 到图上各点的走法数。先运用加法原理进行推算，AC 有 6 种走法。再用同法得出 CD、DB 的走法数，再用乘法原理可得出从 ACDB 的最短线路。 从 A 到 C 有 6 种走法， 再以 C 为起点， 用相同的办法得出到 D 的走法有 10 种。 从 D 到 B 的走法也有 6
8、种。 运用乘法原理得出，从 A 经 C、D 到 B 的最短不同线路共有 6106=360（种）。 例例 6、现有壹元的人民币 4 张，贰元的人民币 2 张，伍元的人民币 5 张，如果从中至少取一张，至多取 11 张，那么共可以配成多少种不同的钱数？ 【解析】33（种） 例例 7 7、由数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9 可组成多少个三位数？三位偶数？没有重复数字的三位偶 数？百位为 9 的没有重复数字的三位数？百位为 9 的没有重复数字的三位偶数？ 【解析】要组成三位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分三步完成，如，组成三位数可先从百 位上考虑起，百位有 9 种选择方法，依次十位和
9、个位也各有 9 种选择方法，根据乘法原理可求。若要排成 偶数，则要考虑到尾数的排法只有 4 种，即只能排 2、4、6、8。若要排成无重复数字的数，则须考虑到确 定一个数位的选法之后，下一个数位的选法会减少。 组成三位数，百位、十位、个位各有 9 种选法，由乘法原理可知有： 9 9 9=729（种）。 组成三位偶数，个位有 4 种选法，百位、十位各有 9 种选法，那么有： 4 9 9=324 种）。 无重复数字三位偶数，个位有 4 种选法，十位有（9-l）种选法，百位有（9-1-l）种选法，那么共有： 4 8 7=224（种）。 百位为 9 的无重复数字的三位数，百位有 1 种选法，十位有 8
10、种选法，个位有 7 种选法，那么共有： 1 8 7=56 种）。 百位为 9 的无重复数字的三位偶数，百位有一种选法，个位有 4 种选法，十位有（9-2）种选法。那 么共有： l 4 7=28（种）。 例例 8 8、有 A、B、C、D、E 五人排成一队，A 不许站排头，B 不许站排尾，共有多少种不同排法？ 1 2 3 4 5 【解析】我们从排头到排尾依次编号为 1、2、3、4、5。由于 A 不能站排头，所以我们可考虑 A 的站位， 再由 B 不能站排尾，考虑 B 的站位，然后再考虑 C、D、E 的站位；同时，我们也可以换个角度：从所有可 能的站位情况，扣去 A 站排头或 B 站排尾的情况，从而
11、得到所有不同排法。 解法一：解法一：先讨论 A 的站位： （1）A 站在 5 号位置上，则 A 只有一种站法，B 有 4 个不同位置可站，C 有 3 个不同位置可站，D 有 两个不同位置可站，E 只有 1 个位置可站，由乘法原理，在这种站位方式下有 1 4 3 2 1=24（种）不同的排队方法。 （2）A 站在 2、3、4 号 3 个位置之一。此时 A 有 3 个位置可站，B 不能站在 5 号位，也只有 3 个位置 可站，C 有 3 个位置可站，D 有 2 个位置可站，E 有 1 个位置可站，由乘法原理，在这种站位方式下有： 3 3 3 2 1=54（种）不同的排队方法。 最后，由加法原理，共
12、有 24+54=78（种）不同的排队方法。 解法二解法二：五个人任意排队，共有 5 4 3 2 1=120（种）不同的方法。A 站排头有 4 3 2 1=24（种）不 同的排法；B 站排尾有 4 3 2 1=24（种）不同的排法；但这两种方法有重复，即 A 站排头且 B 站排尾；有 3 2 1=6（种）不同的排法。因此，由容斥原理，A 站排头且 B 不站排尾的排队方法总数是： 120-42=78（种）。 答：符合要求的排队方法共有 78 种。 课堂狙击 1、书架上有 6 本不同的画报、10 本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书，共有种不 同的取法？ 【解析】第一步：取一本画报
13、，有 6 种方法； 第二步：取一本科技书,有 10 种方法。 根据乘法原理： 一共有 6 10=60(种) 2、用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数字，能够组成个没有重复数字的三位数？ 【解析】第一步：排百位数字，有 9 种方法(0 不能作首位)； 第二步：排十位数字，有 9 种方法； 第三步：排个位数字，有 8 种方法。 根据乘法原理：一共有 9 9 8=648(个)没有重复数字的三位数。 3、书架上有不同的数学书 20 本，不同的语文书 10 本，现从书架上取书，试问： （1）取出一本书，有_种不同的取法。 （2）取出数学书和语文书各一本，有_种不同的取法。 实战演练 【解析
14、】（1）取出一本书，若是数学书有 20 种取法，若是语文书，有 10 种取法，总共有： 20+10=30（种）取法。 （2）取出数学书和语文书各一本，可以分两步完成： 先取出数学书，有 20 种取法； 再取出语文书，又有 10 种取法。 由乘法原理，总共有 20 10=200（种）取法。 4、从 19 这 9 个数字中每次取出 2 个不同的自然数相加，和大于 10 的选法共有多少种？ 【解析】要使和大于 10，加数不能取 1。我们可以采取枚举法。 一个加数为 2 时，2+9=11， 一个加数为 3 时，3+9=12，3+8=11 一个加数为 4 时，4+9=13，4+8=12，4+7=11 一
15、个加数为 5 时，5+9=14，5+8=13，5+7=12，5+6=11 一个加数为 6 时，6+9=16，6+8=14，6+7=13 一个加数为 7 时，7+9=16，7+8=15 一个加数为 8 时，8+9=17 于是符合条件的选法共有 1+2+3+4+3+2+1=16（种）。 5、现有长度为 1、2、3、4、5、6、7、8、9 单位长度的铁丝各一条，从中选出若干条来组成正方形，问有 多少种不同的选法？ 【解析】这些铁丝总的长度为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以所组成的正方形最长边为 11。 （1）边长为 11 时，由于 19+2=8+3=7+4=6+5 因此可取长度为 2
16、、3、4、5、6、7、8、9 的铁丝，按（9，2），（8，3），（7，4），（6，5） 分组， 可得边长为 11 的正方形一个，显然，这只能有一种选择。 （2）边长为 10 时，由于 10=9+1=8+2=7+3=6+4 取长度为 1、2、3、4、6、7、8、9 可得到 1 个边长为 10 的正方形。 （3）边长为 9 时，由于 9=8+1=7+2=6+3=5+4 从而可以取下列四组数构成一正方形：9，（8，1），（7，2），（6，3）；9，（8，1），（7，2）， （5，4）； 9，（8，1），（5，4），（6，3）；9，（8，1），（7，2），（6，3），（5，4） 共有 5 种不同选择。
17、 （4）边长为 8 时，由于 8=7+1=6+2=5+3 可得到一个正方形。 （5）边长为 7 时，由于 7=6+1=5+2=3+4 可是得到一个正方形。 当边长小于 7 时，无法组成正方形。 从而满足题意的有 1+1+5+1+1=9（种）不同选法。 6、将 1、2、3、4 这 4 个数字从小到大排成一行，在 4 个数中间任意插入乘号，可以得到_个不同的 乘积（要求最少有一个乘号）。 【解析】显然，乘号只能放在 1 和 2、2 和 3、3 和 4 之间。在 1 和 2 之间，有放与不放两种可能，在 2 和 3 之间，有放与不放两种可能，同样在 3 和 4 之间也有放与不放两种可能， 所以总共有
18、： 2 2 2=8（种）放法， 但必须排除其中三个位置均不放乘号的可能性，所以共有 7 种放法。 7、用红、绿、黄、蓝四种颜色分别去涂图中的 A、B、C、D 四个区域，要求相邻区域不可同色，共有_ 种不同涂法。 【解析】因为 A、C、D 相互隔开，而 B 与它们均相连，故选择先涂 B，有四种涂法，而 A、C、D 均各有 三种涂法，所以总共有： 4 3 3 3=108（种）不同涂法。 8、如图所示，在 10 10 个边长为 1 的小正方形拼成的棋盘中，求由若干个小方块能拼成的所有正方形的数 目。 【解析】由小方块所拼成的正方形边长可以取 1，2，10。这样有十类不同的方式拼出正方形。下面再 计算
19、出每类方式有多少种方法拼出正方形。边长为 1 的正方形显然有 10 10 个；边长为 2 的正方形，横边 有 9 种选择：AC，BD，CE，DF，IK。类似的，纵边也有 9 种选择，横边和纵边都选定后正方形就确 定了。因此经过两个独立步骤就可以完成拼正方形的任务，由乘法原理可知拼出边长为 2 的小正方形有 9 9 个。边长为其他数时可以类似推出。 由乘法原理可得： 边长为 1 的小正方形有 10 10 个； 边长为 2 的小正方形有 9 9 个； 边长为 3 的小正方形有 8 8 个； 边长为 9 的小正方形有 2 2 个； 边长为 10 的小正方形有 1 1 个。 由加法原理，共有 1010
20、+99+22+11=100+81+64+49+36+25+16+9+4+1=385（个） 答：共有 385 个正方形。 课后反击 1、书店里有 12 种不同的外语书，8 种不同的数学书，从中任选外语书和数学书各一本，有多少种不同的选 法？ 【解析】先取外语书有 12 种选法，再取一本数学书，则有 8 种选法。 用乘法原理得： 12 8=96（种） 答：总共有 96 种不同的选法。 2、某人出差要从甲地途经丙地、丁地到乙地，现在知道从甲地到丙地有 3 条路可以走，从丙地到丁地有 5 条路可以走，从丁地到乙地有 4 条路可以走。问，此人共有多少种从甲地到乙地的方法。 【解析】某人的出差路线： 甲地
21、丙地丁地乙地，甲地丙地 3 条路线，丙地丁地 5 条路线，丁地乙地 4 条路线； 由乘法原理： 3 5 460（种） 答：此人从甲地到乙地共有 60 种走法。 3、由数字 0、l、2、3、4、5、6、7 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 【解析】组成四位数，则需一位一位地确定各个数位上的数字，分四步完成。 由于要求组成的数是奇数，故个位上只能取 1，3，5，7 中的一个，故有 4 种取法； 千位上不能放“0”，则首先考虑，有（8-2）种取法； 百位上有（82）种取法；十位上有 5 种取法。由乘法原理： 4 6 6 5=720（种） 答：共可组成 720 种没有重复数字的四位奇数。 4、如
22、图 4 有 A、B、C、D、E 五个区域，分别用五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色， 共有多少种不同的染色方法？ 【解析】由于有 5 个区域，则分为依次给 A，B，C，D，E 染色五步。先给 A 染色，因为有 5 种颜色，故 有 5 种不同的染色方法；再给 B 染色，因不能与 A 同色，还剩下 4 种颜色可选择，故有 4 种染色方法；再 给 C 染色，因为不能与 A、B 同色，故有 3 种不同的染色方法；再给 D 染色，同样不能与 A、B、C 同色， 故有 2 种不同的染色方法；最后给 E 染色，由于 E 只与 A、D 相邻则只须与 A、D 不同色即可，那么它有 （52）种染色
23、方法。 由乘法原理： 5 4 3 2 3=360（种） 答：共有 360 种不同的染色方法。 5、如图 5，从甲地到乙地有两条路，从乙地到丙地有三条路；从甲地到丁地有四条路，从丁地到丙地有四 条路，问从甲地到丙地共有多少种走法？ 【解析】从甲地到丙地，可以有两种走法，一种是经丁地到丙地，一种是经乙地到丙地。 甲乙丙：甲乙有两种选择，乙丙有三种选择，根据乘法原理：2 3=6（种） 甲丁丙：甲丁有四种选择，丁丙有四种选择，根据乘法原理：4 4=16（种） 再由加法原理：6+16=22（种） 答：从甲地到丙地共有 22 种不同的走法。 6、一把钥匙可以开一个门，现在有 20 把钥匙和 20 个门，可
24、是不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少 次，可以把所有的门都打开？ 【解析】假设每次都是试到最后一把钥匙才打开一个门。那么打开第一个门需要试 20 次，然后剩下 19 个 门和 19 把钥匙；再打开剩下门中的一个，至多需要试 19 次；打开最后一个门时，正如剩下一把钥 匙，试五次即可，根据加法原理： 20+19+18+l=20（20+l） 2 210（次） 答：要把所有的门都打开，至多需要试 210 次。 7、有男生 5 人，女生 2 人，排成一行照相，女生不站两头，而且 2 个女生要站在一起，那么有多少种不同 的站法？ 【解析】因为女生不站两头，那么首尾的位置排男生，又因为两个女生站一起，
25、则先将两个女生看成一人。 7 个人站排， 共有 7 个位置， 那么排在第一个位置的男生有 5 种方法， 排在最后一个位置的男生有 4 种方法， 剩下的位置排 3 个男生和看成一人的两个女生，有 4 3 2=24（种）排法。最后两个女生的位置可以互换则 有 2 种方法。根据乘法原理： 5 4 24 2=960（种） 答：总共有 960 种不同站法。 8、“MATHS”是英文单词数学的意思，把这 5 个字母写成 5 种不同的颜色。现在有 8 种不同颜色的笔，按上 述要求能写出多少种不同颜色搭配的“MATHS”？ 【解析】对于字母“M”可有 8 种颜色，对于字母“A”，可有 7 种颜色，“T”有 6
26、 种颜色，“H”有 5 种颜色，“S” 有 4 种颜色。根据乘法原理： 8 7 6 5 4=6720（种） 答：可以写出 6720 种不同颜色搭配的“MATHS”。 1、有 30 个贰分硬币和 8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成 1 分到 1 元之间的币值有多少种？ 【解析】共有人民币：230+58=100（分）=1（元）按如下方法分组，使每组中的币值和为 1 元： （0，100），（1，99），（2，98），（3，97），（49，51），（50，50）； 因为 0，2，4，6，50 这 26 个数能用所给硬币构成，所以对应的 100，98，96，94，50 也能用 所给硬币构成下面讨论奇数：
27、1，3，5，7，99。 因为 4，6，8，10，50 均可由贰分硬币构成，所以将其中两个贰分币换成一个伍分币，得到 5，7， 9，11，51，可用所给硬币构成 只有 1、3 不能构成，对应的 99、97 也不能构成，所以共有 4 种不能构成的币值 加法原理：加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 1 m种不同方法，在第二类方法中有 2 m种 不同方法，在第 n 类方法中有 n m种不同方法，那么完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 乘法原理：乘法原理： 如果完成一件任务需要分成n个步骤进行， 做第1步有 1 m种方法， 做第2步有 2 m种方法， 做第 n 步有 n m种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 12n Nmmm 种不同方法。 本节课我学到了 直击赛场 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是
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