1、2020 年高考（理科）数学二模试卷年高考（理科）数学二模试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x2+x20B1，0，1，2，则（ ） AAB2 BABR CB（RA）1，2 DB（RA）x|1x2 2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ） A1 B1 C D 3已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN（modm）表示 正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 104（mod6）执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ） A11 B13 C14 D17 5若 ， 是两个非零向量，
2、且 ， ， 则向量 与 夹角 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 6函数 的图象大致为（ ） A B C D 7圆周率 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 进行了 估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生 N 人，让每人随 机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的人数 M，利用 所学的有关知识，则可估计出 的值是（ ） A B C D 8设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）0，则不等式 0 的 解集为（ ） A（1，0）（1，+） B（，1）（0，1） C（，1）（1，+） D（
3、1，0）（0，1） 9过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）若MAB 的面积为 ，则|AB|（ ） A2 B4 C D8 10 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 an 数列bn满足 bn （1） n （2n+1） an，则数列bn的前 100 项和 T100为（ ） A B C D 11对于函数 有下列说法： f（x）的值城为1，1； 当且仅当 时，函数 f（x）取得最大值； 函数 f（x）的最小正周期是 ； 当且仅当 ， 时 f（x）0 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12 三棱锥PABC中 ABBC， PAC为等
4、边三角形， 二面角PACB的余弦值为 ， 当 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8则三棱锥体积的最大值为（ ） A1 B2 C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知（x1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为 0，则实数 a 14已知双曲线 （a0，b0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一 点，若PAB 为等腰三角形，PAB120，则双曲线的离心率为 15已知数列an满足 （n N*），且 a26，则an的通项公式 为 16改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人 们的出行需求某城市的 A 先生实
5、行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地 铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交到离单位最近 的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42），下车后步行再到单位 需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟现有下列说法： 若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； 若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； 若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； 若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大 则以上说法
6、中正确的序号是 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6826， P（2Z+2）0.9544， P（3Z+3）0.9974 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且ABC 外接圆的半径为 1 （）求角 C； （）求ABC 面积的最大值 18 如图， 四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形， BAD60， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，
7、EFAC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为 45 （）求证：BD平面 ACF； （）求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 19已知 F1，F2是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直 线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为 ， （）求椭圆 C 的方程； （）过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当ABF2面积最大时，求直线 l 的方程 20 为实现 2020 年全面建设小康社会， 某地进行产业的升级改造 经市场调研和科学研判， 准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产 该
8、部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件的尺寸 x，进行统 计整理的频率分布直方图 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x12|1 为一级品，1|x12|2 为二级品，|x12|2 为三级品 （）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x 12，15的产品，记 为这 2 件产 品中尺寸 x 14，15的产品个数，求 的分布列和数学期望； （）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验已知每箱有 100 件产品， 每件产品的检验费用为 50 元检验规定：若检
9、验出三级品需更换为一级或二级品；若不 检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿现从一箱产品中随机抽 检了 10 件，结果发现有 1 件三级品若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支 付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （）为加大升级力度，厂家需增购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件乙种设备产品中一、 二、三级品的概率分别是 ， ， 若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的 利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由 21已知函数 f（x）lnx+
10、ax+1 （）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （）f（x）xex恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与 参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C2的 参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系 （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的极坐标方程； （）射线 与曲线 C2交于 O，P 两点，射线 与曲线 C1交于 点 Q，若OPQ
11、 的面积为 1，求|OP|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正实数 （）若 a+b+c1，证明： ； （）证明： 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x2+x20B1，0，1，2，则（ ） AAB2 BABR CB（RA）1，2 DB（RA）x|1x2 【分析】先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误 解：Ax|x2+x20x|x2 或 x1AB2 故选：A 【点评】本题考查集合的基本运算，属于基础题 2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ） A1
12、 B1 C D 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解： 是纯虚数， ， 0，解得 a1， 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 3已知 ， ， ，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解： ，0a ， log0.50.2log25log24，b2， 0.510.50.20.50， ， acb， 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理nN（modm）表示 正整数 n 除以正整数 m 的余数为
13、N，例如 104（mod6）执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ） A11 B13 C14 D17 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下 条件的最小两位数： 被 3 除余 2， 被 4 除余 1， 故输出的 n 为 17， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答，属于基础题 5若 ， 是两个非零向量，且 ， ， 则向量 与 夹角 的取值范围是（
14、） A ， B ， C ， D ， 【分析】根据题意，设| | |t，向量 与 夹角为 ，又由| |mt，由向量模 的计算公式变形可得： t 2，进而可得| |的值，由数量积公式可得 cos ，结合 m 的范围，分析可得 cos 的范围，结合余弦函 数的性质分析可得答案 解：根据题意，设| | |t，则| |mt，再设向量 与 夹角为 ， 则有| |2（ ）2 2 2+2 m 2t2，变形可得： t 2， 则有| |2（ ）2 2 22 2t 22（ t 2）4t2m2t2，变形可得 | | t， 则 cos ， 又由 1m ，则 1 ，则有 cos ， 又由 0，则有 ，即 的取值范围为 ，
15、 ； 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题 6函数 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数是否存在零点，以及 f（1）的符号，利用排除法进行判断即可 解：f（1） 0，排除 C，D， 由 0，则方程无解，即函数没有零点，排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键 7圆周率 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 进行了 估算现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算假设某校共有学生 N 人，让每人随 机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的
16、人数 M，利用 所学的有关知识，则可估计出 的值是（ ） A B C D 【分析】N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，若 a，b，1 能构造锐角 三角形，则 a2+b21，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y21 外的有 M 对，再利用几何概 率的概率公式即可求出 的近似值 解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，得到 N 个实数对（a， b）， 因为 0a1，0b1，所以 N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，如 图所示： 若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为 1 是最长边，所以 1 所对的角为锐角， 所以
17、，即 a 2+b21， 所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y21 外的有 M 对， 由几何概率的概率公式可得： 1 ， 所以 ， 故选：B 【点评】本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题 8设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）0，则不等式 0 的 解集为（ ） A（1，0）（1，+） B（，1）（0，1） C（，1）（1，+） D（1，0）（0，1） 【分析】根据函数为奇函数求出 f（1）0，再将不等式 x f（x）0 分成两类加以分析， 再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集 解：f（x）为奇函数，且在（0，+）上是增函数，f（1）0， f（1）f（1）0
18、，在（，0）内也是增函数 0， 即 或 根据在（，0）和（0，+）内是都是增函数 解得：x （1，0）（0，1） 故选：D 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属 于基础题结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解 9过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）若MAB 的面积为 ，则|AB|（ ） A2 B4 C D8 【分析】 求得抛物线的焦点 F 的坐标， 可设直线 l 的方程为 xty+1， 联立抛物线的方程， 消去 x， 可得 y 的二次方程， 运用韦达定理和弦长公式， 以及三角形的面积公式， 解得 t， 进而
19、得到所求值 解：抛物线 y24x 的焦点 F 为（1，0），可设直线 l 的方程为 xty+1， 代入抛物线方程，可得 y24ty40， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y24t，y1y24， 则|AB| |y1y2| ， MAB 的面积为 |MF| |y 1y2 | 2|y 1y2|4 ， 即 4 ，解得 t1， 则|AB| 8， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线 方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档 题 10 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 an 数列bn满足 b
20、n （1） n （2n+1） an，则数列bn的前 100 项和 T100为（ ） A B C D 【分析】由 an 求出 a1，a2，猜想出 an ，然后用数学归纳法证明猜想， 再使用裂项相消法求数列bn的前 100 项和 T100 解： ，当 n1 时，有 a1 ，解得 a1 ；当 n2 时，可解得 a2 ，故猜想：an ，下面利用数学归纳法证明猜想： 当 n1，2 时，由以上知道 an 显然成立； 假设当 nk （k2） 时， 有 ak 成立， 此时 Sk 成 立 ， 那 么 当 n k+1 时 ， 有 ak+1 ，解得 ak+1 ，这说明当 nk+1 时也成 立 由知： an bn （
21、1） n （2n+1） a n， bn （1） n （2n+1） （1） n （ ）， 数列bn的前 100 项和 T100（ ）+（ ）（ ）+（ ） 1 故选：C 【点评】本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和 中的应用，属于中档题 11对于函数 有下列说法： f（x）的值城为1，1； 当且仅当 时，函数 f（x）取得最大值； 函数 f（x）的最小正周期是 ； 当且仅当 ， 时 f（x）0 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据绝对值的定义将函数 f（x）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各 命题的真假 解：因为 f（x） ， ，
22、 ，作出函数 f（x）的图象，如图所示： 所以，f（x）的值城为1， ，错误； 函数 f（x）的最小正周期是 2，错误； 当且仅当 时，函数 f（x）取得最大值，正确； 当且仅当 ， 时，f（x）0，正确 故选：B 【点评】本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档 题 12 三棱锥PABC中 ABBC， PAC为等边三角形， 二面角PACB的余弦值为 ， 当 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8则三棱锥体积的最大值为（ ） A1 B2 C D 【分析】由已知作出图象，找出二面角 PACB 的平面角，设出 AB，BC，AC 的长， 即可求出三棱锥 PABC 的高
23、，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用 含有 AC 长度的字母表示） ， 再设出球心 O， 由球的表面积求得半径， 根据球的几何性质， 利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得 AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求 解：如图所示， 过点 P 作 PE面 ABC，垂足为 E，过点 E 作 EDAC 交 AC 于点 D，连接 PD， 则PDE 为二面角 PACB 的平面角的补角，即有 cosPDE ， 易知 AC面 PDE，则 ACPD，而PAC 为等边三角形， D 为 AC 中点， 设 ABa，BCb，AC c， 则 PEPDsinPDE c ， 故三棱锥 PABC 的体积为：V
24、ab ， 当且仅当 ab 时，体积最大，此时 B、D、E 共线 设三棱锥 PABC 的外接球的球心为 O，半径为 R， 由已知，4R28，得 R 过点 O 作 OFPE 于 F，则四边形 ODEF 为矩形， 则 ODEF ，EDOFPDcosPDE ，PE ， 在 RtPFO 中，（ ） 2 ，解得 c2 三棱锥 PABC 的体积的最大值为： 故选：D 【点评】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角 的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知（x1）（ax+1）5的展开式中，x
25、2的系数为 0，则实数 a 【分析】将原式转化为 x（ax+1）5（ax+1）5，然后利用（ax+1）5的通项研究 x2 解：原式x（ax+1）5（ax+1）5， 因为（ax+1）5（1+ax）5， 故原式 x2项为： ， 令 ，即 5a10a20， 解得 或 a0（舍） 故答案为： 【点评】 本题考查二项式展开式通项的应用， 以及学生利用方程思想解决问题的能力 属 于基础题 14已知双曲线 （a0，b0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一 点，若PAB 为等腰三角形，PAB120，则双曲线的离心率为 【分析】设 P（m，n）在第二象限，由题意可得|PA|AB|2a，求得 P 的坐
26、标，代入双 曲线的方程，化简可得 a，b 的关系，即可得到所求离心率 解：设 P（m，n）在第二象限，由PAB 为等腰三角形，PAB120，可得|PA|AB| 2a， 可得 m2acos120a2a，n2asin60 a，即 P（2a， a）， 由 P 在双曲线上，可得 1， 即有 1，即 ab， 可得 e ， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查任意角三角函数的定义，考查方程思想和 运算能力，属于基础题 15已知数列an满足 （n N*），且 a26，则an的通项公式为 2n2n 【分析】易求 a11，当 n2 时，对已知等式变形得 ，所以数列 从第二项开始是常数列，所以 2
27、，从而求出 an，验证首项满足 an，进而得到an 的通项公式 解：数列an满足 （n N*）， 当 n1 时，a11， 当 n2 时， ， 数列 从第二项开始是常数列，又 2， 2， （n2）， 又 a11 满足上式， ， 故答案为：2n2n 【点评】本题主要考查了数列的递推式，是中档题 16改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人 们的出行需求某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地 铁加步行已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交到离单位最近 的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，4
28、2），下车后步行再到单位 需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟现有下列说法： 若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； 若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； 若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； 若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大 则以上说法中正确的序号是 参考数据：若 ZN（，2），则 P（Z+）0.6826， P（2Z+2）0.9544， P（3Z+3）0.9974 【分析】 利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率， 逐项
29、分析， 即可选出正确答案 解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需 要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z45） 江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故错误； 若 8：02 出门，江先生乘坐公交 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z41） 时，江先生乘坐公交 不会迟到； 若 8：02 出门，江先生乘坐地铁 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5
30、 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2服从正态分布 N（44，22）， 故当满足 P（Z48） 时，江先生乘坐地铁 不会迟到 此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故正确； 若 8：06 出门，江先生乘坐公交 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z37） 0.8413 时，江先生乘坐公交 不会迟到； 若 8：06 出门，江先生乘坐地铁 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2服从正态分布 N（44
31、，22）， 故当满足 P（Z44） 0.5 时，江先生乘坐地铁不会迟到 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故错误； 若 8：12 出门，江先生乘坐公交 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z31）时，江先生乘坐公交不会迟到， 而 P（Z31）P（Z29） ； 若 8：12 出门，江先生乘坐地铁 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2服从正态分布 N（44，22）， 故当满足 P（Z38） 时，
32、江先生乘坐地铁不会迟到 由 0.18570.00135， 若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故正确 故答案为： 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且ABC 外接圆的半径为 1 （）求角 C； （）求ABC
33、面积的最大值 【分析】（）由已知利用正弦定理可得 sinA ，sinB ，sinC ，代入已知等式整 理可得 ，由余弦定理可得 cosC，结合范围 C （0，），可求 C 的值 （）由正弦定理可得 c，由余弦定理，基本不等式可求 ab 2 ，进而利用三 角形的面积公式可求ABC 面积的最大值 解：（）由正弦定理 ，可得 sinA ，sinB ，sinC ， 又 ， ， a2b2 abb2，即 ，由余弦定理可得 cosC ， C （0，）， C （）由正弦定理 ，可得 c2sin ， 由余弦定理 2a2+b22ab 2ab ab（2 ）ab，可得 ab 2 ，当 且仅当 ab 时等号成立， 可得
34、 SABC absinC ab ，当且仅当 ab 时等号成立，即ABC 面积的最大 值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解 三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18 如图， 四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形， BAD60， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，EFAC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与平面 ABCD 所成角为 45 （）求证：BD平面 ACF； （）求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 【分析】（）取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH
35、平面 ABCD，从而 EHBD，再由 AC BD，能证明 BD平面 ACF （） 以 H 为原点， HA 为 x 轴， 在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 解：（）证明：取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH平面 ABCD， BD 在平面 ABCD 内，EHBD， 又菱形 ABCD 中，ACBD，且 EHACH， EH，AC 在平面 EACF 内， BD平面 EACF，BD平面 ACF （）解：由（）知 EH平面 ABCD， 以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面
36、ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， EH平面 ABCD，EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即EAH45， AB4，AO2 ，AH ，EH ， H（0，0，0），A（ ，0，0），D（ ，2，0），O（ ，0，0），E（0，0， ）， 平面 ABCD 的法向量 （0，0，1）， （2 ，0，0）， （ ， ， ），EFAC， （2 ， 0，0）， 设平面 DEF 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 y ，得 （0， ，2）， cos ， 平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角
37、的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知 F1，F2是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直 线 x+y1 被椭圆截得的弦的中点坐标为 ， （）求椭圆 C 的方程； （）过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当ABF2面积最大时，求直线 l 的方程 【分析】（）利用点差法和斜率公式即可求出； （）设 A（x3，y3），B（x4，y4），联立直线与椭圆的方程可得（m2+2）y22my1 0，由三角形面积公式和基本不等式即可求出 解：（）直线 x+y1 与 y 轴的交于（0，1）点，b1， 设直线 x+y1 与椭
38、圆 C 交于点 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 x1+x2 ，y1+y2 ， 1， 1， 两式相减可得 （x 1x2）（x1+x2） （y 1y2）（y1+y2）0， ， 1， 解得 a23， 椭圆 C 的方程为 y 21 （）由（）可得 F1（ ，0），F2（ ，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4）， 讲直线 l 的方程 xmy 代入 y 21，可得（m2+3）y22 my10， 则 y3+y4 ，y 3y4 ， |y3y4| ， |F1F2| |y3y4| | |y3y4| ， 当且仅当 ，即 m1，ABF2面积最大， 即直线 l 的方程为 xy 0 或 x+y 0 【点
39、评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之 间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解 20 为实现 2020 年全面建设小康社会， 某地进行产业的升级改造 经市场调研和科学研判， 准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产 该部件如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件的尺寸 x，进行统 计整理的频率分布直方图 根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x12|1 为一级品，1|x12|2 为二级品，|x12|2 为三级品 （）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中
40、抽取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x 12，15的产品，记 为这 2 件产 品中尺寸 x 14，15的产品个数，求 的分布列和数学期望； （）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验已知每箱有 100 件产品， 每件产品的检验费用为 50 元检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不 检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿现从一箱产品中随机抽 检了 10 件，结果发现有 1 件三级品若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支 付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （）为加大升级力度，厂家需增
41、购设备已知这种产品的利润如下：一级品的利润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件乙种设备产品中一、 二、三级品的概率分别是 ， ， 若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的 利润作为决策依据应选购哪种设备？请说明理由 【分析】（I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算； （II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论； （III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论 解： （I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸 x 12，15的件数为：40（0.2+0.175+0.075） 118， 其中 x 14，15的产
42、品件数为 40（0.0751）3， 的可能取值为 0，1，2， P（0） ，P（1） ，P（2） ， 的分布列为： 0 1 2 P E0 1 2 （II）三级品的概率为（0.1+0.075）10.175， 若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 501005000； 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 5010+200900.1753650， 50003650， 故不对剩余产品进行逐一检验 （III）设甲设备生产一件产品的利润为 y1，乙设备生产一件产品的利润为 y2， 则 E（y1）500（0.3+0.2）+400（0.150+0.175）+2000.175415， E（y2）500 40
43、0 200 420 E（y1）E（y2） 应选购乙设备 【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于 中档题 21已知函数 f（x）lnx+ax+1 （）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （）f（x）xex恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（）研究函数 f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于 a 的 不等式求解； （）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所 以可分离参数 a，即问题转化为 在（0，+）上恒成立再研究函数 g （x） 的单调性，求其最小值即可 解：（）由已知得 x0， 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）是增函数，故不会有两个零点； 当 a0 时，由 ，得 ， 此时 ， 时， ，此时 递增 ；当 ， 时， ，此时 是减函数 所以 时，f（x）取得极大值，由 f（x）有两个零点，所以 ，解得1a 0 又 ，所以 f（x）在（0， ）有唯一零点 再取 ， 则 所以 f（x）在（ ， ）有唯一实数根a 的取值范围是（1，0） （） f （x） xex恒成立， 即 xexlnx+ax+1 在 （0， +） 上恒成立， 即 在 （0， + ）上恒成立 令 g（x） ，则 令 h（x）x2ex+lnx，则 0所以 h（x）在（
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