1、长春市长春市 20202020 届高三质量监测届高三质量监测( (四四) )文科数学文科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 2 |1, |0Ax xBx x，则 R AB A. |1x x B. |1x x C. |1x x 或01x D. |101x xx或剟 2.在等比数列 n a中， 36 3,6aa，则 9 a A. 9 B. 12 C. 1 9 D. 1 12 3.已知角终边经过点1,2 ,P 则cos A 1 2 B. 1 2 C. 5 5 D. 5 5 4.在复平面内，复数 1i
2、z 所对应的点为2, 1，i是虚数单位，则z A. 3 i B. 3 i C. 3 i D. 3 i 5.方程22 x x的根所在区间是 A. 1,0 B. 0,1 C. 1, 2 D. 2,3 6.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 3 名男生，2 名女生，现从中随机选出 3 人参 加校园植树活动，其中至少有一名女生的概率为 A. 3 5 B. 7 10 C. 4 5 D. 9 10 7.已知向量0,1 ,|7,1,ABACAB BC则ABC面积为 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 7 2 8.下列函数既是奇函数又是增函数的是 A. cos 2 2 yx B.
3、2 xx ee y C. 3 lnyx D. 2 3 yx 9.为美化环境， 某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱， 它的下面是一个直径为 1m、 高为 3m 的圆柱形物体， 上面是一个半球形体. 如果每平方米大约需要鲜花 150 朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为 (取 3.1) A. 1235 B. 1435 C. 1635 D. 1835 10.已知 50.5 log 2log0.2ln ln2abc，则, ,a b c的大小关系是 A. abc B. acb C. bac D. cab 11. 过抛物线 2 :20C xpy p的焦点F作直线与该抛物线交于,A B两点，若3| |
4、AFBF，O为坐 标原点，则 | | AF OF A. 4 3 B. 3 4 C. 4 D. 5 4 12. 函数 sinfxx的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与 f x的图象交于,M N两点， 且M在y轴上，则下列说法中正确的是 函数 f x的图象关于点 4 ,0 3 成中心对称; 函数 f x在 11 , 26 上单调递增; 圆C的面积为 31 36 . A. B. C. D. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 . 14.执行如图所示的程序框图，若输入1,3
5、t ，则输出 s 的取值范围是 . 15.已知cos 43 1 ，则sin2 . 16.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 点,M N分别是棱 1 ,BC CC的中点， 则异面直线AN与BC 所成角的余弦值为 ；若动点P在正方形 11 BCC B(包括边界)内运动，且 1 PA/平面AMN，则线 段 1 PA的长度范围是 .(本小题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必 须作答.第 2223 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(12 分)
6、已知数列 n a是等比数列，且公比q不等于 1， 1324 2,32aaaa ，数列 n b满足2 n b n a . (1)求证:数列 n b是等差数列; ()求数列 1 1 nn bb 的前n项和 n S. 18.(12 分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，/,90ABBDADC ，点E为PB的中 点，且224CDADAB，点F在CD上，且 1 3 DFFC. (I)求证:EF/平面PAD; ()若平面PAD 平面ABCD，PAPD且PAPD，求三棱锥P CEF的体积. . 19.(12 分) 商务部会同海关总署、国家药监局于 3 月 31 日发布关于有序开展医疗物资出口的公
7、告.如医疗物资出 口中出现质量问题，将认真调查，发现一起，查处一起，切实维护“中国制造”的形象，更好地发挥医疗 物资对支持全球疫情防控的重要作用. 为了监控某种医疗物资的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从该生产线上随机抽取一个医疗物资，并测量其尺寸(单位:cm). 下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个医疗物资的尺寸： 12345678 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 910111213141516 10.269.9110.13 10.029.2210.0410.059.95 抽取次数 医疗物资尺寸 抽取次数 医疗物资尺寸 经计算得 16
8、 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 2 22 11 11 ()160.212 1616 ii ii xxsxx ， 16 2 1 8.518.439 i i ， 16 2 1 1591.134 i i x ， 16 1 8.52.78 i i xxi 1 其中 i x为抽取的第i个医疗物资的尺寸，1,2,3,16.i (I)求,1,2,16 i x ii 的相关系数r， 并回答是否可以认为这一天生产的医疗物资尺寸不随生产过程的 进行而系统地变大或变小(若| 0.25r ，则可以认为医疗物资尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变 小). (II)一天内抽检医疗物资中，如果出现了
9、尺寸在3 ,3xs xs之外的医疗物资，就认为这条生产线在这 一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. 从这一天抽检的结果看，是否需对 当天的生产过程进行检查? 附:样本,1,2, ii x yin的相关系数 16 1 2 1616 2 11 ii i ii ii yxxy r yxxy 20.(12 分) 已知椭圆:C 22 22 10 xy ab ab 的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为2:1. (I)求椭圆方程; ()若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积. 21.(12 分) 已知函数 32 34,.f xxaxaR
10、(I)讨论 f x的单调性； ()若函数 f x有三个零点，证明:当0x时， 21 4 1e1 . a f xa (二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4 坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y (为参数)，以坐标原点O为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,点A为曲线 1 C上的动点，点B在线段OA的延长线上,且满足 | |8,OAOB点B的轨迹为 2 C. (I)求曲线 12 ,C C的极坐标方程; ()设点M的极坐标为 3 2, 2 ，求A
11、BM面积的最小值. 23.选修 4-5 不等式选讲(10 分) 已知函数 |23|23|.f xxx (I)解不等式 8f x ; ()设xR时 , f x的最小值为M. 若实数, ,a b c满足2a bcM ，求 222 abc的最小值. 2020 长春四模文科参考答案 1.B【解析】 2 |1= | 11Ax xxx = |1ABx x 所以 |1 R ABx x. 2.B【解析】 369 ,a a a成等比数列，所以 39 2 6 36312aaa . 3.D【解析】由三角函数定义， 22 15 cos 5 ( 1)2 ，故选 D. 4.A【解析】由题意2i(1 i)(2i)3i 1
12、i z z ，故选 A 5.B【解析】设( )22 x f xx单调递增，(0)10,(1)10ff ,由零点的存在性定理，选 B. 6.D 【 解 析 】 记 三 名 男 生A,B,C ， 记 二 名 女 生 为D,E ， 则 选 三 人 有 （ ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE ） 共10种 方 法 ， 至 少 有 一 名 女 生 有 (ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE）共 9 种方法，所以其中至少有一名女生的概率为 9 10 . 7.C 【 解 析 】|1,|7,|cos()|cos1ABACAB BCA
13、B BCBBCB 又 由 余 弦 定 理 得 222 |2 | |cos| 2ACABBCABBCBBC 所以120B所以面积为 3 2 . 8. B【解析】A 中函数cos 2sin 2 2 yxx 为奇函数，但不单调；B 中函数是奇函数， 0 2 xx ee y 单调递增；C 中函数定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；D 中函数为偶函数.故选 B. 9.C【解析】圆柱侧面积为 1 233 2 ,半球的表面积为 2 11 4= 222 （ ），所以总面积为 7 10.85 2 ， 所以大约需要鲜花 10.85150=1627.5 朵.故选 C. 10.D【解析】 50.50.5 log 2(
14、0,1),log0.2log0.51,ln ln20abc. 11.A【解析】设直线 AB 的倾斜角为，则由 5 3| |3 1 sin1 sin6 pp AFBF 2 | 3 p AF所以 2 |4 3 |3 2 p AF p OF . 12.C【解析】由圆的对称性，三角函数的对称性得 1 ,0 3 所以周期 11 =2()12 36 T 又图象过点 1 0 6 ，所以= 3 即 i2s n 3 xf x .验证0 84 sin= 333 f 成立，所以对；由 3 222 22 kxk （kZ）即 51 1212 kxk所以错；当0x时，得点 M 的坐标为 3 (0,) 2 所以圆的半径为
15、22 1331 |( )() 326 MC 所以对. 故选 C. 13. 2【解析】由双曲线的渐近线方程为yx，得 2 11 ( )2 bcb aaa ，所以双曲线的离心 率为2. 14.0,1【解析】当 1,1)t 函数 12 ee ,1) t s ，当1,3t时， 3 log0,1st值域的并集为0,1. 15. 7 9 【解析】由cos 43 1 得 2 (coss 3 1 2 in )平方得 9 1 (1 2sinc 1 2 os ) 得 9 2sincos 7 即sin2 7 9 . 16. 23 2 , 5 32 【解析】 异面直线 AN 与 BC 所成的角就是DAN， 计算得3A
16、N ,所以 2 cos 3 DAN; 由面面平行的性质得点 P 在 1 BB与 11 BC中点的连线 EF 上，设 EF 中点为 H,则 1 AH最短， 1 AE或 1 AF同 时最大，所以所求范围是 3 2 , 5 2 . 17. (I) 由 4132 2,32aaaa可得 23 3 22 22qqq,解得2q 或1q (舍),即2n n a . 已知数列 n b满足2 n b n a ,则 2 log nn ba, 1 121222 loglogloglog 21 n n nnnn a bbaa a 即数列 n b为等差数列.(6 分) () 由(I)可知， n bn. 设 1 1111
17、11 n n n bn c nnbn 即数列 1 1 nn bb 的前n项和为 11 1 1 n n S nn .(12 分) 18.( I)取 PA 的中点 M,连结 DM、EM. /EFDM,DM 平面 PAD 所以EF平面 PAD.(6 分) () 24211 11 11 1 22 24 322 P CEFP BCFP ABCD VVV (12 分) 19.( I)由样本数据得,1,2,16x ii 的相关系数为 16 1 2 1616 2 11 8.5 2.78 0.18 0.21216 18.439 8.5 i i i ii xxi r xxi 由于| 0.25r ，因此可以认为这一
18、天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(6 分) ()由于9.97,0.212,xs由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在3 ,3xs xs以外， 因此 需对当天的生产过程进行检查.(12 分) 20(I)已知椭圆中22c ,且 2 2 2 a b ,又 222, abc可得椭圆的方程为 2 2 1 2 x y.(4 分) ()由题意:可设l的方程为ykxm (k存在且0k ) 与椭圆C联立消去y可得 222 124220,kxkmxm 由直线l与椭圆C相切,可设切点为 00 ,x y由判别式0可得 22 12mk . 解得 00 21 , k xy mm 因此,直线
19、OP的斜率为 1 2 OP k k ,直线l的斜率为k, 即直线OP与直线l的斜率之积为 1 2 .(12 分) 21. (I) 2 12 36320,0,2fxxaxx xaxxa 当0a时, 0,fxf x时单调递增. 当0a时, ,0 , 2 ,)xa 时单调递增,0,2xa时单调递减. 当0a时, ,2, 0,xa 时单调递增,2 ,0xa时单调递减.(6 分) () 04,f由(I)知 f x有 3 个零点需0a且20,fa 即1a . 当0x时,只需证 321 min 24 14 11 . a f xfaaae 即证 1 2 1 1 a a e a . 设 1 2 1 ,0 x x
20、 e g xx x . 由 1 2 3 2 x e g x x x 知， 1, 2x时单调递减 ,2,x时单调递增. 2 1 min 21 21 21 22 e xgg ,证毕.(6) 22 【解析】(I)曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y (为参数),普通方程为 2 2 11,xy化简可得 22 20,xyx即曲线 1 C的极坐标方程为 1 2cos ,又 12 8, 可知 2 4 cos ,即为曲线 2 C的极 坐标方程.(5 分) ()由 21 114 | |2cos2coscos 22cos ABAPB SOMxx 得 2 42cos, DBP S 因此 ABN S的最小值为 2.(10 分) 23. 【解析】(I) 3 2 2 x x 或 33 22 68 x 或 3 2 2 x x | 22xx（5 分） () | 2323 | 66xxxfM 2 222222 112236,abcabc 当且仅当22bc时“=”成立,所以 222 6,abc所以最小值为 6.(10 分)
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