1、据民政部网站消息截至 2018 年底，我国 60 岁以上老年人口已达到 2.56 亿人其 中 2.56 亿用科学记数法表示为（ ） A2.56107 B2.56108 C2.56109 D2.561010 3 （3 分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 4 （3 分）已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 5 （3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B正六边形 C正方形 D圆 6 （3 分）不等式组的解为（ ） Ax5 Bx1 C1x5 Dx5 或 x1 7
2、 （3 分）如图，已知直线 l1l2，一块含 30角的直角三角板如图所示放置，235， 则1 等于（ ） 第 2 页（共 24 页） A25 B35 C40 D45 8 （3 分）关于 x 的一元二次方程（m2）x2+5x+m240 的常数项是 0，则（ ） Am4 Bm2 Cm2 或 m2 Dm2 9 （3 分）在ABC 中，DEBC，AE：EC2：3，则 SADE：S四边形BCED的值为（ ） A4：9 B4：21 C4：25 D4：5 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC3cm，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A
3、 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 ACCB 方向运动到点 B设APQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）若分式有意义，则 x 的取值范围为 12 （4 分）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 第 3 页（共 24 页） 13 （4 分）分解因式：2a24a+2 14 （4 分）如图，O 的弦 AC 与半径 OB 交于点 D，BCOA，AOAD，则C 的度数 为 15 （4 分）已知
4、|x2y|+（y2）20，则 xy 16 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC2，在以 AB 的中点 O 为坐标原 点，AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角线坐标系中，将ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 A 旋转至 y 轴正半轴上的 A处，则图中阴影部分面积为 17 （4 分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第 10 个图形有 个五角星 三、解答题一（本大题共三、解答题一（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：+（2019）0（） 24cos30 19 （6 分）先化简，再求值：（） ，其中
5、a+2 20 （6 分）如图，ABC 中，ABAC10，BC16点 D 在边 BC 上，且点 D 到边 AB 和边 AC 的距离相等 （1）用直尺和圆规作出点 D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点 D） ； 第 4 页（共 24 页） （2）求点 D 到边 AB 的距离 四、解答题二（本大题共四、解答题二（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动 项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的 条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） （1）
6、求本次被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3） 该校共有 3000 名学生， 请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？ 22 （8 分）如图，把长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，使得点 D 落在点 H 的位置上，点 C 恰好落在边 AD 上的点 G 处，连接 EG （1）GEF 是等腰三角形吗？请说明理由； （2）若 CD4，GD8，求 HF 的长度 23 （8 分）六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购 A、B 两种品牌的儿童服装，每套 A 品牌 服装进价比 B 品牌服装每套进价多 25 元，用 2000 元购进 A 种服装数量是用 750 元购进 B 种服装数量的 2
7、 倍 （1）求 A、B 两种品牌服装每套进价分别为多少元？ 第 5 页（共 24 页） （2）该服装 A 品牌每套售价为 130 元，B 品牌每套售价为 95 元，服装店老板决定，购 进 B 品牌服装的数量比购进 A 品牌服装的数量的 2 倍还多 4 套，两种服装全部售出后， 可使总的获利超过 1200 元，则最少购进 A 品牌的服装多少套？ 五、解答题三（本大题共有五、解答题三（本大题共有 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OACD 于点 E，过点 B 的直 线与 CD 的延长线交于点 F，
8、ACBF （1）若FGBFBG，求证：BF 是O 的切线； （2）若 tanF，CDa，请用 a 表示O 的半径； （3）求证：GF2GB2DFGF 25 （10 分）已知二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一 点 B，抛物线的顶点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省东莞中学中考数学一模试卷年广东省东莞中学中考
9、数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】乘积是 1 的两数互为倒数依据倒数的定义回答即可 【解答】解：2020 的倒数是， 故选：D 【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键 2 （3 分）据民政部网站消息截至 2018 年底，我国 60 岁以上老年人口已达到 2.56 亿人其 中 2.56 亿用科学记数法表示为（ ） A2.56107 B2.56108 C2.56109 D
10、2.561010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 2.56 亿用科学记数法表示为 2.56108 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 第 7 页（共
11、24 页） 【分析】从左边看有 2 列，左数第 1 列有两个正方形，第 2 列有 1 个正方形，据此可得 【解答】解：它的左视图是 故选：A 【点评】考查三视图的知识；左视图是从几何体左面看得到的平面图形 4 （3 分）已知一个多边形的内角和是 900，则这个多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 【分析】设这个多边形是 n 边形，内角和是（n2） 180，这样就得到一个关于 n 的方 程，从而求出边数 n 的值 【解答】解：设这个多边形是 n 边形， 则（n2） 180900， 解得：n7， 即这个多边形为七边形 故选：C 【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转
12、化为解方程的问题来解决 5 （3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B正六边形 C正方形 D圆 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可 【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A 正确； 正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B 错误； 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C 错误； 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D 错误； 故选：A 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 6 （3 分）
13、不等式组的解为（ ） Ax5 Bx1 C1x5 Dx5 或 x1 第 8 页（共 24 页） 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式 组的解集 【解答】解：解不等式 2x3，得：x5， 解不等式 x12，得：x1， 则不等式组的解集为1x5， 故选：C 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还 可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间 7 （3 分）如图，已知直线 l1l2，一块含 30角的直角三角板如图所示放置，235， 则1 等于（ ） A25 B35 C40 D45 【分析】过 C
14、作 CM直线 l1，求出 CM直线 l1直线 l2，根据平行线的性质得出1 MCB，2ACM，即可求出答案 【解答】解： 过 C 作 CM直线 l1， 直线 l1l2， CM直线 l1直线 l2， ACB60，235， 2ACM35， 1MCBACBACM603525， 故选：A 第 9 页（共 24 页） 【点评】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键 8 （3 分）关于 x 的一元二次方程（m2）x2+5x+m240 的常数项是 0，则（ ） Am4 Bm2 Cm2 或 m2 Dm2 【分析】根据常数项为 0 可得 m240，同时还要保证 m20，再解即可 【解答】解：根据
15、题意知， 解得 m2， 故选：D 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握 ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般 形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次 项系数，常数项 9 （3 分）在ABC 中，DEBC，AE：EC2：3，则 SADE：S四边形BCED的值为（ ） A4：9 B4：21 C4：25 D4：5 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解：DEBC， ADEABC， （）2， ， ， ， 第 10 页（共 24 页） ，
16、 故选：B 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题 属于中等题型 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC3cm，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 ACCB 方向运动到点 B设APQ 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A B C D 【分析】作 QDAB，分点 Q 在 AC、CB 上运动这两种情况，由直角三角形的性质表示 出 QD 的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断 【解
17、答】解： （1）过点 Q 作 QDAB 于点 D， 如图 1，当点 Q 在 AC 上运动时，即 0x3， 第 11 页（共 24 页） 由题意知 AQx、APx， A45， QDAQx， 则 yxxx2； 如图 2，当点 Q 在 CB 上运动时，即 3x6，此时点 P 与点 B 重合， 由题意知 BQ6x、APAB3， B45， QDBQ（6x） ， 则 y3（6x）x+9； 故选：D 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路 线，据此分类讨论并得出函数解析式 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分
18、）分） 11 （4 分）若分式有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x2 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可 以求解 【解答】解：由题意得：x+10，且 x20， 解得：x1 且 x2， 故答案为 x1 且 x2 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，用到的知识点为： 分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数 12 （4 分）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果 数，然后根据概率公式求解 第 12 页（共 24 页） 【解答
19、】解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1， 恰好均为正面向上的概率是， 故答案为： 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件； 解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总 情况数之比 13 （4 分）分解因式：2a24a+2 2（a1）2 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式2（a22a+1） 2（a1）2 故答案为：2（a1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，
20、熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 14 （4 分）如图，O 的弦 AC 与半径 OB 交于点 D，BCOA，AOAD，则C 的度数为 36 【分析】 由 BCOA， AOAD， 根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理， 可得出C 与B 的关系，然后由三角形内角和的求得答案 【解答】解：BCOA，AOAD， AODODA，AODB， BDCODA， BBDC， 第 13 页（共 24 页） AOD2C， BBDC2C， BDC 的内角和是 180， 2C+2C+C180， 解得：C36， 故答案为：36 【点评】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质注意掌握在同圆或等圆中，同弧或
21、等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是关键 15 （4 分）已知|x2y|+（y2）20，则 xy 16 【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y，然后相乘即可得解 【解答】解：根据题意得，x2y0，y20， 解得 x4，y2， 所以，xy4216 故答案为：16 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 16 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC2，在以 AB 的中点 O 为坐标原 点，AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角线坐标系中，将ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 A 旋转至 y 轴正半轴上的 A处，则图中阴影部分
22、面积为 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出 AB，再根据旋转的性质可得 ABAB，然后 求出OAB30，再根据直角三角形两锐角互余求出ABA60，即旋转角为 60，再根据 S阴影S扇形ABA+SABCSABCS扇形CBCS扇形ABAS扇形CBC，然 后利用扇形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：ACB90，ACBC， ABC 是等腰直角三角形， 第 14 页（共 24 页） AB2OA2OBAC2， ABC 绕点 B 顺时针旋转点 A 在 A处， BAAB， BA2OB， OAB30， ABA60， 即旋转角为 60， S阴影S扇形ABA+SABCSABCS扇形CBC S扇形ABAS扇形
23、CBC 故答案为 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形 30角所对的直 角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的 关键，难点在于求出旋转角的度数 17 （4 分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第 10 个图形有 120 个五角星 【分析】分析数据可得：第 1 个图形中小五角星的个数为 3；第 2 个图形中小五角星的个 数为 8；第 3 个图形中小五角星的个数为 15；第 4 个图形中小五角星的个数为 24；则知 第 n 个图形中小五角星的个数为 n（n+1）+n故第 10 个图形中小五角星的个数为 10 1
24、1+10120 个 【解答】解：第 1 个图形中小五角星的个数为 3； 第 15 页（共 24 页） 第 2 个图形中小五角星的个数为 8； 第 3 个图形中小五角星的个数为 15； 第 4 个图形中小五角星的个数为 24； 则知第 n 个图形中小五角星的个数为 n（n+1）+n 故第 10 个图形中小五角星的个数为 1011+10120 个 故答案为 120 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首 先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，并从已知的特殊个体推理得出 一般规律即可解决此类问题 三、解答题一（本大题共三、解答题一（本大题共 3 小题，
25、每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算：+（2019）0（） 24cos30 【分析】根据二次根式的性质，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：原式2+1928 【点评】本题考查二次根式的性质，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 19 （6 分）先化简，再求值：（） ，其中 a+2 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：（） ， ， ， ， 当 a+2 时，原式1+2 【点
26、评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （6 分）如图，ABC 中，ABAC10，BC16点 D 在边 BC 上，且点 D 到边 AB 和边 AC 的距离相等 第 16 页（共 24 页） （1）用直尺和圆规作出点 D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点 D） ； （2）求点 D 到边 AB 的距离 【分析】 （1）作A 的角平分线（或 BC 的垂直平分线）与 BC 的交点即为点 D （2）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题 【解答】解： （1）作A 的角平分线（或 BC 的垂直平分线）与 BC 的交点即为点 D （2）ABAC，AD 是A 角平分线 AD
27、BC，垂足为 D， BC16， BDCD8， AB10， 在 RtABD 中， 根据勾股定理得 AD6， 设点 D 到 AB 的距离为 h，则10h86，解得 h4.8， 所以点 D 到边 AB 的距离为 4.8 【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面 积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 四、解答题二（本大题共四、解答题二（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动 项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行
28、调查，并绘制了如下的 条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） （1）求本次被调查的学生人数； 第 17 页（共 24 页） （2）补全条形统计图； （3） 该校共有 3000 名学生， 请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？ 【分析】 （1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数； （2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组 的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图； （3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少 【解答】解： （1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有 10 人，占 2
29、5%， 故总人数有 1025%40 人； （2）喜欢足球的有 4030%12 人， 喜欢跑步的有 401015123 人， 故条形统计图补充为： （3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多 3000225 人 【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是 能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大 22 （8 分）如图，把长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，使得点 D 落在点 H 的位置上，点 C 第 18 页（共 24 页） 恰好落在边 AD 上的点 G 处，连接 EG （1）GEF 是等腰三角形吗？请说明理由； （2）若 CD4，G
30、D8，求 HF 的长度 【分析】 （1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到GFEGEF，进而得出 GEF 是等腰三角形 （2）设 HF 长为 x，则 GF 长为（8x） ，在 RtFGH 中，依据勾股定理可得 x2+42（8 x）2，即可得到 HF 的长度 【解答】解： （1）长方形纸片 ABCD， ADBC， GFEFEC， FECGEF， GFEGEF， GEF 是等腰三角形 （2）CH90，HFDF，GD8， 设 HF 长为 x，则 GF 长为（8x） ， 在 RtFGH 中，x2+42（8x）2， 解得 x3， HF 的长为 3 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用
31、，掌握翻折的性质是解题的关 键 23 （8 分）六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购 A、B 两种品牌的儿童服装，每套 A 品牌 服装进价比 B 品牌服装每套进价多 25 元，用 2000 元购进 A 种服装数量是用 750 元购进 第 19 页（共 24 页） B 种服装数量的 2 倍 （1）求 A、B 两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）该服装 A 品牌每套售价为 130 元，B 品牌每套售价为 95 元，服装店老板决定，购 进 B 品牌服装的数量比购进 A 品牌服装的数量的 2 倍还多 4 套，两种服装全部售出后， 可使总的获利超过 1200 元，则最少购进 A 品牌的服装多少套？ 【
32、分析】 （1）首先设 A 品牌服装每套进价为 x 元，则 B 品牌服装每套进价为（x25）元， 根据关键语句“用 2000 元购进 A 种服装数量是用 750 元购进 B 种服装数量的 2 倍 ”列 出方程，解方程即可； （2）首先设购进 A 品牌的服装 a 套，则购进 B 品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的 获利超过 1200 元”可得不等式（130100）a+（9575） （2a+4）1200，再解不等式 即可 【解答】解： （1）设 A 品牌服装每套进价为 x 元，则 B 品牌服装每套进价为（x25）元， 由题意得： 2， 解得：x100， 经检验：x100 是原分式方程的解， x2
33、51002575， 答：A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100 元、75 元； （2）设购进 A 品牌的服装 a 套，则购进 B 品牌服装（2a+4）套，由题意得： （130100）a+（9575） （2a+4）1200， 解得：a16， 答：至少购进 A 品牌服装的数量是 17 套 【点评】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出 A、 B 两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决 问题的关键 五、解答题三（本大题共有五、解答题三（本大题共有 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如
34、图，在O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OACD 于点 E，过点 B 的直 线与 CD 的延长线交于点 F，ACBF 第 20 页（共 24 页） （1）若FGBFBG，求证：BF 是O 的切线； （2）若 tanF，CDa，请用 a 表示O 的半径； （3）求证：GF2GB2DFGF 【分析】（1） 根据等边对等角可得OABOBA， 然后根据 OACD 得到OAB+AGC 90推出FBG+OBA90，从而得到 OBFB，再根据切线的定义证明即可； （2） 根据两直线平行， 内错角相等可得ACFF， 根据垂径定理可得 CECDa， 连接 OC，设圆的半径为 r，表示出 OE，然后利用
35、勾股定理列式计算即可求出 r； （3）连接 BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得DBGACF，然 后求出DBGF，从而求出BDG 和FBG 相似，根据相似三角形对应边成比例列 式表示出 BG2，然后代入等式左边整理即可得证 【解答】 （1）证明：OAOB， OABOBA， OACD， OAB+AGC90， 又FGBFBG，FGBAGC， FBG+OBA90， 即OBF90， OBFB， AB 是O 的弦， 点 B 在O 上， BF 是O 的切线； 第 21 页（共 24 页） （2）解：ACBF， ACFF， CDa，OACD， CECDa， tanF， tanACF， 即， 解
36、得 AEa， 连接 OC，设圆的半径为 r，则 OEra， 在 RtOCE 中，CE2+OE2OC2， 即（a）2+（ra）2r2， 解得 ra； （3）证明：连接 BD， DBGACF，ACFF（已证） ， DBGF， 又FGBBGF， BDGFBG， ， 即 GB2DGGF， GF2GB2GF2DGGFGF（GFDG）GFDF， 即 GF2GB2DFGF 第 22 页（共 24 页） 【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应 用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键， （3）的证明比较灵活，想到计算整理后得证是解题的关
37、键 25 （10 分）已知二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一 点 B，抛物线的顶点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入二次函数 yax2+bx3a 求得 a、b 的值即 可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段 BC、CD、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）分以 CD 为底和以
38、 CD 为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标 和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ， 第 23 页（共 24 页） 根据题意，得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）由 yx2+2x+3（x1）2+4 得，D 点坐标为（1，4） ， 定义抛物线 yx2+2x+3令 y0，x2+2x+30，解得 x1 或 3， A（1，0） ，B（3，0） ， CD， BC3， BD2， CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220， CD2+BC2BD2， BCD 是
39、直角三角形； （3）存在 yx2+2x+3 对称轴为直线 x1 若以 CD 为底边，则 P1DP1C， 设 P1点坐标为（x，y） ，根据勾股定理可得 P1C2x2+（3y）2，P1D2（x1）2+（4 y）2， 因此 x2+（3y）2（x1）2+（4y）2， 即 y4x 又 P1点（x，y）在抛物线上， 4xx2+2x+3， 即 x23x+10， 解得 x1，x21，应舍去， x， y4x， 第 24 页（共 24 页） 即点 P1坐标为（，） 若以 CD 为一腰， 点 P2在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知， 点 P2与点 C 关于直线 x1 对称， 此时点 P2坐标为（2，3） 符合条件的点 P 坐标为（，）或（2，3） 【点评】此题是一道典型的“存在性问题” ，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形 的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性
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