1、第第 30 讲讲 推理问题推理问题 学会对一个问题进行分析、推理； 利用我们的推理来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、推理问题一、推理问题 解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要 依靠推理来解的数学题称为推理问题。 二、解题策略二、解题策略 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑： 1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断； 2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论； 3、对可能出现
2、的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的； 4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。 例例 1 1、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静 多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？ 【解析】我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系：兰兰静静，冬冬静静，冬冬兰兰 所以，冬冬兰兰静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。 例例 2 2、卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：卢刚和医生不同岁；医 生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年
3、龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？ 【解析】卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生，医生比丁飞年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是 知识梳理 典例分析 教学目标 医生；由此为突破口，进行推理，找出各自的职业；卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生；医生比丁飞 年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是医生；陈瑜比飞行员年龄大，所以卢刚是飞行员； 剩下的丁飞是工程师；所以丁飞是工程师，陈瑜是医生，卢刚是飞行员 例例 3 3、有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这 个正方体的每个汉字的对面各是什么字？ 【解析】如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较
4、困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不 是什么字。 从图（1）可知， “奥”的对面不是“林”、 “匹”，从图（2）可知， “奥”的对面不是“数”、 “学”。 所以，“奥”的对面一定是“克”。 从图（2）可知， “数”的对面不是“奥”、 “学”；从图（3）可知， “数”的对面不是“克”、 “林”， 所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。 例例 4 4、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说： “是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？ 【解析】由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可
5、先假设，看结论和条件是否矛盾。 如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只 有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。 如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾， 所以不是乙打碎的。 如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符 合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。 例例 5 5、已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”丙说： “甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？ 【解析】假设甲会
6、开车，那么，甲和乙说的是真话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车； 假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符合题意； 假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和题意矛盾； 所以，乙会开车。 例例 6 6、甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后： 甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是 第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？ 【解析】推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析。 （1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的
7、。 （2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。 （3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 重新推理： （1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是第一名”是对的。 （2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。 （3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。 例例 7 7、甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。” 有的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法
8、 各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？ 【解析】第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。 （1）假如甲说丙第一名是对的，那么甲说：“我是第三名”是对的，乙说“我是第一名”也是错的，而乙 说的“丁是第四名”是对的。 （2）由丁是第四名排出丙说丁是第二名是错的，据条件，丙说“我是第三名”是对的。 （3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 所以重新推理得：第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。 例例 8 8、A、B、C、D 与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A 赛了 4 盘， B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了一盘。问小强已经赛了几盘？ 【解析】用五个点表
9、示这 5 个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。 现在 A 赛 4 盘，所以 A 应该与其余 4 个点都连线。B 赛了 3 盘，由于 D 只赛了 1 盘，是和 A 赛的，所以 B 应 该与 C 连。（B、A 已连线）C 已连了 2 条线，小强也连了 2 条线，所以小强已赛了 2 盘。 例 9、有 8 个球编号是（1）（8），其中有 6 个球一样重，另外两个球都轻 1 克。为了找出这两个轻 球，用天平称了 3 次，结果如下： 第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻； 第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）
10、一样重。那么，两个轻球分别是几号？ 【解析】 从第一次看，（3）、（4）两球中有一个轻；从第二次看，（5）、（6）两球中有一个轻；从第 三次看，（1）、（3）、（5）中有一个轻，（2）、（4）、（8）中也有一个轻。 综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（4）和（5）。 例例 1010、甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。请说出他们各是几号。 【解析】一共有四人，乙不是最高的，但它比甲、丁高，所以乙的身高在四人中数第二，丙是第一；甲丁 的身高处于后两位，甲不比丁高即丁高，甲矮，所以丁是第二，甲最矮.据此即可解答： 由乙不是最高的，但它比甲、丁高可知:乙的身高
11、在四人中数第二，丙是第一; 由甲不比丁高可知:丁是第三，甲最矮.所以甲是 3 号，乙是 4 号，丙是 2 号，丁是 1 号. 例例 1111、小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，一门第 二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第 一名的是谁？ 【解析】因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数学，而小明已获得了数学 第二名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。 例 12、有 6 只盒子，每只盒内放有同一种笔，6 只盒子所装笔的支数分别是 11 支、13 支、1
12、7 支、20 支、 28 支、43 支。在这些笔中，水彩笔支数是圆珠笔的 2 倍，铅笔的支数是水彩笔的一半，其中有一只盒子放 的是钢笔。这盒钢笔共有多少支？ 【解析】因为水彩笔是圆珠笔的 2 倍，而铅笔是水彩笔的一半，即水彩笔也是铅笔的 2 倍，所以，水彩笔、 圆珠笔和铅笔的总支数一定是 4 的倍数。11+13+17+20+28+43=132 支，132 正好是 4 的倍数，说明那一 盒钢笔也正好是 4 的倍数，而满足条件的只有 20 和 28。 （1）当钢笔是 20 支时：（13220）4=28 支，17+11=28 支，43+13=56 支符合条件； （2）当钢笔是 28 支时：（132-
13、28）4=26 支，题中没有一盒或 2 盒的和是 26，不符合条件。 所以， 盒钢笔有 20 支。 例例 1313、小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7 天正好看完。已知这本书一共 96 页，他 第几天看到了 12 页？ 【解析】 由于他每天看过的页数比前一天增加一倍，7 天正好看完，也就是说第 7 天能看到 96 页。由此往 前推：第 6 天看到了 962=48 页，第 5 天看到了 482=24 页，第 4 天看到了 242=12 页。 实战演练 课堂狙击课堂狙击 1、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师：小张年龄比工程师大；小李和 数学家不同岁；
14、数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师？ 【解析】（1）小张年龄比工程师大：小张不是工程师，（2）小李和数学家不同岁：小李不是数学家，（3） 数学家比小徐年龄小：小徐也不是数学家.由（2）、（3）得：小张是数学家.进一步推出小徐是教师，小李 是工程师.因此，小徐是教师，小张是数学家，小李是工程师. 2、一个正方体，六个面分别写上 A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出 A、B、C 相对 的面的字母是什么吗？ 【解析】根据中间图和右边的图可以看出，与 C 相邻的有面 A、B、D 和 E，由此可知，C 的对面一定是 F； 根据左图和右图可以看出，与 A 相邻的有
15、B、E、C，由于 C 的对面是 F，因此，F 也与 A 相邻，所以，A 的 对面一定是 D；由左图和中图可知，与 B 相邻的有 A、D、C，由于 C 的对面是 F，因此，F 也与 B 相邻，所 以，B 的对面一定是 E。根据分析：A 的对面是 D； B 的对面是 E；C 的对面是 F 3、某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 A、B、C 三个学生。A 说：“是 B 做的。”B 说：“不是 我做的。”C 说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？ 【解析】此题有 A、B 说的话入手，而人说的话相互矛盾，因此必有一人说了真话，根据这三个学生中只有 一人说了实话，那么
16、C 说的话比为假话，因此，这件好事是 C 做的 4、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜 各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二名蓝色，第四包红色。”丙猜： “第三包蓝色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。” 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 【解析】甲 3 黄 乙 2 蓝 丙 1 红 丁 4 白 戌 5 紫 这些是正确的。 假设甲说第二包是紫是正确的，那么看戌，则戌说第二包是黄是错误的，同时他说第五包紫也是错误的（因 为第 2 包是紫），从而戌没
17、有说对任何一个，不合题意。 所以甲说的第二包是紫是错误的，第三包是黄是正确的。 后面的丁说第三包是蓝肯定错了，所以他说的第四包是白是正确的。 依次可以推出其他的说法。 5、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了 5 次手，冬冬握了 4 次手，兰兰握了 5 次手，静静握了 2 次，思思握了 1 次手。问毛毛握了几次手？ 【解析】毛毛一共握了 3 次手，分别是跟明明、冬冬和兰兰握的。思路：首先，明明五次，思思只有一次， 也就是说思思这一次只是与明明握得，明明与五人各握一次，而思思已经有了一次，那么冬冬与除了思思 以外的四人都握过手，所以静静的另外
18、一次就是与冬冬握的，此时静静和思思已经握完，不再考虑，那么 兰兰的三次就是与明明、冬冬和毛毛握的，再加上冬冬与毛毛握的和明明与毛毛握的，毛毛一共握了三次！ 6、某商品编号是一个三位数，现有五个三位数：874，756，123，364，925，其中每一个数与商品编号恰 好在同一个数位上有一个相同数字。这个商品的编号是多少？ 【解析】应该是这么表述：其中每一个数中的一个数字和位置与编号的同位置数字相同；先寻找个位数相 同的,是 364 和 874,在剩下的里面找十位数相同的为 123 和 925,则百位数上只剩一个 756；则此数个位是 4、 十位是 2,百位是 7。 7、赵、钱、孙、李四位老师分别
19、教数学、语文、自然和体育中的一门功课。赵只能教语文或自然，钱只能 教数学或体育，孙能教数学、语文或自然，李只能教自然。请问：这四人中只能派谁教数学？ 【解析】根据题意，只能是钱老师或孙老师去教数学。由于只有钱老师一人能教体育，所以孙老师只能派 去教数学。 8、有一种水草，水草生长的面积每天扩大 2 倍，10 天后，这片水草的面积是 42 平方米。问：当水草长到 第 7 天时，面积是多大？ 【解析】第九天面积是 21，第八天 10.5，第七天面积是 5.25 平方米。 课后反击 1、江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：江波和语文老师是邻 居；吴萌和语文老师不是
20、邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三个老师分别教什么科目？ 【解析】吴是英语老师，江是数学老师，刘是语文老师。 2、五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字 16，把木块叠成下图，那么，4 的对面是几？1 的对面是几？5 的对面是几？ 【解析】五个正方体木块有 3 个露出了 4，并且 4 和 1，6，5，3 相邻，所以 4 的对面是 2；1 与 4，5，6 相邻，因为 4 与 2 相对，故 1 与 2 也相邻，所以 1 的对面是 3；剩下的 5 与 6 相对 3、A、B、C、D 四个孩子踢球打碎了玻璃。A 说：“是 C 或 D 打碎的。”B 说：“是 D 打碎的。”C 说：“我 没有打
21、碎玻璃。”D 说：“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃？ 【解析】假设 A 说的是实话，“是 C 或 D 打碎的”，则 C、D 中有一个说了实话，一个说了谎话，所以 B 说 的就是实话，打碎玻璃的是 D，C 说的也是实话，与他们中只有一个人说了谎话符合； 假设 B 说的是实话，则 D 说的也就是谎话，A、C 说的也是实话，所以打碎玻璃的是 D，与他们中只有一个 人说了谎话符合；假设 C 说的是实话，则 A、B、D 中有一人撒谎，若 D 说的是实话，则 A、B 两人都撒谎， 所以不符合只有一人说谎，所以 D 说谎，故打碎玻璃的是 D；假设 D 说的是实话，则 B 说谎，所
22、以 C 也说 了实话，所以打碎玻璃的应是 A 或 B，所以 A 也说谎，与只有一个人说了谎话矛盾，所以 D 说谎故打碎玻 璃的是 D 4、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。 问丁胜了几场？ 【解析】四人比赛乒乓球，每两人要赛一场，则每人都要和其他三人赛一场，每人要赛三场，共比赛 6 场， 由于没有平局，则每场都有一队胜，一队负.由干甲，乙，丙三人胜的场数相同，若甲，乙，丙各胜 1 场， 则丁胜 3 场，即丁全胜，不台题意(甲胜了丁).若甲，乙，丙各胜 2 场，则丁胜 0 场，即丁全输，符台题意. 5、小王、小张、小李三人在一起，其中一位是
23、工人、一位是战士、一位是大学生。现在知道：小李比战士 年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。他们三人中，谁是工人？谁是战士？谁是大学生？ 【解析】很据小李比战士年龄大，所以:小李是大学生或工人；因为小王和大学生不同岁，所以：王是工人 或战士；因为:大学生比小张年龄小，所以:张是工人或战士；又因小张年龄比战士大，所以张是工人。所以 三人:小张是工人，小李是大学生，小王是战士。 6、甲、乙、丙、丁四人住在一个宿舍里，一天晚上，他们中间最晚回来的哪位同学忘了关灯，第二天宿舍 管理员查问谁回来最晚。 （1）甲说：我回来时，丙还没回来； （2）乙说：我回来时，丁已经睡了，我也就睡了； （3）丙
24、说：我进门时，乙正在床上； （4）丁说：我回来就睡了，别的没注意。 他们说的都是实话，你知道谁回来最晚吗？ 【解析】回来最晚的是甲。 根据题意，甲说的话意思是丙在甲前面回来，所以肯定不是丙最晚，乙说的话意思是丁在乙前面回来，所 以肯定不是丁，丙说的话意思乙在丙前面，所以肯定不是乙，综上所述，回来最晚的是甲。 7、图书员在整理图书，他把同一类书叠一叠，一共叠好了 7 叠，其中只有一叠是连环画，其余都是故事书 和科技书，且故事书是科技书的 6 倍。已知这 7 叠书分别有 3、4、5、16、21、25 和 38 本。问：连环画有 多少本？ 【解析】科技书有 4+5=9 本， 故事书有 16+38=5
25、4 本， 连环画有 3+21+25=49 本。 8、有一条毛毛早由幼虫长到成虫，每天长一倍，30 天能长到 20 厘米。问：长到 5 厘米时要用多少天？ 【解析】28 天， 29 天 10 厘米， 28 天就是 5 厘米啊。 1、下边是一个六位数乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中 的 六位数是_ 。 （第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试） 直击赛场 【解析】 小学希望杯赛 赛=999999 ，考察个位数字 赛赛的个位数字是 9,所以赛等于 7 或 3； 当赛=3 时,小学希望杯赛=333333,但这六个不同的字应该表示不同的数字,舍去
26、. 当赛=7 时,小学希望杯赛=142857,符合题意. 综上所述,答案为 142857。 2、甲、乙、丙三人中只有 1 人会开汽车。甲说：“我会开。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开。”三人的 话只有一句是真话。会开车的是_ 。（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 1 试） 【解析】假设甲会开车，那么，甲和乙说的是真话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车； 假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符台题意； 假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和题意矛盾， 所以，乙会开车. （1）学会对一个问题进行分析、推理； （2）利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题； 重点和难点突破：重点和难点突破： （1）理解每一个题的逻辑关系； （2）掌握推理的一般方法。 本节课我学到了 学霸经验 名师点拨 重点回顾 我需要努力的地方是
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