1、第第 04 讲讲 分数裂项求和分数裂项求和 会找通项，并能利用通项来裂项； 在通项不易找到时，会观察、改造、运用公式来做适当变形或先进行一部分运算使新的 通项易于找到，从而进一步裂项。 一、一、“裂差裂差”型运算型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分裂项分为分 数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂数字单位的和或差。遇到裂 项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分
2、母之间具有的相同的关系，项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系， 找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找 到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即 1 ab 形式的， 这里我们把较小的数写在前面，形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即即ab，那么有，那么有 1111 () abba ab (
3、2)对于分母上为对于分母上为 3 个或个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)nnn ， 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的，我们有：形式的，我们有： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 二、二、“裂和裂和”型运算型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） 11abab abababba （2） 2222 ababab a ba ba bba 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂和型运算与裂差型
4、运算的对比： 教学目标 知识梳理 裂差型运算的核心环节是裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有，裂和型运算的题目不仅有“两两抵两两抵 消消”型的，同时还有转化为型的，同时还有转化为“分数凑整分数凑整”型的，以达到简化目的。型的，以达到简化目的。 例例 1、 11111 1 223344556 。 【解析】原式 111111115 122356166 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 1111 1 33 55779 ，计算过程就要 变为： 1111111 1 33 55779192 例例 2、 1111 11212312100
5、【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要 从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和 运算公式的代入有 112 (1 1) 1 11 2 2 ， 112 (12)2 122 3 2 ， 原式 2222120099 2(1)1 1 22334100 101101101101 例例 3、 111111 1 3610152128 【解析】原式 1111 1 1212312341234567 222 1 233478 1111111 2 2233478 1 21 8 7 4 例例 4、计算： 11111 123420
6、261220420 【解析】原式 11111 12320 261220420 11111 210 1 2233 4452021 1111111 2101 223342021 典例分析 120 2101210 2121 例例 5、 111 1 2323478 9 【解析】首先分析出 111111 11211211 nn nnnnnnnnnn 原式 111111111 21 22 32 33 4677 87 88 9 111 21 28 9 35 144 例例 6、 9998971 1 2323434599 100 101 【解析】 99 1 23 1001 1 23 100 1 23 1 23
7、100 1 23 1 23 98 234 1002 234 100 234 2 234 100 234 1 34 97 345 1003 345 100 345 3 345 100 345 1 45 1 99 100 101 10099 99 100 101 100 99 100 101 99 99 100 101 100 99 100 101 1 100 101 原式 100100100100111 .(.) 1 2323434599 100 1012334100 101 1111151 100()()24 22101002101101 例例 7、计算：、计算： 34512 1 24523
8、56346710 11 13 14 【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积， 所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即： 原式 2222 34512 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 710 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母 的对称性，可以用平方差公式： 2 31 54 ， 2 4264， 2 53 74 原式 2222 34512 1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 710 11 12 13 14 1 542643 7410 144 1 2
9、345234563456710 11 12 13 14 1111 23434545611 12 13 4444 1 2345234563456710 11 12 13 14 1111111 22334344511 1212 13 111111 1 23423452345345610 11 12 1311 12 13 14 11111 22312 131 23411 12 13 14 1111 122 12 132411 12 13 14 1771 811 12 13 14 11 82 11 14 1175 8308616 例例 8、计算： 22222222 2222 13243598100 2
10、13141991 【解析】 22 2 1310 213 ， 22 2 2420 318 ， 22 2 3534 4115 ，由于 104 2 33 ， 204 2 88 ， 344 2 1515 ， 可见原式 2222 4444 2222 213141991 1111 2984 1 3243 598 100 11111111 19641 23243598100 111 19621 299100 199 19632 9900 4751 198 4950 例例 9、计算：计算： 111111 234598 99515299 【解析】原式 111111111 24983599515299 11111
11、1111 2 245 0354 95 25 49 8 111111111 245 0354 92 62 74 9 1111111111 2 242 4352 52 62 84 85 0 1111111111 242 4352 51 31 42 45 0 11111111111 2 241 2351 11 41 62 45 02 5 11111111111 241 2351 1781 25 02 5 1111111111 2 2463581 01 25 02 5 1111111111 246354565 02 5 114 9 1 5 02 55 0 课堂狙击课堂狙击 1、 111 10 1111
12、 125960 【解析】原式 111111111 ()()() 101111125960106012 2、计算：计算： 11111111 () 128 8244880120168224288 【解析】原式 1111 128 24466 816 18 （） 1111111 128 224461618 （） 11 64 218 （） 4 28 9 3、计算：计算： 1111 1 3 53 575792001 20032005 【解析】原式 1111111 41 33 53 55 72001 20032003 2005 实战演练 1111004003 41 32003200512048045 4、计
13、算：计算： 1511192997019899 2612203097029900 【解析】原式 1111 1111 26129900 111 99 1 22399 100 11111 991 22399100 1 991 100 1 98100 5、 123456 1 21 231 23 41 23 451 23 4561 23 4567 【解析】原式 13 141516171 1 21 231 23 41 23 451 23 4561 23 4567 111111 1 21 21 231 231 2341 234567 111 1 21 21 23 4567 1 1 5040 5039 504
14、0 6、计算：计算： 283411 1222222 1 33 55 717 191 3 53 5 717 1921 【解析】 341199 222224422 1 3 53 5 717 19211 33 53 55 717 191921 89 22422 1 33 55 717 1919 21 所以原式 889 12222422 1 33 517 191 33 55 717 191921 9 215 1 21 3 33 7 9 1 92 1133 9 93 9 9 7、计算：计算： 2399 3!4!100! . 【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然
15、开 朗了 原式 2399 1 231 23 41 23100 3 1411001 1 231 23 41 23100 111111 1 21 231 231 2341 23991 23100 11 1 21 23100 11 2100! 8、计算：计算： 2222 12350 1 33 55 799 101 【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公 式分别变为 2 21， 2 41， 2 61， 2 1001，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是 分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了 原式 22
16、22 2222 1246100 42141611001 2222 11111 1111 42141611001 11111 50 41 33 55799 101 111111111 501 423355799101 111 501 42101 150 50 4101 63 12101 9、 11112007111 ()() 1 200722006200622007 12008 1 2006220052006 1 【解析】原式= 2008111200711 (.)(.) 20081 2007220062007 12008 1 20062006 1 = 2008111200711 (.)(.) 2
17、0081 2007220062007 12008 1 20062006 1 = 1200820082008120072007 (.)(.) 20081 2007220062007 12008 1 20062006 1 = 11111111111 (.)(.) 20081200722006200711200620061 = 11111111111 (.)(.) 20081200722006200711200620061 = 1111 () 2008200720072015028 课后反击课后反击 1、 2222 1099 85443 【解析】原式 11111111 2 910894534 11
18、2 310 7 15 2、 251251251251251 4 88 1212 162000200420042008 【解析】原式 25111111 161 22334500501501 502 2511111111 1 1622334501502 25150150121 15 165023232 3、计算： 3245671 25577 1111 161622222929 【解析】原式 1111111111111 255771111161622222929 1 2 4、计算： 11111 20082009201020112012 1854108180270 = 。 【解析】原式 11111 2
19、0082009201020112012 3 6699 1212 1515 18 1111111 2 0 1 05 9122356 5 10050 54 5、 11111 1 23423453456678 978 9 10 【解析】原式 1111111 31 2323423434578 98 9 10 111 31 238 9 10 119 2160 6、计算： 5719 1 232348 9 10 【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题 中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为 2相比较于 2，4，6，这一公差 为 2 的等差数列(该数列的第n
20、个数恰好为n的 2 倍)， 原式中分子所成的等差数列每一项都比其 大 3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算 原式 3234316 1 232348 9 10 111128 32 1 232348 9 101 232348 9 10 1111111111 32 21 22323348 99 1023349 10 311111111 2 21 29 102334910 31111 2 2290210 711 4605 23 15 也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n ，所以 2323 121212 n nnnnnnnn ， 再 将 每
21、 一 项 的 2 12nn 与 3 12nnn 分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同 7、 234100 1 (12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) 【解析】 211 1 (12)112 ， 311 (12)(123)12123 ， 10011 (1299)(12100)129912100 ，所以 原式 1 1 12100 15049 1 50505050 8、 222222 111111 31517191111131 . 【解析】这题是利用平方差公式进行裂项： 22 () ()ababab， 原式 111111 ()()()()()() 2446
22、6 88 1010 1212 14 1111111111111 () 244668810101212142 1113 () 214214 9、 22222222 122318191920 1 22 318 191920 【解析】原式 1232341918192021919 .2 1736 2123431819201912020 1、(迎春杯初赛)计算：计算： 1111 25 1 33 5572325 【解析】原式 111111 251 23352325 11 251 225 2524 225 12 2、(走美杯初赛) 11111111 612203042567290 _ 【解析】根据裂项性质进
23、行拆分为： 11111111 612203042567290 11111111 233 44556677 88 99 10 112 = 2105 3、(走美杯初赛)计算：计算： 111111111 2612203042567290 【解析】原式 111111111 () 2233 44556677 88 99 10 1111111 () 22334910 111 () 2210 直击赛场 1 10 4、(迎春杯初赛)计算：计算： 571719 1155 23 43 458 9 109 10 11 （） 【解析】（法一） 本题的重点在于计算括号内的算式： 571719 2343458 9 109
24、 10 11 这 个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列， 而非常见的分子 相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉 的形式 观察可知523，734，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719 2343458 9 109 10 11 2334910 23 43 459 10 11 111111 342445351 01 191 1 111111 3 44510 11243 59 11 11111111111111111 344510112243546810911 1111111 3112210311 8128
25、 332533 31 55 所以原式 31 1155651 55 （法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法由于分子成等差数列，而 等差数列的通项公式为and，其中d为公差如果能把分子变成这样的形式，再将a与nd分 开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了 571719 2343458 9 109 10 11 122132182192 2343458 9 109 10 11 12213 2182192 23 423 43 453 458 9 108 9 109 10 119 10 11 11112222 23 43 458 9 109 10 113 4459 1010 11
26、 1111111111111 2 2233434459 1010 1134451011 11111 2 22310 11311 112234131 12220311422055 ， 所以原式 31 1155651 55 （法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的： 571719 2343458 9 109 10 11 51171117111911 2233 423 44528 99 1029 1010 11 5175197119171191 22322342245229 10210 11 51111191 2233 4459 10210 11 5111931 1231022055 所以原式
27、 31 1155651 55 （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳先找每一项的通项公式： 21 (1)(2) n n a n nn （2n ，3，9） 如果将分子21n分成2n和 1，就是上面的法二；如果将分子分成n和1n ，就是上面的法 一 常见的裂项思想：常见的裂项思想： (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即 1 ab 形式的， 这里我们把较小的数写在前面，形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即即ab，那么有，那么有 1111 () abba ab 重点回顾 (2)对于分母上为对于分母上为 3 个或个或 4 个连续自
28、然数乘积形式的分数，即：个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 (1)(2)nnn ， 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的，我们有：形式的，我们有： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn （3） 11abab abababba （4） 2222 ababab a ba ba bba 裂差型裂项的三大关键特征：裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数为任意自然数) 的，但是只要将的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数个分母上的因数“首尾相接首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。）分母上几个因数间的差是一个定值。 本节课我学到 我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
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