1、第第 1010 讲讲 工程问题工程问题 了解工作量、工作时间及工作效率的意思； 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率； 理解三者之间的关系，并用三者关系解题。 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水 管注水、行路等许多方面。 工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量工作量= =工作效率工作效率工作时间工作时间 工作时间工作时间= =工作量工作量工作效率工作效率 工作效工作效率率= =工作量工作量工作时间工作时间 工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一 般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表 示。
2、例如，工程的一半表示成 1 2 ，工程的三分之一表 示成 1 3 。 工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干 的工作量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量天”或“工作量时”等表示。但 在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工程答工程 问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”“1”；二是；二是 由于工作总量为由于工作总量为“1”“1
3、”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队），那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队） 单独做的工作时间的倒数表示。单独做的工作时间的倒数表示。 知识梳理 教学目标 考点一：用考点一：用“组合法组合法”解工程问题解工程问题 在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的 解题途径，若用解题途径，若用“组合法组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基 本单位，便会使隐蔽的
4、数量关系立刻明朗化，从而顺利找本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径到解题途径 例例 1 1、一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，只能完成工程的 7 30， 乙队单独完成全部工程需要几天？ 【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 1 15，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可 解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两 队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量 7 30 1 153 1 30，从而 求出甲队的工作效率。所以： 1 1 15（ 7 30
5、 1 153）（53）20（天 答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。 例例 2 2、一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，则能完成这 项工程的1 2。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。 求两段一共用了几天？ 【解析】此题很容易先求乙队的工作效率是：（1 2 1 123）2 1 8；再由条件“做完后发现两 典例分析 段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等 的时间。 （1）乙队每天完成这项工程的 （1 2 1 123）2 1 8 （2）两段时间一共是 1（1 82+ 1 1
6、2）26（天） 答：两段时间一共是 6 天。 例例 3 3、一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的2 3；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，也可以完成这项工作 的2 3。如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 【解析】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 23”组合成“甲 工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这项工作的 23”，则求出甲的工作效率。同理， 运用“组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几 （2 3 1 62）（62） 1 12 丙每小时
7、完成这项工程的几分之几 （2 3 1 63）（63） 1 18 甲、丙合做需完成的时间为： 1（ 1 12+ 1 18）7 1 5（小时） 答：甲、丙合做完成需要 71 5小时。 考点二考点二：特殊工程问题：特殊工程问题 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我 们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 例例 1 1、修一条路，甲队每天修 8 小时，5 天完成；乙队每天修 10 小时，6 天完
8、成。两队合作， 每天工作 6 小时，几天可以完成？ 【解析】 把前两个条件综合为“甲队 40 小时完成”， 后两个条件综合为“乙队 60 小时完成”。 则 1 1 58 + 1 106 6=4（天） 或 1（ 1 58 + 1 106 ）6=4（天） 答：4 天可以完成。 例例 2 2、有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时， 丙需要 15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最 后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 【解析】设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完
9、成工作量 “2” 三人同时搬运了 2（ 1 10 + 1 12 + 1 15 ）=8（小时） 丙帮甲搬了 （1- 1 10 8） 1 15 =3（小时） 丙帮乙搬了 8-3=5（小时） 答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。 例例 3 3、甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工 3 天，因此，两人共用 了 10 天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？ 【解析】 解法一：解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 甲、乙同时做的工作量为1 8 （10-3） 7 8 乙单独做的工作量为 17 8 1 8 乙的工作效率为
10、1 8 3= 1 24 甲的工作效率为1 8 1 24 1 12 甲单独做需要的天数为 1 1 12 12（天） 解法二：解法二：从题中得知，由于甲停工 3 天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2 天。由此可知， 甲 3 天的工作量相当于这批零件的 28=1/4 3（10-8）8=12（天）或 38（10-8）=12（天） 答：甲单独做需要 12 天完成。 考点三：周期工程问题考点三：周期工程问题 周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时， 首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性
11、规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。 其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。 例例 1 1、一项工程，甲单独做需要 12 小时，乙单独做需要 18 小时。若甲做 1 小时后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 【解析】把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 需循环的次数为：1（ 1 12 + 1 18 ）= 36 5 7（次） 7 个循环后剩下的工作量
12、是：1-（ 1 12 + 1 18 ）7= 1 36 余下的工作两还需甲做的时间为： 1 36 1 12 = 1 3 （小时） 完成任务共用的时间为：27+1 3 =14 1 3 （小时） 答：完成任务时需共用 141 3 小时。 例例 2 2、一项工程，甲、乙合作 262 3 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做， 恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天 才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？ 【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先” 还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据
13、“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮 流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙1 2 甲 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天， 即甲的工作效率是乙的 2 倍。 甲每天能做这项工程的 1262 3 2 1+2 = 1 40 甲单独做完成的时间 1 1 40 =40（天） 答：这项工程由甲单独做需要 40 天才能完成。 例例 3 3、打印一部稿件，甲单独打要 12 小时完成，乙单独打要 15 小时完成。现在，甲、乙两人 轮流工作。甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙 工作 2 小时如此
14、这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？ 【解析】根据已知条件，我们可以把 6 小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、 乙都工作了 3 小时。 每循环一次，他们共完成全部工程的（ 1 12 + 1 15 ）3 9 20 总工作量里包含几个 9/20：1 9 20 =2 2 9 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的 1- 9 20 2 1 10 由于 1 10 1 12 ， 所以， 求甲工作 1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为 （ 1 10 - 1 12 ） 1 15 1 4 打印这部稿件共需的时间为：62+1+1 4 =13 1 4 （小时） 答：打印这部稿件共需 131 4 小
15、时。 课堂狙击课堂狙击 1、移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8 小时完成，先由哥哥栽了 3 小时后，又由弟 弟栽了 1 小时，还剩总棵数的11 16没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽 7 棵。共要移栽西 红柿苗多少棵？ 【解析】把“哥哥先栽了 3 小时，弟弟又栽了 1 小时”组合成“哥、的合栽了 1 小时后，哥哥 又独做了 2 小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。 哥哥每小时栽总数的几分之几 实战演练 （111 16 1 81）（31） 3 32 一共要移栽的西红柿苗多少棵 7 3 32（ 1 8 3 32）112（棵） 答：共要移栽西红柿苗 112 棵。 2、一条公路，
16、甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天， 再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以 完成？ 【解析】 将条件“先由甲、 乙两队合修4天， 再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、 乙两队各修（4+7）11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。”就可以求出丙队的工作 效率。 丙队每天修这条公路的 1（ 1 24+ 1 30）（4+7） 1 40 三队合修完成时间为 1（ 1 24+ 1 30+ 1 40）10（天） 答：10 天可以完成。 3、一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天
17、完成。这件工作先由甲做了若干天，然后 由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。这件工作由甲先做了几天？ 【解析】解法一解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。 设甲做了 x 天，则乙做了（14-x）天。 1 20 x+ 1 12 （14-x）=1 X=5 解法二：解法二：假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是 1 12 14，比总工作量多了 1 12 14-1=1 6 ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 1 12 - 1 20 = 1 30 ，因此甲做了 1 6 1 30 =5（天） 答：这件工作由甲先做了 5 天。 4、放满一个水池的水，如果同时
18、开放号阀门，15 小时放满；如果同时开放号阀 门，12 小时可以放满；如果同时开放号阀门，8 小时可以放满。问：同时开放这五个阀 门几小时可以放满这个水池？ 【解析】从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，号阀门各出现 3 次， 号阀门各出现 2 次。如果 1 15 + 1 10 + 1 12 + 1 8 再加一个 1 8 ，则是五个阀门各放 3 小时的总水量。 1（ 1 15 + 1 10 + 1 12 + 1 8 + 1 8 ）3=1 1 2 3=6（小时） 答：同时开放这五个阀门 5 小时可以放满这个水池。 5、一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完
19、成。如果 第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩 60 个 不能完成。已知甲、乙工作效率的比是 5：3。甲、乙每天各做多少个？ 【解析】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先” 还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮 流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙 甲 乙甲乙甲乙甲 乙剩 60 个 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的 60 个零件就是甲、乙 工作效率的差。 甲每天做的个数为：60（5-3）5=150（个） 乙每天做的个数为：60（5-3）3=9
20、0（个） 答：甲每天做 150 个，乙每天做 90 个。 6、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整 数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 0.5 天；如果按丙、甲、乙次序做， 比原计划多用1 3 天。已知甲单独做 13 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、 乙、丙合作要多少天完工？ 【解析】由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是 3 的倍数余 1 或余 2。 如果是 3 的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用 的天数是 3 的倍数余 1。三种轮流方式做的情况可表示如下
21、： 甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲 乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙1 2 丙 丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙1 3 甲 从中可以退出：丙=2 3 甲；由于乙=甲 1 2 丙=甲 2 3 甲 1 2 ，又推出乙= 2 3 甲；与题中“三 个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是 3 的倍数 余 2。三种轮流方式用的天数必定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙 乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙丙1 2 甲 丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙甲1 3 乙 由此推出：丙=1 2 甲，丙= 2 3 乙 丙队每天做这项工程的 1 13 1 2 = 1 26 乙队每天做这项工程的 1
22、 26 2 3 = 3 52 甲、乙、丙合作完工需要的时间为 1（ 1 13 + 1 26 + 3 52 ）=5 7 9 （天） 答：甲、乙、丙合作要 57 9 天完工。 7、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成 呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1 3 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划 多用1 4 天。已知甲单独做 7 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合 作要多少天完工？ 【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 2，否则与题意不符。由 此推出丙的效率是甲的2 3 ，丙的效率也是乙的
23、3 4 。 （1） 丙的工作效率1 7 2 3 2 21 （2） 乙的工作效率 2 21 3 4 8 63 （3） 甲、乙、丙三队合做的天数 1（1 7 + 2 21 + 8 63 ）2 17 23 天 答：这项工程由甲、乙、丙合作要 217 23 天完工。 课堂反击课堂反击 1、一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项工程的 8 15。现 由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共 是几天？ 【解析】乙队的工作效率： （ 8 15 1 155）4 1 20 总共的天数： 1（ 1 15+ 1 202）212 天
24、答：这两段时间一共是 12 天。 2、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、丙合做 2 小 时，可以完成这项工作的13 18；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再做 4 小时，可以完成这项工作的 11 18。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？ 【解析】甲队的工作效率 （13 18 1 42）（42） 1 9 丙队的工作效率 （11 18 1 42）（42） 1 18 甲、丙合做需要的时间 1（1 9+ 1 18）6 小时 答：这项工作如果由甲、丙合做需 6 小时完成。 3、 一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6 小时才
25、完成。这 件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？ 【解析】乙每小时做这件工程的 （1 1 124）（6+4） 1 15 甲、乙合做完成需要的时间 1（ 1 12+ 1 15）6 2 3小时 答：这件工作始终由甲、乙合做 62 3小时可以完成。 4、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单开乙管，18 分 钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲 1 分钟，乙 2 分钟，甲 2 分钟，乙 1 分 钟，甲 1 分钟，乙 2 分钟如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？ 【解析】把 6 分钟看作一个循环 （1） 每循环一次的工作量 （ 1 24 + 1 18 ）（1
26、+2） 7 24 （2） 总工作量里面有几个 7 24 1 7 24 3 3 7 （3） 3 个循环后剩下的工作量 1 7 24 3 1 8 （4） 一共需要的时间 63+1+（1 8 1 24 ） 1 18 20 1 2 分钟 答：灌满一池水共需 201 2 分钟。 5、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成 呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1 3 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划 多用1 4 天。已知甲单独做 7 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合 作要多少天完工？ 【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的
27、整数天数为 3 的倍数余 2，否则与题意不符。由 此推出丙的效率是甲的2 3 ，丙的效率也是乙的 3 4 。 （1） 丙的工作效率1 7 2 3 2 21 （2） 乙的工作效率 2 21 3 4 8 63 （3） 甲、乙、丙三队合做的天数 1（1 7 + 2 21 + 8 63 ）2 17 23 天 答：这项工程由甲、乙、丙合作要 217 23 天完工。 6、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢 感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1 2 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多 用1 2 天。已知甲单独做 10 天完成。且 3 个工程队的工效各不
28、相同。这项工程由甲、乙、丙合 作要多少天完工？ 【解析】按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 1，否则与题意矛盾。由 此可以推出丙的效率是甲的1 2 ，乙的效率是甲的 3 4 。 （1） 丙的效率 1 10 1 2 1 20 （2） 乙的效率 1 10 （1 1 2 1 2 ） 3 40 （3） 甲、乙、丙三队合做的天数 1（ 1 10 + 1 20 + 3 40 ）4 4 9 天 答：这项工程由甲、乙、丙合作要 44 9 天完工。 解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有
29、些工作效效 率可以通过工作时间得到，而有些则要根据率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要进程变化规律得到。在解题时，我们要 弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。 工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量工作量= =工作效率工作效率工作时间工作时间 工作时间工作时间= =工作量工作量工作效率工作效率 工作效率工作效率= =工作量工作量工作时间工作时间 名师点拨 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验
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