1、第第 18 讲讲 重叠问题重叠问题 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、一、两量重叠问题两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地 把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个 数， 用式子可表示成：ABABAB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包
2、含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B 类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类 的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 知识梳理 教学目标 1先包含AB
3、 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 考点一：两量重叠问题考点一：两量重叠问题 例例 1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组 都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ CBA 【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部 分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人 图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学 兴趣小组的人，有28 1216(人)；图中B圆
4、不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组 的人，有291217(人) 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745(人) 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个 小组都参加的人，即：28291245(人) 典例分析 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次， 多加了1次 2再排除：ABCABBCAC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABC ABBCAC计算时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABC
5、例例 2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人两项都会的有10人，两项都不会的有 9人这个班一共有多少人？ 会会 打打 篮篮 球球 的的 会会 游游 泳泳 的的 两两 项项 都都 会会 的的 两项都不会的两项都不会的 B A 【解析】如图，用长方形表示全班人数， A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数 由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为： 2025 1035(人)，全班人数为：35944 (人) 例例 3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱
6、桃又没 采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ A B 既采既采 樱桃樱桃 又采又采 杏的杏的 既没采樱桃既没采樱桃 又没采杏的又没采杏的 【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数 长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的人数为：46640(人)， 而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数， 所以，只采了杏的人数为：4018715(人) 例例 4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五
7、年级的，五、六年 级共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？ 丙丙乙乙甲甲 BA 【解析】通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16， 通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15， 那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画， 进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅， 那么就可以求出其他年级的画作共有 3 幅 考点二考点二：三量重叠问题三量重叠问题 例例 1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会， 至少会这三项运动之
8、一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有6个人数学不及格，那么， （1） 数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 【解析】（1）有6个数学不及格，那么及格的有：25619(人)， 即最多不会超过19人会这三项运动之一 而又因为没人全会这三项运动，那么， 最少也会有：17138219（）(人)至少会这三项运动之一 于是，至少会三项运动之一的只能是19人， 而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格， 所以没有数学成绩优秀的 （2）上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动； 会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰； 会游泳的人中若不
9、会骑车就一定会滑冰， 而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳， 但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车所以， 全班有19172(人)既会游泳又会滑冰 考点三考点三：图形中的重叠问题图形中的重叠问题 例例 1、 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条 已知焊接部分长4厘米， 焊接后这根铁条有多长？ 【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分， 所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487(厘米) 例例 2、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘 米？ 图图3 2厘米厘米 4 厘厘 米米 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴
10、影部分)， 重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形， 如果利用两个42的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次， 而实际上这部分只需计算一次就可以了 所以，被覆盖面积长方形面积之和-重叠部分 于是，被覆盖面积4 2 22 212 (平方厘米) 例例 3、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米三 个纸片盖住桌面的总面积是100厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？ C BA 10 【解析】将图中的三个圆标上A、B、C根据包含排除法， 三个纸片盖住桌面的总面积(A圆面积B圆面积C圆面积）（A与B重合部分面积A
11、与C重合部分面 积B与C重合部分面积）三个纸片共同重叠的面积， 得：100505050A（）（与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合部分面积10）， 得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：16010060平方厘米， 而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 即：6010 3 阴影部分面积， 则阴影部分面积为：603030(平方厘米) 考点四：考点四：容斥原理在数论问题中的应用容斥原理在数论问题中的应用 例例 1、在1100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B 【解析】如图，用长方形表示1100的全部自然数， 圆表示1100中3
12、的倍数，B圆表示1100中5的倍数， 长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数 由1003331可知，1100中3的倍数有33个； 由100520可知，1100中5的倍数有20个； 由1003 5610（）可知，1100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个 由包含排除法，3或5的倍数有：3320647(个) 从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753(个) 考点五考点五：容斥原理中的最值问题容斥原理中的最值问题 例例 1、将 113 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中，然后把每个圆 内的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和
13、最大是多少？ 【解析】越是中间，被重复计算的越多， 最中心的区域被重复计算四次， 将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中， 最大和为：13 4+（12+11+10+9） 3+（8+7+6+5） 2+（4+3+2+1）=240. 课堂狙击课堂狙击 1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分 别有多少人？ CBA 【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人， 图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)， 图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721(人) 2、 科技活
14、动小组有55人 在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中， 老师到时清点发现： 制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人每个同学都至少完成了一项制作问 两项制作都完成的同学有多少人？ CB A 【解析】因为403272，7255，所以必有人两项制作都完成了 由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知： 全组人数4032完成了两项制作的人数， 即5572完成了两项制作的人数 实战演练 所以，完成了两项制作的人数为：725517(人) 3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15 人，参加B组的人数仅
15、次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人那么， 参加B组的有_人 【解析】参加B，C，D三组的总人数是3615417(人)， C，D每组至少5人， 当C，D每组6 人时，B组为5人，不符合题意， 所以参加B组的有17557(人) 4、如下图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘 米的正方形，求这个组合图形的面积 图图3 6 4 6 8 【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在长方形和正方形面积中各
16、被计算了一次， 而实际上这部分只需计算一次就可以了 所以，组合图形的面积长方形面积正方形面积重叠部分 于是，组合图形的面积：86664468(平方厘米) 5、甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水已知甲浇了 78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了 58 盆，那么 3 人都浇过的 花最少有多少盆? 【解析】只考虑甲乙两人情况， 有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46 盆， 此时甲单独浇过的为 78-46=32 盆， 乙单独浇过的为 68-46=22 盆； 欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端 于是三者都浇过花最少为 58-32-22=4 盆 课后反击课后反击 1、
17、实验二校一个歌舞表演队里， 能表演独唱的有 10 人， 能表演跳舞的有 18 人， 两种都能表演的有 7 人 这 个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721(人) 2、某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加 了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 两项两项 比赛比赛 都参都参 加的加的 只参只参 加军加军 棋比棋比 赛的赛的 只参只参 加象加象 棋比棋比 赛的赛的 BA 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形， 如果利
18、用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次， 而实际上这部分只需计算一次就可以了 所以，组合图形的面积长方形面积之和重叠部分 于是，组合图形的面积12 810644140 (平方厘米) 3、在自然数1 100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？ 【解析】1003331，100520，1003 5610（） 根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647(个) 4、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60 平方厘米阴影部分的面积总和是 40 平方厘米，3 张板盖住的总面积是 100 平方厘米，3 张纸板重叠部分
19、的面积是多少平方厘米？ 【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次， 而三张纸重叠部分是被计算了三次 所以三张纸重叠部分的面积 603 10040220 （） (平方厘米) 5、四年级科技活动组共有63人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清 点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人每个同学都至少完成了 一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？ 【解析】因423476，7663， 所以必有人同时完成了这两项活动 由于每个同学都至少完成了一项活动， 根据包含排除法知，42 34(完成了两项活动的人数)全组人数， 即76(完成了
20、两项活动的人数) 63 由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76 6313 (人)（也可画图分析） 1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人 懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090(人) 又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515(人) 从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人， 剩下的8315 68(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客 方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得： 75 83 9068ABABAB(人) 直击赛场 容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然 后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
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