1、第第 24 讲讲 还原问题还原问题 学习了解加、减、乘、除运算的变化规律； 利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、还原问题一、还原问题 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又 叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。 二、解题策略二、解题策略 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。 例例 1、小刚的奶奶今年年龄减去 7 后，缩小 9 倍，再加上 2 之后，扩大 10 倍，恰好是 100 岁。小刚的奶奶 今年多少岁？
2、 【解析】 从最后一个条件恰好是 100 岁向前推算， 扩大 10倍后是 100岁， 没有扩大 10 倍之前应是 100 10=10 岁；加上 2 之后是 10 岁，没有加 2 之前应是 102=8 岁；没有缩小 9 倍之前应是 8 9=72 岁；减去 7 之后 是 72 岁，没有减去 7 前应是 727=79 岁。所以，小刚的奶奶今年是 79 岁。 例例 2、一个数的 3 倍加上 6，再减去 9，最后乘上 2，结果得 60。这个数是多少？ 【解析】运用逆推的思想：60 除以 2 得 30，加上 9 得 39，减去 6 得 33，除以 3 得 11. 知识梳理 典例分析 教学目标 例例 3、某
3、商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 20 台，还剩 95 台。这个 商场原来有洗衣机多少台？ 【解析】从“下午售出剩下的一半还多 20 台”和“还剩 95 台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的 95 台和下 午多卖的 20 台合起来，即 9520=115 台正好是上午售后剩下的一半，那么 115 2=230 台就是上午售出后 剩下的台数。而 230 台和 10 台合起来，即 23010=240 台又正好是总数的一半。那么，240 2=480 台就是 原有洗衣机的台数。 例例 4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多 3 吨，第二次运出剩下的一半多 5 吨，
4、还剩下 4 吨。粮 库原有大米多少吨？ 【解析】第一次运出后剩下总数的一半为 4+5=9 第一次运出后剩下总数为 9x2=18 粮库原有大米吨数的一半为 18+3=21 粮库原有大米吨数 21x2=42 例例 5、小明、小强和小勇三个人共有故事书 60 本。如果小强向小明借 3 本后，又借给小勇 5 本，结果三个 人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？ 【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是 60 本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求 最后三个人每人都有故事书 60 3=20 本。如果小强不借给小勇 5 本，那么小强有 205=25 本，小勇有 20 5=1
5、5 本；如果小强不向小明借 3 本，那么小强有 253=22 本，小明有 203=23 本。 例例 6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡 90 张。如果甲给乙 3 张后，乙又送给丙 5 张，那么三个人的贺年 卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？ 【解析】90 3=30，甲 30+3=33 乙=30+5-3=32 丙=30-5=25 例例 7、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同 样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是 36 千克。问两桶油原来各有多少千克？ 【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油 36 2=18
6、千克，乙桶应有油 36 18=54 千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为 54 2=27 千克，甲桶原有 油 1827=45 千克。 例例 8、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多 的画片给王亮，这时两个人都有 24 张。问王亮和李强原来各有画片多少张？ 【解析】李强再拿出同样多的画片给王亮前： 王亮=24 2=12 张 李强=24+12=36 张 原来： 李强=36 2=18 张 王亮=12+18=30 张 例例 9、两只猴子拿 26 个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从
7、乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴 5 个，这时乙猴比甲猴多 5 个。问甲猴最初准备拿几个？ 【解析】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有 26 个桃”和“这时乙猴比甲猴多 2 个”，可知乙猴现在拿（26 2） 2=14 个，甲猴现在拿 2614=12 个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴 5 个后有 12 个，如果甲 猴不还给乙猴，那么甲猴有 125=17 个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（2617） 2=18 个。 乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有 18 个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（2618） 2=16 个。 例例 10、学校运来 36 棵树苗，小强和小萍两人争
8、着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就 抢了 10 棵，小强不肯，又从小萍那里抢了 6 棵，这时小强拿的棵数是小萍的 2 倍。问最初小强准备拿多少 棵？ 【解析】小强又从小明哪儿抢了 6 棵，这时小明的棵数是 36 (1+2)=12，小强的棵数是 12x2=24； 小强从小明哪儿抢 6 棵前，小明的棵数是 12+6=18，小强的棵数是 24-6=18； 那么小明抢了 10 棵前小强的棵数是 18+10=28。 例 11、24 千克水被分装在三个瓶子中，第一次把 A 瓶的水倒一部分给 B、c 两瓶，使 B、c 两瓶的水比原来 增加 1 倍；第二次把 B 瓶的水倒一部分给 A、c 两
9、瓶，也使 A、c 两瓶的水比瓶中已有的水增加 1 倍；第三 次把 c 瓶的水倒一部分给 A、B 两瓶，使 A、B 两瓶的水比瓶中已有的水增加 1 倍这样倒了三次后，三瓶 水同样多问三个瓶中原来各装水多少千克？ 【解析】我们可以用倒推法来做这个题目，由题意可知，最后一次倒水后，A、B、c 三个瓶中各有 24 3=8 千克水，由题意可推算出第二次倒水之后 A、B、c 三个瓶中的水分别为 8 2=4、8 2=4、8 2=16 千克，再 用同样的方法推算出最初 A、B、c 三个瓶中的水分别是多少 最后一次倒水后，A、B、c 三个瓶中各有：24 3=8（千克）， 第二次倒水之后 A、B、c 三个瓶中的水
10、分别为 8 2=4（千克），8 2=4（千克），8 2=16（千克）， 第一次倒水后 A、B、c 三个瓶中的水分别为 4 2=2（千克），4+8+2=14（千克），4 2=8（千克）， 最初甲乙丙三个瓶中的水分别：2+4+7=13（千克），14 2=7（千克），8 2=4（千克）， 答：A 瓶原来装水 13 千克，B 瓶原来装水 7 千克，c 瓶原来装水 4 千克， 例例 12、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过 这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我 32 个铜板”财迷算了算 挺合算，就同意了他走过桥去又走
11、回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人 32 个铜板这 样走完第五个来回， 身上的最后 32 个铜板都给了老人， 一个铜板也没剩下 问： 财迷身上原有多少个铜板？ 【解析】此题采用逆推法解决 第 5 次以后，财迷只剩下 32 个铜板，相当于第 5 次过桥前手里有 16 个； 第 4 次过桥后给了老人 32 个，所以第四次结束以后手中有 48 个，相当于第 4 次过桥前手中有 24 个； 第 3 次过桥后给了老人 32 个，所以第 3 次结束以后手中有 56 个，相当于第 3 次过桥前手中有 28 个； 第 2 次过桥后给了老人 32 个，所以第 2 次结束以后手中有 60 个，相当于
12、第 2 次过桥前手中有 30 个； 第 1 次过桥后给了老人 32 个，所以第 1 次结束以后手中有 62 个，相当于第 1 次过桥前手中有 31 个 课堂狙击课堂狙击 1、在里填上适当的数：20816=26 【解析】4. 2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多 1 个，第二天吃了剩下的一半多 1 个，第三天 又吃掉了剩下的一半多 1 个，还剩下 1 个。爸爸买了多少个橘子？ 【解析】这题是逆序推理法，从后面往前推 ：最后只剩下 1 个，因为第三天吃掉了剩下的一半多一个， 所 实战演练 以第二天剩下的有：（11） 2=4 个，第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一个，所以
13、第一天 剩下的：（41） 2=10 个，第一天剩下 10 个是因为吃了这些橘子的一半多一个 ，所以这些橘子：（10 1） 2=22 个。 3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽 13 张，小丽给小敏 23 张，小敏给小红 3 张，那么他们每人各有 40 张。原来三个人各有年历片多少张？ 【解析】小敏原有：40+3-23=20（张）； 小丽原有：40+23-13=50（张）； 小红原有：40 3-20-50=120-70=50（张） 4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙 之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，
14、丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都 有 32 个玻璃球。原来每人各有多少个？ 【解析】三人一共 32 3=96 个。 丙给甲乙之前：甲:32 2=16 个，乙:32 2=16 个，丙:96-16-16=64 个。 乙给甲丙之前：甲:16 2=8 个，丙:64 2=32 个，乙:96-8-32=56 个。 甲给乙丙之前,即原来：乙:56 2=28 个 丙:32 2=16 个 甲:96-28-16=52 个。 5、 将某数的 3 倍减 5,计算出答案,将答案再 3 倍后减 5,计算出答案,这样反复经过 4 次,最后计算的结果为 691, 那么原数是_. 【解析】第四次计算后的结果为 69
15、1，第三次计算后的结果为：（691+5） 3=232， 第二次计算后的结果为:（232+5） 3=79，第一次计算后的结果为（79+5） 3=28； 原数为：（28+5）311 6、一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一,第三天它 吃了余下桃子的五分之一,第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一,第六天它 吃了余下桃子的二分之一,这时还剩 12 只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是_. 【解析】第 6 天吃了 12 个，共 24 个； 第 5 天吃了 12 个，共 36 个； 第 4 天吃了 12 个，共 48 个；
16、 第 3 天吃了 12 个，共 60 个； 第 2 天吃了 12 个，共 72 个； 第 1 天吃了 12 个，总共 84 个 7、 一个车间计划用 5 天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的 51 多 120 个,第二天加工了剩 下的 41少150个,第三天加工了剩下的31多80个,第四天加工了剩下的21少20个,第五天加工了最后的1800 个.这批零件总数有多少个? 【解析】第四天:（1800-20） （1-1/2）=3560 个 第三天:（3560+80） （1-1/3）=5460 个 第二天:（5460-150） （1-1/4）=7080 个 第一天:（70800+120）
17、（1-1/5）=9600 个 课后反击 1、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上 9，除以 4，减去 2，再乘上 3，恰好是 30 岁。” 王老师今年多少岁？ 【解析】（30 3+2） 4-9=（10+2） 4-9=12 4-9=48-9=39（岁） 2、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多 2 个，第二次卖掉了剩下的一半多 1 个，第三次卖掉第二次 卖后剩下的一半多 1 个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得 48 元，求每个菠萝多少元？ 【解析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多 1 个，这时只剩下 1 个菠萝，那么第二次卖后剩下： （1+1） 2=4（个）； 第二次卖掉剩下的
18、一半多 1 个，那么第一次卖后剩下：（4+1） 2=10（个）； 第一次卖掉总数的一半多 2 个，剩下 10 个，则总数为（10+2） 2=24（个），三次共卖了 24-1=23 个， 再根据总价 数量=单价解答即可得单价 2 元。 3、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子 10 颗，甲给乙 13 颗，乙给丙 18 颗，丙给丁 16 颗，四人的 个数相等。他们原来各有弹子多少颗？ 【解析】甲-13+2=乙+13-18=丙+18-16=丁+16-2 即：甲-11=乙-5=丙+2=丁+14 即：甲=丁+25,乙=丁+19,丙=丁+12 另外.甲+乙+丙+丁=100 所以,丁=11 所以,甲=36
19、,乙=30,丙=23 所以,甲分得了 36 颗,乙分得了 30 颗,丙分得了 23 颗,丁分得了 11 颗 4、书架上分上、中、下三层，共放 192 本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下 层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数相 等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？ 【解析】既然上中下都相同，那么就是 192 3=64(本) 逆推来计算：最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这是三层本数相同了， 那么说明，下给上层 64 2=32(本)，下未给上时有:64+32=96(本)，下原有:96 2=48(本) 中未
20、给下时有:192-32-48=112(本)那中原来有:112 2=56(本) 上原有:192-48-56=88(本) 5、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出 15 加到乙数，再从乙数中拿出 18 加到丙数，最后从丙数拿出 12 这时三个数都是 180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？ 【解析】如果不从丙数中拿出 12 加到甲数，那么甲应为 180-12168，丙是 180+12192；如果不从乙数中 拿出 18 加到丙数，那么丙数是 192-18174，乙数应是 180+18198； 如果不从甲数中拿出 15 加到乙数， 那么甲是 168+15183，乙数是 198-15183。综全算式：甲数：
21、180-12+15183 乙数：180+18-15183 丙 数：180+12-18174 6、 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上 17 后用 4 除,再减去 15 后用 10 乘,恰好是 100 岁”那么,这位老爷爷今年_岁. 【解析】(100 10+15) 4-17=(10+15) 4-17=100-17=83(岁) 7、 李老师拿着一批书送给 36 位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书的一半给他,每位同学也都还她 一本,最后李老师还剩下 2 本书,那么李教师原来拿了_本书. 【解析】 本道题目是逆推题目:最后李老师还剩 2 本书， 从这两本书入手， 他到第
22、36 位同学家之前应有 （2-1） 2=2 本书可知同样到每一位同学家之前都是 2 本书因此开始时候老师手中拿着 2 本书 8、从某天起,池塘水面的浮草,每天增加一倍,50 天后整个池塘长满了草,第几天浮萍所占面积是池塘的 1 4 . 【解析】第 50 天后整个池塘长满了浮草，增加一倍的意思是指后一天是前一天的 2 倍，即前一天是后一天 的一半，因此，第 49 天时浮萍所占面积是池塘的 1 2 ，第 48 天时浮萍所占面积是池塘的 1 4 10、有甲、乙两箱糖果,如果第一次从甲箱拿出和乙箱同样多块糖果放到乙箱里,第二次从乙箱拿出和甲箱剩 下的同样多块糖果放入甲箱,这样拿 4 次后,甲、乙两箱糖
23、果都是 16 块.甲、乙两箱各有糖果_块. 【解析】最后：甲 16 块，乙 16 块，共有：16+16=32（块）； 第四次拿之前：甲：162=8（块），乙：32-8=24（块）； 第三次拿之前：乙：242=12（块），甲：32-12=20（块）； 第二次拿之前：甲：202=10（块），乙：32-10=22（块）； 原有：乙：222=11（块），甲：32-11=21（块） 1、如果 5 (2 )42006，那么_。 (第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 2 试) 【解析】 5 （2+ ）-4=2006 5 （2+ ）=2010 2+ =402 =400， 所以=20 2、 有一个培
24、养某种微生物的容器， 这个容器的特点是： 往里面放人微生物， 再把容器封住， 每过一个夜晚 容 器里的微生物就会增加一倍，但是若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减少 16 个。小丽在实验 直击赛场 的当天往容器里放入一些微生物心急的她在第二、三、四天都开封看了看，到第五天，当她又启封查看 时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始往容器里放丁多少个微生物？ （第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 2 试） 【解析】第五天揭开后 0 个，揭开前 16 个； 第四天揭开后 8 个，揭开前 24 个； 第三天揭开后 12 个，揭开前 28 个； 第二天揭开后 14 个，揭开前 30 个； 第一天 15 个。 （1）学习了解加、减、乘、除运算的变化规律； （2）利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题； （3）掌握重点题型。 重点和难点突破：重点和难点突破： （1）学会画图，列表； （2）学会逆运算。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨 重点回顾
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