1、2020 年高考数学三模试卷（文科）年高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1复数 z 的虚部为（ ） A i B C i D 2若集合 Ax|log2x3，Bx|x22x80，则 AB（ ） Ax|x8 Bx|2x4 Cx|2x8 Dx|0x4 3若直线 x+（a1）y+10 与直线 ax+2y10 互相垂直，则实数 a（ ） A B C1 D2 4抛物线 yax2上一点 ， 到其准线的距离为（ ） A B C D 5若 ，则 的值为（ ） A B C D 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 （） 的折线统计图： 已知每月
2、最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83，则下列结论错误的是（ ） A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月，波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 7 2019 年 11 月 26 日， 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” （昵称： day） ， 2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正整数平方
3、的倒数相加等小红设计了如图所示的程序 框图，要求输出的 T 值与 2非常近似，则、中分别填入的可以是（ ） A ，ii+1 B ，ii+1 C ，i2i D ，ii+1 8函数 ye|x|cosx 的图象大致为（ ） A B C D 9 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球， 分别标有数字 1， 2， 3，4现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 3 次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数， 每 1 组中有 3 个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 131 432
4、123 233 234 122 332 141 312 241 122 214 431 241 141 433 223 442 由此可以估计恰好在第 3 次停止摸球的概率为（ ） A B C D 10已知函数 yf（x）对任意 xR，都有 2f（x）3f（x）5sin2x+cos2x，将曲线 y f（x）向左平移 个单位长度后得到曲线 yg（x），则曲线 yg（x）的一条对称轴方程 为（ ） A B C D 11已知双曲线 C： ， 的左、右焦点为 F1，F2，直线 l：yx+1 与双曲 线 C 相交于 A，B 两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为 G，H，若以 GH 为直径的圆过 原点，
5、则 （ ） A2 B2 C D 12如图所示，三棱锥 SABC 中，ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形，SA ，若 S，A，B，C 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ） A B C D3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知向量 （2， 1） ， （1， x） ， 若 （ ） （ ） ， 则实数 x 的值为 14若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是 15如图所示，正方形 ABCD 的四个顶点在函数 y1logax，y22logax，y3logax+3（a1） 的图象上，则 a 16在等腰ABC 中，AB，点 D 在线段
6、AC 上，且 CD2DA，若 tanABD ，则 tanA 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且 a1b11，a2b2，a3b31 （）求an和bn的通项公式； （）记 ，求数列cn的前 2n 项和 S2n 18 第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 22 日在北京市和河北省张家口市联合举行， 这是中国历史上第一次举办冬季奥运会为了宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪 项目，某校高三年级举办了冬奥会知识竞赛（总分 100 分），并随机抽取了 n 名中学生 的成绩，绘制成如
7、图所示的频率分布直方图已知前三组的频率成等差数列，第一组和 第五组的频率相同 （1）求实数 a，b 的值，并估计这 n 名中学生的成绩平均值 ；（同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表） （）已知抽取的 n 名中学生中，男女生人数相等，男生喜欢花样滑冰的人数占男生人 数的 ，女生喜欢花样滑冰项的人数占女生人数的 ，且有 95%的把握认为中学生喜欢花 样滑冰与性别有关，求 n 的最小值 参考数据及公式如表： P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2 ，na+b+c+d 19已知正ABC 边长为 3，点 M，N 分别是 AB，AC 边上
8、的点，ANBM1，如图 1 所 示 将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置， 使线段 PC 长为 ， 连接 PB， 如图 2 所示 （）求证：平面 PMN平面 BCNM； （）求点 N 到平面 BMP 的距离 20如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： 1（ab0）的离心率 为 ，A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆 E 的上顶点，直线 AB 与 x 轴相交 于点 C，|AC|AO|，BOC 的面积为 6 （）求椭圆 E 的标准方程； （）若直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，设椭圆 E 的两焦点到直线 l 的距离分别 是 d1，d2，试问 d1 d2是否为
9、定值？若是，求出其值；若不是，说明理由 21已知函数 f（x）exax2（x0，aR） （）若 f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （）若 f（x）存在极大值点 x0，证明：f（x0）a 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （）M，N 为曲线 C上两点，若 OMON，求|MN|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23定义区间（x1，x2）（x
10、2x1）的长度为 x2x1，已知不等式|xm| |x1|+1x（mR） 的解集区间长度为 1 （）求 m 的值； （）若 a，bR，ab0，a+bm，求 的最小值及此时 a，b 的值 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1复数 z 的虚部为（ ） A i B C i D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：z ， 复数 z 的虚部为 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2若集合 Ax|log2x3，Bx|x22x80，则 AB（ ） Ax|x
11、8 Bx|2x4 Cx|2x8 Dx|0x4 【分析】先求出集合 A，B，再利用集合的并集运算，即可算出结果 解：Ax|0x8，Bx|2x4， ABx|2x8， 故选：C 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题 3若直线 x+（a1）y+10 与直线 ax+2y10 互相垂直，则实数 a（ ） A B C1 D2 【分析】根据题意，由两直线互相垂直可知 a+2（a1）0，解可得 a 的值，即可得答 案 解：根据题意，直线 x+（a1）y+10 与直线 ax+2y10 互相垂直， 则有 a+2（a1）0，解得 ， 故选：B 【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及直线垂直的判断方法，属于基
12、础题 4抛物线 yax2上一点 ， 到其准线的距离为（ ） A B C D 【分析】求出 a，然后利用抛物线的定义转化求解即可 解：抛物线 yax2上一点 ， ，可得： ，解得 a2； 抛物线 y2x2，即 x2 ，准线方程为：y 抛物线 y2x2上一点 ， 到其准线的距离为： 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 5若 ，则 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解 解： ， 故选：B 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础
13、题 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 （） 的折线统计图： 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83，则下列结论错误的是（ ） A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月，波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 【分析】由所给的折线图，可以进行分析得到 ABC 正确，D 错误 解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83，可知每月最低气温与最高气温有 较强的线性相关性，且二者为线性
14、正相关， 由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出现在 10 月，9 12 月的月温差相对于 58 月，波动性更大， 每月的最高气温与最低气温的平均值在前 5 个月逐月增加， 第六个月开始减少， 所以 ABC 正确，D 错误； 故选：D 【点评】本题主要考查变量间的相关关系，折线图的分析，属于基础题 7 2019 年 11 月 26 日， 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” （昵称： day） ， 2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质，如莱布尼兹
15、恒等式 ，即为正整数平方的倒数相加等小红设计了如图所示的程序 框图，要求输出的 T 值与 2非常近似，则、中分别填入的可以是（ ） A ，ii+1 B ，ii+1 C ，i2i D ，ii+1 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 6S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：依题意中输出的 ， 由于 S 的值为正整数平方的倒数相加，可得中填入的可以是 SS ， 由题意可知循环变量 i 的初值为 1，终值为 2020，步长值为 1，循环共执行 2020 次，可 得中填入的可以是 ii+1， 故选：B 【点评】本题考查了程序框
16、图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8函数 ye|x|cosx 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，单调性和值域，利用排除法得出答案 解：显然函数 ye|x|cosx 是偶函数，函数图象关于 y 轴对称，排除 B， 当 x0 时，e|x|ex1，而 cosx1，当 x0 时，y0，排除 A， 当 x0 时，yex+sinx0，函数在（0，+）上单调递增，排除 C， 故选：D 【点评】本题考查了函数图象的判断，属于中档题 9 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球， 分别标有数字 1， 2， 3，4现
17、每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 3 次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数， 每 1 组中有 3 个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 131 432 123 233 234 122 332 141 312 241 122 214 431 241 141 433 223 442 由此可以估计恰好在第 3 次停止摸球的概率为（ ） A B C D 【分析】在 18 组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第 3 次停止摸球”的随机数有 4 组，由此能求出恰好在第 3 次停止摸球的概率 解：在
18、18 组随机数中， 代表“恰好在第 3 次停止摸球”的随机数是 432，234，214，442，共 4 组， 则恰好在第 3 次停止摸球的概率为 ， 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 10已知函数 yf（x）对任意 xR，都有 2f（x）3f（x）5sin2x+cos2x，将曲线 y f（x）向左平移 个单位长度后得到曲线 yg（x），则曲线 yg（x）的一条对称轴方程 为（ ） A B C D 【分析】由题意先利用函数的奇偶性解方程组求出 f（x）的解析式，再利用函数 yAsin （x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性
19、，求得曲线 yg（x）的一条对称 轴方程 解：由 ，2+3，得5f（x） 5sin2x+5cos2x， 即 将曲线 yf（x）向左平移 个单位长度后得到 的图象 令 ，kZ，求得 x ，kZ， 则 g（x）的图象的对称轴方程为 ，kZ， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的奇偶性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函 数的图象的性，属于基础题 11已知双曲线 C： ， 的左、右焦点为 F1，F2，直线 l：yx+1 与双曲 线 C 相交于 A，B 两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为 G，H，若以 GH 为直径的圆过 原点，则 （ ） A2 B2 C D 【分析】设 A（x1，y
20、1），B（x2，y2），由 ，消去 y 得（b 2a2）x2 2a2xa2a2b20，利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 ，消去 y 得（b 2a2）x22a2xa2a2b20， ， ， 由于 F1（c，0），F2（c，0），可知 ， ， ， ， 由题意可得 ，x1x2+y1y20，2x1x2+（x1+x2）+10， ，即 b2a22a2b2， ， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档 题 12如图所示，三棱锥 SABC 中，ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形，SA ，若 S
21、，A，B，C 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ） A B C D3 【分析】取线段 BC 的中点 D，连结 AD，SD，由题意得 ADBC，SDBC，ADS 是 二面角 ABCS 的平面角，求得ADS ，由题意得 BC平面 ADS，分别取 AD， SD 的三等分点 E，F，在平面 ADS 内，过点 E，F 分别作直线垂直于 AD，SD，两条直 线的交点即球心 O，连结 OA，则球 O 半径 R|OA|，由此能求出球 O 的表面积 解：取线段 BC 的中点 D，连接 AD，SD，ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形， ADBC，SDBC， ，又 ， ， ， 易知 BC平
22、面 ADS，分别取线段 AD，SD 的三等分点 E，F， 在平面 ADS 内，过点 E，F 分别作直线垂直于 AD，SD，两条直线的交点即球心 O，连 接 OA，则球 O 半径 R|OA| 易知 ， ，连接 OD， 在 RtODE 中， ， ， ，故球 O 的表面积为 ， 故选：A 【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 （2，1）， （1，x），若（ ）（ ），则实数 x 的值为 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出 x 的值
23、解：向量 （2，1）， （1，x）， 所以 （1，1+x）， （3，1x）； 又（ ）（ ）， 所以 3（1+x）1（1x）0， 解得 x 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题 14若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是 ， 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可 解：作出可行域， 的几何意义为：点（x，y）与原点 O 所确定直线的斜率 由 解得 A（2，1）， 由 解得 ， ， 当直线过 A （2， 1） 时， ； 过 ， 时， ， 即 的取值范围是 ， 故答案为： ， 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z
24、 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 15如图所示，正方形 ABCD 的四个顶点在函数 y1logax，y22logax，y3logax+3（a1） 的图象上，则 a 2 【分析】设出各点坐标，根据 AB 平行于 x 轴得到 ，再结合 CD 平行于 x 轴得到 ，可得 x1a， ，再结合边长相等即可得到结论 解：设 B（x1，2logax1），C（x1，logax1+3），A（x2，logax2），D（x2，2logax2）， 则 logax22logax1， ， 又 2logax2logax1+3， ，即 x1a， ， ABCD 为正方形，|AB|BC|； 可得 a2a2， 解得 a
25、2 故答案为：2 【点评】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现 出了数形结合的思想，属于中档题 16在等腰ABC 中，AB，点 D 在线段 AC 上，且 CD2DA，若 tanABD ，则 tanA 2 【分析】设 DAx，则 CD2x，ABD，在ADB 中和CDB 中运用正弦定理得 ， 所以 sin （A） 4cosAsin， 化简整理得 tanA5tan， 又因为 ， 所以 tanA2 解：设 DAx，则 CD2x，ABD，如图所示：， 在ADB 中，由正弦定理得 ，即 ， 在CDB 中，由正弦定理得 ，即 ， 即 ， ， sin（A）4cosAsin， s
26、inAcoscosAsin4cosAsin， sinAcos5cosAsin， tanA5tan， ，tanA2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数化简求值，是中 档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且 a1b11，a2b2，a3b31 （）求an和bn的通项公式； （）记 ，求数列cn的前 2n 项和 S2n 【分析】（）先设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q（q0），再由题设条件 列出 d 与 q 的方程，求解出 d 与 q，然后求出各自的
27、通项公式即可； （）由（）与题设条件求得 cn ， 为奇数 ， 为偶数，再利用分组求和法求得其前 2n 项 和 S2n 解：（）设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q（q0），a1b11，a2b2， a3b31， ， 解得：d1，q2 an1+（n1）1n， ； （） ， cn ， 为奇数 ， 为偶数 记 S奇c1+c3+c5+c2n1， S偶c2+c4+c6+c2n， 则数列cn的前 2n 项和 S2nS 奇+S偶 又 奇 ， 偶 ， 【点评】本题主要考查等差、等比数列基本量的运算及通项公式的求法和分组求和法在 数列求和中的应用，属于基础题 18 第 24 届冬奥会将于 2022 年
28、2 月 4 日至 2 月 22 日在北京市和河北省张家口市联合举行， 这是中国历史上第一次举办冬季奥运会为了宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪 项目，某校高三年级举办了冬奥会知识竞赛（总分 100 分），并随机抽取了 n 名中学生 的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图已知前三组的频率成等差数列，第一组和 第五组的频率相同 （1）求实数 a，b 的值，并估计这 n 名中学生的成绩平均值 ；（同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表） （）已知抽取的 n 名中学生中，男女生人数相等，男生喜欢花样滑冰的人数占男生人 数的 ，女生喜欢花样滑冰项的人数占女生人数的 ，且有 95%的把握认为中学生喜欢
29、花 样滑冰与性别有关，求 n 的最小值 参考数据及公式如表： P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2 ，na+b+c+d 【分析】 （） 根据题意等差数列的性质以及各组频率之和为 1 得到关于 a， b 的方程组， 即可求出 a，b 的值，再利用区间中点值乘以该组频率并依次相加即可求出这 n 名中学生 的成绩平均值 ； （）设男生人数为 x，依题意得到列联表，计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格， 得出统计结论 解：（）由题意可知： ，解得 ， 各组频率依次为 0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， ， （）设男生人
30、数为 x，依题意可得列联表如下： 喜欢花样滑冰 不喜欢花样滑冰 合计 男生 x 女生 x 合计 2x ， x29， 又 x4k，kN+，且各组的频数为正整数，故 xmin32，nmin64 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题 目 19已知正ABC 边长为 3，点 M，N 分别是 AB，AC 边上的点，ANBM1，如图 1 所 示 将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置， 使线段 PC 长为 ， 连接 PB， 如图 2 所示 （）求证：平面 PMN平面 BCNM； （）求点 N 到平面 BMP 的距离 【分析】（）由已知求解三角形证明 ANMN，即 P
31、NMN在图 2PNC 中，求解 三角形证明 PNNC再由直线与平面垂直的判定可得 PN平面 BCNM，进一步得到 PMN平面 BCNM； （）连接 BN，由（）可知 PNBN，求解三角形得三角形 PBM 的面积，再求出三 角形 BMN 的面积，然后利用等体积法求点 N 到平面 BMP 的距离 【解答】（）证明：依题意得，在AMN 中，AM2，AN1， ， 由余弦定理得 ，即 MN2+AN2AM2，得 ANMN，即 PNMN 在图 2PNC 中，PN1，NC2， ，PC2PN2+NC2，则 PNNC 又MNNCN，MN，NC平面 BCNM，PN平面 BCNM， 又PN平面 PMN，PMN平面 B
32、CNM； （）解：连接 BN，由（）可知 PNBN， 在BNC 中， ， ， 在PBN 中，PB2PN2+NB28， ， 在PBM 中，有 ， ， 又 ， 设点 N 到平面 BMP 的距离为 d， 由 VNBMPVPBMN，可知 则 点 N 到平面 BMP 的距离为 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能 力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题 20如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： 1（ab0）的离心率 为 ，A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆 E 的上顶点，直线 AB 与 x 轴相交 于点 C，|AC|AO|
33、，BOC 的面积为 6 （）求椭圆 E 的标准方程； （）若直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，设椭圆 E 的两焦点到直线 l 的距离分别 是 d1，d2，试问 d1 d2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由 【分析】（）通过椭圆的离心率，结合三角形的面积，求出 ，b2，即可得到 椭圆方程 （）当直线 l 的斜率不存在时，l： 或 l： ，推出 d1 d24 当直线 l 的斜率存在时， 设 l： ykx+m， 联立方程组 ， 消去 y 整理得 （1+3k2） x2+6kmx+3m2120， 利用直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点， 求出 m212k2+4， 然后求解 d1
34、d2的表达式， 推出结果即可 解：（） ， ， ， 由|AC|AO|，可知 A 为 BC 的中点， ， ， ，即 ， ，即 ， ，b2， 所以椭圆 E 的标准方程为 （） 当直线 l 的斜率不存在时， l： 或 l： ， 当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykx+m， 联立方程组 ，消去 y 整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2120， 直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点， 36k2m24 （1+3k3） （3m212） 0， 即 m212k2+4， 故 d1 d2为定值 4 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想 以及计算能力，是难题 21已
35、知函数 f（x）exax2（x0，a一、选择题） （）若 f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （）若 f（x）存在极大值点 x0，证明：f（x0）a 【分析】（） 由 f （x） 在定义域内单调递增得其导函数恒大于等于零， 分离变量即 在 （0，+）恒成立，转化为求函数最小值，求出 a 的取值范围 （）结合（）考虑函数 f（x）的单调性，确定函数 f（x）的极大值点 x0满足的条件 x0（0，1）且 e 2ax00，代入函数 f（x）化简变形并利用均值不等式可证明 解：（）f（x）在定义域内单调递增， f（x）ex2ax0 在（0，+）恒成立，即 在（0，+）恒成立 令 ，x（0
36、，+），则 ， 当 x（0，1）时，g（x）0；当 x（1，+）时，g（x）0； g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+）上单调递增， ， a 的取值范围是 ， （）证明：f（x）存在极大值点，f（x）ex2ax 至少存在一个零点， 由（）知函数 f（x）不单调得 即函数 的图象与直线 ya 至少存在一个交点， 由（）知，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+）上单调递增， g（x）min ，即函数 的图象与直线 ya 有两个交点 x1，x2， 设 0x11x2，则 x（0，x1）（x2，+）时，g（x）a，即 f（x）0，则 f（x） 在（0，x1），（x2，+）单调递增，在（x1，x2
37、）单调递减， 故 f（x）极大值点 x0x1，由于 x1（0，1）且 e 2ax10， x0（0，1）且 e 2ax00，即 ，即 f（x0）a 【点评】本题考查函数的单调性，极值，零点等问题，以及函数与不等式相结合，属于 综合性很强的难题 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （）M，N 为曲线 C上两点，若 OMON，求|MN|的最小值 【分析】（）直接
38、利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果 解：（）曲线 C 的参数方程为 t 为参数），转换为直角坐标方程为 4x2 y24，整理得 根据 ，转换为极坐标方程为 （）M，N 为曲线 C上两点，设对应的极径为 1，2， 所以 ， 所以 ， 由于 ，解得 ， 所以 ， 即 ， 故 ，当且仅当 tan 21 时，等号成立 故 ， 即 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，基本 不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23定义区间
39、（x1，x2）（x2x1）的长度为 x2x1，已知不等式|xm| |x1|+1x（mR） 的解集区间长度为 1 （）求 m 的值； （）若 a，bR，ab0，a+bm，求 的最小值及此时 a，b 的值 【分析】（）由已知得 x1|xm| |x1|0，x10，再脱绝对值解不等式， 利用区间长度为 1 解 m （）把 化简变形利用 a+b1 和基本不等式可求解 解：（）由|xm| |x1|+1x，得 x1|xm| |x1|0， x10， |xm|1， m1xm+1，由原不等式的解集区间长度为 1 得原不等式的解集为（1，m+1）， 则 m+111，即 m1 （）由（）知 a+b1，又 ab0， a，b0， 3， a+b12 ， 4，即 31， 1，即（ ）min1 当且仅当 ，即 ab 时等号成立， 取得最小值 1 【点评】本题考查了基本不等式的应用及多项式的化简，属于中档题
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