1、第第 0 01 1 讲讲 寻找规律寻找规律 发现排列规律，并依据规律填写数字或算式。 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2， 4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填 写空缺的数。观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般 情况下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言
2、之有理，所得出的规律都可以认 为是正确的。 对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方 法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位 置有关，这是我们解这类题的突破口。 3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 考点一考点一: :发现数列规律发现数列规律 知识梳理 教学目标 典例分析 例例 1、填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（ ），（ ） （2）
3、1，2，4，7，11，（ ），（ ） （3）2，6，18，54，（ ），（ ） 【解析】（1）前一个数加上 3 就等于后一个数，也就是相邻两个数的差都是 3.根据这一规律， 可以后推知括号里填 15 和 18. （2）第一个数增加 1 等于第二个数，第二个数增加 2 等于第三个数，也就是每相邻两个 数的差依次是 1,2,3,4，这样下一个数应比 11 大 5，填 16；再下一个数应比 16 大 6，填 22. （3）后一个数是前一个数的 3 倍，162 和 486 例例 2、找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ） （2）21，4，18，5，15，6
4、，（ ），（ ） （3）3，4，7，3，4，10 , 3 , 4 ,13，（ ），（ ） （4）187，286，385，（ ），（ ） 【解析】（1）第一个数减 3 是第三个数，第三个数减 3 是第 5 个数，第二、第四、第六个数 不变。应填 6,2. （2）第一个数减 3 是第三个数，第三个数减 3 是第 5 个数；第二个数加 1 是 第四个数，第四个数加 1 是第六个数。应填 12, （3）每三个为一组，每组中的前两个数都是 3,4，每组的第三个数都等于前一组第三个数加上 3 的和。填 3, 4，16（4）每个数十位上的数 字 8 不变，百位上的数字依次是 1,2,3,个位上的数字依次是
5、7,6,5.，并且百位上的数字与个 位上的数字的和是 8，应填 484,583 例例 3、 1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55中，括号里应填什么数？ 【解析】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。 根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或 3413=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。 例例 4、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。 （8，4）（5，7）（10，2）（，9） 【解析】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是 12。根据这 一规律
6、，里所填的数应为：129=3 考点二：发现规律填写图形内空缺的数考点二：发现规律填写图形内空缺的数 例例 1、根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。 （1） （3） 【解析】（1）横着看，图形中右边的数比左边的数多 5；竖着看，下面的数比上面的数多 4； 斜着看，和相等。根据这一规律，应填 18. （2）通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:4 8 2=16,7 8 4=14，也就 是说中心的数等于上面的数与左下方的数的乘积除以右下方的数。9 4 3=12，应填 12 （3）因为 9x(9 3)=27，12x(12 4)=36，所以 36x(36 12)=108。 例例 2、
7、按规律填数。 【解析】 通过观察可以发现前两个图形里的数之间有一定的联系：左上方的数十位上的数字 和右上方的数个位上的数字分别与下面的数的千位、个位上的数字相同，左上方的数十位上的 数字分别与右上方的数十位上的数字之和与下面的数百位上的数字相同， 左上方的数个位上的 数字与右上方的数个位上的数字之和与下面的数十位上的数字相同。 根据这一规律， 应填 3594. 例例 3、根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。 5 10 9 14 7 12 11 16 9 14 13 (2) 9 43 7 14 8428 16 4 9 3 27 12 4 36 36 12 23 31 2541 41 23
8、 4643 35 24 【解析】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等 于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。 例例 4、根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？ 【解 析 】 经 仔细观 察、分析可以发现 前面两个圈中三个 数之间有这样的关 系 ： 5 12 10=6 4 20 10=8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8 30 10=24. 考点三：根据规律速求复杂算式的值考点三：根据规律速求复杂算式的值 例例 1、先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后
9、几题的得 数。12345679 9= 12345679 18= 12345679 54= 12345679 81= 【解析】题中每个算式的第一个因数都是 12345679，它是有趣的“缺 8 数”，与 9 相乘，结果 是由九个 1 组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算 式的第二个因数中包含几个 9，乘积中就包含几个 111111111。 因为：12345679 9=111111111 所以：12345679 18=12345679 9 2=222222222 12345679 54=12345679 9 6=666666666 12345679 81
10、=12345679 9 9=999999999. 例例 2、找规律计算。（1） 8118=（81） 9=7 9=63 （2） 7227=（72） 9=5 9=45 （3） 6336=（）9=9= 【解析】6:；3；27 经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置 后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘 9，所得的积就是这两个数的差。 例例 3、计算（1）26 11 （2）38 11 【解析】一个两位数与 11 相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就 是所求的积。（1） 26 11=2（2+6）6=286（2） 38 11=3（3+8）8=418 注
11、意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。 例例 4、下面数列的每一项由 3 个数组成的数组表示，它们依次是： （1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）问：第 100 个数组内 3 个数的和是多少？ 【解析】分析一：数组的第 1 个分量依次是：1，2，3构成等差数列，所以第 100 个数组中 的第 1 个数为 100； 数组的第 2 个分量 3，6，9也构成等差数列，所以第 100 个数组中的第 2 个数为 3 100=300； 同理， 第 3 个分量为 5 100=500， 所以， 第 100 个数组内三个数的和为 100+300+500=900。 解： 第 100 个数组内三个数
12、的和为 100+300+500=900。 分析二：以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。 第 1 组：1+3+5=9，第 2 组：2+6+10=18 第 3 组：3+ 9+ 15= 27， 9，18，27构成一等差数列，第 100 项为 9 100=900，即第 100 个数组内三个数的和为 900。 解：9 100=900，即第 100 个数组内三个数的和为 900。 考点四：用周期规律解决数学问题考点四：用周期规律解决数学问题 例例 1、 求 67999的个位数字。 【解析】因为 67 的个位数是 7，所以 67n的个位数随着 n 的增大，按 7，9，3，1 四个数的顺 序
13、循环出现。 999 42493， 所以 67999的个位数字与 73 的个位数字相同，即 67999的个位数字是 3。 例例 2、求 291+3291的个位数字。 【解析】因为 2n的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，91 4223，所以， 291 的个位数字与 23 的个位数字相同，等于 8。类似地，3n的个位数字按 3，9，7，1 四个数 的顺序循环出现， 291 4723， 所以 3291与 33的个位数相同，等于 7。 最后得到 291+3291 的个位数字与 8+7 的个位数字相同，等于 5。 例例 3、求下式除法运算所得的余数： 555 3。 【解析】因为 a 3
14、的余数不仅仅与 a 的个位数有关，所以不能用求 555的个位数的方法求解。 为了寻找 5n 3 的余数的规律，先将 5 的各次方除以 3 的余数列表如下： 注意：表中除以 3 的余数并不需要计算出 5n，然后再除以 3 去求，而是用上次的余数乘 以 5 后，再除以 3 去求。比如，52 除以 3 的余数是 1，53 除以 3 的余数与 1 5=5 除以 3 的余 数相同。这是因为 523 8+1，其中 3 8 能被 3 整除，而 53=（3 8+1） 5=（3 8） 5+1 5， （3 8） 5 能被 3 整除，所以 53 除以 3 的余数与 1 5 除以 3 的余数相同。由上表看出，5n 除
15、 以 3 的余数，随着 n 的增大，按 2，1 的顺序循环出现。由 552=271 知，555 3 的余数与 51 3 的余数相同，等于 2。 例例 4、某种细菌每小时分裂一次，每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后，将这些细菌每 7 个分为一组，还剩下几个细菌？ 【解析】1 时后有 1 3=31（个）细菌，2 时后有 31 3=32（个）细菌20 时后，有 320 个细 菌，所以本题相当于“求 320 7 的余数”。将 3 的各次方除以 7 的余数列表，由表看出，3n 7 的余数以六个数为周期循环出现。由 20 632 知，320 7 的余数与 32 7 的余数相同，等 于 2。所以
16、最后还剩 2 个细菌。最后再说明一点，an b 所得余数，随着 n 的增大，必然会出现 周期性变化规律，因为所得余数必然小于 b，所以在 b 个数以内必会重复出现。 课堂狙击 实战演练 1、在括号内填上合适的数。 （1）2，4，6，8，10，（ ），（ ） （2）1，2，5，10，17，（ ），（ ） （3）2，8，32，128，（ ），（ ） 【解析】（1）12；14（2）26;37 （3）512;2048 2、按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ） 【解析】（1）8;1
17、（2）81;2 （3） 9;6 3、找出排列规律，在空缺处填上适当的数。 （1） 【解析】（1）18 （2）16；通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:7 8 2=28；9 6 2=27 也就是说右下角数字等于三角形上面数字与左下角数的乘积除以 2 4、先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，4，15，56，（ ） 【解析】（1）26，42 后一位数字等于前两位数字之和 （2） 3,1 后一位数字等于前两项数字之差 3 7 5 9 8 12 10 14 12 16 1
18、4 (2) 4 8 9 276828 7 （3）209 1 4-0=4 4 4-1=15 15 4-4=56 56 4-15=209 5、求以下除法运算所得的余数。 7855 5 【解析】（1）由 55 4133 知，7855的个位数与 83的个位数相同，等于 2，所以 7855可 分解为 10 a2。因为 10 a 能被 5 整除，所以 7855除以 5 的余数是 2。 6、在方框内填出合适的数。 【解析】（1）13；9+7=16 16+5=21 4+9=13 （2）2； 8+10+12=30 5+9+16=30 17+11+2=30 （3）20；12-12 4=9 35-35 7=30 2
19、4-24 6=20 7、找规律，写得数。 1+0 9= 2+1 9= 3+12 9= 4+123 9= 9+12345678 9= 【解析】1；11；111；1111；111111111 8、利用规律计算。 （1）5335 8228 9229 87+78 6116 9559 39 11 46 11 （2） 根据 62+26=（6+2） 11=8 11=88，计算 87+78= 【解析】（1）18；54；63；165；45；429；506 （2）165 9、求 28128-2929的个位数字。 【解析】由 128 432 知，28128的个位数与 84 的个位数相同，等于 6。由 29 2141
20、 知， 2929的个位数与 91 的个位数相同，等于 9。因为 69，在减法中需向十位借位，所以所求个 位数字为 1697。 课后反击 1、在括号内填上合适的数。 （1）1，5，25，125，（ ），（ ） （2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ） （3）（64，62）（48，46）（29，27）（15，） （4）（100，50）（86，43）（64，32）（，21） （5）（8，6）（16，3）（24，2）（12，） 【解析】（1）625；3125 （2）7;9; 乘积均为 24 （3）13；每组数两数之差均为 2 （4）42；每组数两数之商均为 2 （5）4；每组数两数之积均为
21、48 2、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 【解析】15；可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：3 6 2=9 5 12 2=30 5 12 2=30 3 10 2=15 3、根据规律，在空格内填数。 （1）198，297，396，（ ），（ ） （2） 【解析】（1）495,594 （2）3897 32 54 3864 21 45 2665 32 57 4、下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。 （1）（6，9）（7，8）（10，5）（，3） （2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，） （3）（18，17）（14，10）（10，
22、1）（，5） （4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，） （5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，） 【解析】（1）12; （2）6; 乘积均为 24 （3）21；每对括号里的数，前一个和后一个差分别是 18-17=1 = 1 的平方 14-10=4 = 2 的平方 10-1=9 = 3 的平方 所以 -5= 4 的平方 16+5=21 （4）17；3=2 2-1 ,9=5 2-1 13=7 2-1 ,9 2-1=17 （5）14；每组两数之差依次是 1,2,3,4 5、找规律，写得数。 1 1= 11 11= 111 111= 111111111 111111111= 【解析】1；
23、 121； 12321；12345678987654321 6、利用规律计算。 （1）6116 （2）9559 （3）39 11 （4）46 11 【解析】（1）45；（2）36；（3）429；（4）506 7、求 291+3291 的个位数字。 【解析】因为 2n 的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，914223，所以， 291 的个位数字与 23 的个位数字相同，等于 8。 类似地，3n 的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现， 2914723， 所以 3291 与 33 的个位数相同，等于 7。 最后得到 291+3291 的个位数字与 8+7 的个位数字相同
24、，等于 5。 1、下面是一组被打乱的数字，在被打乱之前它们之间有一个非常有趣的规律。你试着找找看， 然后按其原有的规律重新把下面的数字排列起来，并说明原来的规律是什么。（启智杯 2010） 3, 5, 13, 21, 1, 1, 2, 8 【解析】答案不唯一：1，1，2，3，5，8，13，21.或 21，13，8，5，3，2，1，1 整数 a 与它本身的乘积，即 a a 叫做这个数的平方，记作 a2，即 a2a a；同样，三个 a 的乘积叫做 a 的三次方，记作 a3，即 a3a a a。一般地，n 个 a 相乘，叫做 a 的 n 次方，记 作 an，即 我们需要掌握 an 的个位数的变化规律
25、，以及 an 除以某数所得余数的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以 an 的个位数只与 a 的个 位数有关，而 a 的个位数只有 0，1，2，9 共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数 a 自乘 n 次后，乘积的个位数字的变化规律，我们可以列出表格，看看 a， a2，a3，a4，的个位数字各是什么。从表看出，an 的个位数字的变化规律可分为三类： （1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，an 的个位数仍然是 0，1，5，6。 （2）当 a 的个位数是 4，9 时，随着 n 的增大，an 的个位数按每两个数为一周期循环出现。 其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序循环出 现。 （3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，an 的个位数按每四个数为一周期循 环出现。其中 a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3， 9，7，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环出现；当 a 的个 位数是 8 时，按 8，4，2，6 的顺序循环出现。 名师点拨 直击赛场 考 本节课我学到 我需要努力的地方是 学霸经验
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