1、2020 年深圳市高考数学二模试卷（文科）年深圳市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|1x5，B1，3，5，则 AB（ ） A1，3 B1，3，5 C1，2，3，4 D0，1，2，3，4，5 2设 z ，则|z|（ ） A B C1 D 3已知 a ，blog2 ，c2 ，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 4设 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最大值为（ ） A3 B1 C2 D3 5已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，有下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 n，m，mn，则 ； 若 ，m，n，则 mn； 若 ，
2、m，mn，则 n 其中，正确的命题个数是（ ） A3 B2 C1 D0 6已知双曲线 C： 1（a0，b0）的焦点分别为 F1（5，0），F2（5，0）， P 为 C 上一点，PF1PF2，tanPF1F2 ，则 C 的方程为（ ） Ax2 1 B y 21 C 1 D 1 7 执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的k 0.4 ， 则 输 出 的n （ ） A5 B4 C3 D2 8函数 f（x）x22x+1 的图象与函数 g（x）3cosx 的图象所有交点的横坐标之和等于 （ ） A2 B4 C6 D8 9已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个
3、点，则该点 落在这个正八面体内部的概率为（ ） A B C D 10函数 f（x） 的部分图象大致为（ ） A B C D 11下面图 1 是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如图 2 所示，图 2 中圆的半径均为 1， 且相邻的圆都相切， A， B， C， D 是其中四个圆的圆心， 则 （ ） A32 B28 C26 D24 12 在三棱锥 PABC 中， 平面 PBC平面 ABC， ACB90， BCPC2， 若 ACPB， 则三棱锥 PABC 体积的最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 132020 年初，湖北成为全国
4、新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺 等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 ，bsinC csin ，则角 C 15尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数 学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生 12 只，且雌 雄各半.1 个月后，有一对老鼠生了 12 只小老鼠，一共有 14 只；2 个月后，每对老鼠各生 了 12 只小老鼠， 一共有 98
5、 只 以此类推， 假设 n 个月后共有老鼠 an只， 则 an 16已知 A，F 分别是椭圆 C： l（ab0）的下顶点和左焦点，过 A 且倾斜角 为 60的直线 l 分别交 x 轴和椭圆 C 于 M，N 两点，且 N 点的纵坐标为 b，若FMN 的周长为 6，则FAN 的面积为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知各项都为正数的等比数列an，a232，a3a4a58 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2an，Tn
6、|b1|+|b2|+|b3|+|bn|，求 Tn 18为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取 了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图 1 等高条 形 图 （1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由； （2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了 10 名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图 2 茎叶图，从 茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由； （3）标准差 s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均 水平的程度，如果出
7、现了治疗时间在（ 3s， 3s）之外的患者，就认为病毒有可能 发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还未 痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：s ， 参考数据： 48 19 如图， 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 底面ABCD为菱形， ABC60， AA1 AB， M， N 分别为 AB，AA1的中点 （1）求证：平面 B1NC平面 CMN； （2）若 AB2，求点 N 到平面 B1MC 的距离 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 F（1，0），点 A 在 x 轴的非正半轴上运动，点 B 在 y
8、 轴上运动，满足 0，A 关于点 B 的对称点为 M，设点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）已知点 G（3，2），动直线 xt（t3）与 C 相交于 P，Q 两点，求过 G，P，Q 三点的圆在直线 y2 上截得的弦长的最小值 21已知函数 f（x） 3，g（x）alnx2x（aR） （1）讨论 g（x）的单调性； （2）是否存在实数 a，使不等式 f（x）g（x）恒成立？如果存在，求出 a 的值；如果 不存在，请说明理由 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的 题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题
9、卡上将所选题号后的 方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程 22椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条 互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块 A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动， 在直尺上的点 M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点 M 的轨迹 C 是一个椭圆， 其中|MA|2，|MB|1，如图，以两条导槽的交点为原点 O，横槽所在直线为 x 轴，建立 直角坐标系 （1）将以射线 Bx 为始边，射线 BM 为终边的角 xBM 记为 （02），用 表示 点 M 的坐标，并求出 C 的普通方程； （2）已知过 C 的左焦点 F，且倾斜角为 （0 ）的
10、直线 l1与 C 交于 D，E 两点， 过点 F 且垂直于 l1的直线 l2与 C 交于 G，H 两点当 ，|GH|， 依次成等差数列 时，求直线 l2的普通方程 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正实数，且满足 a+b+c1证明： （1）|a |+|b+c1| ； （2）（a3+b3+c3）（ ）3 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|1x5，B1，3，5，则 AB（ ） A1，3 B1，3，5 C1，2，3，4 D0，1，2，3，4，5 【分析】进行交集的运算即可 解
11、：Ax|1x5，B1，3，5， AB1，3 故选：A 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2设 z ，则|z|（ ） A B C1 D 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 解：z ， |z| | 故选：B 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3已知 a ，blog2 ，c2 ，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 【分析】容易得出 ， ， ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解： ， ， ， bac 故选：D 【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题 4设
12、x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最大值为（ ） A3 B1 C2 D3 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 解：不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线 z2xy 过点 A 点时，目标函数 z2xy 的纵截距最小，此时 z 取得最大值， 由 ，解得 A（2，1）时， 在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 3 故选：D 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 5已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，有下列四个命题： 若 m，n，则 m
13、n； 若 n，m，mn，则 ； 若 ，m，n，则 mn； 若 ，m，mn，则 n 其中，正确的命题个数是（ ） A3 B2 C1 D0 【分析】直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质的应用求出结果 解：已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面， 若 m，n，则直线 m 和 n 可能相交也可能异面，故 mn 错误 若 n，m，mn，则直线 m 和 n 可以看成是平面 和 的法向量，由于 mn， 则 ，故正确； 若 ，m，n，则 mn 也可能 mn，故错误； 若 ，m，mn，没说明直线 n 的位置，也有可能 n，故 n 错误 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性
14、质的应用，主要考查学 生的转换能力及思维能力，属于基础题型 6已知双曲线 C： 1（a0，b0）的焦点分别为 F1（5，0），F2（5，0）， P 为 C 上一点，PF1PF2，tanPF1F2 ，则 C 的方程为（ ） Ax2 1 B y 21 C 1 D 1 【分析】由题可知，c5，F1F210，因为 PF1PF2，tanPF1F2 ，所以 cosPF1F2 ，于是可得 PF18，PF26，再结合双曲线的定义，有 PF1PF22a，知 a 1，所以 b2c2a225124，故而可得双曲线的方程 解：F1（5，0），F2（5，0），c5，F1F210， PF1PF2，tanPF1F2 ，co
15、sPF1F2 ，PF18，PF26， 由双曲线的定义可知，PF1PF222a，a1， b2c2a225124 双曲线的方程为 x2 1 故选：A 【点评】本题考查双曲线方程的求法、双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运 算能力，属于基础题 7 执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的k 0.4 ， 则 输 出 的n （ ） A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出相 应变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 k0.4，S0，n1 S ， 不满足条件
16、S0.4，执行循环体，n2，S （1 ） ， 不满足条件 S0.4， 执行循环体， n3， S （1 ） ， 此时，满足条件 S0.4，退出循环，输出 n 的值为 3 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8函数 f（x）x22x+1 的图象与函数 g（x）3cosx 的图象所有交点的横坐标之和等于 （ ） A2 B4 C6 D8 【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内 画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果 解：函数 f（x）x22x+1 的图象与函数 g（x）3cosx
17、的图象在同一坐标系内的位置 和交点坐标为 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 由于 f（x）（x1）2，的对称轴为 x1，函数的图象与 x 轴相切， 函数 g（x）的图象的最小正周期为 T ，函数的图象关于 y 轴对称， 如图所示： 所以 ， ， 则：x1+x2+x3+x44， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点 落在这个正八面体内部的概率为（ ） A B C
18、D 【分析】设正方体的棱长是 1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四 棱锥的高等于正方体棱长的一半 ， 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 ， 求出 正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值 解：设正方体的棱长是 1， 构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成， 以上面一个正四棱锥为例， 它的高等于正方体棱长的一半 ， 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 ， 这个正四棱锥的体积是 ； 构成的八面体的体积是 2 ； 八面体的体积是 V1，正方体体积是 V2，V1：V21：6 故从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为： ； 故选：C 【点评】本题考查组合
19、几何体的体积，面积，考查棱锥，正方体的体积，是一个计算题， 这种题目可以作为选择和填空出现，这是一个结构非常规则的几何体，难度较小 10函数 f（x） 的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】先检验函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的， 然后结合特殊点函数值的正负即可判断 解：f（x） f（x）， 故 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除选项 B，D， 因为 f（2）0，排除选项 A 故选：B 【点评】本题主要考查了函数图象与性质的对应关系的应用，排除法的应用是解决问题 的关键 11下面图 1 是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如图 2
20、所示，图 2 中圆的半径均为 1， 且相邻的圆都相切， A， B， C， D 是其中四个圆的圆心， 则 （ ） A32 B28 C26 D24 【分析】建立以 ， 为一组基底的基向量，其中 且 ， 的夹角为 60，根 据平面向量的基本定理可知，向量 和 均可以用 ， 表示，再结合平面向量数量积 运算法则即可得解 解： 如图所示， 建立以 ， 为一组基底的基向量， 其中 且 ， 的夹角为 60， ， ， 故选：C 【点评】本题考查平面向量的混合运算，观察图形特征，建立基向量是解题的关键，考 查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 12 在三棱锥 PABC 中， 平面 PBC平面 ABC， ACB
21、90， BCPC2， 若 ACPB， 则三棱锥 PABC 体积的最大值为（ ） A B C D 【分析】取 PB 中点 M，连结 CM，推导出 AC平面 PBC，设点 A 到平面 PBC 的距离为 hAC2x，则 CMPB，CM ，从而 ， VAPBC ，设 t ，（0t2），则 x24t2， 从而 VAPBC ，（0t2），关于 t 求导，得 ，利用导 数性质能求出三棱锥 PABC 体积的最大值 解：如图，取 PB 中点 M，连结 CM， 平面 PBC平面 ABC，平面 PBC平面 ABCBC， AC平面 ABC，ACBC， AC平面 PBC， 设点 A 到平面 PBC 的距离为 hAC2x
22、， PCBC2，PB2x，（0x2），M 为 PB 的中点， CMPB，CM ， 解得 ， VAPBC ， 设 t ，（0t2），则 x24t2， VAPBC ，（0t2）， 关于 t 求导，得 ，令 V（t）0，解得 t 或 t （舍）， 由 V（t）单调性得当 t 时，（VAPBC）max 故选：D 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间向量坐标运算、向量垂直的 性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 132020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺 等诸多困难，全国人民心系
23、湖北，志愿者纷纷驰援若某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 【分析】基本事件总数 n ，甲被选中包含的基本事件有 m ，由此能 求出甲被选中的概率 解：某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名医生赴湖北支援， 基本事件总数 n ， 甲被选中包含的基本事件有 m ， 甲被选中的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 14在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 ，bsinC csin ，则角 C 【分析
24、】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求 A，然后结合二倍角公 式化简可求 B，再结合三角形的内角和定理即可求解 解：由题意 S ， 所以 即 tanA1， 因为 A 为三角形性内角，故 A ， 又 bsinCcsin csin（ ）ccos 由正弦定理可得，sinBsinCsinCcos ， 因为 sinC0，所以 sinBcos 2sin ， 所以 sin ，即 B ，C 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，和差角公式，二倍 角公式，诱导公式在求解三角形中的应用，属于中档试题 15尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数
25、 学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生 12 只，且雌 雄各半.1 个月后，有一对老鼠生了 12 只小老鼠，一共有 14 只；2 个月后，每对老鼠各生 了 12 只小老鼠，一共有 98 只以此类推，假设 n 个月后共有老鼠 an只，则 an 2 7n 【分析】根据 1 个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有（1+6）227 只，类似的方法得到 2 个月后有 2（1+6）7272只，3 个月后有 273只，根据以 上分析进行归纳推理即可得 n 个月后老鼠的只数 an 解：由题意可得 1 个月后的老鼠的只数 a1（1+6）227，2 个月后老鼠的只数 a2 2
26、（1+6）7272， 3 个月后老鼠的只数 a32（1+6）72273，n 个月后老鼠的只数 an27n 故答案为：27n 【点评】本题主要考查归纳推理，掌握题目中的数量关系是解决本题的关键，属于基础 题 16已知 A，F 分别是椭圆 C： l（ab0）的下顶点和左焦点，过 A 且倾斜角 为 60的直线 l 分别交 x 轴和椭圆 C 于 M，N 两点，且 N 点的纵坐标为 b，若FMN 的周长为 6，则FAN 的面积为 【分析】由题意得，A（0，b），F（c，0），直线 MN 的方程为 ，把 y b 代入椭圆方程可求得 N（ ， ），于是有 ，解得 ， 结合 a2b2+c2，可得 令 0，则
27、M（ ，0），即 M（c，0），所 以 M 为椭圆的右焦点，|FM|2c由椭圆的定义可知，|NF|+|NM|2a，由于FMN 的周 长为 6，所以 2a+2c6，因此 c1，a2，b ，所以 解：如图所示， 由题意得，A（0，b），F（c，0），直线 MN 的方程为 ， 把 y b 代入椭圆方程解得 ，N（ ， ）， N 在直线 MN 上， ，解得 又 a2b2+c2， ，解得 ， 令 0，则 M（ ，0），即 M（c，0），M 为椭圆的右焦点，|FM|2c， 由椭圆的定义可知，|NF|+|NM|2a， FMN 的周长为 6，2a+2c6， ，a2c，c1，a2，b ， 故答案为： 【点评】本
28、题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考 查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知各项都为正数的等比数列an，a232，a3a4a58 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2an，Tn|b1|+|b2|+|b3|+|bn|，求 Tn 【分析】（1）设等比数列an的公比为 q，由题设条件列出 q 与首项 a1的方程组，解出 q，a1，即可求得通项公式； （2
29、）先由（1）中求得的 an求出 bn，再求|bn|，最后求得 Tn 解：（1）设各项都为正数的等比数列an的公比为 q，则 q0 a232，a3a4a58， ，解得：a12 7，q ，所以 an 292n，nN*； （2）由（1）知 bnlog2an92n，|bn| ， ， ， 当 1n4 时， Tnn 8nn2； 当 n4 时， Tn （7+5+3+1） ， 所以 Tn ， ， 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前 n 项和公 式、指数化简、分段函数等知识点，属于基础题 18为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取 了服用甲
30、药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图 1 等高条 形 图 （1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由； （2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中， 分别抽取了 10 名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图 2 茎叶图，从 茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由； （3）标准差 s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均 水平的程度，如果出现了治疗时间在（ 3s， 3s）之外的患者，就认为病毒有可能 发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天
31、还未 痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：s ， 参考数据： 48 【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断； （2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断； （3）分别求出 ，s，然后代入公式即可求解，作出判断即可 解：（1）甲药的治愈率更高， （2）甲药的疗效更好， 理由一：从茎叶图可以看出，有 的叶集中在茎 0，1 上，而服用乙药患者的治疗时间有 的叶集中在茎 1，2 上，还有 的叶集中在茎 3 上，所以甲药的疗效更好 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为 10 天，而服用乙药 患者的治疗时间的中位数为 12
32、.5 天，所以甲药的疗效更好 理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为 10 天，而服用乙药 患者的治疗时间的平均值为 15 天，所以甲药的疗效更好 （3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为 10， s 4.8， 则 3s4.4， 24.3，而 2624.4，应该对该患者进行进一步检查 【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据 分析，数学核心素养 19 如图， 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 底面ABCD为菱形， ABC60， AA1 AB， M， N 分别为 AB，AA1的中点 （1）求证：平面 B
33、1NC平面 CMN； （2）若 AB2，求点 N 到平面 B1MC 的距离 【分析】 （1）推导出 AA1平面 ABCD，AA1CM，CMAB，从而 CM平面 ABB1A1， 进而 CMB1N，推导出A1B1NANM，从而A1B1NANM，A1NB1AMN， 进而 B1NMN，B1N平面 CMN，由此能证明平面 B1NC平面 CMN （2）求出点 B1到平面 CMN 的距离为 h1 ，设 N 到平面 B1CM 的距离为 h2，由 ，能求出点 N 到平面 B1MC 的距离 解：（1）证明：直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，AA1平面 ABCD， CM平面 ABCD，AA1CM， 底面 ABCD
34、 是菱形，ABC60，M 是 AB 的中点， CMAB， AA1ABA，AA1平面 ABB1A1，AB平面 ABB1A1， CM平面 ABB1A1， B1N平面 ABB1A1，CMB1N， M 是 AB 中点，N 为 AA1中点，AA1 ， ， ， B1A1NNAM90，A1B1NANM， A1B1NANM，A1NB1AMN， A1NB1+ANM90，B1NMN， MNCMM，B1N平面 CMN， B1N平面 B1NC，平面 B1NC平面 CMN （2）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形，ABC60， AA1 AB，AB2，M，N 分别为 AB，AA1的中点 MN
35、，B1M 3，B1C ， B1N ， 底面 ABCD 是菱形，ABC60， CM ，CN ， 由（1）知 B1N平面 CMN，设点 B1到平面 CMN 的距离为 h1，h1 ， CN2MN2+CM2 ， ， ， B1 M3， ， ， ， 设 N 到平面 B1CM 的距离为 h2， ， ， 解得 h2 点 N 到平面 B1MC 的距离为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 F（1，0），点 A 在 x 轴的非正半轴上运动，点 B 在 y 轴上运动，满足
36、 0，A 关于点 B 的对称点为 M，设点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）已知点 G（3，2），动直线 xt（t3）与 C 相交于 P，Q 两点，求过 G，P，Q 三点的圆在直线 y2 上截得的弦长的最小值 【分析】（1）设 A（a，0），B（0，b），M（x，y），运用向量的数量积的坐标表示和 中点坐标公式，结合代入法，化简可得所求曲线 C 的方程； （2）设 P（t，2 ），Q（t，2 ），设 E（m，0），由|EG|EP|，运用两点的距离 公式，求得圆 E 的方程，再令 y2，求得圆在直线 y2 上截得的弦长，结合基本不 等式，即可得到所求最小值 解：（1）设 A（
37、a，0），B（0，b），M（x，y）， 由点 F（1，0）， 0，所以（a，b） （1，b）ab 20， 又 B 为 AM 的中点， 所以 0， b，所以 ax， 将 ax，b 代入 ab 2，可得 y24x， 所以 C 的方程为 y24x； （2）由（1）可得抛物线 C 的方程为 y24x，令 xt，可得 y2 ， 设 P（t，2 ），Q（t，2 ），由 P，Q 关于 x 轴对称， 所以过 G，P，Q 三点的圆 E 的圆心在 x 轴上， 设 E（m，0），由|EG|EP|，G（3，2）， 可得 ， 化简整理可得 m ， 圆 E 的方程为（xm）2+y2（m3）2+4， 令 y2，可得 x12
38、m3，x23， 所以圆 E 在直线 y2 上截得的弦长为|x1x2|2m33| 6| | |， 又因为 t30，且 t22t+50， 所以 0，所以|x1x2| （t3） 42 4 4+4 ， 当且仅当 t3 ，即 t3+2 （32 舍去）时取得等号 所以当 t3+2 时，圆 E 在直线 y2 上截得的弦长的最小值为 4+4 【点评】本题以直线和抛物线、圆为载体，借助动圆在定直线截得的弦长为背景，利用 函数与方程思想和基本不等式解决几何问题，主要考查抛物线的定义、几何性质、直线 和抛物线的位置关系和圆的弦长及最值问题等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等 数学核心素养及思维能力 21已知函数
39、f（x） 3，g（x）alnx2x（aR） （1）讨论 g（x）的单调性； （2）是否存在实数 a，使不等式 f（x）g（x）恒成立？如果存在，求出 a 的值；如果 不存在，请说明理由 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对 a 进行分类讨论即可求解； （2）要使不等式 f（x）g（x）恒成立即 xexaelnx+2ex3e0，构造函数 u（x）xex aelnx+2ex3e，结合函数的性质及导数即可求解 解：（1） ，x0， （i）当 a0 时，g（x）0，函数在（0，+）上单调递减， （ii）当 a0 时，易得函数在（0， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减， （2）要使
40、不等式 f（x）g（x）恒成立即 恒成立， 即 xexaelnx+2ex3e0，令 u（x）xexaelnx+2ex3e，则 u（1）0， 要使得原不等式成立，则 u（x）在 x1 处取得极小值， 因为 ， 所以 u（1）0 可得 a4， 检验 a4 时，u（x） ， 设 v（x）x（x+1）ex+2ex4e，且 v（1）0， 显然 v（x）在（0，+）上单调递增， 当 x（0，1）时，v（x）0，即 u（x）0，u（x）单调递减，当 x（1，+）时， v（x）0，即 u（x）0，u（x）单调递增， 故 u（x）的最小值 u（1）0，满足题意， 综上 a4 【点评】本题主要考查了导数在研究函数
41、中的应用，用导数研究函数的单调性及不等式 的恒成立为载体，综合考查分类讨论及转化思想的应用 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的 题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程 22椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条 互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块 A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动， 在直尺上的点 M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点 M 的轨迹 C 是一个椭圆， 其中|MA|2，|MB|1，如图，以两条导
42、槽的交点为原点 O，横槽所在直线为 x 轴，建立 直角坐标系 （1）将以射线 Bx 为始边，射线 BM 为终边的角 xBM 记为 （02），用 表示 点 M 的坐标，并求出 C 的普通方程； （2）已知过 C 的左焦点 F，且倾斜角为 （0 ）的直线 l1与 C 交于 D，E 两点， 过点 F 且垂直于 l1的直线 l2与 C 交于 G，H 两点当 ，|GH|， 依次成等差数列 时，求直线 l2的普通方程 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2） 利用直线和椭圆的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用及等差数 列的性质的应用求出结
43、果 解：（1）设 M（x，y）依题意得：x2cos，ysin， 所以 M（2cos，sin）， 由于 cos2+sin21，整理得 （2）由于直线 l1的倾斜角为 （ ），且 l1l2， 所以直线 l2的倾斜角为 依题意易知：F（ ， ） 可设直线 l1的方程为 （t 为参数），代入 得到： ， 易知12cos2+4（1+3sin2）160 点 D 和点 E 对应的参数为 t1和 t2， 所以 ， 则 ， 由参数的几何意义： 设 G、H 对应的参数为 t3和 t4，同理对于直线 l2，将 换为 ， 所以 由于 ，|GH|， 依次成等差数列， 所以 ， 则： ， 所以 ，解得 tan ， 所以直
44、线 l2的斜率为 所以直线 l2的直角坐标方程为 x 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换， 一元二次方程根和系数关系式的应用， 等差数列的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 一、选择题 23已知 a，b，c 为正实数，且满足 a+b+c1证明： （1）|a |+|b+c1| ； （2）（a3+b3+c3）（ ）3 【分析】（1）由 a，b，c 为正实数，且满足 a+b+c1，得到 b+c1a0，由绝对 值不等式的性质可得|a |+|b+c1|a |+|a|（a ）+（a）| ； （2）（a3+b3+c3）（ ）3abc（ ） ，拆 项后再由基本不等式的性质证明 【解答】证明：（1）a，b，c 为正实数，且满足 a+b+c1， b+c1a0， |a |+|b+c1|a |+|a|（a ）+（a）| 当且仅当（a ）（a）0，即 0
浙公网安备33030202001339号