1、下列事件为必然事件的是（ ） A打开电视机，正在播放新闻 B任意画一个三角形，其内角和是 180 C买一张电影票，座位号是奇数号 D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4 （4 分）二次函数 yx22x 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 5 （4 分）小丽在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下： 100 元的 3 张，50 元的 9 张，10 元的 23 张，5 元的 10 张在这些不同面额的钞票中， 众数是（ ） A10 B23 C50 D100 6 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，BD 平分ABC 交 AC 于
2、 D，AEBD 交 CB 延长 线于点 E，若AEB25，则ADB 的度数为（ ） A50 B70 C75 D80 7 （4 分）在平面直角坐标系中，直线 y2x3 的图象不动，将坐标系向上平移 2 个单位 后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为（ ） Ay2x5 By2x+5 Cy2x+1 Dy2x1 第 2 页（共 24 页） 8 （4 分）若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2+kx+b0 的根的 情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 9 （4 分）如图，AB 为直径，AB4，C、D 为圆上两个动点，
3、N 为 CD 中点，CMAB 于 M，当 C、D 在圆上运动时保持CMN30，则 CD 的长（ ） A随 C、D 的运动位置而变化，且最大值为 4 B随 C、D 的运动位置而变化，且最小值为 2 C随 C、D 的运动位置长度保持不变，等于 2 D随 C、D 的运动位置而变化，没有最值 10 （4 分）已知二次函数 y1ax2+ax1，y2x2+bx+1，下列结论一定正确的是（ ） A若2a0b，则 y2y1 B若2ab0，则 y2y1 C若 0a2b，则 y2y1 D若 0ab2，则 y2y1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.
4、11 （4 分）若正多边形的一个外角是 40，则这个正多边形的边数是 12 （4 分）命题“如果 a+b0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题为 13 （4 分）如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 毫米，AC 被分为 60 等 份，如果小管口中 DE 正好对着量具上 20 份处（DEAB） ，那么小管口径 DE 的长是 毫米 14（4 分） 若点 A （n， m） 在反比例函数的图象上， 若 n2， 则 m 的取值范围为 15 （4 分）对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为（x） ，即当 n 为非负整数时，若 n 0.5xn+0.5，则（x）n如（1.34）1，
5、（4.86）5若（0.5x1）6，则实数 x 第 3 页（共 24 页） 的取值范围是 16 （4 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P（不与点 A，B 重合）为半圆上一点，将图形 沿 BP 折叠，分别得到点 A，O 的对应点点 A，O，过点 ACAB，若 AC 与半圆 O 恰好相切，则ABP 的大小为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17计算：|（4）0+2sin60+（） 1 18在 2017 年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：
6、两队之间进行 3 局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为获胜队，假如甲、 乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队获胜的 概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 19先化简，再求值： （1），其中 x 20已知：整式 A（n21）2+（2n）2，整式 B0尝试化简整式 A发现 AB2求整 式 B 联想由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三角形的三 边长，如图，填写下表中 B 的值； 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 8 勾股数组 35 21已知：如图，在ABC 中，C90
7、请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段 AB 上 找一点 F，使得点 F 到边 AC 的距离等于 FB（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉 及到的点用字母进行标注） 第 4 页（共 24 页） 22已知 A（1，0） 、B（0，1） 、C（1，2） 、D（2，1） 、E（4，2）五个点，抛物线 ya（x1）2+k（a0）经过其中的三个点 （1）求证：点 C、E 不能同时在抛物线上； （2）点 A 在抛物线 ya（x1）2+k（a0）上吗？为什么？ 23 “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ” （出自九章算术 ）意思是：同样时间段 内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定
8、两者步长相等，据此回答以 下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几 何步隔之？即：走路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步， 请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 24如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，点 P 是半径 OB 上一动点（不与 O，B 重合） ，过点 P 作射线 lAB，分别交弦 BC，于 D，E 两点，在射线 l 上取点 F，使 FCFD （1）求证：FC 是
9、O 的切线； （2）当点 E 是的中点时， 若BAC60，判断以 O，B，E，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理 由； 若 tanABC，且 AB20，求 DE 的长 第 5 页（共 24 页） 25已知抛物线 yax2+bx+c（a0）过点 A（0，2） （1）若点（2，0）也在该抛物线上，请用含 a 的关系式表示 b； （2）若该抛物线上任意不同两点 M（x1，y1） 、N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1 x2） （y1y2）0；当 0x1x2时， （x1x2） （y1y2）0，若以原点 O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 B、 C （B 在 C
10、 左侧） ， 且ABC 有一个内角为 60， 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点 P 与点 O 关于点 A 对称，且 O、M、N 三点共线，求证： PA 平分MPN 第 6 页（共 24 页） 2020 年福建省福州市鼓楼区中考数学一模试卷年福建省福州市鼓楼区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的项是符合要求的. 1 （4 分）下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
11、的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） Axx Ba3 （a2）a6 C （1）
12、（+1）4 D（a2）2a4 【分析】根据合并同类项法则判断 A；根据单项式乘单项式的法则判断 B；根据平方差公 式以及二次根式的性质判断 C；根据幂的乘方法则判断 D 【解答】解：A、xxx，故本选项错误； B、a3 （a2）a5，故本选项错误； C、 （1） （+1）514，故本选项正确； D、（a2）2a4，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握合并同类项法则、单项式乘单 项式的法则、幂的乘方法则、平方差公式以及二次根式的性质是解题的关键 第 7 页（共 24 页） 3 （4 分）下列事件为必然事件的是（ ） A打开电视机，正在播放新闻 B任意画一个
13、三角形，其内角和是 180 C买一张电影票，座位号是奇数号 D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【解答】解：A，C，D 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意 一定发生的事件只有 B，任意画一个三角形，其内角和是 180，是必然事件，符合题 意 故选：B 【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解解决此类问题，要学会关注身边的事 物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养用到的知 识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定 条件下，可能发生也可能不发生的事件 4 （4 分）
14、二次函数 yx22x 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可 【解答】解：yx22x（x1）21， 二次函数 yx2+4x 的顶点坐标是： （1，1） ， 故选：B 【点评】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标的方法，熟练配方是解 题关键 5 （4 分）小丽在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下： 100 元的 3 张，50 元的 9 张，10 元的 23 张，5 元的 10 张在这些不同面额的钞票中， 众数是（ ） A10 B23 C50 D1
15、00 【分析】根据众数的定义，找到出现次数最多的数即为众数 【解答】解：在这组数据中，10 元出现了 23 次，出现次数最多，是众数， 故选：A 【点评】本题考查了众数，要知道，一组数据中出现次数做多的数叫做众数 第 8 页（共 24 页） 6 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，BD 平分ABC 交 AC 于 D，AEBD 交 CB 延长 线于点 E，若AEB25，则ADB 的度数为（ ） A50 B70 C75 D80 【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得ABDDBC25，由等腰三角形 的性质可得ABCACB50，即可求解 【解答】解：AEBD， EDBC25， ABAC， AB
16、CACB， BD 平分ABC， ABDDBC25， ABCACB50， ADBACB+DBC75， 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，求出ABC 的度数是本题关键 7 （4 分）在平面直角坐标系中，直线 y2x3 的图象不动，将坐标系向上平移 2 个单位 后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为（ ） Ay2x5 By2x+5 Cy2x+1 Dy2x1 【分析】将坐标系向上平移 2 个单位后得到新的平面直角坐标系，求直线在新的平面直 角坐标系中的解析式相当于是求把直线 l：y2x3 向下平移 2 个单位后的解析式 【解答】解：由题意，可知本题是求把直线 y2x
17、3 向下平移 2 个单位后的解析式， 则所求解析式为 y2x32，即 y2x5 故选：A 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握解析式“左加右减，上加下减”的 平移规律是解题的关键 8 （4 分）若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2+kx+b0 的根的 第 9 页（共 24 页） 情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【分析】利用一次函数的性质得到 k0，b0，再判断k24b0，从而得到方程根 的情况 【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限， k0，b0， k24b0， 方程有两个不相等的实
18、数根 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根也考查了一次函数的性质 9 （4 分）如图，AB 为直径，AB4，C、D 为圆上两个动点，N 为 CD 中点，CMAB 于 M，当 C、D 在圆上运动时保持CMN30，则 CD 的长（ ） A随 C、D 的运动位置而变化，且最大值为 4 B随 C、D 的运动位置而变化，且最小值为 2 C随 C、D 的运动位置长度保持不变，等于 2 D随 C、D 的运动位置而变化，没有最值 【分析】连接
19、OC、ON、OD，由垂径定理可知 ONCD，CONDON，然后由 ONC+CMO180，可证明 O、N、C、M 四点共圆，从而可得到NOCNMC 30，于是可证明OCD 为等边三角形，从而得到 CD2 【解答】解；连接：OC、ON、OD 第 10 页（共 24 页） N 是 CD 的中点， ONCD，CONDON 又CMAB， ONC+CMO180 O、N、C、M 四点共圆 NOCNMC30 COD60 又OCOD， OCD 为等边三角形 CD 故选：C 【点评】本题主要考查的是轨迹问题，发现 O、N、C、M 四点共圆，从而证得OCD 为等边三角形是解题的关键 10 （4 分）已知二次函数 y
20、1ax2+ax1，y2x2+bx+1，下列结论一定正确的是（ ） A若2a0b，则 y2y1 B若2ab0，则 y2y1 C若 0a2b，则 y2y1 D若 0ab2，则 y2y1 【分析】先利用 y2减去 y1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与 x 轴 的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得 1a0，（ba）28（1 a）0，据此对各个选项计算分析即可 【解答】解：y2y1（1a）x2+（ba）x+2 由 y2y1得 y2y10 1a0，（ba）28（1a）0 选项 A：若2a0b， 则 1a0，（ba）28（1a） ，无法判断与 0 的大小关系，故 A 错误； 选
21、项 B：若2ab0， 第 11 页（共 24 页） 则 1a10， 0ba2， （ba）28（1a）0 故 B 正确； 选项 C：若 0a2b，则 1a 无法确定正负，故 C 错误； 选项 D：同选项 C 一样，无法确定 1a 的正负，故 D 错误 综上，只有 B 正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数与不等式、二次函数图象与 x 轴的交点个数与对应的一元 二次方程判别式之间的关系，明确上述关系是解题的关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）若正多边形的一个外角是 40，则这个正多边形的边数是 9 【分析】
22、利用任意凸多边形的外角和均为 360， 正多边形的每个外角相等即可求出答案 【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为 360， 据此可得 40， 解得 n9 故答案为 9 【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为 360，比较简单 12 （4 分）命题“如果 a+b0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题为 如果 a，b 互为相反 数，那么 a+b0 【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可 【解答】解：命题“如果 a+b0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题为： 如果 a，b 互为相反数，那么 a+b0； 故答案为：如果 a，b 互为相反数，那么 a+b0
23、 【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键 13 （4 分）如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 毫米，AC 被分为 60 等 份， 如果小管口中 DE 正好对着量具上 20 份处 （DEAB） ， 那么小管口径 DE 的长是 毫米 第 12 页（共 24 页） 【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径 DE 的长即可 【解答】解：DEAB CDECAB CD：CADE：AB 20：60DE：10 DE毫米 小管口径 DE 的长是毫米 故答案为： 【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形
24、中，利用相 似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径 DE 的长 14 （4 分）若点 A（n，m）在反比例函数的图象上，若 n2，则 m 的取值范围为 【分析】把点 A 的坐标代入反比例函数解析式得到：m，结合 n 的取值范围求得 m 的取值范围 【解答】解：中的 30 该函数图象位于第一、三象限 n2 A（n，m）位于第一象限 m0 把点（n，m）代入，得 m， n n2， 2 第 13 页（共 24 页） m 故答案是： 【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题属于易错题，需要考虑点 A 所在 的象限，从而判断 m 是正数 15 （4 分）对非负实数 x“四舍五入”
25、到个位的值记为（x） ，即当 n 为非负整数时，若 n 0.5xn+0.5，则（x）n如（1.34）1， （4.86）5若（0.5x1）6，则实数 x 的取值范围是 13x15 【分析】根据题意得到：60.50.5x16+0.5，据此求得 x 的取值范围 【解答】解：依题意得：60.50.5x16+0.5 解得 13x15 故答案是：13x15 【点评】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是得到关于 x 的不等式组 60.5 0.5x16+0.5 16 （4 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P（不与点 A，B 重合）为半圆上一点，将图形 沿 BP 折叠，分别得到点 A，O 的对应点
26、点 A，O，过点 ACAB，若 AC 与半圆 O 恰好相切，则ABP 的大小为 15 【分析】作 OGAC 于 G，BHAC 于 H，如图，根据切线的性质得到 OGOB， 再利用 ACAB 可证明四边形 OBHG 为正方形，接着根据折叠的性质得ABP ABP，BABA，所以 AB2BH，根据特殊角的三角函数值得到BAH30， 然后利用HABABA2 可确定 的度数 【解答】解：作 OGAC 于 G，BHAC 于 H，如图， AC 与半圆 O 恰好相切， OG 为O 的半径，即 OGOB， ACAB， 第 14 页（共 24 页） OGOB，BHOB，HABABA， 四边形 OBHG 为正方形，
27、 图形沿 BP 折叠，分别得到点 A，O 的对应点点 A，O， ABPABP，BABA， AB2BH， BAH30， HABABA2， 15 故答案为 15 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了折叠的性 质 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17计算：|（4）0+2sin60+（） 1 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂 的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+2+41+43+ 【点评】此题主要考查了实
28、数运算，正确化简各数是解题关键 18在 2017 年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定： 两队之间进行 3 局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为获胜队，假如甲、 乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队获胜的 概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】根据乙队第 1 局胜画出第 2 局和第 3 局的树状图，然后根据概率公式列式计算 即可得解 【解答】解：画树状图，得 第 15 页（共 24 页） 由树状图可知共有 4 种等可能结果，其中甲队获胜的由 1 种结果， 甲队获胜的概率为 【
29、点评】本题考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件的概率， 但应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同用到的知识点为：概率所求情 况数与总情况数之比 19先化简，再求值： （1），其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式（） ， 当 x时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则 20已知：整式 A（n21）2+（2n）2，整式 B0尝试化简整式 A发现 AB2求整 式 B 联想由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当 n1 时，n21，2n，B 为直角三
30、角形的三 边长，如图，填写下表中 B 的值； 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 15 8 17 勾股数组 35 12 37 第 16 页（共 24 页） 【分析】先根据整式的混合运算法则求出 A，进而求出 B，再把 n 的值代入即可解答 【解答】解：A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2， AB2，B0， Bn2+1， 当 2n8 时，n4，n2142115，n2+142+117； 当 n2135 时，n6（负值舍去） ，2n2612，n2+137 直角三角形三边 n21 2n B 勾股数组 15 8 17 勾股数组 35 12 37 故答案为
31、：15，17；12，37 【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC 的三边满足 a2+b2 c2，则ABC 是直角三角形 21已知：如图，在ABC 中，C90请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段 AB 上 找一点 F，使得点 F 到边 AC 的距离等于 FB（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉 及到的点用字母进行标注） 【分析】根据角分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可在线段 AB 上找一点 F，使得 点 F 到边 AC 的距离等于 FB 【解答】 解：如图，点 F 即为所求 【点评】本题考查了作图复杂作图、点到直线的距离，解决本题的关键是掌握点到直 第 17 页（共
32、24 页） 线的距离定义 22已知 A（1，0） 、B（0，1） 、C（1，2） 、D（2，1） 、E（4，2）五个点，抛物线 ya（x1）2+k（a0）经过其中的三个点 （1）求证：点 C、E 不能同时在抛物线上； （2）点 A 在抛物线 ya（x1）2+k（a0）上吗？为什么？ 【分析】 （1）当 C、E 同时在函数上时，将点 A 与点 E 代入解析式 ya（x1）2+k，得 到 a0，这与已知矛盾，即可证明； （2）A 在抛物线上时，A 是抛物线的顶点，此时 A 点是最低点，则点 C、E 在抛物线上， 与（1）矛盾，则可得结论 【解答】解： （1）ya（x1）2+k， 对称轴为 x1，顶
33、点为（1，k） ， 设点 C，E 同时在抛物线 ya（x1）2+k 上， 当 x1 时，ya（11）2+k4a+k2 当 x4 时，ya（41）2+k9a+k2， a0， 这与 a0 矛盾， 假设不成立， C，E 不能同时在抛物线上； （2）不在； 理由：若点 A（1，0）在抛物线上， 由（1）得，抛物线的顶点坐标为（1，k） ， A 为顶点， a0， A 为最低点， 又抛物线过 A，B，C，D，E 中的三点， 只能过 A，C，E 三点，这与（1）中的结论矛盾， 假设不成立， 点 A 不在抛物线上 【点评】本题考查二次函数图象上点的特点；能够利用反证法，通过假设证明，推导出 与已知矛盾的结论是
34、解题的关键 第 18 页（共 24 页） 23 “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ” （出自九章算术 ）意思是：同样时间段 内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答以 下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几 何步隔之？即：走路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步， 请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【分析】 （1）设当走路慢的人再走
35、 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内， 走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可； （2） 设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人， 根据同样时间段内， 走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步，及追及问题可列方程求解 【解答】解： （1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，由题意得 x：600100：60 x1000 1000600100300 答：当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，由题意得 y200+y y500 答：走
36、路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【点评】本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题，本题中等难度 24如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，点 P 是半径 OB 上一动点（不与 O，B 重合） ，过点 P 作射线 lAB，分别交弦 BC，于 D，E 两点，在射线 l 上取点 F，使 FCFD （1）求证：FC 是O 的切线； （2）当点 E 是的中点时， 若BAC60，判断以 O，B，E，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理 由； 第 19 页（共 24 页） 若 tanABC，且 AB20，求 DE 的长 【分析】 （1）连接 OC，证明 OCCF 即可； （
37、2）四边形 BOCE 是菱形，可以先证明四边形 BOCE 是平行四边形，再结合半径相 等得证四边形 BOCE 是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形 BOCE 是菱形； 由三角函数概念得tanABC，可求得 AC12，BC16，由垂径定理可求出 BH；利用三角形面积公式求得 PEBH8，再利用勾股定理或三角函数求得 OP，BP， DP，由 DEPEPD 求出 DE 的长 【解答】解： （1）证明：连接 OC，OBOC， OBCOCB， PFAB， BPD90， OBC+BDP90， FCFD FCDFDC FDCBDP OCB+FCD90 OCFC FC 是O 的切线 （2）如图 2，连接
38、 OC，OE，BE，CE， 以 O，B，E，C 为顶点的四边形是菱形理由如下： AB 是直径，ACB90， BAC60，BOC120， 点 E 是的中点， 第 20 页（共 24 页） BOECOE60， OBOEOC BOE，OCE 均为等边三角形， OBBECEOC 四边形 BOCE 是菱形； 若 tanABC，且 AB20，求 DE 的长 tanABC，设 AC3k，BC4k（k0） ， 由勾股定理得 AC2+BC2AB2，即（3k）2+（4k）2202，解得 k4， AC12，BC16， 点 E 是的中点， OEBC，BHCH8， OEBHOBPE，即 10810PE，解得：PE8，
39、由勾股定理得 OP6， BPOBOP1064， tanABC，即 DPBP3 DEPEDP835 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定定理、垂径定理的应用、等边三角形的性质、 第 21 页（共 24 页） 菱形的判定定理、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握性质定理和判定 定理 25已知抛物线 yax2+bx+c（a0）过点 A（0，2） （1）若点（2，0）也在该抛物线上，请用含 a 的关系式表示 b； （2）若该抛物线上任意不同两点 M（x1，y1） 、N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1 x2） （y1y2）0；当 0x1x2时， （x1x2） （y1y2）0，
40、若以原点 O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 B、 C （B 在 C 左侧） ， 且ABC 有一个内角为 60， 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点 P 与点 O 关于点 A 对称，且 O、M、N 三点共线，求证： PA 平分MPN 【分析】 （1）把点（0，2） 、 （2，0）代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到 答案 （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为 y 轴、开口向上，进而可得出 b0， 由抛物线的对称性可得出ABC 为等腰三角形，结合其有一个 60的内角可得出ABC 为等边三角形，设线段 BC 与 y 轴交于点 D，根据等边三角形的性质可得
41、出点 C 的坐标， 再利用待定系数法可求出 a 值，此题得解； （3）由（1）的结论可得出点 M 的坐标为（x1，x12+2） 、点 N 的坐标为（x2，x22+2） ， 由 O、M、N 三点共线可得出 x2，进而可得出点 N 及点 N的坐标，由点 A、M 的坐标利用待定系数法可求出直线 AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可 得出点 N在直线 PM 上，进而即可证出 PA 平分MPN 【解答】解： （1）把点（0，2） 、 （2，0）分别代入，得 所以 b2a1 （2） ，如图 1，当 x1x20 时， （x1x2） （y1y2）0， x1x20，y1y20， 当 x0 时，y 随
42、 x 的增大而减小； 同理：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， 抛物线的对称轴为 y 轴，开口向上， 第 22 页（共 24 页） b0 OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 B、C， ABC 为等腰三角形， 又ABC 有一个内角为 60， ABC 为等边三角形 设线段 BC 与 y 轴交于点 D，则 BDCD，且OCD30， 又OBOCOA2， CDOCcos30，ODOCsin301 不妨设点 C 在 y 轴右侧，则点 C 的坐标为（，1） 点 C 在抛物线上，且 c2，b0， 3a21， a1， 抛物线的解析式为 yx22 （3）证明：由（1）可知，点 M 的坐标为（x1，2）
43、，点 N 的坐标为（x2，2） 如图 2，直线 OM 的解析式为 yk1x（k10） O、M、N 三点共线， x10，x20，且， x1x2， x1x2， x1x22，即 x2， 点 N 的坐标为（，2） 设点 N 关于 y 轴的对称点为点 N，则点 N的坐标为（，2） 点 P 是点 O 关于点 A 的对称点， OP2OA4， 点 P 的坐标为（0，4） 第 23 页（共 24 页） 设直线 PM 的解析式为 yk2x4， 点 M 的坐标为（x1，2） ， 2k2x14， k2， 直线 PM 的解析式为 yx4 42， 点 N在直线 PM 上， PA 平分MPN 【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三 第 24 页（共 24 页） 角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是： （1）利用二次 函数图象上点的坐标特征求出 a、b 满足的关系式； （2）利用等边三角形的性质找出点 C 的坐标；利用一次函数图象上点的坐标特征找出点 N在直线 PM 上
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