1、第第 2929 讲讲 抽屉原理抽屉原理 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 掌握用抽屉原理解题的基本过程； 能够构造抽屉进行解题； 利用最不利原则进行解题； 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 一、一、知识点介绍知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以 解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。 二二、抽屉原理抽屉原理的定义的定
2、义 一般情况下，把 n1 或多于 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三三、抽屉原理抽屉原理的的解题解题方案方案 1 1、利用公式进行解题利用公式进行解题 苹果抽屉商余数 余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数x11xn ， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 教学目标 知识梳理 2 2、利用最值原理解题利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法
3、。 考点一：直接利用考点一：直接利用公式解题公式解题 例例 1 1、6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子对吗？ 【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子这只鸽子可以任意飞进其 中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子所以这句话是正确的 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511 ， 1 12 （只） 把6个苹果放到5个抽屉中， 每个抽屉中都要有1个苹果， 那么肯定有一个抽屉中有两个苹果， 也就是一定有一个笼子里有2只鸽子 例例 2 2、人的头发平均有 12 万根，如果最多不超过
4、 20 万根，那么 13 亿中国人中至少有 人的头 发的根数相同。 【解析】这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发： 有 20 万个，中国的人数是苹果：13 亿人，所以至少应有：13000000002000006500（人）。 例例 3 3、“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小 朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等 【解析】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目 看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，1n其
5、中 0 的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见1n个熟人，所以共有n个“抽屉”下面 分两种情况来讨论： 如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上2n 个熟人， 典例分析 这样熟人数目只有1n种可能： 0， 1， 2， ，2n 这样， “苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(1n 种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等 如果在这n个小朋友中， 每位小朋友都至少遇到一个熟人， 这样熟人数目只有1n种可能： 1， 2， 3， ， 1n这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1n种熟人数目)，根据抽屉原理，至
6、少有两 个小朋友，他们遇到的熟人数目相等 总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等。 例例 4 4、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 【解析】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个 “抽屉”一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入三个 抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数 性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）这两个数的差必能被3整除。 例例 5 5、求证：对于任意的
7、8 个自然数，一定能从中找到 6 个数a，b，c，d，e，f，使得()()()ab cd ef 是 105 的倍数 【解析】1053 57 对于任意的 8 个自然数，必可选出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个 数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4 个数中，又可选出 2 个数，使它们的差是 3 的倍数。 例例 6 6、某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个 学生总有某个月份是分在不同的小组里? 【解析】经过第一个月，将 16 个学生分成两组，至少有 8 个学生分在同一组，下面只考虑这 8 个学生
8、经过第二个月，将这 8 个学生分成两组，至少有 4 个学生是分在同一组，下面只考虑这 4 个学生 经过第三个月，将这 4 个学生分成两组，至少有 2 个学生仍分在同一组，这说明只经过 3 个月是无法满足 题目要求的如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保 持同组的人数为 162=8 人，第二个月保持同组的人数为 82=4 人，第三个月保持同组人数为 42=2 人， 这说明照此分法，不会有 2 个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过 4 个月 例例 7 7、一次数学竞赛出了 10 道选择题，评分标准为：基础分 10 分，每道题答对得 3 分，
9、答错扣 1 分，不 答不得分。问：要保证至少有 4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从 10-10=0 分到 10+310=40 分，但注意到 39、38、35 这 3 个分数是不可能得到的，要保证至少有 4 人得分相同，至少需要 3（41-3）+1=115 人. 考点二：考点二：构造抽屉利用公式进行解题构造抽屉利用公式进行解题 例例 1 1、在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋 中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样你能说明这是为什 么吗？ 【解析】从三种颜
10、色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种： 红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝， 我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹 果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样。 例例 2 2、从 1，2，3，2010，2011 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 4？ 【解析】1，2，3，4，9，10，11，12，17，18，19，20，25，在这些数种中任何两个数的差都不等于 4，可以看出这些数是从每 8 个连续的数中选出前面的 4 个连续的数 那么有 20118=2513，所以最多
11、可以选 2514+3=1007 个数。 （对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个。 例例 3 3、时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，11，12 这 12 个数，在其上任意做n个 120的扇形， 每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出 3 个覆盖 整个钟面的全部 12 个数，求n的最小值 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 【解析】 （1）当8n 时，有可能不能覆盖 12 个数，比如每块扇形错开 1 个数摆放，盖住的数分别是： （12， 1，2，3）；（1，2，3，4）；
12、（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6， 7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住 11，其中的 3 个扇形当然也不可能盖住全部 12 个数 （2）每个扇形覆盖 4 个数的情况可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆盖全部 12 个数 （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆盖全部 12 个数 （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆盖全部 12 个数 （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆盖全部 12 个数 当9n 时，至少有 3 个扇形在上面
13、 4 个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部 12 个数 所以n的最小 值是 9 例例 4 4、有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？ 【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数奇数偶数；奇数偶数奇数；偶数偶数偶数。 先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考 虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、 桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个 字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性将这4种情
14、形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据 抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形由于奇数加奇数为偶数，偶数加 偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数 考点三：最不利原则考点三：最不利原则 例例 1 1、“走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级 都不同如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次本届活动至少要准备 道决赛试题 【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共 有864256（道）题目 例例 2 2、在100张卡片上不重复地编写上110
15、0，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相 乘后之乘积可被4整除？ 【解析】 当抽出50个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出2张偶数，乘积即可被4整除， 也就是抽出52 个数可以保证乘积能被4整除 例例 3 3、从 1，2，3，4，5，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数，证明： （1）在这 51 个数中，一定有两个数互质； （2）在这 51 个数中，一定有两个数的差等于 50； （3）在这 51 个数中，一定存在 9 个数，他们的最大公约数大于 1. 【解析】（1）我们将 1100 分成（1，2）（3，4）（5，6）（7，8）（97，98）（99，100）这
16、50 组，每组内的数相邻，而相邻的两个自然数互质。 将这 50 组数作为 50 个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质。 而现在 51 个数，放进 50 个抽屉里，则必定有两个数在同一个抽屉，于是这两个数互质。问题得证。 （2）我们将 1100 分成（1，51）（2，52）（3，53）（40，90）（50，100）这 50 组，每组 内的数相差 50. 将这 50 组数视为抽屉，则现在有 51 个数放进 50 个抽屉内，则必定有 2 个数在同一抽屉，那么这两个数的 差为 50.问题得证 （3）我们将 1100 按 2 的倍数、3 的倍数、既不是 2 又不是 3 的倍数的情况分组，有（2，4，6，8，
17、 98，100），（3，9，15，21，27，93，99），（5，7，11，13，17，19，23，95，97）这三 组，第一、二、三组分别有 50、17、33 个元素。 最不利的情况下，51 个数中有 33 个元素在第三组，那么剩下的 18 个数分到第一、二两组内，那么至少有 9 个数在同一组，所以这 9 个数的最大公约数为 2 或 3 或他们的倍数，显然大于 1.问题得证。 课堂狙击课堂狙击 1、年级一班学雷锋小组有13人教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日”你 知道张老师为什么这样说吗？ 【解析】从题目可以看出，这道题显然与月份有关我们知道，一年有12个月，把这12
18、个月看成12个抽屉， 这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果因此至少有 两个同学在同一个月过生日 2、五年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们 的朋友人数一样多 实战演练 【解析】数学小组共有 20 名同学，因此每个同学最多有 19 个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学 至少有 1 个朋友因此，这 20 名同学中，每个同学的朋友数只有 19 种可能：1，2，3，19把这 20 名同学看作 20 个“苹果”，又把同学的朋友数目看作 19 个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有 2 名同学， 他们的朋友
19、人数一样多 3、四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由 【解析】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？ 把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把 这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然 数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同。 4、幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多 少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？ 【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭
20、配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、 狗；羊、狗把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉根据抽屉原理，至少要有7个小朋友去拿，才 能保证有两人所拿玩具相同 5、从 1 至 2013 这 2013 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于 4？ 【解析】1，3，6，8，11，13，16，18，21， 这些数中任何两个数不连续且差不等于 4，这些数是每 5 个连续的数中选择第一、三个数。 20125=4023，所以最多可以选 4022+2=805 个数。 （如果选择 1，4，6，9，即每 5 个连续的数中选择第 1、4 个数。但是此时最多能选出 4022+1
21、=804 数。） 6、在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米 【解析】第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离了， 再近就说明题目已经正确了两盆花之间距离小于2米）第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这 样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花至此，阳台上的11盆花中任意两盆花之间 的距离都按你的设想不小于2米放好了 现在考虑最后1盆花， 它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空 档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米题目的结论是正确的。 7、一个口袋中装有 500 粒珠子
22、，共有 5 种颜色，每种颜色各 100 粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠 子才能保证其中有 5 粒颜色相同？ 【解析】至少要取(5 1) 5 121 （粒）。 8、一个口袋里分别有红、黄、黑球 4，7，8 个，为保证取出的球中有 6 个同色，则至少要取小球_个。 【解析】如果要保证取到 6 个同色的球，至少要取 4+5+5+1=15 个。 课后反击课后反击 1、向阳小学有 730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【解析】一年最多有 366 天，可看做 366 个抽屉，730 个学生看做 730 个苹果因为7303661364， 所以，至少有 112（个）学生的生日是同一天。 2
23、、求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数 【解析】19964499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数 取 500 个数：1，11，111，1111（500 个 1）用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余数 1 a， 2 a， 3 a， 500 a 由于余数只能取 0，1，2，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同 的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0： 111000又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499
24、的倍数，将它乘以 4，就 得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数。 3、100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个. 【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于 12 个， 求这个数. 100 个按每个学生分苹果不多于 11 个（即少于 12 个）苹果，最少也要分 10 人（9 人 11 个苹果， 还有一人一个苹果），否则 911100，所以只要分苹果的学生不多余 9 人就能使保证至少有一个学生所 拥有的苹果数不少于 12 个（即多于 11 个）. 4、从2、4、6、8、50这25个偶数中
25、至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？ 【解析】构造抽屉：2,50，4,48，6,46，8,44，24,28，26，共13种搭配，即13个抽屉， 所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数或 者从小数入手考虑，2、4、6、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数 之和为52 5、请证明：在 1，4，7，10，100 中任选 20 个数，其中至少有不同的两组数其和都等于 104. 【解析】1，4，7，10，100 共有 34 个数，将其分为(4，100)，(7，97)，(49，55)，(1)，(52)， 共有
26、18 个抽屉从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数，则至少有 18 个数取自前 16 个抽屉，所以至少有 4 个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是 104。 6、从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数 【解析】把这 20 个数分成以下 10 组，看成 10 个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)， (7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前 5 个抽屉中，任意两个数都有倍数关系从这 10 个抽屉中任选 11 个数，必有一个抽屉中要取 2 个数，它
27、们只能从前 5 个抽屉中取出，这两个数就满足题目 要求。 7、从 1，2，3，49，50 这 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除，则最 多能取出多少个数？ 【解析】此题是结合数论余数部分知识与抽屉原理而成，既然题目中说任意两数和不能被 7 整除，那么便 从除以 7 的余数入手： 余 0：（7，14，21，28，35，42，49）； 余 1：（1，8，15，22，29，36，43，50）； 余 2：（2，9，16，23，30，37，44）； 余 3：（3，10，17，24，31，38，45）； 余 4：（4，11，18，25，32，39，46）； 余 5：（5，12
28、，19，26，33，40，47）； 余 6：（6，13，20，27，34，41，48）； 第一组内的数最多只能取一个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取 第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数。 第二、三、四、五、六、七组分别有 8、7、7、7、7、7 个数，所以最多可以取 1+8+7+7=23 个数。 8、有红、黄、蓝、白 4 色的小球各 10 个，混合放在一个布袋里一次摸出小球 8 个，其中至少有几个小 球的颜色是相同的？ 【解析】从最不利的情况考虑，摸出的 8 个小球中有 4 个小球的颜色各不相同，那么余下的 4 个小球无论 各是什么颜色，都必与
29、之前的 4 个小球中的某一个颜色相同即这 8 个小球中至少有 2 个小球的颜色是相 同的 9、一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 【解析】点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小 王各 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同这样，如果任意再取 1 张的话，它的点数必 为 113 中的一个，于是有 2 张点数相同 1、一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正确，得 3 分， 回答完全错误或不回答，得
30、0 分至少_人参加这次测验，才能保证至少有 3 人得得分相同 【解析】根据评分标准可知，最高得分为 50 分，最低得分为 0 分，在 050 分之间，1 分，2 分，4 分，7 分，47 分，49 分不可能出现共有51645（种）不同得分根据抽屉原理，至少有452191 （人） 参赛，才能保证至少有 3 人得分相同 2、袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各 10 个，每个小朋友只能从中摸出 1 个小球，至少 直击赛场 有_个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样 【解析】本题属于抽屉原理中构造抽屉解决问题，每个小朋友从中摸一个小球，小球的颜色可能为红、黄、 蓝三种情况， 故为
31、三个抽屉， 若想保证一定有两个人摸的球颜色一样，必须有2 13 14 （个）小朋友。 3、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每 一个数都不是另一个数的2倍 【解析】把这 12 个数分成 6 个组： 第 1 组：1，2，4，8 第 2 组：3，6，12 第 3 组：5，10 第 4 组：7 第 5 组：9 第 6 组：11 每组中相邻两数都是 2 倍关系，不同组中没有 2 倍关系 选没有 2 倍关系的数，第 1 组最多 2 个（1，4 或 2，8 或1，8），第 2 组最多 2 个（3，12），第 3 组只有 1 个，第 4，5，6 组都可
32、以取，一共221 1 1 18 个 如果任意取 9 个数，因为第 3，4，5，6 组一共 5 个数中，最多能取 4 个数，剩下945个数在 2 个组中，根据抽屉原理，至少有 3 个数是同一组的，必有 2 个数是同组相邻的数，是 2 倍关系 4、如图，在时钟的表盘上任意作9个120的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖 的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数并举一个反例说明，作8个扇形 将不能保证上述结论成立 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 【解析】在表盘上共可作出 12 个不同的扇形，且 112 中的每个数恰好被 4 个扇形覆盖
33、将这 12 个扇形 分为4组， 使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘 那么， 根据抽屉原理， 从中选择9个扇形， 必有 9 13 4 个扇形属于同一组，那么这一组的 3 个扇形可以覆盖整个表盘另一方面，作 8 个扇形相当于从全部的 12 个扇形中去掉 4 个，则可以去掉盖住同一个数的 4 个扇形，这样这个数就没有被剩下的 8 个扇形盖住，那 么这 8 个扇形不能盖住整个表盘。 抽屉原理抽屉原理的定义的定义： 一般情况下，把 n1 或多于 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 抽屉原理抽屉原理的的解题解题方案方案 1 1、利用公式进行解题利用公式进行解题 苹果抽屉商余数 余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数x11xn ， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 2 2、利用最值原理解题利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我 意”方法、特殊值方法 本节课我学到 重点回顾 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是
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