1、2020 年驻马店市新蔡县部分学校联考中考数学模拟试卷（三）年驻马店市新蔡县部分学校联考中考数学模拟试卷（三） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，倒数最小的是（ ） A5 B C5 D 22020 年 3 月 12 日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要 的芯片，针对于此，厚度仅为 0.3nm 的低维材料应运而生已知 1nm10 9m，则 0.3nm 用科学记数法表示为（ ） A0.310 10 m B310 10m C0.310 11m D3010 11m 3 如图， 直线 AB、 CD 相交于点 O， OE 平分BOD， 过点 O 作 OF
2、OE， 若AOC42， 则BOF 的度数为（ ） A48 B52 C64 D69 4下列运算正确的是（ ） Aa4+a2a6 B （2a2）36a8 C6aa5 Da2a3a5 5如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 6关于 x 的一元二次方程（x1） （x3）x2，下面说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有两个实数根 D没有实数根 7若一组数据 4，9，5，m，3 的平均数是 5则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A9，3 B4，5 C4，4 D5，3 8某车间接了生产 12000 只口罩的订单，加工 4800 个口罩后，采用了的新的工艺，效
3、率是 原来的 1.5 倍， 任务完成后发现比原计划少用了 2 个小时 设采用新工艺之前每小时可生 产口罩 x 个，依据题意可得方程（ ） A2 B2 C2 D2 9如图，在平行四边形 ABCD 中，AB4，BC5，ABC60按以下步骤作图： 以 C 为圆心， 以适当长为半径作弧， 交 CB、 CD 于 M、 N 两点； 分别以 M、 N 为圆心， 以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 E，作射线 CE 交 BD 于点 O，交 AD 边于 点 F；则 BO 的长度为（ ） A B C D 10如图 1，点 P 为ABC 边上一动点，沿着 ACB 的路径行进，过点 P 作 PDAB， 垂足为
4、D，设 ADx，APD 的面积为 y，图 2 是 y 关于 x 的函数图象，则依据图中的 数量关系计算ACB 的周长为（ ） A14+ B15 C9+3 D7+2 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11计算： （2020）0+（） 1 12不等式组的解集为 13 国学经典 声律启蒙 中有这样一段话： “斜对正， 假对真， 韩卢对苏雁， 陆橘对庄椿” ， 现有四张卡片依次写有一“斜” 、 “正” 、 “假” 、 “真” ，四个字（4 张卡片除了书写汉字不 同外其他完全相同） ，现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率 是 14ABC 为等边三角形，点 O 为 AB 边
5、上一点，且 BO2AO4，将ABC 绕点 O 逆时 针旋转 60得DEF，则图中阴影部分的面积为 15在 RtACB 中，ACB90，AC2BC4，点 P 为 AB 中点，点 D 为 AC 边上不与 端点重合的一动点，将APD 沿 PD 折叠得EPD，点 A 的对应点为点 E，若 DEAB， 则 AD 的长为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值：（2x） ，请从2，1，0，1 中选择一个合适 的值代入求值 17如图，ABC 为O 的内接三角形，BC 为O 的直径，在线段 OC 上取点 D（不与端 点重合） ，作 DGBC，分别交 AC、圆周于 E、F，连接 AG，已
6、知 AGEG （1）求证：AG 为O 的切线； （2）已知 AG2，填空： 当四边形 ABOF 是菱形时，AEG ； 若 OC2DC，AGE 为等腰直角三角形，则 AB 18某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学“活动，借助某软件平台随机抽取了该校部 分学生的在线学习时间，并将结果给制成如下两福不完整的统计的图 请你根据以上信息回答下列问题： （1）本次调查的人数为 人，学习时间为 7 小时的所对的圆心角为 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校共有学生 1800 人，估计有多少学生在线学习时间不低于 8 个小时 19如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的 C 点观察篮
7、板上沿 D 点的仰角为 45，在支架底端的 A 点观察篮板上沿 D 点的仰角为 54，点 C 与篮板下 沿点 E 在同一水平线，若 AB1.91 米，篮板高度 DE 为 1.05 米，求篮板下沿 E 点与地 面的距离 （结果精确到 0.1m， 参考数据： sin540.80， cos540.60， tan541.33） 20为了迎接体育理化加试，九（2）班同学到某体育用品商店采购训练用球，已知购买 3 个 A 品牌足球和 2 个 B 品牌足球需付 210 元； 购买 2 个 A 品牌足球和 1 个 B 品牌足球需 付费 130 元 （优惠措施见海报）巨惠来袭（解释权归本店所有） A 品牌 B
8、品牌 单品数量低于 40 个不优惠，高于 40 个 享 8 折优惠 单品数量低于 40 个不优惠，高于 40 个 享 9 折优惠 （1）求 A，B 两品牌足球的单价各为多少元？ （2）为享受优惠，同学们决定购买一次性购买足球 60 个，若要求 A 品牌足球的数量不 低于 B 品牌足球数量的 3 倍，请你设计一种付费最少的方案，并说明理由 21如图，单位长度为 1 的网格坐标系中，一次函数 ykx+b 与坐标轴交于 A、B 两点，反 比例函数 y（x0）经过一次函数上一点 C （2，a） （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象； （2）依据图象直接写出当 x0 时不等式 kx
9、+b的解集； （3）若反比例函数 y与一次函数 ykx+b 交于 C、D 两点，使用直尺与 2B 铅笔构造 以 C、D 为顶点的矩形，且使得矩形的面积为 10 22 （1）问题发现 如图 1，在 RtABC 中，BAC30，ABC90，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转， 旋转角 2BAC， BCD 的度数是 ； 线段 BD， AC 之间的数量关系是 （2）类比探究 在 RtABC 中，BAC45，ABC90，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转，旋转角 2BAC，请问（1）中的结论还成立吗？ （3）拓展延伸 如图 3，在 RtABC 中，AB2，AC4，BAC90，若点 P 满足 PBPC，B
10、PC 90，请直接写出线段 AP 的长度 23 已知：如图， 直线 yx3 交坐标轴于 A、 C 两点，抛物线 yx2+bx+c 过 A、 C 两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接 PA，PC，试问PAC 的面积是否存 在最大值，若存在，请求出APC 面积的最大值，以及此时点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由； （3）点 M 为抛物线上一点，点 N 为抛物线对称轴上一点，若NMC 是以NMC 为直 角的等腰直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，倒数
11、最小的是（ ） A5 B C5 D 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数，再进行比较有理数大 小比较的法则： 正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数； 两个负数， 绝对值大的其值反而小，据此判断即可 【解答】解：5 的倒数是，的倒数是5，5 的倒数是，的倒数是 5 ， 的倒数最小 故选：B 22020 年 3 月 12 日，中科院宣布国内学者已经掌握了用“纳米”画笔“绘制”各种需要 的芯片，针对于此，厚度仅为 0.3nm 的低维材料应运而生已知 1nm10 9m，则 0.3nm 用科学记数法表示为（ ） A0.310 10 m B310 10m C0.310
12、 11m D3010 11m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零 的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.310 9m31010m 故选：B 3 如图， 直线 AB、 CD 相交于点 O， OE 平分BOD， 过点 O 作 OFOE， 若AOC42， 则BOF 的度数为（ ） A48 B52 C64 D69 【分析】利用对顶角的性质以及角平分线的性质得出BOE 的度数，再利用垂直定义得 出BOF 的度数 【解答】解：BODAOC（对顶角相等） ，AOC42（
13、已知） ， BOD42， OE 平分BOD（已知） ， BOEBOD21（角平分线的性质） ， OFOE（已知 ） ， EOF90（垂直定义） ， BOF+BOEEOF， BOFEOFBOE902169， BOF69 故选：D 4下列运算正确的是（ ） Aa4+a2a6 B （2a2）36a8 C6aa5 Da2a3a5 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判 断即可 【解答】解：Aa4与 a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B （2a2）38a6，故本选项不合题意； C.6aa5a，故本选项不合题意； Da2a3a5，故本选项符合题意 故选
14、：D 5如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线 【解答】解：该几何体的左视图如选项 D 所示， 故选：D 6关于 x 的一元二次方程（x1） （x3）x2，下面说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有两个实数根 D没有实数根 【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根 的情况 【解答】解：方程化为 x23x+50， （3）245110， 方程无实数根 故选：D 7若一组数据 4，9，5，m，3 的平均数是 5则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A9，3
15、 B4，5 C4，4 D5，3 【分析】先根据算术平均数的概念求出 m 的值，再将数据重新排列，继而利用众数和中 位数的概念求解可得 【解答】解：数据 4，9，5，m，3 的平均数是 5， 4+9+5+m+355， 解得 m4， 则这组数据为 3、4、4、5、9， 这组数据的众数为 4，中位数为 4， 故选：C 8某车间接了生产 12000 只口罩的订单，加工 4800 个口罩后，采用了的新的工艺，效率是 原来的 1.5 倍， 任务完成后发现比原计划少用了 2 个小时 设采用新工艺之前每小时可生 产口罩 x 个，依据题意可得方程（ ） A2 B2 C2 D2 【分析】设采用新工艺之前每小时可生
16、产口罩 x 个，则采用新工艺之后每小时可生产口 罩 1.5x 个，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划少用了 2 个小时，此 题得解 【解答】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩 x 个，则采用新工艺之后每小时可生 产口罩 1.5x 个， 依题意，得：2 故选：D 9如图，在平行四边形 ABCD 中，AB4，BC5，ABC60按以下步骤作图： 以 C 为圆心， 以适当长为半径作弧， 交 CB、 CD 于 M、 N 两点； 分别以 M、 N 为圆心， 以大于MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 E，作射线 CE 交 BD 于点 O，交 AD 边于 点 F；则 BO 的长度为（ ） A B
17、C D 【分析】如图，过点 D 作 DGBC 的延长线于点 G，由作图可知，CF 为BCD 的角平 分线，则BCFDCF，由平行四边形的性质、平行线的性质可得BCFDFC， DCGABC60，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理可得 DFDC4，CG 2，DG2，BD，最后根据相似三角形的判定与性质得比例式，计算可得答 案 【解答】解：如图，过点 D 作 DGBC 的延长线于点 G， 由作图可知，CF 为BCD 的角平分线， BCFDCF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，DCAB4， BCFDFC，DCGABC60， DFCDCF， DFDC4， 在 RtDCG 中，DC
18、G60，CDG30， CGDC2，DG2， 在 RtBGD 中，BGBC+CG5+27，DG2， BD ADBC， BOCDOF， ，即 DOBO， 又BO+DOBD， BO+BO， 解得 BO 故选：C 10如图 1，点 P 为ABC 边上一动点，沿着 ACB 的路径行进，过点 P 作 PDAB， 垂足为 D，设 ADx，APD 的面积为 y，图 2 是 y 关于 x 的函数图象，则依据图中的 数量关系计算ACB 的周长为（ ） A14+ B15 C9+3 D7+2 【分析】当 x4 时，点 P 到达点 C 的位置，设 AB 边长的高为 h，此时 y6，由 y 的值 确定 CD3；当 x4+
19、时，点 D 与点 B 重合，故 BD4+4，即可求解 【解答】解：当 x4 时，点 P 到达点 C 的位置，设 AB 边长的高（CD）为 h，此时 y 6， 即 6ADhxh4h，解得：h3，即 CD3， 在 RtACD 中，AD4，CD3，则 AC5， 当 x4+时，点 D 与点 B 重合， 故 BD4+4， 在 RtBCD 中，BC2， 则ACB 的周长AC+AB+BC5+4+29+3； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11计算： （2020）0+（） 1 1 【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算减法即可得 【解答】解：原式121， 故答案为：1 12不等式组
20、的解集为 3x1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2+3x5，得：x1， 解不等式1，得：x3， 则不等式组的解集为3x1， 故答案为：3x1 13 国学经典 声律启蒙 中有这样一段话： “斜对正， 假对真， 韩卢对苏雁， 陆橘对庄椿” ， 现有四张卡片依次写有一“斜” 、 “正” 、 “假” 、 “真” ，四个字（4 张卡片除了书写汉字不 同外其他完全相同） ，现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率 是 【分析】设“斜” 、 “正” 、 “假” 、 “真”分别为 A
21、，B，C，D，画树状图得到所有可能结 果，再找到汉字恰为相反意义的情况数目即可求出抽到的汉字恰为相反意义的概率 【解答】解：设“斜” 、 “正” 、 “假” 、 “真”分别为 A，B，C，D，画树状图得： 由树状图可知共有 12 种等可能的结果数，其中汉字恰为相反意义的有 4 种， 所以抽到的汉字恰为相反意义的概率， 故答案为： 14ABC 为等边三角形，点 O 为 AB 边上一点，且 BO2AO4，将ABC 绕点 O 逆时 针旋转 60得DEF，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 OF，OC，证明OAFCEO（SAS） ，SOAFSCEO，过点 O 作 OM BC 于点 M，求出扇形 CO
22、F 的面积，求出AOC，ANF 和CEO 的面积，再由面积关 系 SCEO+S扇形COFSAOF+SANF+S阴影，可求出答案 【解答】解：连接 OF，OC， ABC 为等边三角形，将ABC 绕点 O 逆时针旋转 60得DEF， DDFEBACB60，COFAOD60， DAOOEB60 BOE 和CEN 和ANF 都是等边三角形，ACDE，ABEF， 四边形 ADEC 和四边形 ABEF 都是平行四边形， BEAFOB，OAADCE， 在OAF 和CEO 中， ， OAFCEO（SAS） ， SOAFSCEO， 过点 O 作 OMBC 于点 M， OB2OA4， OACE2， ME2，OM2
23、， OC2， SCEO2，S扇形COF， 同理求得 SAOC，SANF， SCEO+S扇形COFSAOF+SANF+S阴影， S阴影 故答案为： 15在 RtACB 中，ACB90，AC2BC4，点 P 为 AB 中点，点 D 为 AC 边上不与 端点重合的一动点，将APD 沿 PD 折叠得EPD，点 A 的对应点为点 E，若 DEAB， 则 AD 的长为 【分析】 延长ED交AB于F， 由勾股定理可求AB的长， 由折叠的性质可得APPE， AE，由锐角三角函数可求，可求 PF 的长，可得 AF 的长，再由锐角三角 函数可求解 【解答】解：如图，延长 ED 交 AB 于 F， ACB90，AC
24、2BC4， BC2，AB2， 点 P 为 AB 中点， AP， 将APD 沿 PD 折叠得EPD， APPE，AE， sinA， PF1， AF1， cosA， AD， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值：（2x） ，请从2，1，0，1 中选择一个合适 的值代入求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 x0 时，原式1 17如图，ABC 为O 的内接三角形，BC 为O 的直径，在线段 OC 上取点 D（不与端 点重合） ，作 DGBC
25、，分别交 AC、圆周于 E、F，连接 AG，已知 AGEG （1）求证：AG 为O 的切线； （2）已知 AG2，填空： 当四边形 ABOF 是菱形时，AEG 60 ； 若 OC2DC，AGE 为等腰直角三角形，则 AB 4 【分析】 （1）连接 OA证明 OAAG 即可解决问题 （2）如图 2 中，连接 OA，AF，OF证明ABO 使得等边三角形，推出B60即可 解决问题 如图 3 中，当 AB4时，AGE 是等腰直角三角形证明四边形 AODG 是矩形， DEC，ABC 都是等腰直角三角形，求出 BC 的长即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接 OA OAOC， OACOCA， GAGE，
26、 GAEGEA， DGBC， EDC90， OCA+DEC90， CEDGEAGAE， OAC+GAE90， OAG90， OAAG， AG 是O 的切线 （2）如图 2 中，连接 OA，AF，OF 四边形 ABOF 是 菱形， ABBOOFAFOA， ABO 是等边三角形， B60， BC 是直径， BAC90 ACB906030， EDBC， DEC90ACB60， AEGDEC60 故答案为 60 如图 3 中，当 AB4时，AGE 是等腰直角三角形 理由：连接 OA AGE 是等腰直角三角形， AEGDECDCE45， EDC，ABC 都是等腰直角三角形， OBOC， AOOC， AO
27、DODGG90， 四边形 AODG 是矩形， AGOD2， OC2OD4， BC2OC8， ABAC4， 故答案为 4 18某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学“活动，借助某软件平台随机抽取了该校部 分学生的在线学习时间，并将结果给制成如下两福不完整的统计的图 请你根据以上信息回答下列问题： （1）本次调查的人数为 50 人，学习时间为 7 小时的所对的圆心角为 86.4 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校共有学生 1800 人，估计有多少学生在线学习时间不低于 8 个小时 【分析】（1） 根据在线学习时间为 8 小时人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数， 然后再求出学习时间为
28、 7 小时的所对的圆心角即可； （2）将条形统计图补充完整； （3）用该校的总人数乘以时间不低于 8 个小时所占的百分比即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查的学生总人数为：2040%50（人） ， 学习时间为 7 小时的所对的圆心角为：360（130%40%）86.4， 故答案为：50，86.4 （2）补全频数分布直方图； （3）根据题意得： 18001260（人） ， 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有 1260 人 19如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的 C 点观察篮板上沿 D 点的仰角为 45，在支架底端的 A 点观察篮板上沿 D 点的仰角为 54，点 C 与
29、篮板下 沿点 E 在同一水平线，若 AB1.91 米，篮板高度 DE 为 1.05 米，求篮板下沿 E 点与地 面的距离 （结果精确到 0.1m， 参考数据： sin540.80， cos540.60， tan541.33） 【分析】延长 DE 与 AB 的延长线交于点 F，则四边形 BCEF 是矩形，可得 BCEF，CE BF，根据题意可得，DCE45，DAF54，再根据锐角三角函数即可求出篮 板下沿 E 点与地面的距离 【解答】解：如图， 延长 DE 与 AB 的延长线交于点 F， 则四边形 BCEF 是矩形， BCEF，CEBF， 根据题意可知： DCE45， CEDE1.05， 在 R
30、tADF 中，DAF54， DFDE+EF1.05+EF， AFAB+BFAB+DE1.91+1.052.96， DFAFtanDAF， 即 1.05+EF2.961.33， 解得 EF2.9（米） 答：篮板下沿 E 点与地面的距离约为 2.9 米 20为了迎接体育理化加试，九（2）班同学到某体育用品商店采购训练用球，已知购买 3 个 A 品牌足球和 2 个 B 品牌足球需付 210 元； 购买 2 个 A 品牌足球和 1 个 B 品牌足球需 付费 130 元 （优惠措施见海报）巨惠来袭（解释权归本店所有） A 品牌 B 品牌 单品数量低于 40 个不优惠，高于 40 个 享 8 折优惠 单品
31、数量低于 40 个不优惠，高于 40 个 享 9 折优惠 （1）求 A，B 两品牌足球的单价各为多少元？ （2）为享受优惠，同学们决定购买一次性购买足球 60 个，若要求 A 品牌足球的数量不 低于 B 品牌足球数量的 3 倍，请你设计一种付费最少的方案，并说明理由 【分析】 （1）设 A 品牌足球的单价为 x 元，B 品牌足球的单价为 y 元，根据“购买 3 个 A 品牌足球和 2 个 B 品牌足球需付费 210 元；购买 2 个 A 品牌足球和 1 个 B 品牌足球需付 费 130 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 A 品牌足球 m 个，则购
32、买 B 品牌足球（60m）个，根据 A 品牌足球的数 量不低于 B 品牌足球数量的 3 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，设购买 60 个足球的总价为 w 元，根据总价单价数量，即可得出 w 关 于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设 A 品牌足球的单价为 x 元，B 品牌足球的单价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：A 品牌足球的单价为 50 元，B 品牌足球的单价为 30 元 （2）设购买 A 品牌足球 m 个，则购买 B 品牌足球（60m）个， 依题意，得：m3（60m） ， 解得：m45 设购买 60
33、 个足球的总价为 w 元，则 w500.8m+30（60m）10m+1800 100， w 随 m 的增大而增大， 当 m45 时，总费用最少，此时 60m15 答：付费最少的方案为：购进 45 个 A 品牌足球，15 个 B 品牌足球 21如图，单位长度为 1 的网格坐标系中，一次函数 ykx+b 与坐标轴交于 A、B 两点，反 比例函数 y（x0）经过一次函数上一点 C （2，a） （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象； （2）依据图象直接写出当 x0 时不等式 kx+b的解集； （3）若反比例函数 y与一次函数 ykx+b 交于 C、D 两点，使用直尺与 2B 铅笔
34、构造 以 C、D 为顶点的矩形，且使得矩形的面积为 10 【分析】 （1）利用待定系数法可求直线 AB 解析式，可得点 C 坐标，代入反比例函数解 析式可求解； （2）联立方程组可求点 D 坐标，利用图象可求解； （3）分两种情况讨论，由矩形的性质可求解 【解答】解： （1）一次函数 ykx+b 过点 A（0，4） ，点 B（8，0） ， ， ， 一次函数解析式为：yx+4； 点 C 在一次函数图象上， a2+43， 反比例函数 y（x0）经过点 C （2，3） ， m6， 反比例函数解析式为：y， 图象如图所示： （2）反比例函数 y与一次函数 yx+4 交于 C、D 两点， x+4， x1
35、2，x26， 点 D（6，1） ， 由图象可得：当 2x6 时，ykx+b 的图象在 y图象的上方， 不等式 kx+b的解集为 2x6； （3）如图，若以 CD 为边，则矩形 ABDC，矩形 ABDC 为所求， 若以 CD 为对角线，则矩形 DEDF 为所求 22 （1）问题发现 如图 1，在 RtABC 中，BAC30，ABC90，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转， 旋转角 2BAC，BCD 的度数是 120 ；线段 BD，AC 之间的数量关系是 BD AC （2）类比探究 在 RtABC 中，BAC45，ABC90，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转，旋转角 2BAC，请问（1）中的结论
36、还成立吗？ （3）拓展延伸 如图 3，在 RtABC 中，AB2，AC4，BAC90，若点 P 满足 PBPC，BPC 90，请直接写出线段 AP 的长度 【分析】 （1）根据三角形的内角和得到ACB60，根据旋转的性质得到CAD 2BAC60，ACAD，求得ACD 是等边三角形，得到ACD60，根据勾股定 理即可得到结论； （2）根据三角形的内角和得到ACB45，根据旋转的性质得到CAD2BAC 90，ACAD，求得BCD90，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图 3，作 PEAC 于 E，连接 PA，根据勾股定理得到 BC2，推 出点 B，C，P，A 四点共圆，根据圆周角定理得到PAE4
37、5，求得PAE 是等腰直角 三角形，得到 PEAE，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解： （1）在 RtABC 中，BAC30，ABC90， ACB60， 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转，旋转角 2BAC， CAD2BAC60，ACAD， ACD 是等边三角形， ACD60， BAD90，BCD120， 在 RtABC 中，ABAC， BD2AB2+AD2（AC）2+AC2AC2， 即线段 BD，AC 之间的数量关系是 BDAC； 故答案为：120，BDAC； （2）不成立， 理由：在 RtABC 中，BAC45，ABC90， ACB45， 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转，旋转角 2
38、BAC， CAD2BAC90，ACAD， ACD 是等腰直角三角形， ACD45， BCD90， 在 RtABC 中，ABBCAC， 在 RtACD 中，CDAC， BD2BC2+CD2（AC）2+（AC）2AC2， 即线段 BD，AC 之间的数量关系是 BDAC； （3）如图 3，作 PEAC 于 E，连接 PA， 在 RtABC 中，AB2，AC4，BAC90， BC2， BPC90，PBPC， PBPC，PBCPCB45， BACBPC90， 点 B，C，P，A 四点共圆， PAE45， PAE 是等腰直角三角形， PEAE， CE4AE， PE2+CE2PC2， PE2+（4PE）21
39、0， PE1，PE3， PA或 PA3； 故线段 AP 的长度为或 3 23 已知：如图， 直线 yx3 交坐标轴于 A、 C 两点，抛物线 yx2+bx+c 过 A、 C 两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接 PA，PC，试问PAC 的面积是否存 在最大值，若存在，请求出APC 面积的最大值，以及此时点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由； （3）点 M 为抛物线上一点，点 N 为抛物线对称轴上一点，若NMC 是以NMC 为直 角的等腰直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 【分析】 （1）求出点 A、C 的坐标，将点 A、C 的坐标代入抛物线表
40、达式，即可求解； （2）APC 面积 SSPHA+SPHCPHOA，即可求解； （3）证明MGNCHM（AAS） ，则 GNMH，即 GN|1m|MH|n+3|，即可 求解 【解答】解： （1）yx3 交坐标轴于 A、C 两点，则点 A、C 的坐标分别为： （3，0） 、 （0，3） ； 将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为：yx2+2x3； （2）存在，理由： 如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H， 设点 P（x，x2+2x3） ，则点 H（x，x3） ， APC 面积 SSPHA+SPHCPHOA（x3x22x+3）3x2 x， 0，故
41、S 有最大值， 当 x时，S 的最大值为，此时点 P（，） ； （3）如图 2，设点 N（1，s） ，点 M（m，n） ，nm2+2m3， 过点 M 作 y 轴的平行线交过点 C 与 x 轴的平行线于点 H， 交过点 N 与 x 轴的平行线于点 G， GMN+GNM90，GMN+HMC90， HMCGNM， MGNCHM90，MNMC， MGNCHM（AAS） ， GNMH， 即 GN|1m|MH|n+3|， 当1mn+3 时， 即 m+n+40，即 m2+3m+10， 解得：m，故点 P（，） ； 当1m（n+3）时，即 mn+2， 同理可得：点 P（，） ； 故点 P 的坐标为： （，）或（，）或（，） 或（，）
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