1、数学试题第 1 页 2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 数学 2020.06 （全卷满分全卷满分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟） 注意事项： 1答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上）置上） 1已知集合 2 1,0,Aa ， 1,1B ，则ABB，则实数a的值是 2已知复数z满足 34i i z (i 为虚数单位
2、)，则| z 3某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个 年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年 级抽取 名志愿者 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 第 4 题图 第 9 题图 5已知抛物线的准线也是双曲线 22 1 3 xy m 的一条准线，则该双曲线的两条渐近 线方程是 6某校机器人兴趣小组有男生 3 名，女生 2 名，现从中随机选出 3 名参加一个机器人大 赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 7 已知数列 n a是等比数列， n T是其前n项之积， 若 567 aaa， 则 7
3、 T的值是 8已知( )cos x f xxe，则(3)(31)0fxfx的解集为 9 如图， 已知正ABC是一个半球的大圆O的内接三角形， 点P在球面上， 且OP 面ABC， 则三棱锥PABC与半球的体积比为 B P O C A 2 2yx S0 I 1 While I4 SS+5 I I +1 End While Print S 数学试题第 2 页 10已知 3 sin() 283 ，则sincos . 11 设 t表示不超过实数t的最大整数(如 1.32 ，2.62)， 则函数 ( )21f xxx 的零点个数为 . 12已知点M是边长为 2 的正ABC内一点，且AMABAC，若 1 3
4、 ，则 MB MC 的最小值为 . 13已知等腰梯形ABCD中，60AB ，2AB ，若梯形上底CD上存在点P，使 得2PAPB，则该梯形周长的最大值为 . 14锐角ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边，若cos(1cos )aBbA，则 2 2 ab bc 的 取值范围为 . 二、解答题： （本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15.（本小题满分 14 分） 设函数 2 3 ( )cossin()3cos 34 f xxxx ，Rx. (1) 求( )f x的最小正周期和对称中心； (2) 若函数( )() 4 g xf x
5、，求函数( )g x在区间, 6 6 上的最值 16 （本小题满分 14 分） 如图，四面体被一平面所截，平面与四条棱分别相交于 四点，且截面是一个平行四边形，平面，. 求证： (1) ； (2) 平面. ABCD,AB AC CD BD , , ,E F G HEFGHADBCDBCCD EFBC EF ACD F H E G D A C B 数学试题第 3 页 17.（本小题满分 14 分） 如图，边长为 1 的正方形区域 OABC 内有以 OA 为半径的圆弧AEC. 现决定从 AB 边 上一点 D 引一条线段 DE 与圆弧AEC相切于点 E，从而将正方形区域 OABC 分成三块： 扇形
6、COE 为区域 I，四边形 OADE 为区域 II，剩下的 CBDE 为区域 III.区域 I 内栽树，区 域 II 内种花，区域 III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为5a、4a、a，总 造价是 W，设2AOE. (1) 分别用表示区域 I、II、III 的面积； (2) 将总造价 W 表示为的函数，并写出定义域； (3) 求为何值时，总造价 W 取最小值？ 18.（本小题满分 16 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右准线为直线4x ， 左顶点为A，右焦点为F. 已知斜率为 2 的直线l经过点F，与椭圆E相交于,B
7、C两点， 且O到直线l的距离为2 5 5 . (1) 求椭圆E的标准方程； (2) 若过O的直线:m ykx与直线,AB AC分别相交于,M N两点， 且OMON， 求k 的值. D E C B O A F N M y Ox C B A 数学试题第 4 页 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )(R) x f xeax a. (1) 若曲线( )f x与直线:(2)(R)l yexb b在1x 处相切. 求a b 的值； 求证：当 0x 时， ( )(2)f xexb ； (2) 当0a 且(0,)x时， 关于的x不等式 2 ( )2ln1x f xmxx有解， 求实数m的 取值
8、范围. 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的各项均为非零实数，其前n项和为 n S，且 +12 = nn nn Sa Sa . (1) 若 3=3 S，求 3 a的值； (2) 若 20211 =2021aa，求证：数列 n a是等差数列； (3) 若 1=1 a， 2=2 a，是否存在实数，使得 22 22 nm a m a n aa对任意正整数mn， 恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由. 数学试题第 5 页 扬州市 2020 届高三考前调研测试 数学 （全卷满分全卷满分 40 分，考试时间分，考试时间 30 分钟分钟） 202006 21. 已知矩阵 1 0
9、 02 A ，求矩阵A的逆矩阵 1 A的特征值 22. 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程是： 2cos , 2sin x ym (为参数).以O为极点, x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos1 3 若直线l与曲 线C相交于PQ、两点,且2 3PQ ,求实数m的值. 数学试题第 6 页 23. 如图，在三棱锥ABCD中，已知ABD，BCD都是边长为 2 的等边三角形，E为 BD中点，且AE 平面BCD，F为线段AB上一动点，记 BF BA (1) 当 1 3 时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值； (2) 当直线CF与平面ACD所成角的正弦值为 15 10 时，求
10、的值. 24. 一个笼子里关着 10 只猫，其中有 7 只白猫，3 只黑猫把笼门打开一个小口，使得每 次只能钻出 1 只猫猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以X表示 7 只白猫 被 3 只黑猫所隔成的段数 例如， 在出笼顺序为 “” 中， 则3X (1) 求三只黑猫挨在一起出笼的概率； (2) 求X的分布列和数学期望. E A B D C F 数学试题第 7 页 2019-2020 学年度第二学期高三最后一卷 参考答案 一、填空题 1. 1 2. 5 3. 15 4. 15 5. 3yx 6. 3 5 7. 1 8. 1 2, 2 9. 3 3 8 10. 2 3 11. 2
11、12. 1 3 13. 3+ 5 14. 7 3 2 ， 二、解答题 15解：解：(1) 由已知，f(x)cos x (1 2sin x 3 2 cos x) 3cos2x 3 4 1 2sin x cos x 3 2 cos2x 3 4 1 4sin 2x 3 4 (1cos 2x)+ 3 4 1 4sin 2x 3 4 cos 2x1 2sin(2x 3) 4 分来 最小正周期为T，对称中心为)0 , 62 k （Zk .7 分 (2) ) 6 2sin( 2 1 )( xxg 8 分 )(xg在区间 6 , 6 上单调递增 .10 分 2 1 ) 6 ()( max gxg 12 分 m
12、in 1 ( )() 64 g xg 14 分 16. 证明：证明：(1) 因为四边形EFGH为平行四边形，所以EFHG， 又EF 平面BCD，HG 平面BCD，所以EF平面BCD， .4 分 又EF 平面ABC，平面ABC平面BCDBC，所以EFBC. .7 分 (2) 因为AD 平面BCD，BC 平面BCD，所以ADBC， 由(1)知EFBC，所以EFAD. .10 分 因为BCCD，所以EFCD. .12 分 又ADCDD，AD、CD 平面ACD， 所以EF 平面ACD. .14 分 数学试题第 8 页 17. 解：解：(1)如图， 1 1 (2 ) 1 224 S 2 分 连接 OD，
13、则ODEODA，tanDA， 2 1 21 tantan 2 S ， 4 分 3 1tan 4 S . 5 分 (2) 123 54(3tan41)WaSaSaSa， 7 分 由20, 2 ，知(0,) 4 ，所以函数的定义域为(0,) 4 9 分 (3) 2 3 (4) cos Wa ， 11 分 由0W ，得 3 cos 2 或 3 cos 2 （舍去） 又(0,) 4 ，所以 6 当0 6 时， 0W ，函数在0, 6 上单调递减， 当 62 时，0W ，函数在, 6 2 上单调递增， 所以当 6 时，W取最小值. 答：= 6 时，总造价 W 取最小值 14 分 18解：解：(1) 设椭
14、圆E的焦距为2c， 则直线l的方程为2()yxc，即220xyc. 因为O到直线l的距离为 2 5 5 ， 22 2002 2 5 21 c c d ， 所以 22 5 55 c ，则1c . .3 分 因为椭圆E的右准线的为直线4x ，则 2 4 a c ，所以 2 4a ， 222 3bac， 故椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy . .4 分 (2) 由(1)知l：2(1)yx，设 11 (,)B x y， 22 (,)C xy. 数学试题第 9 页 由 22 2(1), 3412 yx xy 得 2 193240xx，则 2 12 12 324 1940, 32 , 19 4 .
15、 19 xx x x .6 分 由( 2,0)A ， 11 (,)B x y可知 1 1 :(2) 2 y AB yx x ， 由 1 1 , (2) 2 ykx y yx x 得 1 11 2 (2) M y x k xy ， .9 分 同理 2 22 2 (2) N y x k xy ， 因为OMON，所以 22 11 MN kxkx， 由图可知0 MN xx， .12 分 所以 122211 2 (2)2 (2)0y k xyy k xy， 即 122211 (1) (2)2(1)(1) (2)2(1)0xk xxxk xx， 所以 121212 12211212 4(1)(1)4()1
16、 (1)(2)(1)(2)2()4 xxx xxx k xxxxx xxx .14 分 432 41 4(43219) 1919 1 432 8324 19 24 1919 . .16 分 19. 解：解：(1) 因为 2x f xeax，所以 2 x fxeax. 因为曲线 f x与直线:l(2)yexb在1x 处相切， 所以 122feae ，所以1a . 所以 2x f xex，所以 11fe. 又切点(1,1)e在直线l上，所以12eeb ， 所以1b ，所以2ab；4 分 由知1,1ab，可设 2 210 x h xexexx， 则 ( )22 ,2 xx g xh xexegxe，
17、 当ln2x 时， 0g x，当ln2x 时， 0g x， 所以 h x在0,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增， 由 030,10,0ln21heh ，所以ln20 h ， 所以存在 0 0,ln2x ，使得 0 0h x， 8 分 所以当 0 0,1,xx时， 0h x，当 0,1 xx时， 0h x， 数学试题第 10 页 所以 h x在 0 0,x上单调递增，在 0,1 x上单调递减，在1,上单调递增. 因为 010hh，所以 0h x ， 即 21f xex，当且仅当1x 时取等号， 所以当0x 时， 2 21 x exex， 故当0x 时，( )2f xexb 10 分 (3）
18、先证1 x ex. 构造函数( )1 x p xex，则( )1 x p xe. 故当(0,)x时，( )0p x，( )p x在(0,)上递增， 当(,0)x 时，( )0p x，( )p x 在(,0)上递减， 所以( )(0)0p xp，即1 x ex 12 分 又当0a ，且(0,)x时， 2 ( )2ln1x f xmxx等价于 2 2ln1 x x ex m x 故原题等价于(0,)x时， 2 2ln1 x x ex m x 有解. 因为 2 2lnx2 2ln12ln1ln12ln11 xx x exexxxx xxx （当 2 ln0xx时取 等号） ， 所以1m . 16 分
19、 20. (1) 解：由 +12 = nn nn Sa Sa ，令1n ，得 11 23 = Sa Sa ， 因为数列 n a的各项均为非零实数，所以 2123 =+=Saaa， 所以 31233 =23Saaaa， 所以 3 3 = 2 a. 3 分 (2) 证明：由 +12 = nn nn Sa Sa 得： 11 23 = Sa Sa ， 22 34 = Sa Sa 33 45 = Sa Sa ， 11 1 = nn nn Sa Sa ，相乘得： 112 1 = nnn Sa a Sa a ， 因为数列 n a的各项均为非零实数，所以 21 = nnn a Sa a ， 当2n 时： 21
20、1 = nnn a Saa ，所以 22111 = nnnnnn a Sa Sa aaa ， 即 2111 = nnnnn aSSaaa ， 即 211 = nnnn aa a aa ， 因为0 n a ， 所以 112 = nn aaa ， 所以数列 21n a 是等差数列，首项为 1 a，公差为 2 a， 所以 2021121 =+1010=2021aaaa，所以 21 =2aa， 所以 21121 = +121 n aanana ， 2221 =+12 n aanana，所以 1 = n ana， 所以 11 = nn aaa ，所以数列 n a是等差数列. 9 分 (3) 解： 当 1
21、=1 a， 2=2 a时， 由(2)知= n an， 所以 22 22 nm a m a n aa， 即 22 22 nm nm， 数学试题第 11 页 不妨设mn，则22 mn ， 22 mn，所以 22 22 mn mn， 即 22 22 mn mn对任意正整数mn， （mn）恒成立， 则 22+1 +122 nn nn （），即220 n n对任意正整数n恒成立， 设 2 2n n Cn，则 2 +12 +1 2+12 +=221 nnn nn CCnnn， 设221 n n Dn，则 1 +1 22(1) 1 22122 nnn nn DDnn ， 当5n 时， +1 0 nn DD，
22、所以 5 0 n DD，所以 5 0 n CC，所以 2 2nn， 所以 2 222 n nnn，当5n 且 2 +n时，220 n n， 所以不存在满足条件的实数. 16 分 三、加试题 21. 解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ab cd ， 则 10 02 ab cd = 10 01 ，即 22 ab cd = 10 01 ， 故1a ，0b ，0c ， 1 2 d . 所以矩阵 A 的逆矩阵为 1 10 1 0 2 A . 5 分 矩阵 1 A的特征多项式为 10 1 1 1 20 2 f 令 0f，解得 1 A的特征值为 12 1 1, 2 10 分 22. 解：曲线C的直角坐标方程为 2
23、 2 4xym，表示圆心为0,m，半径为2的圆 由cos1 3 ，得 13 cossin1 22 ，320xy2 分 设圆心到直线l的距离为d，则 2 |032|32| 2 13 mm d ， 4 分 所以 2 32 2 4 4 m PQ ， 令 2 32 2 42 3 4 m ，得0m 或 4 3 3 m 10 分 23. 解：连接 CE，因为BCD 为正三角形，所以AE DB 数学试题第 12 页 又因为AE 平面BCD，CE 平面 BCD，所以 AECE 以 ,EB EC EA为正交基底建立如图空间直角坐标系， 则 0,0, 3 ,1,0,0 ,0, 3,0 ,( 1,0,0)ABCD
24、， 因为 F 为线段 AB 上一动点，且 BF BA ， 则 =1,0, 3(,0, 3 )BFBA ，所以(1,0, 3 )F. （1）当 1 4 时， 33 ( ,0,) 44 F， 73 ( ,0,),(1,3,0) 44 DFCB， 所以 2222 7 7 13 4 cos, 52 73 ( )()1(3) 44 DF CB ；4 分 （2）(2,0, 3 )DF， 1, 3,0DC 设平面CDF的一个法向量为 1 n=, ,x y z 由 1 nDF, 1 nDC得 , ,2- ,0, 30 , ,1, 3,00 x y z x y z ，化简得 230 30 xz xy ， 取 1
25、 n 2 3, 1,1 又平面BCD的一个法向量为 2 0,0,1n 设平面BCD与平面ACD所成角为，则 12 2 2 1 3 13 cos|cos,| 13 2 3111 n n . 解得 1 2 或1 （舍去） ，所以 1 2 . 10 分 24. 解：(1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件 A，则 3! 7! 81 10!15 P A 答：三只黑猫挨在一起出笼的概率为 1 15 3 分 (2) X 的取值为：1、2、3、4. 其中X=1 时，7 只白猫相邻，则 4! 7!1 1 10!30 P X ； 2X 时， (626262)7! 3!3 2 10!10 P X ； x y z E B A C D F 数学试题第 13 页 12122 36362 7! 2 1 3 10!2 C AC A A P X ； 3 6 7!1 4 10!6 A P X ； 所以 131114 1234 3010265 E X . 10 分
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