1、2020 年四川省成都市中考数学训练试卷（二）年四川省成都市中考数学训练试卷（二） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 2用完全相同的小立方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 3火星到地球的最远距离约为 4.01 亿千米，4.01 亿千米用科学记数法表示为（ ） A4.01107 千米 B4.01108 千米 C4.01109 千米 D4.011010 千米 4下列计算正确的是（ ） Aa4+a4a8 B （ ab ） （ a+b ）2a2b Ca5a3a2 Da6a2a4 5如图，一个正六边
2、形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止 时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A B C D 6如图，在 RtABC 中，C90，AB5，AC4，则 sinA 的值是（ ） A B C D 7将下列函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，图象经过原点的是（ ） Ayx3 By3x Cyx+3 Dy2x+5 8分式方程的解为（ ） Ax2 Bx3 Cx4 Dx4 9已知在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OEAB 交 BC 于点 E，若 AD 8cm，则 OE 的长为（ ） A3cm B4cm C6cm D8cm 10如图，在O 中，
3、C30，OA2，则弧 AB 的长为（ ） A B C D 二填空题二填空题 11二次根式中字母 x 的取值范围是 12在ABC 与DEF 中，若，且ABC 的面积为 4，则DEF 的面积 为 13 如图是根据某班 50 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图， 则这个班 50 名同学 一周参加体育锻炼时间的众数是 小时，中位数是 小时 14已知二次函数 yax2+bx+c 的函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 2 1 0 1 2 3 y 8 3 0 1 0 3 则这个二次函数图象的对称轴是直线 三解答题三解答题 15 （1）计算：|（） 14cos45+（2 ）0； （2）解不
4、等式组： 16化简： 17如图，大楼 AD 高 50 米，和大楼 AD 相距 90 米的 C 处有一塔 BC，某人在楼顶 D 处测 得 塔 顶 B 的 仰 角 BDE 30 ， 求 塔 高 （ 结 果 保 留 整 数 ， 参 考 数 据 ： ） 18武侯区某校九年级三班共 40 名学生，需要参加体育“四选一”自选项目测试，如图是 该班学生所报自选项目人数的扇形统计图，请根据图中信息，完成下面各题： （1）图中“投掷实心球”所在扇形对应的圆心角的度数为 度；该班自选项目为 “投掷实心球”的学生共有 名； （2） 在自选项目为 “投掷实心球” 的学生中， 只有 1 名女生 为了了解学生的训练效果，
5、 将从自选项目为 “投掷实心球” 的学生中， 随机抽取 2 名学生进行投掷实心球训练测试， 请用树状图或列表法求所抽取的 2 名学生中恰好有 1 名女生的概率 19 如图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A （1， m） ， B （3， 1） （1）求这两个函数的表达式； （2）若点 C 与点 A 关于 y 轴对称，连接 AC，BC，求ABC 的面积 20 如图， ABC 内接于O， ABAC， AD 是O 的弦， ADBC， AD 与 BC 相交于点 E （1）求证：CB 平分ACD； （2）过点 B 作 BGAC 于 G，交 AD 于点 F 猜想 AC、AG、
6、CD 之间的数量关系，并且说明理由； 若 SABGSACD，O 的半径为 15，求 DF 的长 B 卷 一.填空题 21已知 x1，x2是方程 2x27x+30 的两根，则 x1+x2x1x2 22有五张正面分别标有数字2，1，0，1，2 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全 部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为 a，将其代入不 等式组，则此不等式组的解集中至少有一个整数解的概率为 23已知直线 yax+b 与抛物线 yax2+bx 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 C 的 坐标为 （a， b） 若点 A 的坐标为 （0， 0） ， 点 B 的坐标
7、为 （1， 3） ， 则点 C 的坐标为 24如图，AB 是O 的直径，D 为 OB 的中点，E 为 AB 延长线上一点，EF 与O 相切于 点 F， 点 C 在O 上， 且四边形 CDEF 是平行四边形， 若 AB8， 则 CF 的长为 25如图，矩形纸片 ABCD 中，AB2，E 为 AD 边上一点，先沿 BE 折叠纸片，点 A 落在 矩形内部 A处，再沿 EF 折叠纸片，使点 D 落在边 BC 上 D处（不与点 A重合） ，当 E、 A、D三点在一条直线上，则 AD 的长的最小值为 二.解答题 26某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段 AB 表示该产品每千 克生产成
8、本 y1（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系；线段 CD 表示该产品 销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系，已知 0x120，m60 （1）求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式； （2）若 m95，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若 60m70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？ 27已知EFGH 的顶点 E、G 分别在ABCD 的边 AD、BC 上，顶点 F、H 在ABCD 的对 角线 BD 上 （1）如图 1，求证：BFDH； （2）如图 2，若HEFA90，求的值； （ 3 ） 如 图 1 ， 当 HE
9、F A 120 ，时 ， 求 k 的 值 28如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（3，0） 、B（1，0）两点，与 y 轴 交于点 C，抛物线的顶点为 D （1）求 a、b 之间的数量关系； （2）求 SADC：SABC的值； （3）以 OA 为直径作E，若ACD90，问：在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 P， 过点 P 作 x 轴的平行线与E 交于点 M、N（M 在 N 的左侧） ，与抛物线交于另一点 Q， 使得 PM+QNMN？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列
10、各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 【分析】根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案 【解答】解：比2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数； 分析选项可得，只有 A 符合 故选：A 2用完全相同的小立方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看有两层，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，左齐 故选：D 3火星到地球的最远距离约为 4.01 亿千米，4.01 亿千米用科学记数法表示为（ ） A4.01107 千米 B4.
11、01108 千米 C4.01109 千米 D4.011010 千米 【分析】 科学记数法表示较大的数记成 a10n的形式， 其中 a 是整数数位只有一位的数， 10 的指数 n原来的整数位数1 【解答】解：4.01 亿4 0100 00004.01108， 故选：B 4下列计算正确的是（ ） Aa4+a4a8 B （ ab ） （ a+b ）2a2b Ca5a3a2 Da6a2a4 【分析】根据合并同类项法则，平方差公式，同底数幂的除法等进行解答 【解答】解：A、原式2a4，故本选项计算错误 B、原式a2b2，故本选项计算错误 C、原式a5 3a2，故本选项计算正确 D、a6与 a2不是同类项
12、，不能合并，故本选项计算错误 故选：C 5如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止 时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A B C D 【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止 转动时指针指向阴影部分的概率 【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成 6 部分，阴影部分占 2 份， 转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是：； 故选：C 6如图，在 RtABC 中，C90，AB5，AC4，则 sinA 的值是（ ） A B C D 【分析】根据勾股定理求得 BC3，再根据三角函数定义即可得 【解答】解：RtABC 中，C9
13、0，AB5，AC4， BC3， 则 sinA， 故选：B 7将下列函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，图象经过原点的是（ ） Ayx3 By3x Cyx+3 Dy2x+5 【分析】先根据直线平移的规律求出各函数沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后的解析式， 再将原点的坐标代入检验即可 【解答】解：A、yx3 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后得到直线 yx6，x0 时，y6，不经过原点； B、y3x 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后得到直线 y3x3，x0 时，y3，不经过 原点； C、yx+3 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后得到直线 yx，x0 时，y0，经过原点；
14、D、y2x+5 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后得到直线 y2x+2，x0 时，y2，不经过 原点； 故选：C 8分式方程的解为（ ） Ax2 Bx3 Cx4 Dx4 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：3x2（x2）0， 去括号得：3x2x+40， 解得：x4， 经检验 x4 是分式方程的解 故选：D 9已知在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OEAB 交 BC 于点 E，若 AD 8cm，则 OE 的长为（ ） A3cm B4cm C6cm D8cm 【分析】根据正方形的性质
15、得出 ADAB8，AOOC，由 OEAB，得出 OE 是ABC 的中位线解答即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADAB8cm，OAOC， OEAB， OE 是ABC 的中位线， OEAB4cm， 故选：B 10如图，在O 中，C30，OA2，则弧 AB 的长为（ ） A B C D 【分析】根据圆周角定理求出圆心角AOB 的度数，然后根据弧长公式求解即可 【解答】解：C30， 根据圆周角定理可知：AOB60， OA2， l， 弧 AB 的长为 故选：A 二填空题二填空题 11二次根式中字母 x 的取值范围是 x4 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 4x0，再解不等式即可 【解
16、答】解：由题意得：4x0， 解得：x4， 故答案为：x4 12在ABC 与DEF 中，若，且ABC 的面积为 4，则DEF 的面积为 9 【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，又根据相似三角形面积的比等于相似比 的平方，列方程求解 【解答】解；， ABCDEF， ， ABC 的面积为 4， DEF 的面积为：9 故答案为：9 13 如图是根据某班 50 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图， 则这个班 50 名同学 一周参加体育锻炼时间的众数是 8 小时，中位数是 9 小时 【分析】解读统计图，获取信息，根据众数与中位数的定义求解即可 【解答】解：因为数据 8 出现了 19 次，出现次
17、数最多，所以 8 为众数； 因为有 50 个数据，所以中位数应是第 25 个与 26 个的平均数，在第 25 位、26 位的均是 9，所以 9 为中位数 故答案为：8；9 14已知二次函数 yax2+bx+c 的函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 2 1 0 1 2 3 y 8 3 0 1 0 3 则这个二次函数图象的对称轴是直线 x1 【分析】 由图表可知， x0 和 2 时的函数值相等， 然后根据二次函数的对称性求解即可 【解答】解：x0、x2 时的函数值都是 0 相等， 此函数图象的对称轴为直线 x1 故答案为：x1 三解答题三解答题 15 （1）计算：|（） 14cos4
18、5+（2 ）0； （2）解不等式组： 【分析】 （1）本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次 根式化简 5 个知识点在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的 运算法则求得计算结果 （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解 【解答】解： （1）|（） 14cos45+（2 ）0 234+1 232+1 2； （2）， 解不等式得 x1； 解不等式得 x1.5 故不等式组的解集为1.5x1 16化简： 【分析】先通分计算括号内的减法，再算除法，由此顺序计算即可 【解答】解：原式 m6 17如图，大楼 AD 高 50 米，和大楼
19、 AD 相距 90 米的 C 处有一塔 BC，某人在楼顶 D 处测 得 塔 顶 B 的 仰 角 BDE 30 ， 求 塔 高 （ 结 果 保 留 整 数 ， 参 考 数 据 ： ） 【分析】过点 D 作 DEBC 于点 E，在直角三角形 BDE 中，根据BDE30，求出 BE 的长度，然后即可求得塔高 【解答】解：过点 D 作 DEBC 于点 E， 在 RtBDE 中， BDE30，DE90 米， BEDEtan309030（米） ， BCBE+ECBE+AD30+50102（米） 答：塔高约为 102 米 18武侯区某校九年级三班共 40 名学生，需要参加体育“四选一”自选项目测试，如图是
20、该班学生所报自选项目人数的扇形统计图，请根据图中信息，完成下面各题： （1） 图中 “投掷实心球” 所在扇形对应的圆心角的度数为 36 度； 该班自选项目为 “投 掷实心球”的学生共有 4 名； （2） 在自选项目为 “投掷实心球” 的学生中， 只有 1 名女生 为了了解学生的训练效果， 将从自选项目为 “投掷实心球” 的学生中， 随机抽取 2 名学生进行投掷实心球训练测试， 请用树状图或列表法求所抽取的 2 名学生中恰好有 1 名女生的概率 【分析】 （1）首先确定“投掷实心球”所占的百分比，然后根据周角的度数和学生总数 即可求得答案； （2）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来，利用概率
21、公式求解即可 【解答】解： （1）投掷实心球所占的百分比为 140%30%20%10%， “投掷实心球”所在扇形对应的圆心角的度数为 36010%36 度；该班自选项目 为“投掷实心球”的学生共有 4010%4 名， 故答案为：36，4； （2）用 1，2，3 表示 3 名男生，用 4 表示女生，列表得： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有 12 种等可能的情况，其中恰好有一名女生的有 6 种， P（抽取的 2 名学生中恰好有 1 名女生） 19 如
22、图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A （1， m） ， B （3， 1） （1）求这两个函数的表达式； （2）若点 C 与点 A 关于 y 轴对称，连接 AC，BC，求ABC 的面积 【分析】 （1）先根据点 B 求出 m 值，再根据反比例函数解析式求出 n 值，利用待定系数 法求一次函数的解析式； （2）利用轴对称的性质求得 C 的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可 【解答】解： （1）将点 B（3，1）代入 y中，1， m3， 反比例函数解析式为 y， 将 A（1，n）代入 y中，n3， A 点坐标为（1，3） ， 将 A（1，3） 、B（3，1）分别代
23、入 ykx+b 中，得，解得 一次函数的解析式为 yx+2； （2）点 C 与点 A 关于 y 轴对称， C（1，3） ， AC2， SABC4 20 如图， ABC 内接于O， ABAC， AD 是O 的弦， ADBC， AD 与 BC 相交于点 E （1）求证：CB 平分ACD； （2）过点 B 作 BGAC 于 G，交 AD 于点 F 猜想 AC、AG、CD 之间的数量关系，并且说明理由； 若 SABGSACD，O 的半径为 15，求 DF 的长 【分析】 （1）如图 1 中，想办法证明即可 （2） 结论： AC2AGCD 如图 2 中， 连接 BD， 在 GC 上取一点 H， 使得 G
24、HGA 想 办法在，CDCH 即可解决问题 如图 3 中，过点 G 作 GNAB 于 G，过点 D 作 DMAC 交 AC 的延长线于 M，连接 AO，延长 AO 交 BC 于 J，连接 OC首先证明 SABGSBGHSBCH，推出 AGGH CH， 设 AGGHHCa， 则 ABAC3a， BG2a， 在 RtBGC 中， BC2a， 可得 BJJCa， 推出 AJa，在 RtOJC 中，根据 OC2OJ2+JC2，构 建方程求出 a，再证明 GNDM，求出 NG，AM，利用平行线分线段成比例定理求出 AF 即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中， ADBC， ， ， ABAC，
25、， ， ACBBCD， CB 平分ACD （2）结论：AC2AGCD 理由：如图 2 中，连接 BD，在 GC 上取一点 H，使得 GHGA BGAH，GAGH， BABH， BAHBHA， BAH+BDC180，BHG+BHC180， BDCBHC， BCHBCD，CBCB， BCHBCD（AAS） ， CDCH， AC2AGACAHCHCD 如图 3 中，过点 G 作 GNAB 于 G，过点 D 作 DMAC 交 AC 的延长线于 M，连接 AO，延长 AO 交 BC 于 J，连接 OC ， BADADC， ABCD， SACDSBCD， BCHBCD， SBCHSBCD， AGGH， S
26、ABGSBGH， SABGSACD， SABGSBGHSBCH， AGGHCH，设 AGGHHCa，则 ABAC3a，BG 2a， BGAC， BGAGABGN， GNa， 在 RtBGC 中，BC2a， ABAC， ， AJBC， BJJCa， AJa， 在 RtOJC 中，OC2OJ2+JC2， 152（a15）2+（a）2， a， SABGSACD，ABAC，GNAB，DMAC， DMGNa， BCAD2a20， AM， FGDM， ， ， AF6， DFADAF20614 21已知 x1，x2是方程 2x27x+30 的两根，则 x1+x2x1x2 2 【分析】利用根与系数的关系求出两
27、根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出 值 【解答】解：x1，x2是方程 2x27x+30 的两根， x1+x2，x1x2， 则 x1+x2x1x22 故答案为 2 22有五张正面分别标有数字2，1，0，1，2 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全 部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为 a，将其代入不 等式组，则此不等式组的解集中至少有一个整数解的概率为 【分析】先解不等式x5 得 x3.2，再根据不等式组的解集中至 少有一个整数解，得出 a 的可能取值，然后根据概率公式求解即可 【解答】解：解不等式x5 得 x3.2， 当 a 取2，1，0，1，2 时，x，
28、当不等式组的解集中至少有一个整数解时， 则 a2，1，0， 故此不等式组的解集中至少有一个整数解的概率为 故答案为： 23已知直线 yax+b 与抛物线 yax2+bx 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 C 的 坐标为 （a， b） 若点 A 的坐标为 （0， 0） ， 点 B 的坐标为 （1， 3） ， 则点 C 的坐标为 （3， 0） 【分析】把两已知点的坐标代入 yax+b 和 yax2+bx 中得到关于 a、b 的方程组，然后 解方程组得到 C 点坐标 【解答】解：把（0，0） ， （1，3）代入 yax+b 和 yax2+bx 中得，解得， 所以 C 点坐标为（3
29、，0） 故答案为（3，0） 24如图，AB 是O 的直径，D 为 OB 的中点，E 为 AB 延长线上一点，EF 与O 相切于 点 F，点 C 在O 上，且四边形 CDEF 是平行四边形，若 AB8，则 CF 的长为 1 【分析】连接 OF，过 O 作 OHCF 于 H，于是得到OHF90，CF2HF，由于 EF 与O 相切于点 F，得到 OFEF，根据平行线的性质得到HFOFOE，根据相似三 角形的性质即可得到结论 【解答】解：连接 OF，过 O 作 OHCF 于 H， 则OHF90，CF2HF， EF 与O 相切于点 F， OFEF， OHFOFE， 四边形 CDEF 是平行四边形， CF
30、EO，CFDE， HFOFOE， OFHOEF， ， D 为 OB 的中点，AB8， OF4，OD2， 设 HFx，则 CFDE2x， OE2+2x， ， x（负值舍去） CF1 故答案为：1 25如图，矩形纸片 ABCD 中，AB2，E 为 AD 边上一点，先沿 BE 折叠纸片，点 A 落在 矩形内部 A处，再沿 EF 折叠纸片，使点 D 落在边 BC 上 D处（不与点 A重合） ，当 E、 A、D三点在一条直线上，则 AD 的长的最小值为 2 【分析】 如图， 作 EHBC 于 H 设 AEx， 则易知 EDEDBD， 设 EDBDED y，在 RtEHD中，y222+（yx）2，可得 y
31、+x，推出 ADx+y x+2，由此即可解决问题 【解答】解：如图，作 EHBC 于 H设 AEx， ADBC， AEBEBC， AEBBED， DBEDEB， DBDE， EDED EDEDBD，设 EDEDBDy， 在 RtEHD中，y222+（yx）2， y+x， ADx+yx+2， （a+b2，a0，b0） AD2， AD 的最小值为 2 故答案为 2 26某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段 AB 表示该产品每千 克生产成本 y1（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系；线段 CD 表示该产品 销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数
32、关系，已知 0x120，m60 （1）求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式； （2）若 m95，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若 60m70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？ 【分析】 （1）待定系数法求解可得； （2）先求出 m95 时，y2与 x 之间的函数关系式，再根据：总利润销售量（售价 成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况； （3）用含 m 的式子表示出 y2与 x 之间的函数关系式，根据：总利润销售量（售价 成本）列出函数关系式，再结合 60m70 判断其最值情况 【解答】解： （1）设线段 AB 所表示的 y
33、1与 x 之间的函数关系式为 y1k1x+b1， 根据题意，得：， 解得：， y1与 x 之间的函数关系式为 y1x+60（0x120） ； （2）若 m95，设 y2与 x 之间的函数关系式为 y2k2x+95， 根据题意，得：50120k2+95，解得：k2， 这个函数的表达式为：y2x+95（0x120） ， 设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元，根据题意，得： Wx（x+95）（x+60） x2+35x （x84）2+1470， 当 x84 时，W 取得最大值，最大值为 1470， 答：若 m95，该产品产量为 84kg 时，获得的利润最大，最大利润是 1470 元； （3）设
34、yk2x+m，由题意得：120k2+m50，解得：k2， 这个函数的表达式为：yx+m， Wx（x+m）（x+60） x2+（m60）x， 60m70， a0，bm600， 0，即该抛物线对称轴在 y 轴左侧， 0x120 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x120 时，W 的值最大， 故 60m70 时，该产品产量为 120kg 时，获得的利润最大 27已知EFGH 的顶点 E、G 分别在ABCD 的边 AD、BC 上，顶点 F、H 在ABCD 的对 角线 BD 上 （1）如图 1，求证：BFDH； （2）如图 2，若HEFA90，求的值； （ 3 ） 如 图 1 ， 当 HEF A 12
35、0 ，时 ， 求 k 的 值 【分析】 （1）判断出EFDGHB，即可得出结论； （2）作 EMFH 于 M，设 MHa，解直角三角形求出 BF，FH 即可； （3） 过点 E 作 EMBD 于 M， 证明EFHADB， 得出EFHADB， 则 EFED， FMDM，设 BF3a，得出 FH7a，DF10a，DM5a，DH3a，MH2a，过点 E 作NEHEDH， 交 BD 于 N， 证明ENHDNE， 得出 EN2DNHN， 设 HNx， 则 EN， 证明ENHFEH， 得出ENDHEF120， 则ENM60， 得出 EN2MN，求出 xa，则 EN2a，MNa，由勾股定理得 EMa，EHa
36、， EFDE2a，即可得出结果 【解答】 （1）证明：四边形 EFGH 是平行四边形， EFHG，EFHG， EFDGHB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EDFGBH， 在EFD 和GHB 中， EFDGHB（AAS） ， DFBH， DFHFBHHF， BFDH； （2）解：作 EMFH 于 M，如图 2 所示： 设 MHa， 四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是平行四边形，AFEH90， 四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是矩形， ADBC， tanADB，tanEFH， FEHEMH90， MEH+EHM90，EFH+EHF90， MEHEFH， tanMEHt
37、anEFH， EM2a，FM4a， tanEDM， DM4a，FH5a， 由（1）得：BFDH， BFDH3a， ； （3）过点 E 作 EMBD 于 M，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ， ，即， HEFA， EFHADB， EFHADB， EFED， FMDM， 设 BF3a， ， FH7a， DF10a， DM5a， 由（1）得：BFDH， DH3a， MHDMDH5a3a2a， 过点 E 作NEHEDH，交 BD 于 N， ENHDNE， ENHDNE， ， EN2DNHN， 设 HNx， EN2x （3a+x） ， EN， NEHEDH， NEHEFH
38、， EHNFHE， ENHFEH， ENDHEF120， ENM60， NEM30， EN2MN， 2（2ax） ， 解得：xa， EN2a，MNa， 由 勾股 定理 得： EMa ， EH a，EFDE2a， k 28如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（3，0） 、B（1，0）两点，与 y 轴 交于点 C，抛物线的顶点为 D （1）求 a、b 之间的数量关系； （2）求 SADC：SABC的值； （3）以 OA 为直径作E，若ACD90，问：在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 P， 过点 P 作 x 轴的平行线与E 交于点 M、N（M 在 N 的左侧） ，与抛物线交于
39、另一点 Q， 使得 PM+QNMN？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A（3，0） 、B（1，0）两点的坐标代入抛物线 yax2+bx+c，即可得出 答案； （2）求出点 C 的坐标，可求出 SABCABOC6a如图 1，连接 OD，根据 SADC SOAD+SOCDSOAC，可得出三角形 ADC 的面积为 3a，则答案可求出； （3） 过点 D 作 DHy 轴于点 H， 由条件可得出OACHCD， 求出抛物线的解析式， 设点 P 坐标为（a，a2+2a3） ，则点 Q 坐标为（2a，a2+2a3） ，点 F 坐标为（， a2+2a3） ，在 RtEFM 中，
40、根据勾股定理可得 EM2MF2+EF2，从而得到关于 a 的方 程，解方程即可得到 a 的值，进一步得到点 P 坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（3，0） 、B（1，0）两 点， ， 解得：b2a， a、b 之间的数量关系为 b2a （2） 抛物线 yax2+bx+c （a0） 与 y 轴交于点 C， 抛物线的顶点为 D， 且 b2a， a+b+c 0， 3a+c0，即 c3a C（0，3a） ， 抛物线的解析式为 yax2+2ax3aa（x+1）24a， D（1，4a） ， A（3，0） 、B（1，0） ， AB4， SABCABOC43a6a
41、如图 1，连接 OD， SADCSOAD+SOCDSOAC， SADC33a3a SADC：SABC1：2 （3）如图 2，过点 D 作 DHy 轴于点 H， ACD90， ACO+DCH90， ACO+CAO90， DCHCAO， AOCDHC90， OACHCD， ， 由（2）可知，OC3a，CH4a3aa，DH1， ， 解得 a1 或 a1（舍去） ， 抛物线的解析式为 yx2+2x3， 如图 3，过点 E 作 EFPQ 于点 F，连接 ME， 设点 P 坐标为（a，a2+2a3） ，则点 Q 坐标为（2a，a2+2a3） ，点 F 坐标为（， a2+2a3） ， 则 PQ22a， PM+QNMN， MNPQ1a， MFMNa， 在 RtEFM 中，MF2+EF2EM2， 即（a）2+（a2+2a3）2， （a22a4） （4a2+8a7）0， 解得 a11+（不合题意舍去） ，a21，a31+（不合题意舍去） ，a4 1， 当 a21+时，有 a2+2a40，则 a2+2a4，则 ya2+2a3431； P（1+，1） 当 a41时，有 a2+2a，则 ya2+2a33 P（1，） 综上所述，点 P 坐标为（1+，1）或（1，）
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