1、第第 1 19 9 讲讲 最大公约数最大公约数 教学目标 掌握约数和最大公约数的概念,最大公约数的求法; 会利用最大公约数解决实际问题。 一、约数和倍数的定义一、约数和倍数的定义 整数 A 能被整数 B 整除,A 叫做 B 的倍数,B 就叫做 A 的约数(在自然数的范围内)。 如:2 和 6 是 12 的约数,12 是 2 的倍数,12 也是 6 的倍数; 18 的约数有 1、18、2、9、3、6。 注意:一个数的约数个数是有限的,一个数的倍数有无数个。 任何数都有最小的约数 1,最大的约数本身,最小的倍数也是本身。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有:3、6、9
2、、12其中最小 的倍数是 3 ,没有最大的倍数。 因数和约数的区别:约数必须在整除的前提下才存在,而因数是从乘积的角度来提出的。如果数 a 与数 b 相乘的积是数 c,a 与 b 都是 c 的因数。 二、质数与合数二、质数与合数 (1)只有 1 和本身两个约数的数叫做质数(或素数); (2)除了 1 和本身外还有其它约数的数叫做合数; (3)1 既不是质数,也不是合数; (4)100 以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97。 (5)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个
3、质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的 质约数,例如 15=35,3 和 5 叫做 15 的质约数。 知识梳理 教学目标 (6)把一个合数用质约数相乘的形式表示出来,叫做分解质约数。 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数最大公约数,例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12;18 的约数有 1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6 是 12 和 18 的公约数, 6 是它们的最大公约数,记作记作(12,1812,18)= =6 6。 (7)公约数只有 1 的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1 和任何自然数互质
4、; 相邻的两个自然数互质; 两个不同的质数互质; 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质; 如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数; 如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是 1。 考点一:最大公约数的求法考点一:最大公约数的求法 例例 1 1、列举法列举法: : 求 12 和 18 的最大公约数。 【解析】12 的约数有 1,2,3,4,6, 12。 18 的约数有 1,2,3,6,9,18。 12 和 18 的公约数有 1,2,3,6。 12 和 18 的最大公约数是 6。 例例 2 2、短除法短除法:求 42 和 105 的最大公约数。 【解析】3 42 1
5、05 7 14 35 典例分析 2 5 42 和 105 的最大公约数为:37=21。 例例 3 3、分解质约数法分解质约数法:求 48 和 72 的最大公约数。 【解析】把 48 分解质约数:48=22223 把 72 分解质约数:72=22233 48 和 72 的最大公约数为:2223=24 例例 4 4、辗转相除法辗转相除法:求 432 和 225 的最大公约数。 【解析】432225=1 余 207 225207=1 余 18 20718=11 余 9 189=2 所以 9 就是 432 和 225 的最大公约数。 考点二:应用最大公约数巧算考点二:应用最大公约数巧算 例例 1、一个
6、长方体木块的长是 4 分米 5 厘米、宽 3 分米 6 厘米、高 2 分米 4 厘米。要把它切成大小相等的正 方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米? 【解析】4 分米 5 厘米45 厘米、3 分米 6 厘米36 厘米、2 分米 4 厘米24 厘米。 45、36、24 的最大公约数是 3。 所以正方体木块的棱长最长是 3 厘米。 例例 2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360 米,乙、丙村相距 675 米。现在准备在路边 裁树,要求相邻两棵树之间距离相等,并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树,求相邻两棵树之 间的距离最多是多少米? 【解析】由于甲乙、
7、乙丙的两村中点各要种上一棵树,所要要将 360 2=180 米、675 2=337.5 米平均分成若 干段,并且使每段的长度最长。因为(675、360)=45,而 180=360 2,337.5=675 2,所以,45 2=22.5, 即相邻两棵树之间距离最多是 22.5 米。 例例 3、用 96 朵红花和 72 朵白花做成花束,如果各花束里红花的朵数相同,白花的朵数也相同,每束花里最 少有几朵花? 【解析】由题可知扎的每一束花是两种颜色的,两种颜色的花,朵数不同,故先求出最多可以扎多少束花, 即求 96 和 72 的最大公约数是 24,然后求出在每束中,红花至少 96 24=4 朵;黄花至少
8、 72 24=3 朵,继而 相加得出结论 解:96=2 2 2 2 2 3, 72=2 2 2 3 3, 故 96 和 72 的最大公约数:2 2 2 3=24; 96 24+72 24=7(朵); 答:每束花最少有 7 朵; 考点三:最大公约数综合考点三:最大公约数综合 例例 1 1、 18 1 可以写成哪两个分数单位的和? 【解析】18 的约数有 1,2,3,6,9,18,任取一对约数可得。 18 1 = )91 (18 91 = 1018 1 + 1018 9 = 180 1 + 20 1 例例 2 2、图中的大长方形分别由面积为 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平
9、方厘米的 四个小长方形所组成那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米 【解析】上两块面积为 12+36=48 平方厘米, 下两块面积为 24+48=72 平方厘米, 48 与 72 的最大公约数为 24, 故:面积为 12 平方厘米的高为 2 厘米,底边长为 6 厘米 面积为 36 平方厘米的高为 2 厘米,底边长为 18 厘米 面积为 24 平方厘米的高为 3 厘米,底边长为 8 厘米 面积为 48 平方厘米的高为 3 厘米,底边长为 16 厘米 阴影部分底边长为 18-16=2 厘米 222+232=5 平方厘米 阴影部分的面积为 5 平方厘米 课堂狙击课堂狙击 一、一、填空题填空题 1、18
10、 的约数有(),60 的约数有(),18 和 60 的公约数有( ),最大公约数是( )。 【解析】(1、2、3、6、9、18),(1、2、3、4、5、69、10、12、15、20、30、60),(1、2、3、6), (6) 2、一个合数的约数至少有()个,例如:( )。 【解析】(3),(4、8、9、10、12) 3、如果 A=2 3 7,B=2 5 7,那么 A 和 B 的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。 【解析】(14),(210) 二二、选择、选择题题 4、 1、2、4、8 是 8 的() A、约数 B、公约数 C、素数 【解析】A 5、12 是( )的最大公约数。 A、1 和
11、 12 B、12 和 24 C、3 和 4 【解析】B 6、一个两位数个位和十位上都是合数,并且它们的最大公约数是 1,那么这两位数可能是() A、49 B、59 C、69 【解析】A 三三、解答题解答题 7、写出每组数的最大公约数写出每组数的最大公约数 7 和 9 5 和 25 10 和 4 27 和 18 11 和 77 15 和 16 实战演练 【解析】1,5,2,9,11,1 8、有 22 块橡皮和 33 支铅笔平均分给参加劳动的同学,结果橡皮多 1 块,铅笔少 2 支,参加 劳动的同学有多少名? 【解析】22-1=21, 33+2=35, 21=37, 35=57, 所以 21 和
12、35 的最大公约数是 7,即参加劳动的同学有 7 名 答:参加劳动的同学有 7 名 9、幼儿园一个班借阅图书,如果借 35 本,平均分发给每个小朋友差 1 本;如果借 56 本,平均分发给每个 小朋友后还剩 2 本;如果借 69 本,平均分发给每个小朋友则差 3 本。这个班的小朋友最多有多少人? 【解析】如果 35 本增加 1 本,35+1=36 本,就不差;小朋友的人数是 36 的因数; 如果 56 本减少 2 本,56-2=54 本,就没有剩;小朋友的人数是 54 的因数; 如果 69 本增加 3 本,69+3=72 本,就不差;小朋友的人数是 72 的因数; 36、54、72 的最大公因
13、数是 18 这个班的小朋友最多有 18 人 课课后反后反击击 一、判断题、判断题 1、如果 a b=4(a、b 为整数)那么 a 和 b 的最大公约数是 4。 () 2、一个数最小的倍数与它最大的约数相等。 () 3、任何一个自然数的约数至少有 2 个。 () 4、1 和任何自然数(0 除外)都没有公约数。 () 【解析】 , , 二、解答题二、解答题 5、五年级三个班分别有 24 人、36 人、42 人参加体育活动,要把他们分成人数相等的小组,但各班同学不 能打乱,最多每组多少人?每班各可以分几组? 【解析】24、36、42 的最大公约数是 6。所以最多每组 6 人。 24 64(组) 36
14、 66(组) 42 67(组) 6、两个自然数的积是 360,最小公倍数是 120,这两个数各是多少? 【解析】我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与 最小公倍数的积。根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公约数是 360 120=3。又因为(甲 3=a,乙 3=b)中,3 a b=120,a 和 b 一定是互质数,所以,a 和 b 可以是 1 和 40,也可以是 5 和 8。当 a 和 b 是 1 和 40 时,所求的数是 3 1=3 和 3 40=120;当 a 和 b 是 5 和 8 时,所求的数是 3 5=15 和 3 8=24。 7、一
15、个数除 200 余 4,除 300 余 6,除 500 余 10,。求这个数最大是多少? 【解析】由题可知,196,294 和 490 都能被那个数整除,所以答案(196,294,490)=98 答:这个数最大是 98. 8、一块三角形地的三边分别是 18 米、18 米和 21 米,要再它的周围种上树,要使顶角处都种,相邻的两棵 树间的距离相等。最少要种多少棵树?相邻两棵树之间距离是多少米? 【解析】18、21 的最大公因数是 3,(18 18 21) 3=19 棵。18 3=6 米。 1、 约数和最大公约数的概念,最大公约数的求法; 2、 利用最大公约数解决实际问题。 1、在用短除计算多个数
16、时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。 直到剩下每两个都是互质关系。 2、在用分解质因数的方法求最大公因数时,如果有几个质因数相同,则比较两数中哪个数有该质因数的个 数较少,乘较少的次数。 名师点拨 重点回顾 3、求最大公因数的方法可以是集合法,对应法,列表法,分解质因数法,短除法以及辗转相除法等。 在运用找最大公因数解决问题时,并不是所有的题目都要求直接运用找最大公因数来解决,而是求出最大 的公因数后,还要继续运用题目的已知条件和问题继续解答。 (1)短除法短除法 短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数 被公
17、有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。 (2)辗转相除法辗转相除法 基于下面的性质:(a,b)=(a,ka+b),其中 a、b、k 都为自然数 就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数组,其公约数不变,比如 (4,6)=(4+6,6)=(4,6+2 4)=2。 这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质: 如果 p 是 a 和 ka+b 的公约数, p 整除 a,也能整除 ka+b。那么就必定要整除 b,所以 p 又是 a 和 b 的公约数,从而证明他们的最大公约数 也是相等的。 (3)分解质因数分解质因数:首先把两个数的质因数写出来,最大公因数等于它们所有相同的质因数的乘积。 本节课我学到 我需要努力的地方是 学霸经验