1、第第 0707 讲讲 假设法解题假设法解题 初步学会运用“假设”的策略分析数量关系，并能根据问题的特点确定合理的解题步 骤； 在解决实际问题过程的不断反思中，感受假设的策略对于解决特定问题的价值，进一步 发展分析、综合和简单推理能力； 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯，积累解决问题的经验，增强解 决问题的策略意识，获取解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。 当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个 数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调
2、整由于假设而数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而 引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解 题方法就叫做假设法。题方法就叫做假设法。 用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于 计算的条件。有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。计算的条件。有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。 考点一：假设情
3、节变化考点一：假设情节变化 例例 1 1、学校有篮球和足球共 21 个，借出篮球个数的 1/3 和 1 个足球后，两种球的个数相等。 原来有篮球和足球各多少个？ 教学目标 典例分析 知识梳理 【解析】假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是 3 份数， 把现有足球的个数看作 2 份数，两种球的总份数是：3+2=5（份）。 原来篮球的个数是： 3 21-1=12 5 （）（个）；原来足球的个数是：21-12=9（个）。 例例 2 2、 甲乙两个煤场共存煤 92 吨， 从甲场运出 28 吨后， 乙场的存煤比甲场的 4 倍少 6 吨。 两场原来各存煤多少吨？ 【解析】假设从甲
4、场运出的不是 28 吨，而是比 28 吨少 6 吨的 22 吨，那么，乙场的存煤 数就正好是甲场的 4 倍，甲场的存煤是 1 份数，乙场的存煤份数，乙场的存煤是两场存煤总 数的 4/5。 所以乙场原来存煤： 4 92-22=50 5 （）（吨）。 甲场原来存煤：92-50=42（吨）。 考点二：假设两个（或几个）数量相等考点二：假设两个（或几个）数量相等 例例 1 1、有两块地，平均亩产粮食 185 千克。其中第一块地 5 亩，平均亩产粮食 203 千克。 如 果第二块地平均亩产粮食 170 千克，第二块地有多少亩？ 【解析】假设两块地平均亩产粮食都是 170 千克，则第一块地的平均亩产量比两
5、块地的平均 亩产多：203-170=33（千克）；5 亩地要多产：335=165（千克）。 两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多：185-170=15（千克）。 因为 165 千克中含有多少个 15 千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共 是：16515=11（亩）；第二块地的亩数是：11-5=6（亩）。 例例 2 2、一项工作，甲、乙两队单独做各需要 10 天完成，丙队单独做需要 7.5 天完成。在三队 合做的过程中，甲队外出 1 天，丙队外出半天。问三队合做完成这项工作实际用了几天？ 【解析】假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则 三队合
6、做的工作量可达到： 11111 1+=1.1+=1 107.52156 。 三队合做这项工作，实际用的天数是： 111111 1+=1=3.5 610107.563 （天）。 例例 3 3、一项工程，甲、乙两队合做 80 天完成。如果先由甲队单独做 72 天，再由乙队单独做 90 天，可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？ 【解析】假设甲队做 72 天后，乙队也做 72 天，则剩下的工程是： 11 172 8010 ； 乙 队 还 需 要 做 的 时 间 是 ： 90-72=18 （ 天 ） ； 乙 队 单 独 完 成 全 部 工 程 的 时 间 是 ： 11 1 (18
7、)1180 10180 （天）； 甲队单独完成全部工程的时间是： 11 72(190)72144 1802 （天）。 考点三：假设两个分率（或两个倍数）相同考点三：假设两个分率（或两个倍数）相同 例例 1 1、某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的 3 倍，每天平均卖出黑墨水 45 瓶，蓝 墨水 120 瓶。过了一段时间，黑墨水卖完了，蓝墨水还剩 300 瓶。这个商店上月购进蓝墨水 和黑墨水各多少瓶？ 【解析】根据购进的蓝墨水是黑墨水的 3 倍，假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的 3 倍，则 每天卖出蓝墨水： 453=135（瓶）。 这样，过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上，蓝墨水剩
8、下 300 瓶，这是因 为实际比假设每天卖出的瓶数少：135-120=15（瓶）。 卖的天数： 30015=20 （天） ； 购进黑墨水： 4520=900 （瓶） ；购进蓝墨水： 9003=2700 （瓶）。 例例 2 2、甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划，甲厂完成计划的 112，乙厂完 成计划的 110。两厂共生产机床 400 台，比原计划超产 40 台。两厂原计划各生产多少台 机床？ 【解析】假设两个厂一月份都完成计划的 110，则两个厂一月份共生产机床：（ 400-40） 110=396（台） 甲厂计划生产：（ 400-396） （ 112-110）=42=200（台）。
9、 乙厂计划生产：400-40-200=160（台）。 考点四：假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少考点四：假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少 例例 1 1、某校三、四年级学生去植树。三年级去 150 人，四年级去的人数比三年级人数的 2 倍 少 20 人。两个年级一共去了多少人？ 【解析】假设四年级去的人数正好是三年级的 2 倍，而不是比三年级的 2 倍少 20 人，则两 个年级去的人数正好是三年级人数的 3 倍。 两个年级去的人数是：1503=450（人）。 因为实际上，四年级去的人数比三年级 2 倍少 20 人，所以两个年级去的实际人数是： 450-20=430（人）。 例例
10、 2 2、甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后，甲、丙两个乡都比乙乡多 18 吨，因此甲乡和丙乡各给乙乡 1800 元。问每吨化肥的价格是多少元？ 【解析】假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多 18 吨，而是与乙乡买的同样多，则应把多出 来的 2 个 18 吨平均分。平均分时每个乡多得：1823=12（吨）。 因为甲、 丙两个乡都比乙乡多得 18 吨， 而平均分时每个乡得 12 吨， 所以乙乡实际比甲、 丙两个乡都少： 18-12=6（吨）；每吨化肥的价格：18006=300（元）。 考点五：假设某个数量增加了或减少了考点五：假设某个数量增加了或减少了 例例 1 1、某班男生比全班
11、人数的 5/9 少 4 人，女生比全班人数的 2/5 多 6 人。这个班的男女生各 是多少人？ 【解析】假设男生增加 4 人，女生减少 4 人，则全班总人数不变，男生正好是全班人数的 5/9， 女生比全班人数的 2/5 度：6-4=2（人）。 全班人数是;(6-4) (1-5/9-2/5)=45（人），男生人数是：455/9-4=21(人)；女生人 数是：452/5+6=24（人）。 例例 2 2、学校运来红砖和青砖共 9750 块。红砖用去 20，青砖用去 1650 块后，剩下的红砖 和青砖的块数正好相等。学校运来红砖、青砖各多少块？ 【解析】假设少运来 1650 块青砖， 则一共运来砖：9
12、750-1650=8100（块）。以运来的红砖 的块数为标准量 1，则剩下的红砖的分率是：1-20=80。 因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等，所以青砖的分率也是 80。 因为 8100 块中包括全部红砖和红砖的（ 1-20）（青砖），所以 8100 块的对应分率 是（ 1+1-20）。 运来的红砖是：（ 9750-1650） （ 1+1-20）=81001.8=4500（块）。 运来的青砖是：9750-4500=5250（块）。 所以运来红砖 4500 块，运来青砖 5250 块。 考点六：假设某个数量扩大了或缩小了考点六：假设某个数量扩大了或缩小了 例例 1 1、把鸡和兔放在一起共有
13、 48 个头、 114 只爪和脚。鸡和兔各有多少只？ 【解析】假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小 2 倍，则鸡爪数和鸡的头数一样多，兔的脚数是 兔头数的 2 倍。 这样就可以认为， 1142 所得商中含有全部鸡的头数， 也含有兔子头数 2 倍的数， 而 48 中 包含全部鸡的头数和兔子头数 1 倍的数。 所以兔的只数是：1142-48=9（只）；鸡的只数是：48-9=39（只）。 例例 2 2、两堆煤共 2268 千克，取出甲堆的 2/5 和乙堆的 1/4 共 708 千克，求甲、乙两堆煤原来 各是多少千克？ 【解析】假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大 4 倍，则从两堆煤取出的总数量比原 来
14、的两堆煤多： 7084-2268=2832-2268=564（千克）。 假设后，从甲堆取出的煤的分率是 23 41 55 ，这比甲堆煤的实际重量多 33 11 55 ；从乙 堆取出的煤的分率是 1 41 4 （全部取出）。因此 564 千克的对应分率是 3 5 。甲堆煤的重量是： 235 708 422684 128322268564940 553 （千克）。甲堆煤的重量是： 2268-940=1328（千克）。 课堂狙击课堂狙击 1、有 5 元和 10 元的人民币共 14 张，共 100 元。问 5 元币和 10 元币各多少张？ 【解析】假设这 14 张全是 5 元的，则总钱数只有 514=
15、70 元，比实际少了 10070=30 元。 为什么会少了 30 元呢？因为这 14 张人币民币中有的是 10 元的。 拿一张 5 元的换一张 10 元的， 实战演练 就会多出 5 元，30 元里包含有 6 个 5 元，所以，要换 6 次，即有 6 张是 10 元的，有 146=8 张是 5 元的。 2、五（1）班有 51 个同学，他们要搬 51 张课桌椅。规定男生每人搬 2 张，女生两人搬 1 张。 这个班有男、女生各多少人？ 【解析】假设 51 个全是男生，能搬 251=102 张课桌椅，比实际搬的多出了 10251=51 张。 用 2 个男生换成 2 个女生就少搬 3 张，513=17，
16、因此这个班有 217=34 个女同学，有 51 34=17 个男同学。 3、用大、小两种汽车运货。每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱。现有18车货，价值3024 元。若每箱便宜2元，则这批货价值2520元。大、小汽车各有多少辆？ 【解析】根据“若每箱便宜2元，则这批货价值2520元”可以知道，30242520=504元，504 元中包含有252个2元，即这批货有252箱。假设18辆都是大汽车，则装货1818=324（箱）， 比实际箱数多324252=72箱。一辆大汽车换一辆小汽车可少运1812=6箱，72里面有12个6， 所以，有12辆小汽车，有1812=6辆大汽车。 4、甲、乙二人投飞镖
17、比赛，规定每中一次记 10 分，脱靶一次倒扣 6 分。两人各投 10 次，共 得 152 分。其中甲比乙多得 16 分，两人各中多少次？ 【解析】我们可以先算出每人各得多少分。甲得（15216）2=84 分，则乙得 15284=68 分。 甲投 10 次， 假设 10 次都投中就该得 1010=100 分， 而事实只得了 84 分， 少得 10084=16 分，因为脱靶一次不仅得不到 10 分还要倒扣 6 分。因此甲共脱靶 16（106）=1 次，甲中 了 101=9 次。再用同样的思路可以分析出乙中靶几次。 5、买来 5 角、2 角、1 角 5 分三种邮票，共 20 张，总值 5 元 5 角
18、。其中 5 角和 1 角 5 分的邮 票张数相等，问三种邮票各购几张？ 【解析】因为 5 角和 1 角 5 分的邮票张数相等，所以一般假设 20 张邮票都是 2 角的，那么 2020=400（角），比实际少了 550400=150（角）；为什么会少？因为拿一张 5 角和一张 1 角 5 分换两张 2 角，会少 50+15202=25 分，所以 15025=6（组）5 角和 1 角 5 分的 各 6 张，2 角的邮票有 2062=8（张）。 6、蜘蛛有 8 只脚，蜻蜓有 6 只脚和两对翅膀，蝉有 6 只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫 18 只，共有脚 118 只，翅膀 20 对，问每种小虫各有几
19、只？ 【解析】先从脚的数量考虑，因为蜻蜓和蝉的脚数相等，所以假设 18 只都是 6 条腿，那么有 186=108 条腿， 比实际少 118-108=10 条， 每把一只 8条腿的蜘蛛换成 6条腿的昆虫就少 8-6=2 条腿，102=5 只-是蜘蛛的数量。剩下的 13 只是蜻蜓和蝉，再从翅膀数量考虑，假设 13 只都是一对翅膀的蝉，那么翅膀就比实际少了 20-13=7 对，每把一只蜻蜓换成蝉，就少一对翅 膀，所以蜻蜓有 7 只，蝉有 6 只。 7、笼中共有 30 只鸡和兔，数一数足数正好是 100 只。问鸡兔各多少只？ 【解析】假设 30 只都是鸡，那么足数就少了 100-230=40 条，每把
20、一只兔换成鸡，就少 2 条 腿，所以 40（4-2）=20 只兔，鸡 30-20=10 只；同理也可把 30 只都假设成兔。 8、有鸡蛋 18 箩，每只大箩容 180 个，每只小箩容 120 个，共值 302.4 元，若将每个鸡蛋便宜 2 分出售，则可得款 252 元，问大箩、小箩各几只？ 【解析】先求一共有几个鸡蛋：（3024025200）2=2520 个，括号里的差是因为每次便宜 2 分产生的，所以可以求得一共有几个鸡蛋。 假设 18 箩鸡蛋都是大箩，共有 18180=3240 个，比实际多 32402520=720 个，每把一箩小 的换大的，多出 180-120=60 个，所以小箩有 7
21、2060=12 箩；大箩 18-12=6 箩。 课后反击课后反击 1、笼子里有鸡和兔共 30 只，共有 70 条腿，问鸡和兔各有几只？ 【解析】我们可以假设 30 只全是鸡，则脚的只数应为 60 只，比题目中的 70 只少了 10 只，因 为每只鸡比兔少 2 只脚， 所以 10 只脚就有 102=5 （只） 兔。 302=60 （只） 、 70-60=10 （只） 、 4-2=2（只）、102=5（只） 30-5=25（只）。所以兔有 5 只，鸡有 25 只。 2、实验二小举行的数学竞赛共 15 道题，每做对一题得 8 分，每做错一题倒扣 4 分，小明共得 72 分，他做对了几道题？ 【解析】
22、假设小明 15 道题全部都做对了，应得 158=120 分，若做错一题，不仅 8 分得不到， 反而还要扣 4 分，相当于错一题就丢了 12 分，这样就可以求出做错与做对的题。 158=120（分）；8+4=12（分）；120-72=48（分）； 4812=4（分）；15-4=11（道）。所有他做对了 11 道题。 3、幼儿园老师把饼干和糖果分给班上的小朋友，糖果的颗数是饼干的 4 倍，如果每个小朋友 分 3 块饼干和 7 题糖果， 饼干刚好分完， 糖果还剩 45 颗， 问原来有饼干多少块？糖果多少颗？ 【解析】要求原来饼干的块数和糖果的颗数，关键是要求出小朋友的人数，根据题意：“每个 小朋友分
23、 3 块饼干和 7 颗糖果，饼干刚好分完而糖果还剩 45 颗”，如果假设糖果也刚好分完， 则糖果每次分的颗数就是饼干的 4 倍，即 34=12 颗，比每次实际多 12-7=5 颗，由此小朋友 的人数为 455=9 人，再求出原来饼干的块数和糖果的颗数。 34-7=5（颗）；455=9（人）；39=27（块）； 274=108（颗）；所以原来饼干有 27 块，糖果有 108 颗。 4、育才小学买回每册价钱分别是 70 元、30 元和 20 元的三种图书，一共 47 册，付了 2120 元， 买每册 30 元的图书本数和每册 20 元的图书本数一样多，每种图书各买了多少册？ 【解析】有三种图书，我
24、们不便于假设，但是题目中说“买每册 30 元的图书本数和每册 20 元 的图书本数一样多”，在不改变总本数和总钱数的前提下，我们可以把这些图书看成每册 （30+20）2=25 元，这样可以把 47 册书分成两类：每册 70 元和每册 25 元，只有两种图书， 我们就好解决了。 （30+20）2=25 元 （1）假设全是 70 元。7047=3290 元 ；3290-2120=1170（元）；1170（70-25）=26 （本）； 47-26=21（本）；262=13（本）。 （2）假设全是 25 元。4725=1175（元）； （2120-1175）（70-25）=94545=21（本）； （
25、47-21）2=13（本） 所以每册 70 元的有 21 本，每册 30 元和 20 元的分别有 13 本。 5、有 40 分、20 分、16 分、10 分的邮票共 40 枚，共计 7.58 元，已知 40 分和 20 分的邮票枚 数相等，16 分和 10 分的邮票枚数相等，求四种邮票各多少枚？ 【解析】因为四种邮票的数量两两相等，所以把相等的两种面值相加产生一种新的面值， 40+20=60 分，16+10=26 分；这样邮票总数量相当于只有 20 枚了。 假设 20 枚都是 60 分面值的，总值比实际多 6020-758=442 分，每次把 26 分面值代换成 60 分面值，多 60-26=
26、34 分，所以可换 44234=13 次，说明各有 13 枚 16 分和 10 分的邮票， 40 分和 20 分的邮票各有（40-132）2=7 枚。 6、一辆卡车运矿石，晴天每天可运 20 次，雨天每天可运 12 次，它一共运了 112 次，平均每 天运 14 次，这几天中有几天是雨天？ 【解析】先求天数：11214=8 天。假设 8 天都是晴天，那么共运 20*8=160 次，比实际多 160-112=48 次； 每雨天代换成晴天多 20-12=8 次，所以 488=6 天是雨天。 7、已知兔的只数是鸡的 6 倍，鸡、兔足数共 390 只，问鸡、兔各几只？ 【解析】从兔和鸡的只数中找足的关
27、系，因为兔的只数是鸡的 6 倍，那么兔的足数就是鸡的 6*2=12 倍。 用和倍问题的解法可以得出：390（12+1）=30-鸡的足数，鸡的只数是 302=15 只，兔 的只数是 15*6=90 只。 8、有一元、二元、五元的人民币 50 张面值共计 116 元，已知 1 元的人民币比 2 元的多 2 张， 问三种人民币各有几张？ 【解析】 假设： 增加两张 2 元的人民币， 那么人民币的张数变成了 52 张， 面值总计是 116+2*2=120 元。 再假设 52 张都是 5 元人民币，那么面值有 52*5=260 元，比实际多 260-120=140 元，每把 两张 5 元换成 1 张 1
28、 元和一张 2 元，就多 5*2-1-2=7 元，1407=20 次，说明 1 元的有 20 张， 2 元的之前增加了两张，现在应该减去，所以是 20-2=18 张，5 元的有 50-20-18=12 张。 1、（走美杯）两根同样长的绳子，甲绳剪去 1/3，乙绳剪去 1/3 米，剩下的绳子哪一根长？ 【解析】此题可以有三种答案。 (1)假设两根绳子都长 1 米，则甲绳剪去 1/3 后，剩下 1（1-1/3）=2/3（米）；乙绳剪去 1/3 米后，剩下 1-1/3=2/3(米)。所以剩下的两根绳子一样长。 （2）假设两根绳子都比 1 米短，任意假设为 0.6 米，则甲绳剪去 1/3 后，剩下 0
29、.6（1-1/3） 直击赛场 =0.4=6/15（米）；乙绳剪去 1/3 米后，剩下 0.6-1/3=4/15(米)。所以甲绳剩下的部分比乙绳 剩下的部分长。 （3）假设两根绳子都比 1 米长，任意假设为 1.5 米，则甲绳剪去 1/3 后，剩下 1.5（1-1/3） =1（米）；乙绳剪去 1/3 米后，剩下 1.5-1/3=7/6(米)。所以乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部 分长。 2、（希望杯）一辆卡车运矿石，晴天每天可运 20 次，雨天每天只运 12 次，它一共运了 112 次，平均每天运 14 次，这几天有几是雨天？ 【解析】 此题和上题对比， 卡车运了多少天不知道， 也就是雨天和晴天的和
30、不知道， 可根据“它 一共运了 112 次，平均每天运 14 次”求出一共运了（11214）=8 天，那么，运矿石的天数 相当于鸡和兔的总头数，雨天、晴天一共运的次数相当于鸡和兔的总脚数。 （1）这辆卡车一共运的天数 11214=8（天） （2）假设这 8 天全是晴天，一共可运 208=160（次） （3）比实际 112 次多 160-112=48（次） （4）晴天和雨天每天运的相差数 20-12=8（次） （5）雨天的天数 488=6（天） 3、（祖冲之杯）有一元、二元、五元的人民币 50 张，总面值 116 元。已知一元的比二元的多 2 张，问三种面值的人民币各有几张？ 【解析】（1）如果
31、减少 2 张一元的，那么总张数就是 48 张，总面值就是 114 元，这样一元的 和二元的张数就同样多了； （2）假设这 48 张全是 5 元的，则总值为 548=240 元，比实际多出了 240114=126 元，然 后进行调整。用 2 张 5 元的换一张 1 元和一张 2 元的就会减少 7 元，1267=18 次，即换 18 次。所以，原来二元的有 18 张，一元的有 182=20 张，五元的有 501820=12 张。 考点一：假设情节变化考点一：假设情节变化 考点二：假设两个（或几个）数量相等考点二：假设两个（或几个）数量相等 考点三：假设两个分率（或两考点三：假设两个分率（或两个倍数
32、）相同个倍数）相同 考点四：假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少考点四：假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少 考点五：假设某个数量增加了或减少了考点五：假设某个数量增加了或减少了 考点六：假设某个数量扩大了或缩小了考点六：假设某个数量扩大了或缩小了 假设法是一种思考问题的方法，也是解答应用题的好方法。有些应用题看似无法解答，假设法是一种思考问题的方法，也是解答应用题的好方法。有些应用题看似无法解答， 但如果采用假设的方法，可以比较轻松地得到正确答案。用假设法解答应用题，有一定的解但如果采用假设的方法，可以比较轻松地得到正确答案。用假设法解答应用题，有一定的解 答步骤：答步骤： (1)(1)先假设某一个条件成立，根据题中告诉的条件，经过推理计算，可能出现与题中已知条件先假设某一个条件成立，根据题中告诉的条件，经过推理计算，可能出现与题中已知条件 相矛盾的结果。相矛盾的结果。(2)(2)找出错误产生的原因，想办法消除错误找出错误产生的原因，想办法消除错误，得到应用题的解。，得到应用题的解。 本节课我学到本节课我学到 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 重点回顾 名师点拨 学霸经验
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