1、第第 30 讲讲 数学开放题数学开放题 通过从不同角度思考问题，培养学生的发散思维。 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多 变，往往不可能得到唯一答案。 一般而言，数学开放题具有以下三个特征： 1.条件不足或多余； 2.没有确定的结论或结论不唯一； 3.解题的策略、思路多种多样。 解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。我们一 般可以从以下几方面考虑： 1.以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决； 2.根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解；
2、 3.避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案。 例例 1、A、B 都是自然数，且 AB=10，那么 A B 的积可能是多少？其中最大的值是多少？ 【解析】由条件“A、B 都是自然数，且 AB=10”，可知 A 的取值范围是 0 10，B 的取值范围的 10 0。 不妨将符合题意的情形一一列举出来： 0 10=0 1 9=9 2 8=16 3 7=21 4 6=24 5 5=25 A B 的积可能是 0、9、16、21、24、25。当 A=B=5 时，A B 的积的最大值是 25。 从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。 例例 2、把
3、 1 5 五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是 9。 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】每条直线上三个圆圈内各数的和是 9，两条直线上数的和等于 9 2=18（其中中间圈内的数重复加 了一次）。而 1、2、3、4、5 的和为 15，1815=3。所以，中间圈内应填 3。这样，两条直线上的圆圈中 可以分别填 1、3、5 与 2、3、4。 这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。 例例 3、把 1 6 六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于 9。 【解析】每边上三个数的和都等于 9，三条边上数的和等于 9 3=27，27（12
4、3456）=6。所以， 三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为 6。在 1 6，只有 123=6，故三个顶点只能填 1、2、3。这 样就得到一组解：1、5、3；1、6、2；3、4、2。 例例 4、在一次羽毛球比赛中，8 名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。共打了多少场比赛？（两名运动员之 间比赛一次称为一场） 【解析】8 名运动员进行淘汰赛，第一轮赛 4 场后，剩下 4 名运动员；第二轮赛 2 场后，剩下 2 名运动员； 第三轮只需再赛 1 场，就能决出冠军。所以，共打了 421=7 场球。 还可以这样想：8 名运动员进行淘汰赛，每淘汰 1 名运动员，需要进行 1 场比赛，整个比赛共需要淘 汰
5、81=7 名运动员，所以共打了 7 场比赛。 例例 5、一个学生从家到学校，如果以每分钟 50 米的速度行走，就要迟到 8 分钟；如果以每分钟 60 米的速度 前进，就可以提前 5 分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分？ 【解析】解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也有所不同。例如，如果直 接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析：由“每分钟行 50 米，要迟到 8 分钟”，可知学校上 课时，这个学生还离学校 50 8=400 米；由“每分钟行 60 米，可以提前 5 分钟到校”，可知距学校上课时， 他还可走 60 5=300 米。两种不同的速度，在相同的
6、时间内路程相差 400300=700 米，而两种速度每分钟 相差 6050=10 米。因此，这个学生出发时离上课时间为：700 10=70 分钟。 解法一：（50 860 5） （6050）=70 分； 解法二：60 （58） （6050）8=70 分； 解法三：50 （85） （6050）5=70 分。 例例 6、小青以均匀的速度在公路上散步，从第 1 根电线杆走到第 10 根电线杆共用了 12 分钟，如果她走 24 分钟，应走到第几根电线杆？ 【解析】方法一：根据题意，画出线段图。 从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时间关系上加以考虑，24 分钟正好 是 12
7、分钟的 2 倍，就相当于小青先走 12 分钟，又继续走 12 分钟。注意第 10 根（图中 A 处）既是前 12 分 钟的终点，又是后 12 分钟的起点，显然被重复算了一次。因此，小红如果走 24 分钟，应走到 10 21=19 根电线杆处。 方法二：根据题意，画出线段图。 由图可知，12 分钟走到第 10 根电线杆，共走了 101=9 个间隔，24 分钟正好是 12 分钟的 2 倍，那 么 24 分钟就走了 9 2=18 个间隔。 要求应走到第几根电线杆，我们要加上起点 B 点那根电线杆，因而应走到第 181=19 根电线杆。 例例 7、八个 8 之间的适当地方，添上运算符号，使算式成立。
8、8 8 8 8 8 8 8 8=1000 【解析】 （1）凑数法。先找最接近 1000 的 888， 然后想 888+112=1000， 余下的五个 8 要等于 112， 再找 88 接近 112，88+24=112， 最终得到结果 888+88+8+8+8=1000 （2）都是 8，做减法一定能得到整十、整百、整千的数。 如 88-8=80，888-88=800。 那么 8888-888=8000，8000 8=1000， 最终得到结果（8888-888） 8=1000。 注意：如果题目要求不能有括号，这种方法则不行。 （3）想 8 125=1000，7 个 8 怎么凑成 125 呢？ 先找
9、最接近 125 的：（8+8） 8=128，剩下的 4 个 8 只要得 3 就可以了。 数字游戏提到 4 个一样的数一定能得 3，（8+8+8） 8=3， 又得一结果： (8+8) 8-(8+8+8) 8 8=1000 课堂狙击课堂狙击 1、在下图各圆空余部分填上 3、5、7、8，使每个圆的 4 个数的和都是 21。 【解析】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的 3 个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数， 它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的 4 个数的和是 21.21 是单数，也就是每个圆内填入的 两个数的和为单数，而 3、5、7、8 中 3、5、7 都是单数，要使和为单数，8
10、 要填入中间部分，如下图。 实战演练 2、如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于 15。 【解析】 3、用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示已知外面大正方形的周长是 264 厘米，里面小正方形的面积是 900 平方厘米，每块长方形条砖的长是_厘米，宽是_厘米 【解析】外面大正方形的边长为 264 4=66 厘米, 里面小正方形的边长为 30 厘米, 从图中可以看出， 长方形的宽为（66-30） 2=18 厘米， 长方形的长为（66-18） 2=24 厘米 4、如下图是某校的平面图，已知线段 a120 米，b130 米，c70 米，d60
11、米，l250 米杨老师每天 早晨绕学校跑 3 圈，问每天跑多少米？ 【解析】平移法转化为长方形再求 (120130+60)(70+250) 2 33780(米) 5、2001 年 5 月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的 日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？ 【解析】三个不同的数字中，2、3、4 的乘积是 24； 比 31 小，3、4、5 的乘积比 31 大，那么大概范围就是这几个数字； 只有 2、3、5 的乘积最接近 31；而且比 31 小，所以这三批学生最多是 2 人、3 人和 5 人. 故答案为：2 人；3 人；5 人. 课后反击课后反击
12、 1、用 5、7、2、0、8，这 5 个数字组成两个五位数，这两个五位数相减的差是 66663。这两个数中较大的 一个数可能是多少？ 【解析】首先两个五位数的首位只能是 8 和 2，个位是 5 和 2 或 0 和 7。 因为两个五位数首位只能是 8 和 2，所以五位数的个位只能是 0 和 7， 其它数位可以类推，8725020587=66663，8752020857=66663。 较大的数可能是 87250 或 87520。 2、有一个四位数，去掉千位数字后所得三位数的 15 倍恰好是原来的四位数。求这个四位数？ 【解析】因为后三位数的 14 倍等于千位数字乘以 1000， 只有 7000 是
13、 14 的倍数，所以这个数的千位数字是 7， 后三位 7000 14=500，这个四位数是 7500。 3、用 9 根火柴，怎样摆放，才能摆出 6 个正方形来？ 【解析】用 9 根火柴要摆出 6 个正方形，如果单靠火柴棒重复是正方形的边显然不够用，思考后可以发现， 先用 7 根火柴棒摆出两个正方形（一条边共用），然后把剩下的两根火柴棒“十”字交叉放在其中的一个正方 形里面，把这个正方形分成 4 个小正方形，这样就有了 6 个正方形 根据分析摆出的图形如下： 4、先用 14 根火柴棒搭成下图的房子，再移动其中 2 根火柴棒，把这座房子改成面向左。 【解析】本题通过移动所示图形中的两根火柴棒以达到
14、使房屋的方向改变这一目的,考查了学生对于旋转的 应用,以及动手操作能力的考查.正确确定旋转前后两个图形的关系,是解决本题的关键. 本题可通过逆向旋转房顶与房顶所在平行四边形的下面一条边从而达到使房屋方向改变的目的. （1）想一想旋转的性质,猜想以下可通过移动哪两根火柴棒可使房屋的方向改变; （2）多次尝试移动火柴棒,以达到题目要求. 5、在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1000 【解析】这道题，1000 是大数，先找一个离 1000 最近的数， 就是 1111， 那么多了 111 怎么办呢？那么就要“-111“ 这时已经是 1000 了， 还有一个 1 怎么办呢？ 会想到：（1111111） 1 = 1000 名师点拨 1.学会从不同角度思考问题 2.学会发散思维 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验
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