1、第第 0505 讲讲 最优化问题最优化问题 学习了解最优化问题； 能解决常见的最优化问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、最优化问题一、最优化问题 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做 到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、 “面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小） 值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题” 二、时间最优问题策略二、时间最优问题策略 在进行最佳安排时，
2、要考虑以下几个问题： （1）要做哪几件事； （2）做每件事需要的时间； （3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。 在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。 考点一：烧水问题考点一：烧水问题 例例 1 1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶 1 分钟，烧开水 12 分钟，把水灌入水瓶要 2 分钟，吃早点要 8 分钟，整理书包 2 分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？ 【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和 烧开水同时进行。
3、这一过程可用方框图表示： 教学目标 知识梳理 典例分析 从图上可以看出，洗水壶要 1 分钟，接着烧开水要 12 分钟，在等水开的同时吃早点、整 理书包，水开了就灌入水瓶，共需 15 分钟。 例例 2 2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要 1 分钟，烧开水需要 15 分钟，洗茶壶需要 1 分钟，洗茶杯需要 1 分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？ 【解析】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。 而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分
4、钟，同时洗茶 壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要 16 分钟。 考点二：煎饼问题考点二：煎饼问题 例例 1 1、贴烧饼的时候，第一面需要烘 3 分钟，第二面需要烘 2 分钟，而贴烧饼的架子上一次最 多只能放 2 个烧饼。要贴 3 个烧饼至少需要几分钟？ 【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面，过 3 分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并 放上第三个烧饼；过 2 分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过 1 分钟把第三个烧饼翻过来；再 过 1 分钟取下第一个烧饼，再过 1 分钟三个烧饼全贴完了，只用了 8 分钟。32111=8 分钟 例例 2 2、用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一
5、面需要 2 分钟，烙第二面需要 1 分 钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？ 【解析】一共需要 5 分钟。第一次：同时放两张大饼烙 2 分钟；第二次：将其中的一张反过来 再烙 1 分钟，把另外一张取出，把第三张放入烙 1 分钟；第三次：将烙熟的一张拿出，把取出 的那张放入另外一面烙 1 分钟， 第三张也烙 1 分钟： 第四次： 将第三张的另外一面再烙 1 分钟。 考点三：收割问题考点三：收割问题 例例 1 1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲的麦地需要收 割 4 小时，乙的麦地需要收割 1 小时，丙的麦地需要收割 3 小时，丁的麦地需要收割 2 小时。 怎样安
6、排四人的顺序，他们花的总时间最少？最少时间是多少？ 【解析】 所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和， 因为各自收割的时间不变， 所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间少的人先用，顺序 是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表示： 从表中可以看出，四人收割的时间为：1234=10 小时，三人等的时间为：1322 3=10 小时，所以，最少时间为 1010=20 小时。 例例 2 2、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针 需要 5 分钟，孙勇包纱布需要 3 分钟，李佳点眼药水需要 1 分钟。卫生室只有一位校医，校医 如何安
7、排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生 室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳 1 分钟，赵 1+3=4 分钟， 赵明 1+3+5=9 分钟。时间总和是 1+4+9=14 分钟。 考点四：过河问题考点四：过河问题 例例 1 1、 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2 分钟，乙马过 河需 3 分钟，丙马过河需 6 分钟，丁马过河需 7 分钟。每次只赶两匹马过河，要把 4 匹马都赶 到对岸去，最少要几分钟？ 【解析】要使过河时间最少，应抓住以
8、下两点： （1）同时过河的两匹马相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间； （2）过河后应骑时间少的那匹马回来。 因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需 32=5 分钟；然 后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，73=10 分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过 河，不再回来，共需 3 分钟。所以，4 匹马都赶到对岸去最少时间是 5103=18 分钟。 例例 2 2、明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4 头牛，甲牛过河需 1 分钟，乙牛过河 需 2 分钟，丙牛过河需 5 分钟，丁牛过河需 6 分钟。每次只能赶两头过河，要把 4 头占都赶到 对
9、岸去，最少要多少分钟？ 【解析】此题较复杂，应抓住每次时间接近的两头牛过河，同时回来尽量骑时间短的牛返回这 两个关键，进而分析解答即可先骑 1 分钟的，带着 2 分钟的过去，用时 2 分；然后骑一分钟 的回来，用时 1 分；然后骑 5 分钟的带着 6 分钟的过去，用时 6 分；然后骑 2 分钟的回来，用 时 2 分；最后骑着 1 分钟带着 2 分钟的过去，用时 2 分；一共 13 分钟 考点五：其他最优问题考点五：其他最优问题 例例 1 1、在一条公路上每隔 50 千米有一个粮库，共 4 个粮库。甲粮库存有 10 吨粮食，乙粮库存 有 20 吨粮食，丁粮库存有 50 吨粮食，还有一个粮库是空的
10、。现在想把所存的粮食集中放在一 个粮库中，如果每吨粮食运 1 千米要 1 元的运费，那么最少要花多少运费才行？ 【解析】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小 路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是 50 千米，一般原则是“少 往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是 30 吨，还不如 丁粮库的粮食多， 所以应将甲、 乙粮库的粮食集中放在丁粮库。 甲粮库需用 110503=1500 元，乙粮库需要 1205020=2000 元，共用 15002000=3500 元。 例例 2 2、用 18 厘米长的铁丝围成各种
11、长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形 的面积最大是多少？ 【解析】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是 182=9 厘米。显然，当长与宽的 差越小， 围成的长方形的面积越大。 又已知长和宽的长度都是整厘米数， 因此， 当长是 5 厘米， 宽是 4 厘米时，围成的长方形的面积最大：54=20 平方厘米。 例例 3 3、用 36 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【解析】解决这个问题应考虑两点： （1）尽可能把大数放在高位； （2）尽可能使两个数的差最小。所以应把 6 和 5 这两个数字放在十位，4 和 3 放在个位。根 据 “两个因数的差越小， 积越
12、大” 的规律， 3 应放在 6 的后面， 4 应放在 5 的后面。 6354=3402. 课堂狙击课堂狙击 1、玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要 2 分钟，烧开水要 12 分钟，买茶叶 5 分钟，洗茶杯要 1 分钟，冲茶要 1 分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上 茶了？ 【解析】洗水壶和烧开水要一起，冲茶要等烧完后，也就是 2+12，之后再加上要冲茶的一分 钟（烧开水同时可买茶叶洗茶杯）12+2+1=15 2、烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要 2 分钟，那么烤三个面包 最少需要多少分钟？ 【解析】6 分钟，把两片面包放入烤架烤 2 分钟，
13、烤好一面后拿出一片，另一片翻过来，放入 没烤的一片 2 分钟。等烤好后，把烤好的拿出来，放入刚才拿出来的那片，和架子上的另一片 面包一起烤另一面 2 分钟，搞定收工。 3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是 10 分钟、16 分钟和 8 分钟。怎样安排，使 3 人所花的时间最少？最少时间是多少？ 【解析】按时间从短到长，即丙、甲、乙的次序安排谈话，才能使 3 人所花的总时最短。 当丙在谈的时候，甲和乙在等待，所以 3 个人都在，一共花费 83 分钟； 当甲在谈的时候，乙在等待，丙走了，所以 2 个人在，一共花费 102 分钟； 当乙在谈的时候，丙和甲都走了，所以
14、只有 1 个人在，一共花费 161 分钟； 可得：3 人所花的总时间最短为 83+102+161=60 分钟。 4、卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要 3 分钟，乙换纱布需要 4 分钟，丙涂红药水 需要 2 分钟，丁点眼药水需要 1 分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少是多少 分？ 【解析】医生治的顺序是：丁、丙、甲、乙。 实战演练 等候的时间和为：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）=20 分钟 5、一条公路有四个储油站，它们之间都相隔 100 千米。甲储油站有 50 吨油，乙储油站储有 10 吨油，丙储油站有 20 吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油
15、集中于一个储油站， 每吨油运 1 千米要 2 元运费，那么最少要花多少运费？ 【解析】应该将乙、丙的集中去甲，所花的运费最少。 丙需用 220200=8000 元，乙粮库需要 210100=2000 元： 最少共用 80002000=10000 元。 6、小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁 4 匹马，甲马过河需 7 分钟，乙马过河要 2 分 钟， 丙马过河要 3 分钟， 丁马过河要 8 分钟。 每次只能两匹马过河， 要把 4 匹马都赶到对岸去， 最少要多少分钟？ 【解析】赶马的顺序是：先骑乙马赶丙马一起过河，再骑乙马返回，共需 32=5 分钟；然后 骑甲马赶丁马一起过河后， 再骑丙马返回，
16、 38=11 分钟； 最后骑在乙马背上赶丙马一起过河， 不再回来，共需 3 分钟。所以，4 匹马都赶到对岸去最少时间是 5113=19 分钟。 7、一个长方形的周长是 20 分米，它的面积最大是多少？ 【解析】一个四边形，周长一定的条件下，以正方形的形式出现，其面积最大。 那么一个周长为 20 的正方形，面积非常简单：55=25 平方分米. 8、用 58 这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【解析】（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。 所以 85 乘 76，首先最高位越大越好，个位数小的和十位数大的在一起，这样可以 使积最大 课后反击课后反击 1、小
17、李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间 5 分钟，把衣服和水放入洗衣 机要 1 分钟，洗衣服自动洗涤要 12 分钟，擦鞋要 3 分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分 钟后就可以出发了？ 【解析】把衣服和水放入洗衣机的时间 1 分钟加上洗涤的 12 分钟就是所需要花的时间。整理 房间和擦鞋可以在洗衣服的 12 分钟内完成。所以 13 分钟后可以出发。 2、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放 4 个饼。烙一个饼一面要 2 分钟，另一面 要 1 分钟，可小红烙 6 个饼只用了 5 分钟，她是怎么做的？ 【解析】先放 4 个一起烙 2 分钟后翻面，取出其中两个，放两个新的再烙 1
18、分钟，一开始的两 个饼就烙好了，然后翻面，把之前取出的 2 个反面放入烙 1 分钟可以取出，再烙一分钟剩下的 2 个。一共花费 5 分钟。 3、三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用 4 分钟，乙需要用 6 分钟，丙需要用 2 分钟。 怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？ 【解析】 这个问题主要是找出减少三人总等待时间的方法,所以用的时间少,就可以减少别人的 等待时间,就是说他们的顺序应该是丙、甲、乙.总共用时是 2+2（甲、乙等待时间）+4+4（乙 等待时间）+6=18。 4、一条公路有三所小学分别为 A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学校的学 生上学放
19、学所行的总路程最少？ 【解析】设在 B 站。 5、小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要 1 分钟，乙牛过 河要 2 分钟， 丙牛过河要 3 分钟， 丁牛过河要 4 分钟， 戊牛过河要 5 分钟， 己牛过河要 6 分钟。 每次只能三头牛过河，要把 6 头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？ 【解析】分析：要想用时最少，先让过河用时多的先过，首先骑甲赶戊和己，骑甲回：6+1=7 （分钟） ， 再骑甲赶丙和丁， 骑甲回需： 4+1=5 分钟， 最后再骑甲赶乙需 2 分钟 最少： 7+5+2=14 分钟。 6、甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要 3 分钟，乙洗抹
20、布需要 2 分钟， 丙洗衣服需要 10 分钟，丁用桶注水需要 1 分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总 时间最少？最少时间是多少？ 【解析】顺序是丁、乙、甲、丙； 一共所花时间：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+10）=26 分钟。 7、一个长方形的面积是 36 平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最 长是多少厘米？ 【解析】36=361=182=123=94=66； 所以长方形的长和宽分别是：长 36 厘米、宽 1 厘米；长 18 厘米、宽 2 厘米；长 12 厘米、宽 3 厘米；长 9 厘米、宽 4 厘米；长 6 厘米、宽 6 厘米这个长方形的周长最
21、长是：（36+1） 2=372=74（厘米）， 8、用 38 这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。 【解析】864753=650592，854763=651602，853764=651692； 可知 853764 最大，值为 651692 规律：首位分别取最大，两个数差距越小，积越大，得 853764 最大 1、有 157 吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大卡 车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升 问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？ 这时共需用油多少公升？ （上海市数学竞赛试题） 【解析】大卡车每吨耗油量为 105=2
22、（公升）；小卡车每吨耗油量为 52=2.5（公升） 为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于 157=531+2， 因此，最优调运方案是：选派 31 车次大卡车及 1 车次小卡车即可将货物全部运完， 且这时耗油量最少，只需用油 1031+51=315（公升） 2、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎 1 个饼需要 2 分钟（假定正、反面各 需 1 分钟），问煎 1993 个饼至少需要几分钟？ （数学解题能力展示大赛） 直击赛场 【解析】由于 1993 数目较大，直接入手不容易我们不妨先从较小的数目来进行探索规律 如果只煎 1 个饼，显然需要 2 分钟； 如果煎 2 个饼，仍然需要 2 分
23、钟； 如果煎 3 个饼， 初学者看来认为至少需要 4 分钟： 因为先煎 2 个饼要 2 分钟； 再单独煎第 3 个 饼，又需要 2 分，所以一共需要 4 分钟但是，这不是最佳方案 最优方法应该是： 首先煎第 1 号、第 2 号饼的正面用 1 分钟； 其次煎第 1 号饼的反面及第 3 号饼的正面又用 1 分钟； 最后煎第 2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用 3 分钟就煎好了 3 个饼 如果煎 1993 个饼，最优方案应该是： 煎第 1、2、3 号饼用“分析”中的方法只需要 3 分钟；煎后面 1990 个饼时，每两个饼需 要 2 分钟，分 19902=995（次）煎完，共需要 2995=1990（分钟）；这样总共需要 3 +1990=1993（分钟） （1）了解统筹规划的一般步骤； （2）理解各种题型的解答方法； （3）掌握重点题型。 重点和难点突破：重点和难点突破： （1）掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率； （2）掌握常见的题型，学会独立思考 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 重点回顾 名师点拨 学霸经验
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