1、如图，ABCD，AE 平分CAB 交 CD 于点 E，若C50，则AED（ ） A65 B115 C125 D130 5 （3 分）某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋尺码及购买数量如下表： 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A40，41 B41，41 C41，42 D42，43 6 （3 分）若正比例函数的图象经过（3，2） ，则这个图象一定经过点（ ） A （2，3） B C （1，1） D （2，2） 7 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC60，AB4若点 E、F、G、H 分别是边
2、 AB、 第 2 页（共 27 页） BC、CD、DA 的中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 的面积为（ ） A8 B6 C4 D6 8 （3 分）如果点 A（m，n） 、B（m+1，n+2）均在一次函数 ykx+b（k0）的图象上，那 么 k 的值为（ ） A2 B1 C1 D2 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3.4，BC5，以 BC 为直径作半圆 O，点 P 是半圆 O 上的一点，若 PB4，则点 P 到 AD 的距离为（ ） A B1 C D 10 （3 分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 10 个单 位长度若其中一
3、条抛物线的函数表达式为 yx2+6x+m，则 m 的值是（ ） A4 或14 B4 或 14 C4 或14 D4 或 14 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）在，1， 这四个数中，无理数有 个 12 （3 分）不等式+2x 的正整数解为 13 （3 分）如图，在 x 轴上方，平行于 x 轴的直线与反比例函数 y和 y的图象分 别交于 A、B 两点，连接 OA、OB，若AOB 的面积为 6，则 k1k2 第 3 页（共 27 页） 14 （3 分）如图，在半圆O 中，AB 是直径，CD 是一条弦，若 AB10，则COD
4、面积 的最大值是 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算：2|5|+（） 2 16 （5 分）解方程：1 17 （5 分）如图，已知锐角ABC，点 D 是 AB 边上的一定点，请用尺规在 AC 边上求作一 点 E， 使ADE 与ABC 相似（作出符合题意的一个点即可， 保留作图痕迹， 不写作法 ） 18 （5 分） 在正方形 ABCD 中， M、 N 分别是边 CD、 AD 的中点， 连接 BN， AM 交于点 E 求 证：AMBN 19 （7 分）为了庆祝六一儿童节，红旗中学七年级举办了文艺演出，该校学生会为
5、了了解 学生最喜欢演出中的哪类节目，对这个年级的学生进行了抽样调查我们根据调查结果 绘制了两幅统计图 请依据以下两幅统计图提供的相关信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查了多少名学生？ （2）补全两幅统计图； （3）若该校七年级有 800 名学生，求这些学生中最喜欢歌唱类节目的人数 第 4 页（共 27 页） 20 （7 分）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到 某一位置时，小明在点 A 处测得热气球底部点 C、中部点 D 的仰角分别为 50和 60， 已知点 O 为热气球中心，EAAB，OBAB，OBOD，点 C 在 OB 上，AB30m，且 点 E、A、B
6、、O、D 在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？ （精确到 0.1m） （参考数据：sin500.7660，cos500.6428，tan501.192） 21 （7 分）某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费如图是居民每 户每月的水（自来水）费 y（元）与所用的水（自来水）量 x（吨）之间的函数图象根 据下面图象提供的信息，解答下列问题： （1）当 17x30 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当一户居民在某月用水为 15 吨时，求这户居民这个月的水费； （3）已知某户居民上月水费为 91 元，求这户居民上月用水量多少吨？ 第 5 页（共 2
7、7 页） 22 （7 分）甲、乙两人利用五个小球做“找象限”游戏，这五个小球的球面上分别标有数 字2、1、1、2、3，这些小球除球面上数字不同外其他完全相同他们俩约定：把这 五个小球放在一个不透明的口袋中，甲先从口袋中任摸一个小球，记下数字作为一点的 横坐标，再将这个小球放回这个袋中摇匀，接着乙从口袋中任摸一个小球，记下数字作 为这个点的纵坐标，这样就得到坐标平面上的一个点，若此点在第一、三象限，则甲胜， 否则乙胜这样的游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？ 23 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，过点 A、B 两点分别作O 的切线 PA、PB 交于 一点 P，连接 OP （1）求证：APOB
8、PO； （2）若C60，AB6，点 Q 是O 上的一动点，求 PQ 的最大值 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（1，0） ，B（0，2） ，点 C 在 x 轴上，且 ABC90 （1）求点 C 的坐标； （2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （3） 在（2） 中的抛物线上是否存在点 P，使PACBCO？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 25 （12 分）问题探究 （1）如图，在 RtABC 中，B90，请你过点 A 作一条直线 AD，其中点 D 为 BC 上一点，使直线 AD 平分ABC 的面积； （2）如图，点 P 为ABCD 外一点，AB6，
9、BC12，B45，请过点 P 作一条 第 6 页（共 27 页） 直线 l，使其平分ABCD 的面积，并求出ABCD 的面积； 问题解决 （3）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是李爷爷家一块土地的示意图，其 中 OABC，点 P 处有一个休息站点（占地面积忽略不计） ，李爷爷打算过点 P 修一条笔 直的小路 l（路的宽度不计） ，使直线 l 将四边形 OABC 分成面积相等的两部分，分别用 来种植不同的农作物已知点 A（8，8） 、B（6，12） 、P（3，6） 你认为直线 1 是否存 在？若存在，求出直线 l 的表达式；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 27 页） 2020
10、年陕西省中考数学一模试卷年陕西省中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只每小题只有一个选项是符合题意的）有一个选项是符合题意的） 1 （3 分）的倒数是（ ） A B C D 【分析】根据倒数的定义直接进行解答即可 【解答】解：根据倒数的定义得： 的倒数是； 故选：A 【点评】此题考查了倒数，熟记倒数的定义是解题的关键，是一道基础题 2 （3 分） 如图， 将直角三角形绕其一条直角边所在直线 l 旋转一周， 得到的几何体是 （ ） A B C D 【分析】根据直角三角形绕直角边旋
11、转是圆锥，可得答案 【解答】解：将直角三角形绕其一条直角边所在直线 l 旋转一周，得到的几何体是圆锥， 故选：B 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的 关键 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a Ca3a2a6 Da3a2a 【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不 变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解 第 8 页（共 27 页） 【解答】解：A、a2与 a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、a3与 a2不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、应为 a3a2a5，故本选
12、项错误； D、a3a2a，正确 故选：D 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的 关键，不是同类项的一定不能合并 4 （3 分）如图，ABCD，AE 平分CAB 交 CD 于点 E，若C50，则AED（ ） A65 B115 C125 D130 【分析】根据平行线性质求出CAB 的度数，根据角平分线求出EAB 的度数，根据平 行线性质求出AED 的度数即可 【解答】解：ABCD， C+CAB180， C50， CAB18050130， AE 平分CAB， EAB65， ABCD， EAB+AED180， AED18065115， 故选：B 【点评】本题考查
13、了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：两 条平行线被第三条直线所截，同位角相等，两条平行线被第三条直线所截，内错角相 等，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 5 （3 分）某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋尺码及购买数量如下表： 第 9 页（共 27 页） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） A40，41 B41，41 C41，42 D42，43 【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意 众数可以不止一个； 找中位数要把数据按从小到大的顺
14、序排列， 位于最中间的一个数 （或 两个数的平均数）为中位数 【解答】解：由表可知 41 出现次数最多，所以众数为 41， 因为共有 2+4+2+2+111 个数据， 所以中位数为第 6 个数据，即中位数为 41， 故选：B 【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力一些学生往往对这个概念掌 握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序， 然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求， 如果是偶数个则找中间两位数的平均数 6 （3 分）若正比例函数的图象经过（3，2） ，则这个图象一定经过点（ ） A （2，3） B C （
15、1，1） D （2，2） 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再把各选项代入进行检验即可 【解答】解：设正比例函数的解析式为 ykx（k0） ， 正比例函数的图象经过（3，2） ， 3k2，解得 k， 正比例函数的解析式为：yx A、当 x2 时，y23，此点不在函数图象上，故本选项错误； B、当 x时，y1，此点在函数图象上，故本选项正确； C、当 x1 时，y（1）1，此点不在函数图象上，故本选项错误； D、当 x2 时，y22，此点不在函数图象上，故本选项错误 故选：B 第 10 页（共 27 页） 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标
16、 一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 7 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABC60，AB4若点 E、F、G、H 分别是边 AB、 BC、CD、DA 的中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 的面积为（ ） A8 B6 C4 D6 【分析】连接 AC、BD 交于 O，根据三角形中位线性质得到 EHBD，FGBD，EF AC，HGAC， 推出四边形 EFGH 是平行四边形， 求得HEF90， 得到四边形 EFGH 是矩形，解直角三角形得到 ACAB4，BD4，于是得到结论 【解答】解：连接 AC、BD 交于 O， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 点 E、F、G、
17、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点， EHBD，FGBD，EFAC，HGAC， EHFG，EFHG， 四边形 EFGH 是平行四边形， ACBD， AOB90， BAO+ABO90， AEHABO，BEFEAO， AEO+BEF90， HEF90， 四边形 EFGH 是矩形， 在菱形 ABCD 中，ABC60， ABC 是等边三角形， ACAB4，BD4， EFAC2， 第 11 页（共 27 页） EHBD2， 四边形 EFGH 的面积为 24， 故选：C 【点评】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键 8 （3 分）如果点 A（m，n） 、B（m
18、+1，n+2）均在一次函数 ykx+b（k0）的图象上，那 么 k 的值为（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】根据点 A、B 的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于 k、b 的二元 一次方程组（m、n 当做已知量） ，解之即可得出 k 值 【解答】解：点 A（m，n） 、B（m+1，n+2）均在一次函数 ykx+b（k0）的图象上， ， 解得：k2 故选：A 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点 A、B 的坐标利用一次函数图 象上点的坐标特征，列出关于 k、b 的二元一次方程组是解题的关键 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3.4，BC5，以 BC 为直
19、径作半圆 O，点 P 是半圆 O 上的一点，若 PB4，则点 P 到 AD 的距离为（ ） A B1 C D 【分析】作 PEAD 于 E，直线 PE 交 BC 于 F，连接 PC，如图，根据平行线的性质可 判断 PFBC，再根据圆周角定理得到BPC90，则可根据勾股定理计算出 PC，接 着利用面积法计算出 PF，然后计算出 PE 即可 第 12 页（共 27 页） 【解答】解：如图，连接 PC，作 PEAD 于 E，直线 PE 交 BC 于 F， ADBC， PFBC， BC 为直径， BPC90， PC3， PFBCPBPC， PF2.4， 易得四边形 ABFE 为矩形， EFAB3.4，
20、 PE3.42.41 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 10 （3 分）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 10 个单 位长度若其中一条抛物线的函数表达式为 yx2+6x+m，则 m 的值是（ ） A4 或14 B4 或 14 C4 或14 D4 或 14 【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条 抛物线的顶点，根据题意得出关于 m 的方程，解方程即可求得 【解答】解：一条抛物线的函数表达式为 yx2+6x+m， 这条抛物线的顶点为（3，m9）
21、 ， 关于 x 轴对称的抛物线的顶点（3，9m） ， 它们的顶点相距 10 个单位长度 |m9（9m）|10， 2m1810， 第 13 页（共 27 页） 当 2m1810 时，m14， 当 2m1810 时，m4， m 的值是 4 或 14 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点 坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于 x 轴对称的点和抛物线的关系 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）在，1， 这四个数中，无理数有 2 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的
22、概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：在，1， 这四个数中，无理数有和 共 2 个 故答案为：2 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 12 （3 分）不等式+2x 的正整数解为 1，2 【分析】首先去分母、移项、合并同类项、系数化成 1，求得不等式的解集，然后确定正 整数解即可 【解答】解：+2x， 去分母，得：x1+63x， 移项，得：x3x16， 合并同类项，得：2x5
23、， 系数化成 1 得：x2.5 则正整数解是：1，2 故答案是：1，2 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解答本题的关 键解不等式应根据不等式的基本性质 13 （3 分）如图，在 x 轴上方，平行于 x 轴的直线与反比例函数 y和 y的图象分 第 14 页（共 27 页） 别交于 A、B 两点，连接 OA、OB，若AOB 的面积为 6，则 k1k2 12 【分析】根据 ABx 轴，设 A（x，） ，B（，）得到 ABx，根据 AOB 的面积为 6，列方程即可得到结论 【解答】解：ABx 轴， 设 A（x，） ，B（，） ABx， AOB 的面积为 6， （x） 6
24、， k1k212， 故答案为：12 【点评】本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，即在反比例函数 y图象中任取 一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反 比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角 形的面积是，且保持不变 14 （3 分）如图，在半圆O 中，AB 是直径，CD 是一条弦，若 AB10，则COD 面积 的最大值是 12.5 【分析】如图，作 DHCO 交 CO 的延长线于 H首先证明当 DHOD 时，COD 的 面积最大，此时COD 是等腰直角三角形，然后求得最大值即可 第 15 页（共 2
25、7 页） 【解答】解：如图，作 DHCO 交 CO 的延长线于 H SCODOCDH， DHOD， 当 DHOD 时，COD 的面积最大，此时COD 是等腰直角三角形，COD90， 此时面积的最大值为：5512.5， 故答案为：12.5 【点评】本题考查三角形的面积、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运 用所学知识解决问题 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算：2|5|+（） 2 【分析】根据二次根式的乘法法则、绝对值和负整数指数幂的意义计算 【解答】解：原式210+9 210+9 21 【点评】本
26、题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 16 （5 分）解方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x（x1）2x23x， 去括号得：x2x2x23x， 移项合并得：2x2， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转 第 16 页（共 27 页） 化为整式方程求解
27、解分式方程一定注意要验根 17 （5 分）如图，已知锐角ABC，点 D 是 AB 边上的一定点，请用尺规在 AC 边上求作一 点 E， 使ADE 与ABC 相似（作出符合题意的一个点即可， 保留作图痕迹， 不写作法 ） 【分析】以 DA 为边、点 D 为顶点在ABC 内部作一个角等于B，角的另一边与 AC 的 交点即为所求作的点 【解答】解：如图，点 E 即为所求作的点 【点评】本题主要考查作图相似变换，根据相似三角形的判定明确过点 D 作 DEBC 并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键 18 （5 分） 在正方形 ABCD 中， M、 N 分别是边 CD、 AD 的中点， 连接 B
28、N， AM 交于点 E 求 证：AMBN 【分析】先根据 SAS 证明ABNDAM，得出对应角相等ABNDAM，再根据角 的互余关系即可得出AEB90，证出 AMBN 【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA，BANADM90， M、N 分别是边 CD、AD 的中点， ANAD，DMCD， ANDM， 第 17 页（共 27 页） 在ABN 和DAM 中， ABNDAM（SAS） ， ABNDAM， DAM+BAE90， ABN+BAE90， AEB90， AMBN 【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出 角相等是解决问题的关键 19
29、（7 分）为了庆祝六一儿童节，红旗中学七年级举办了文艺演出，该校学生会为了了解 学生最喜欢演出中的哪类节目，对这个年级的学生进行了抽样调查我们根据调查结果 绘制了两幅统计图 请依据以下两幅统计图提供的相关信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查了多少名学生？ （2）补全两幅统计图； （3）若该校七年级有 800 名学生，求这些学生中最喜欢歌唱类节目的人数 【分析】（1） 根据统计图可得， 抽样调查中， 最喜欢乐器的学生有 12 人， 占总人数的 10%， 根据频数与频率、数据总数的关系，即可求出本次调查的学生人数； （2）根据（1）所求结果即可补全两幅统计图； （3）根据样本估计总体即可得 8
30、00 名学生中最喜欢歌唱类节目的人数 【解答】解： （1）本次抽样调查的学生人数： 1210%120（名） ； （2）舞蹈类人数：12035%42（名） ， 第 18 页（共 27 页） 歌唱类的百分比：100%30%， 小品类的百分比：100%20% 补全两幅统计图如图所示： （3）80030%240（名） 答：最喜欢歌唱类节目的人数为 240 名 【点评】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、频数与频率、数据总数的关系、用 样本估计总体等知识点，解决本题的关键是总和运用以上知识 20 （7 分）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到 某一位置时，小明在点 A
31、处测得热气球底部点 C、中部点 D 的仰角分别为 50和 60， 已知点 O 为热气球中心，EAAB，OBAB，OBOD，点 C 在 OB 上，AB30m，且 点 E、A、B、O、D 在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？ （精确到 0.1m） （参考数据：sin500.7660，cos500.6428，tan501.192） 【分析】过 E 点作 EFOB 于 F，过 D 点作 DGEF 于 G在 RtCEF 中，根据三角函 数得到 CF，在 RtDEG 中，根据三角函数得到 DGEG，设热气球的直径为 x 米， 得到关于 x 的方程，解方程即可求解 第 19 页（共
32、27 页） 【解答】解：如图，过 E 点作 EFOB 于 F，过 D 点作 DGEF 于 G 在 RtCEF 中，CFEFtan50ABtan5035.76m， 在 RtDEG 中，DGEGtan60EG， 设热气球的直径为 x 米，则 35.76+x（30x） ， 解得 x11.9 故热气球的直径约为 11.9 米 【点评】考查了解直角三角形的应用，三角函数的知识，方程思想，关键是作出辅助线 构造直角三角形 21 （7 分）某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费如图是居民每 户每月的水（自来水）费 y（元）与所用的水（自来水）量 x（吨）之间的函数图象根 据下面图象提供的信息
33、，解答下列问题： （1）当 17x30 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当一户居民在某月用水为 15 吨时，求这户居民这个月的水费； （3）已知某户居民上月水费为 91 元，求这户居民上月用水量多少吨？ 【分析】 （1）根据图示知，该直线经过点（20，66） ， （30，116） ，则由待定系数法来求 y 与 x 之间的函数关系式； 第 20 页（共 27 页） （2）先求出当 0x17 时，y 与 x 之间的函数关系式，把 x15 代入可求解； （3）把 y91 代入（1）中的函数关系式，求得 x 的值即可 【解答】解： （1）y 与 x 之间的函数关系式为：ykx+b， 由题
34、意得： y 与 x 之间的函数关系式为：y5x34； （2）当 x17 吨时，y5173451 元， 当 0x17 时，y 与 x 之间的函数关系式为：y3x， 当 x15 吨时，y45 元， 答：这户居民这个月的水费 45 元； （3）当 y91 元51 元， 915x34 x25 答：这户居民上月用水量 25 吨 【点评】本题考查了一次函数的应用此题要求学生具备一定的读图能力 22 （7 分）甲、乙两人利用五个小球做“找象限”游戏，这五个小球的球面上分别标有数 字2、1、1、2、3，这些小球除球面上数字不同外其他完全相同他们俩约定：把这 五个小球放在一个不透明的口袋中，甲先从口袋中任摸一个
35、小球，记下数字作为一点的 横坐标，再将这个小球放回这个袋中摇匀，接着乙从口袋中任摸一个小球，记下数字作 为这个点的纵坐标，这样就得到坐标平面上的一个点，若此点在第一、三象限，则甲胜， 否则乙胜这样的游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？ 【分析】画出树状图，然后找出点在第一、三象限和第二、四象限的情况数，再根据概 率公式列式进行计算即可得解 【解答】解：画树状图如下： 共有 25 种情况，其中此点在第一、三象限的有 13 种结果，此点在第二、四象限的有 12 种结果， 第 21 页（共 27 页） 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 这样的游戏对甲、乙双方不公平 【点评】本题考查了游戏公平性：利用
36、列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再 利用概率的定义求出游戏各方获胜的概率，然后根据概率的大小判断游戏的公平性 23 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，过点 A、B 两点分别作O 的切线 PA、PB 交于 一点 P，连接 OP （1）求证：APOBPO； （2）若C60，AB6，点 Q 是O 上的一动点，求 PQ 的最大值 【分析】 （1）根据切线的性质得出 OAPA，OBPB，然后根据 HL 证得 RTPAORT PBO，即可证得结论 （2）根据切线的性质得出PABPBAC60，OPAB，从而证得PAB 为等 边三角形，延长 PO 交O 于 Q，连接 AQ、BQ，则此时 PQ 最
37、大，然后通过解直角三角 形即可求得 PQ 的最大值 【解答】 （1）证明：连接 OA、OB， PA、PB 是O 的切线， OAPA，OBPB， 在 RTPAO 和 RTPBO 中， ， RTPAORTPBO（HL） ， APOBPO； （2）解：PA、PB 是O 的切线， PABPBAC60，OPAB， PAB 为等边三角形， 第 22 页（共 27 页） 延长 PO 交O 于 Q，连接 AQ、BQ，则此时 PQ 最大， APB60， APOBPO30 PQ2AP2AB266 【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定，直角三角函数的应用，连接 OA、 OB 是常用的辅助线的方法 24 （
38、10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（1，0） ，B（0，2） ，点 C 在 x 轴上，且 ABC90 （1）求点 C 的坐标； （2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （3） 在（2） 中的抛物线上是否存在点 P，使PACBCO？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 【分析】 （1）设 C 点坐标为（x，0） （x0） ，可得 ACx+1，AB，BC， 由勾股定理可得（x+1）25+（） ，解方程可求 x，进一步得到点 C 的坐标； （2）根据待定系数法可求经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （3）由PACBCO 可得 tanPACtanBCO，设 P 点
39、坐标为（x，y） ，再分两种情 况：P 点在 x 轴上方时；P 点在 x 轴下方时；进行讨论可求点 P 的坐标 【解答】解： （1）设 C 点坐标为（x，0） （x0） ，则 ACx+1，AB，BC， 第 23 页（共 27 页） 由勾股定理可得（x+1）25+（）2， 解得 x4 故点 C 的坐标为（4，0） ； （2）设经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式为 yax2+bx+c， 依题意有， 解得 故经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式为 yx2+x+2； （3）PACBCO， tanPACtanBCO， 设 P 点坐标为（x，y） ，tanBCO， P 点在 x 轴上方时，y0， t
40、anPAC， 联立， x2+3x+4x+1， x22x30， （x3） （x+1）0， y0， x3， 点 P 的坐标为（3，2） ； P 点在 x 轴下方时；y0，x0， tanPAC， 第 24 页（共 27 页） 联立， x23x4x+1， x24x50， （x5） （x+1）0， x0， x5， 点 P 的坐标为（5，3） 综上可得，点 P 的坐标为（3，2）或（5，3） 【点评】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函 数解析式、勾股定理、三角函数等关键是方程思想的应用，分类思想的应用，涉及面 较广，要认真对待 25 （12 分）问题探究 （1）如图，在
41、RtABC 中，B90，请你过点 A 作一条直线 AD，其中点 D 为 BC 上一点，使直线 AD 平分ABC 的面积； （2）如图，点 P 为ABCD 外一点，AB6，BC12，B45，请过点 P 作一条 直线 l，使其平分ABCD 的面积，并求出ABCD 的面积； 问题解决 （3）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是李爷爷家一块土地的示意图，其 中 OABC，点 P 处有一个休息站点（占地面积忽略不计） ，李爷爷打算过点 P 修一条笔 直的小路 l（路的宽度不计） ，使直线 l 将四边形 OABC 分成面积相等的两部分，分别用 来种植不同的农作物已知点 A（8，8） 、B（6，1
42、2） 、P（3，6） 你认为直线 1 是否存 在？若存在，求出直线 l 的表达式；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）点 D 为 BC 的中点时，直线 AD 则平分ABC 的面积； 第 25 页（共 27 页） （2）连接 AC、BD，AC 与 BD 交于点 O，则点 O 为平行四边形 ABCD 的对称中心，作 直线 OP，直线 OP 即为所求，作高线 AE，根据等腰直角三角形的性质求 AE 的长，根据 平行四边形的面积公式可得结论； （3）过点 B 作 BDx 轴于点 D，交 AO 于 E，连接 OB，则 E（6，6） 先证明四边形 OEBC 是平行四边形，则过点 P 的直线平分平行四边形
43、 OEBC，然后过点 P 的直线只要 平分BEA 的面积即可，然后求得直线 AB、PA 的解析式，接下来，再求得直线 PF 的解 析式为 ykx+63k，然后再求得点 G、F、E 的坐标，最后，依据BGF 的面积等于 ABE 的面积的一半列出关于 k 的方程求解即可 【解答】解： （1）如图 1，点 D 为 BC 的中点，作直线 AD，直线 AD 则平分ABC 的面 积； （2）如图 2，连接 AC、BD，AC 与 BD 交于点 O，则点 O 为平行四边形 ABCD 的对称 中心，作直线 OP，直线 OP 即为所求； 如图 3，过 A 作 AEBC 于 E， ABC45， ABE 是等腰直角三
44、角形， AE3， 第 26 页（共 27 页） BC12， ABCD 的面积BCAE12336； （3）A（8，8） ， 直线 OA 的解析式为：yx， 过点 B 作 BDx 轴于点 D，交 AO 于 E，连接 OB，则 E（6，6） ， B（6，12） ，点 P（3，6） ， 点 P 为线段 OB 的中点 OABC，BEOC， 四边形 OEBC 是平行四边形 点 P 是平行四边形 OEBC 的对称中心， 过点 P 的直线平分平行四边形 OEBC 过点 P 的直线 PF 只要平分BEA 的面积即可 设直线 PF 的表达式为 ykx+b，且过点 P（3，6） ， 3k+b6，即 b63k， yk
45、x+63k 设直线 AB 的表达式为 ymx+n，且过点 B（6，12） ，A（8，8） ， 则，解得：， 直线 AB 的函数表达式为 y2x+24 ，解得：x， F 的横坐标为， 把 x6 代入 ykx+63k 得 y3k+6， G（6，3k+6） 第 27 页（共 27 页） 同理得直线 AP 的解析式为 yx+，当 x6 时，y， 3k+612，解得k2， SBFGBG （Fx6）（123k6） （6）（86） （126） ， 解得 k或 k4（舍去） ， 直线 l 的表达式为 yx+4 【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的性 质和判定、方程组与一次函数交点之间的关系，列出关于 k 的方程是解题的关键
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