1、第第 21 讲讲 对应解对应解题题 找准题目中的对应关系，用对应法解决数学问题。 1、“对应”是解决数学问题时常用的一种方法。有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是变化 的，为了使变化的数量看的更清楚些，可以把已知条件按照他们之间的对应关系排列出来，进行观察和比 较，从而找到解题方法，这种解题方法叫“对应法” 2、应用“对应法”解题时可以通过对应比较，分析对应的未知量变化的情况，设法消去其中的一个 未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成较简单的题目，以便于解答。 例例 1、奶奶去买水果，如果她买 4 千克梨和 5 千克荔枝，需花 58 元；如果她买 6 千克梨和 5 千克荔枝，那 么需花
2、62 元。问 1 千克梨和 1 千克荔枝各多少元？ 【解析】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 4 千克梨5 千克荔枝=58 元 （1） 6 千克梨5 千克荔枝=62 元 （2） 比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等， （2）式比（1）式多了 64=2 千克梨， 也就是多了 6258=4 元，说明 1 千克梨的价钱为 4 2=2 元， 那么 1 千克荔枝的价钱就是（582 4） 5=10 元。 例例 2、王老师到体育用品商店为学校买球，计算了一下，要买 5 个足球和 3 个篮球需要付 244 元；而买 2 个 足球和 3 个篮球只需付 139 元请你算算，足球和篮球每个各多少
3、元？ 【解析】为了便于观察分析，我们按数量之间的对应关系，把条件排列出来 5 个足球，3 个篮球共 244 元， 2 个足球，3 个篮球共 139 元 比较对应排列的条件，就能清楚地看出， 典例分析 知识梳理 教学目标 与中的篮球数量相同，所以比所付的钱多 105 元， 是由于足球数多出 3 个，也就是 3 个足球共需 105 元， 这样就可以求出每个足球多少元，并求出每个篮球多少元。 解： 足球价格为(244 -139) (5-2)=105 3=35(元)， 篮球价格为 (139 - 35 2) 3=69 3=23（元） 答：每个足球 35 元，每个篮球 23 元 想一想如果式条件改为买 5
4、 个足球和 4 个篮球共需付 267 元，式条件不变，这题又该如何解答？ 分析： 排列条件： 5 个足球，4 个篮球共 267 元， 2 个足球，3 个篮球共 139 元， 如果两次购买的足球数或篮球数相同问题就好解决了那么，在保证基本数量关系不变的情况下，怎 样使足球数或篮球数转化成相同呢？可以采用把每组足球数、篮球数、钱数都同时扩大相同倍数的方法 解法一：把式中的足球数、篮球数、钱数都扩大 2 倍；把式中的足球数、篮球数、钱数都扩大 5 倍， 5 2 个足球，4 2 个篮球共 267 2 元， 2 5 个足球，3 5 个篮球共 139 5 元， 即： 10 个足球，8 个篮球共 534 元
5、， 10 个足球，15 个篮球共 695 元 这样，足球数已转化为相同的了于是，我们可解得篮球价格，进而求出足球价格， 篮球价格为：(139 5- 267 2) (3 5-4 2)=23(元)， 足球价格为：(139 - 23 3) 2- 70 235(元). 解法二 能不能使篮球数相同呢？请同学们按照上述方法自己完成解答过程 解法三 观察和，发现此题两次的足球、篮球的总个数都是 7 个，可以先求出 7 个足球和 7 个篮球的 总钱数，再求出 1 个足球和 1 个篮球共需钱数，最后分别求出它们的价格 由于 (267 +139) 7406 7=58(元)， 重新排列条件： 2 个足球，2 个篮球
6、共 58 2=116（元）， 2 个足球，3 个篮球共 139 元， 篮球价格为 139 - 58 2=23(元)， 足球价格为 58 23=35(元) 答:每个足球 35 元，每个篮球 23 元 例例 3、张云买了 4 本练习本和 2 支钢笔，共用去 12 元，李华买了同样的 4 本练习本和 3 支钢笔，一共用去 17 元，钢笔和练习本单价各是多少元？ 【解析】可由条件中找出对应的数。 张云：4 本练习本2 支钢笔=12 元。 李华：4 本练习本3 支钢笔=17 元。 将对应的量及变化情况进行比较可发现， 李华比张云多用去 5 元，是因为李华比张云多买了 1 支钢笔， 由此可得钢笔为每支 5
7、 元。 再代入上式可以求出练习本的单价。 例例 4、美术小组第一天买了 3 盒彩笔和 1 支毛笔，付款 44.4 元；第二天买了同样的 5 盒彩笔和 3 支毛笔， 付款 79.6 元，求每盒彩笔和每支钢笔各多少元？ 【解析】由条件找出对应的关系。 3 盒彩笔1 支毛笔=44.4 元 5 盒彩笔3 支毛笔=79.6 元 但是在这两种买法中，彩笔的数量与毛笔的数量均为不相同， 我们要设法将其中一个量转化为相同的。 将第一个式子中的每个数据扩大 3 倍为： 9 盒彩笔+3 支毛笔=133.2 元。 5 盒彩笔+3 支毛笔=79.6 元。这样就回到了例 1 的思路，得解。 例例 5、 用一根绳子测量井
8、的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米，问绳子长多少米？ 井深多少米？ 【解析】两折时多 5 米，总长多 5 2=10 米； 三折时少 4 米，总长少 4 3=12 米。 三折与两折的差也就是井的深度。 两折时绳长2 个井深多 5 2 三折时绳长3 个井深少 4 3 比较两组得到：1 个井深（10+12）22 米。 例例 6、王航准备购买练习本、铅笔、橡皮三种学习用品。如果购买铅笔 3 支、练习本 7 本、橡皮 1 个共用 6.90 元；如果购买铅笔 4 支、练习本 10 本、橡皮 1 个共用 9.50 元。那么购买铅笔 1 支、练习本 1 本、橡皮 1 个共用多少
9、元？ 【解析】这里只需求出铅笔 1 支、练习本 1 本、橡皮 1 个共用的钱， 所以可以设法根据对应关系，使两个等式中三种学习用品数量的差都是 1。 将 3 支铅笔7 本练习本1 个橡皮6.90 元中每个数据扩大 3 倍； 将 4 支铅笔10 本练习本1 个橡皮9.50 元中每个数据扩大 2 倍。 可得： 9 支铅笔21 本练习本3 个橡皮20.7 元 8 支铅笔20 本练习本2 个橡皮19 元 对应的数据相减，就可以求出结果。 例例 7、学校买足球和排球，买 3 个足球和 4 个排球共需要 190 元，如果买 6 个足球和 2 个排球需要 230 元。 一个足球和一个排球各多少元？ 【解析】
10、我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 3 个足球4 个排球=190 元 （1） 6 个足球2 个排球=230 元 （2） 我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减， 都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。 再观察我们可以发现：如果把（1）式同时扩大 2 倍，得到 6 个足球和 8 个排球共 380 元， 然后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了 6 个，也就多了 380230=150 元， 也就是 6 个排球是 150 元，一个排球为 150 6=25 元，那么一个足球是（19025 4） 3=30 元。 例例 8、商店里有一些气球
11、，其中红气球和蓝气球共 21 只，蓝气球和黄气球共 28 只，黄气球和红气球共 29 只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？ 【解析】根据题意，我们可以列出下列关系式： 红气球的个数蓝气球的个数=21 （1） 蓝气球的个数黄气球的个数=28 （2） 黄气球的个数红气球的个数=29 （3） 我们可将（1）（2）（3），即 212829=78 只，这里包含有 2 倍红气球的个数、2 倍蓝气球的 个数和 2 倍黄气球的个数， 由此，可得出三种气球的总只数：78 2=39 只。 然后再根据红气球和蓝气球共 21 只，可求出黄气球的只数：3921=18 只； 同理可求出红气球的个数是 39 28=11
12、只，蓝气球的个数是 3929=19 只。 例例 9、 三年级三个班种了一片小树林， 其中 72 棵不是一班种的， 75 棵不是二班种的， 73 棵不是三班种的。 三个班各种了多少棵？ 【解析】72 棵不是一班种的，说明二班和三班共种树 72 棵； 75 棵不是二班种的，说明一班和三班共种 75 棵； 73 棵不是三班种的，说明一班和二班共种 73 棵。 这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（727573） 2=110 棵。 用 11072=38 棵就是一班种的棵数，11075=35 棵就是二班种的棵数，11073=37 棵就是三班种的棵数。 例例 10、已知 13 个李子的重量等于 2 个
13、苹果和 1 个桃子的重量，而 4 个李子和 1 个苹果的重量等于 1 个桃子 的重量。问多少个李子的重量等于 1 个桃子的重量？ 【解析】根据题意列出等式： 13 李=2 苹1 桃 （1） 4 李1 苹=1 桃 （2） 把（2）式代入（1）式得：13 李=2 苹4 李1 苹 即 9 李=3 苹，即 3 李=1 苹 （3） 把（3）式代入（2）式得：4 李3 李=1 桃 即：7 李=1 桃 课堂狙击课堂狙击 1、学校图书馆买来一批新书，每班借 5 本，则多 10 本；每班借 7 本，则少 20 本一共买来多少本新书？ 【解析】为了清楚地看懂题意，我们把题目中给出的两组对应关系排列在一起： 每班借
14、 5 本多 10 本； 每班借 7 本少 20 本 两种借法的总数相差 20+ 10=30（本），且两种借法每班相差 7-5 = 2（本）， 所以每班相差 7-5 =2（本）与 20 +10=30(本)相对应 实战演练 解班级数为： (20 +10) (7-5)=15（个）， 买来的新书有： 5 15 +10=85(本)， 或 7 15 20=85（本） 答一共买来 85 本新书。 2、为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子 3 折时，绳子比井深还长出 6 米，当 他们将绳子 4 折时，则绳子比井深长出 2 米，你能算出井深与绳子的长度吗？ 【解析】在题目的条件中，将绳子
15、3 折时，绳子比井深还长出 6 米， 实际上是指绳子的长度比井深的 3 倍还多 6 318(米) 而当他们将绳子 4 折时，则绳子比井深长出 2 米， 指的是绳子的长度比井深的 4 倍还多 2 4=8（米） 排列出题设中给出的条件： 绳子 3 折井深的 3 倍多出 6 3=18(米)； 绳子 4 折井深的 4 倍多出 2 4=8（米） 这样，就可以求出井深与绳长 解：井深：(6 3 2 4) (4 -3)=10(米)； 绳长：10 3+6 3=48（米） 3、吴老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟走 80 米，他将迟到 5 分钟；如果骑 自行车，每分钟行 200 米，他可以
16、提前 7 分钟到校，吴老师出发时离上班时间还有多少分钟？ 【解析】题目中给出了两个对应的数量关系： 每分钟行 80 米迟到 5 分钟； 每分钟行 200 米提前 7 分钟， 表示从出发到上班这段时间内有以下对应关泵： 每分钟行 80 米 比家到学校的路程少走了 80 5 - 400（米）； 每分钟行 200 米比家到学校的路程多走了 200 7=1400(米) 再根据对应关系求出问题答案 解: 从出发到上班这段时间里，骑自行车比步行多行的路程为 80 5 +200 7=1800(米)， 出发时离上班的时间还相差 1800 (200 - 80)=15（分） 答：吴老师出发时离上班时间有 15 分
17、钟 说明排列条件显示出对应关系，有利于增强我们分析思考的感性认识，在排列条件时应注意转化题目中某 些条件，使排出的条件能反映出对应数量的变化，以便寻找解题的突破口。 4、有白、红、黑三种颜色的球，白球和红球共 15 个，红球和球共 18 个，黑球和白球共 9 个问：三种球 各多少个？ 【解析】将所给条件排列出来： 白球数+红球数= 15 个， 红球数十黑球数=18 个， 黑球数十白球数=9 个 观察排列出的条件，若将+，可得出白球数十红球数十黑球数的两倍量从而求出白球数十红球 数十黑球数的个数，再对照可分别求出白、红、黑球的个数 解： 白球数+红球数十黑球数为 (15 +18+9) 2- 42
18、 2=21（个）， 黑球数为： 21-15 =6（个）， 白球数为： 21-18 =3（个）， 红球数为： 21-9 =12（个） 答：白球有 3 个，红球有 12 个，黑球有 6 个 5、王强的爸爸用 200 元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，只记得外衣的价钱比帽子贵 90 元，外衣加帽 子的价钱比鞋贵 120 元，你能帮王强爸爸算出每一件东西的价钱吗？ 分析把条件按数量关系排列出来： 外衣价十帽价十鞋价=200 元， 外衣价一帽价=90 元， 外衣价十帽价一鞋价=120 元 观察排列出的条件，可以从和看出，2 倍的鞋价是 200120 =80(元)， 得出鞋价是 40 元式变成：外衣价十帽
19、价= 160 元， 再与式对照，不难发现，此题转换成简单的和差问题了 解：鞋的价格为(200 -120) 2- 80 2=40(元), 外衣价十帽价为 200 40=160(元)， 外衣的价格为 (160+ 90) 2250 2=125(元), 帽的价格为 160125=35(元) 答：鞋价是 40 元，帽价是 35 元，外衣价是 125 元 课后反击课后反击 1、商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共 21 只，黄气球和蓝气球共 28 只，红气球和黄气球共 29 只， 商店里有红气球、蓝气球、黄气球各多少只？ 【解析】三种颜色气球的总数： （212829）2 782 39（只） 黄色气球：3
20、92118（只） 红色气球：392811（只） 蓝色气球：392910（只） 答：红气球有 11 只，蓝气球有 10 只，黄气球有 18 只。 2、小明和小红共 12 岁，小明和小丽共 17 岁，小丽和小红共 13 岁，三人各多少岁？ 【解析】小明和小红共 12 岁,小丽和小明共 13 岁 小丽比小红大：13-12=1 岁 所以小丽为：(17+1)2=9 岁 小红为：9-1=8 岁 小明为：12-8=4 岁 3、公园开菊花展。白菊花和黄菊花共 152 朵，红菊花和黄菊花共 128 朵，白菊花和红菊花共 168 朵，三种 菊花各多少朵？ 【解析】一共 (152+128+168)2=224 盆 红
21、菊花 224-152=72 盆 白菊花 168-12=96 盆 黄菊花 224-168=56 盆 4、 百货商店运来三种鞋子， 其中 37 双不是皮鞋， 54 双不是运动鞋， 51 双不是布鞋， 三种鞋各运来多少双？ 【解析】(37+54+51)2=1422=71(双) 7137=34(双) 7154=17(双) 7151=20(双) 答：皮鞋有 34 双，运动鞋有 17 双，布鞋有 20 双。 5、一个班同学做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数学、英语作业中的一种。有 23 人 没有做完数学作业，有 19 人没有做完语文作业，有 16 人没有做完英语作业，做完三种作业的各多少人？ 【解析】全班同学都只做完了语文、英语作业中的一种得，而且有 19 人没有完成语文作业， 所以完成英语作业的有 19 人，有 16 人没有做完英语作业， 所以完成语文作业的有 16 人， 所以总共有：16+19=35（人）， 所以完成数学作业的有 35-23=12（人） 在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观 察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
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