1、在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ） A2 B1 C0 D1 2 （3 分）2019 年 4 月 10 日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的 65 亿倍，距离地 球大约 55000000 年，将数据 55000000 用科学记数法表示为（ ） A0.55108 B5.5108 C5.5107 D55106 3 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa+aa2 B （3a2）39a6 C （a+b）2a2+b2 D2a3a6a2 5 （3 分）若 x2 是一元二次方程 x23x+a0 的
2、一个根，则 a 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 6 （3 分）某学习小组的 5 名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、98 分、90 分、94 分、89 分，则下列结论正确的是（ ） A平均分是 91 B众数是 94 C中位数是 90 D极差是 8 7 （3 分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间 x 与火 车在隧道内的长度 y 之间的关系用图象描述大致是（ ） A B 第 2 页（共 23 页） C D 8 （3 分）如图，ABCD，158，FG 平分EFD，则FGB 的度数等于（ ） A97 B116 C122 D151 9 （3 分）如图，在平
3、面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，适当的长为半径作弧，分别 交 x 轴、y 轴于点 M、点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两 弧在第二象限交于点 P（a，b） ，则 a 与 b 的数量关系为（ ） Aa+b0 Ba+b0 Cab0 Dab0 10 （3 分）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦 9000kg 和 15000kg已知第一块 试验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为 x kg，由题 意可列方程（ ） A B C D 11 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，BOC110，ADOC，则 AB
4、D 等于（ ） 第 3 页（共 23 页） A20 B30 C40 D50 12 （3 分）如图，抛物线 y1ax2+bx+c（a0）的顶点为 A（1，3） ，且与 x 轴有一个交点 为 B（4，0） ，直线 y2mx+n 与抛物线交于 A、B 两点，下列结论： 2a+b0；abc0；方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的 另一个交点坐标是（1，0） ；当 1x4 时，有 y2y1，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题： （本題有二、填空题： （本題有 4 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：x24 14（3 分
5、） 在平面直角坐标系中， 点 P （m， m2） 在第一象限内， 则 m 的取值范围是 15 （3 分）菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45，OC， 则点 B 的坐标为 16 （3 分）如图，RtOAB 的边 AB 延长线与反比例函数 y在第一象限的图象交于 点 C，连接 OC，且AOB30，点 C 的纵坐标为 1，则OBC 的面积是 第 4 页（共 23 页） 三、解答题： （本大题有三、解答题： （本大题有 7 题，共题，共 52 分）分） 17 （5 分）计算：2cos30+（1）0+| 18 （5 分）先化简，再求值：+，其中 a2 19 （8 分）体育中考临近
6、时，某校体育老师随机抽取了九年级的部分学生进行体育中考的 模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成 A、B、 C、D、E、F 六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表 等级 得分 x（分） 频数（人） A 95x100 4 B 90x95 m C 85x90 n D 80x85 24 E 75x80 8 F 70x75 4 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）本次抽样调查中 m ，n ； （2）扇形统计图中，E 等级对应扇形的圆心角 的度数为 ； （3）该校决定从本次抽取的 A 等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择 2 名成为 学校代表参加全市体能竞
7、赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概 率 第 5 页（共 23 页） 20 （8 分）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45，测得底部 C 的 俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110 米，那么该建筑物的高 度 BC 约为多少米？（结果保留整数，1.73） 21 （8 分）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，点 M 是 AB 上的一点，连接 DM 交 AC 于 点 N，连接 BN （1）求证：ABNADN； （2）若ABC60，AM4，ABNa，求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 22 （9 分）在美化校园的
8、活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长） ， 用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边） ，设 ABxm （1）若花园的面积为 192m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细） ，求花园面积 S 的最大值 第 6 页（共 23 页） 23 （9 分）如图 1，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0） 、B（4，0） ， 与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 2，连接 BC，作垂直于 x 轴的直
9、线 xm，与抛物线交于点 D，与线段 BC 交 于点 E，连接 BD 和 CD，求当BCD 面积的最大值时，线段 ED 的值； （3）在（2）中BCD 面积最大的条件下，如图 3，直线 xm 上是否存在一个以 Q 点 为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请 说明理 由 第 7 页（共 23 页） 2020 年广东省深年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷圳市坪山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本题共有一、选择题： （本题共有 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）
10、在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切 负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 2101， 在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是2 故选：A 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大 的其值反而小 2 （3 分）2019 年 4 月 10 日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的 65 亿倍，距离地 球大约 55000
11、000 年，将数据 55000000 用科学记数法表示为（ ） A0.55108 B5.5108 C5.5107 D55106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 55000000 科学记数法表示为：5.5107 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
12、值 3 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B 第 8 页（共 23 页） C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可 【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，能熟记轴对称图形和中心对称 图形的定义的内容是解此题的关键 4 （3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa+aa2
13、B （3a2）39a6 C （a+b）2a2+b2 D2a3a6a2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式2a，不符合题意； B、原式27a6，不符合题意； C、原式a2+2ab+b2，不符合题意； D、原式6a2，符合题意 故选：D 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5 （3 分）若 x2 是一元二次方程 x23x+a0 的一个根，则 a 的值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】把 x2 代入方程 x23x+a0 得 46+a0，然后解关于 a 的方程即可 【解答】解：把 x2 代入方程 x23x+a0 得 46+a0，解得 a2
14、 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解 6 （3 分）某学习小组的 5 名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、98 分、90 分、94 分、89 分，则下列结论正确的是（ ） 第 9 页（共 23 页） A平均分是 91 B众数是 94 C中位数是 90 D极差是 8 【分析】直接利用平均数、众数、中位数以及极差的定义分别分析得出答案 【解答】解：A、平均分为： （94+98+90+94+89）593（分） ，故此选项错误； B、94 分、98 分、90 分、94 分、89 分中，众数是 94 分故此选项正确； C、
15、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是 94 分，故此选 项错误； D、极差是 98899，故此选项错误 故选：B 【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数以及极差的定义，正确把握相关定义是 解题关键 7 （3 分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间 x 与火 车在隧道内的长度 y 之间的关系用图象描述大致是（ ） A B C D 【分析】先分析题意，把各个时间段内 y 与 x 之间的关系分析清楚，本题是分段函数， 分为三段 【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间 x 与火车在隧道内的长度 y 之间的关系 具体可描述为：当火车
16、开始进入时 y 逐渐变大，火车完全进入后一段时间内 y 不变，当 火车开始出来时 y 逐渐变小，故反映到图象上应选 B 故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能 力解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论 y 与 x 之间的函数关系 8 （3 分）如图，ABCD，158，FG 平分EFD，则FGB 的度数等于（ ） 第 10 页（共 23 页） A97 B116 C122 D151 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出EFD，再根据角平分线的定义求出GFD， 然后根据两直线平行，同旁内角互补解答 【解答】解：ABCD，158， EFD158，
17、 FG 平分EFD， GFDEFD5829， ABCD， FGB180GFD151 故选：D 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质 是解题的关键 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，适当的长为半径作弧，分别 交 x 轴、y 轴于点 M、点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两 弧在第二象限交于点 P（a，b） ，则 a 与 b 的数量关系为（ ） Aa+b0 Ba+b0 Cab0 Dab0 【分析】利用基本作图得 OP 为第二象限的角平分线，则点 P 到 x、y 轴的距离相等，从 而得到 a 与 b 互
18、为相反数 【解答】解：利用作图得点 OP 为第二象限的角平分线， 所以 a+b0 第 11 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线） 也考查了第二象限点的坐标特征 10 （3 分）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦 9000kg 和 15000kg已知第一块 试验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为 x kg，由题 意可列方程（ ） A B C D 【分析】关键描述语是： “两块面积相同的小麦试验田”
19、 ；等量关系为：第一块试验田的 面积第二块试验田的面积 【解答】解：第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：方程 应该为：， 故选：C 【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系 是解决问题的关键 11 （3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，BOC110，ADOC，则 ABD 等于（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】由圆周角定理可知：ADB90，求出OAD 即可解决问题 【解答】解：BOC110， AOC18011070， ADOC， AOCDAB70， 第 12 页（共 23 页） AB 是直径， ABD907020，
20、故选：A 【点评】本题考查平行线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 12 （3 分）如图，抛物线 y1ax2+bx+c（a0）的顶点为 A（1，3） ，且与 x 轴有一个交点 为 B（4，0） ，直线 y2mx+n 与抛物线交于 A、B 两点，下列结论： 2a+b0；abc0；方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的 另一个交点坐标是（1，0） ；当 1x4 时，有 y2y1，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据抛物线对称轴方程对进行判断；由抛物线开口方向得到 a0，由对称轴 位置可得 b0，由抛物线与 y 轴的交点位
21、置可得 c0，于是可对进行判断；根据顶点 坐标对进行判断； 根据抛物线的对称性对进行判断； 根据函数图象得当 1x4 时， 一次函数图象在抛物线下方，则可对进行判断 【解答】解：抛物线的顶点坐标 A（1，3） 抛物线的对称轴为直线 x1， 2a+b0，所以正确； 抛物线开口向下， a0， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以错误； 第 13 页（共 23 页） 抛物线的顶点坐标 A（1，3） ， x1 时，二次函数有最大值， 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根，所以正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线 x1， 抛
22、物线与 x 轴的另一个交点为（2，0） ，所以错误； 抛物线 y1ax2+bx+c 与直线 y2mx+n（m0）交于 A（1，3） ，B 点（4，0） 当 1x4 时，y2y1，所以正确 故选：C 【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ，二 次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号 时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简 称：左同右异） ；常数
23、项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c） ；抛物线 与 x 轴交点个数由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac 0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题：二、填空题： （本題有（本題有 4 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：x24 （x+2） （x2） 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可 【解答】解：x24（x+2） （x2） 故答案为： （x+2） （x2） 【点评】本题考查了平方差公式因式分解能用平方差公式进行因式分解的式子的特点
24、 是：两项平方项，符号相反 14 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m，m2）在第一象限内，则 m 的取值范围是 m 2 【分析】根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出 m 的范围 【解答】解：由第一象限点的坐标的特点可得：， 第 14 页（共 23 页） 解得：m2 故答案为：m2 【点评】此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的 点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正 15 （3 分）菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45，OC， 则点 B 的坐标为 （2+2，2） 【分析】过 C 作 CEOA，根据“AOC45，OC2”可以
25、求出 CE、OE 的长， 点 B 的坐标便不难求出 【解答】解：过 C 作 CEOA 于 E， AOC45，OC2， OEOCcos45， CEOCsin452， 点 B 的坐标为（2+2，2） 【点评】作辅助线构造直角三角形，根据三角函数求出 C 点坐标是解本题的关键 16 （3 分）如图，RtOAB 的边 AB 延长线与反比例函数 y在第一象限的图象交于 点 C，连接 OC，且AOB30，点 C 的纵坐标为 1，则OBC 的面积是 第 15 页（共 23 页） 【分析】过点 C 作 CHx 轴于 H，先求出点 C 坐标，可得 CH1，OH3，由直角 三角形的性质可求 BH，可求 OB 的长
26、，由三角形面积公式可求解 【解答】解：如图，过点 C 作 CHx 轴于 H， 点 C 在反比例函数图象上，点 C 的纵坐标为 1， 点 C（3，1） CH1，OH3， ABOCBH，ABHC90， HCBAOB30， CHBH， BH， OBOHBH， OBC 的面积OBCH， 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，求出 OB 的 长是本题的关键 三、解答题： （本大题有三、解答题： （本大题有 7 题，共题，共 52 分）分） 17 （5 分）计算：2cos30+（1）0+| 第 16 页（共 23 页） 【分析】先计算算术平方根、代入三角函数值、计算
27、零指数幂和绝对值，再计算乘法， 最后计算加减可得 【解答】解：原式32+1+ 3+1+ 4 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则 18 （5 分）先化简，再求值：+，其中 a2 【分析】先将原式利用因式分解的方法、分式的乘法和加法法则化简，再将 a2 代入计 算即可 【解答】解：+ +， + ， a2， 原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘法和加法运算法则是解题的关 键 19 （8 分）体育中考临近时，某校体育老师随机抽取了九年级的部分学生进行体育中考的 模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成 A、B、
28、 C、D、E、F 六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表 等级 得分 x（分） 频数（人） A 95x100 4 B 90x95 m C 85x90 n D 80x85 24 E 75x80 8 第 17 页（共 23 页） F 70x75 4 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）本次抽样调查中 m 12 ，n 28 ； （2）扇形统计图中，E 等级对应扇形的圆心角 的度数为 36 ； （3）该校决定从本次抽取的 A 等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择 2 名成为 学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概 率 【分析】 （1）用 D 组的频
29、数除以它所占的百分比得到样本容量；用样本容量乘以 B 组所 占的百分比得到 m 的值，然后用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到 n 的值； （2）用 E 组所占的百分比乘以 360得到 的值； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到甲和乙的结果数，然后 根据概率公式求解 【解答】解： （1）2430%80， 所以样本容量为 80； m8015%12，n80124248428； 故答案为 12，28； （2）E 等级对应扇形的圆心角 的度数36036， 故答案为：36； （3）画树状图如下： 第 18 页（共 23 页） 共 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙
30、的结果数为 2， 所以恰好抽到甲和乙的概率 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率也 考查了统计图 20 （8 分）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45，测得底部 C 的 俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110 米，那么该建筑物的高 度 BC 约为多少米？（结果保留整数，1.73） 【分析】根据题意可得 ADBC，再根据特殊角三角函数即可求出该建筑物的高度 BC 【解答】解：根据题意可知： ADBC，
31、 在 RtABD 中，BAD45， BDAD110， 在 RtADC 中，DAC60， tan60， 即， 解得 BC110（+1）300（米） 答：该建筑物的高度 BC 约为 300 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角 第 19 页（共 23 页） 俯角定义 21 （8 分）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，点 M 是 AB 上的一点，连接 DM 交 AC 于 点 N，连接 BN （1）求证：ABNADN； （2）若ABC60，AM4，ABNa，求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 【分析】 （1）ABN 和ADN 中，不难得出 A
32、BAD，DACCAB，AN 是公共边， 根据 SAS 即可判定两三角形全等 （2） 通过构建直角三角形来求解 作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H 由可得MDA ABN，那么 M 到 AD 的距离和 就转化到直角三角形 MDH 和 MAH 中，然后根据 已知条件进行求解即可 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD，12 又ANAN， ABNADN（SAS） （2）作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H 由 ADBC，得MAHABC60 在 RtAMH 中，MHAMsin604sin602 点 M 到 AD 的距离为 2 AH2 DH6+28 在 RtDMH 中，tan
33、MDH， 由（1）知，MDHABN， 第 20 页（共 23 页） tan 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 22 （9 分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长） ， 用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边） ，设 ABxm （1）若花园的面积为 192m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细） ，求花园面积 S 的最大值 【分析
34、】 （1）根据题意得出长宽192，进而得出答案； （2）由题意可得出：Sx（28x）x2+28x（x14）2+196，再利用二次函数增 减性求得最值 【解答】解： （1）ABx，则 BC（28x） ， x（28x）192， 解得：x112，x216， 答：x 的值为 12 或 16； （2）ABxm， BC28x， Sx（28x）x2+28x（x14）2+196， 在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和 6m， 281513， 6x13， 当 x13 时，S 取到最大值为：S（1314）2+196195， 答：花园面积 S 的最大值为 195 平方米 【点评】此题主要考查
35、了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出 S 与 x 的函数关 第 21 页（共 23 页） 系式是解题关键 23 （9 分）如图 1，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两个不同的点 A（1，0） 、B（4，0） ， 与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 2，连接 BC，作垂直于 x 轴的直线 xm，与抛物线交于点 D，与线段 BC 交 于点 E，连接 BD 和 CD，求当BCD 面积的最大值时，线段 ED 的值； （3）在（2）中BCD 面积最大的条件下，如图 3，直线 xm 上是否存在一个以 Q 点 为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出
36、圆心 Q 的坐标；若不存在，请 说明理 由 【分析】 （1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决即可 （2）设 D（m，m2m2） ，直线直线 BC 的解析式，求出点 E 的坐标，构建二次 函数，利用二次函数的性质求解即可 （3）连接 BC，易证BOCCOA，进而可得出 BCAC，由点 A，B，C 的坐标，利 用待定系数法可求出直线 BC，AC 的解析式，设点 Q 的坐标为（2，n） ，由平行线的性 质可得出过点 Q 且垂直 AC 的直线的解析式为 yx+n1，联立该直线与 AC 的解析式 成方程组，通过解方程组可求出交点的坐标，再由该点到点 Q 的距离等于线段 OQ 的长 度可得出关于 n
37、的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）把 A（1，0） 、B（4，0）代入 yax2+bx2 得到，解得， 抛物线的解析式为 yx2x2 第 22 页（共 23 页） （2）设 D（m，m2m2） ， C（0，2） ，B（4，0） ， 直线 BC 的解析式为 yx2， E（m，m2） ， DEm2（m2m2）m2+2m， SBCDDEOBm2+4m（m2）2+4， 10， m2 时，BDC 的面积最大，此时 DE22+222 （3）如图 3 中，连接 BC 2，BCOCOA90， BOCCOA， OBCOCA OBC+OCB90， OCA+OCB90ACB， BCAC 点 B
38、的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（0，2） ，点 A 的坐标为（1，0） ， 直线 BC 的解析式为 yx2，直线 AC 的解析式为 y2x2， 设点 Q 的坐标为（2，n） ，则过点 Q 且垂直 AC 的直线的解析式为 yx+n1 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得：， 两直线的交点坐标为（，） 第 23 页（共 23 页） 依题意，得： （20）2+（n0）2（2）2+（n）2， 整理，得：n23n40， 解得：n11，n24， 点 Q 的坐标为（2，1）或（2，4） 综上所述：在这条直线上存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为（2，1）或（2，4） 【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、解直角三角形、二次函数 图象上点的坐标特征、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及 两点间的距离公式，解题的关键是： （1）利用待定系数法把问题转化为解方程组； （2） 利用分割图形求面积法，找出 SBDC关于 m 的函数关系式； （3）利用两点间的距离公式， 找出关于 n 的一元二次方程
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