1、2020 年山东省烟台市开发区中考数学二模试卷年山东省烟台市开发区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1有理数的相反数是（ ） A3 B3 C D 2现有四张扑克牌，分别是红桃 2、黑桃 9、方块 5、梅花 3，其中画面图案是 中心对称图形的是（ ） A B C D 3如图是一个几何体的俯视图，则这个几何体的形状可能是（ ） A B C D 4 已知直线 ab， 将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间， 则1 的度数为 （ ） A65 B70 C75 D80 5某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同 的小球，球上分别标有
2、“0 元” 、 “10 元” 、 “20 元” 、 “30 元”的字样规定：顾客在本超 市一次性消费满 200 元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，两球数字之和即为返现 金额某顾客刚好消费 280 元，则该顾客所获得返现金额不低于 30 元的概率是（ ） A B C D 6为了了解 2018 年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了 1000 人乘坐地铁的月均花费（单位：元） ，绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面 3 个推断中，合理的是（ ） 小明乘坐地铁的月均花费是 75 元，那么在所调查的 1000 人中至少有一半以上的人月 均花费超过小明； 估计平均每人乘坐
3、地铁的月均花费的范围是 60120 元； 如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在 20% 左右，那么乘坐地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣 A B C D 7图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 ACBD54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ 30当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） Acm Bcm C64 cm D54cm 8如图，一块含 30角的直角三角板 ABC 绕点 C 顺时针旋转到ABC，当 B，C，A在一 条直线上时，三角板 ABC 的旋转
4、角度为（ ） A150 B120 C60 D30 9如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，已知A22.5，OC2，则 CD 的长 为（ ） A2 B C4 D4 10若实数 a 使得关于 x 的分式方程2 的解为负数，且使得关于 y 的不等式 组，至少有 3 个整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A6 B5 C4 D1 11如图，在平面直角坐标系中抛物线 y（x+1） （x3）与 x 轴相交于 A、B 两点，若在 抛物线上有且只有三个不同的点 C1、C2、C3，使得ABC1、ABC2、ABC3的面积都 等于 m，则 m 的值是（ ） A6 B8 C12 D16 12如
5、图，等腰ABC 中，ABAC5cm，BC8cm动点 D 从点 C 出发，沿线段 CB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时动点 O 从点 B 出发，沿线段 BA 以 1cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止设运动时间为 t（s） ，以点 O 为圆心，OB 长为半径的O 与 BA 交于另一点 E，连接 ED当直线 DE 与O 相切时， t 的取值是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13若 a、b 为实数，且 b+4，则 a+b 14如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 150，AB 的长为 18cm
6、，BD 的长为 9cm，则的长为 cm 15在如图所示的广义三阶幻方中分别给出了 3 个数，试分别求出 x，y 的值为 16 用 计 算 器 计 算 第 一 个 表 达 式 的 值 ， 按 键 顺 序 是 ： ，则该表达式是 17如图，菱形 ABCD 的边长为 2ABC60以点 C 为圆心的半圆与 AB，AD 相切于 点 E 和点 F则图中阴影部分的面积为 18如图，已知反比例函数 y的图象与直线 ykx（k0）相交于点 A、B，以 AB 为 底作等腰三角形，使ACB120，且点 C 的位置随着 k 的不同取值而发生变化，但点 C 始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为 三解答题
7、（共三解答题（共 7 小题）小题） 19先化简，再计算：，其中 m 满足使关于 x 的二次三项式 x2 （m1）x+1 是完全平方式 20我市某中学为了了解孩子们对中国诗词大会 、 挑战不可能 、 最强大脑 、 超级演 说家 、 地理中国五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八，九年级抽取了部分学生 进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目） ，并将获得的数据进行整理，绘制出以下 两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查中共抽取了 名学生 （2）补全条形统计图 （3）在扇形统计图中，喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的圆心角是 度 （4）若用 A、B、C、D、E 分
8、别表示五个电视节目，该校想从中任选两个电视节目作为 暑假学生必看节目，试用树状图或表格分析 A、C 两节目入选的概率 212018 年 10 月 23 日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景大 桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人 工岛上的 A 点和东人工岛上的 B 点间的距离约为 5.6 千米，点 C 是与西人工岛相连的大 桥上的一点，A，B，C 在一条直线上如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行， 到达P点时观测两个人工岛， 分别测得与观光船航向的夹角DPA18， DPB53， 求此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长 （参
9、考数据： sin180.31， cos180.95， tan180.33，sin530.80，cos530.60，tan531.33 ） 22诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉为了弘扬诗词国学， 我校开展了“经典咏流传”的活动轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好 精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂现我校初二（1）班为参加“经典咏流 传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用 （1）班委会通过多方比较，决定用 500 元在 A 商店租赁服装，用 300 元在 B 商店购买道 具已知租赁一套服装比购买一套道具贵 30 元，同时所需道具比所需服
10、装多 5 套，则初 二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？ （2） 因后期参赛节目人员的调整， 需要租赁更多的服装， 购买更多的道具 经初步统计， 最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了 5a%（a60） ，道具套数 比（1）中的道具套数增加了 2a%初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具， 又前去与 A 商店、B 商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了 a%的优惠，这次租赁 服装和购买道具总共用了 279 元，求 a 的值 23已知在ABC 中，ABAC，BAC，直线 l 经过点 A（不经过点 B 或点 C） ，点 C 关于直线 l 的对称点为点
11、D，连接 BD，CD （1）如图 1， 求证：点 B，C，D 在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上 直接写出BDC 的度数（用含 的式子表示）为 （2）如图 2，当 60时，过点 D 作 BD 的垂线与直线 l 交于点 E，求证：AEBD； （3）如图 3，当 90时，记直线 l 与 CD 的交点为 F，连接 BF将直线 l 绕点 A 旋 转，当线段 BF 的长取得最大值时，直接写出 tanFBC 的值 24已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，3） （1）如图，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为 B，C，得到矩形 ABOC，且抛 物线经过点 C 求抛物线的解析式 将
12、抛物线向左平移 m（m0）个单位，分别交线段 OB，AC 于 D，E 两点若直线 DE 刚好平分矩形 ABOC 的面积，求 m 的值 （2）将抛物线平移，使点 A 的对应点为 A1（2n，3b） ，其中 n1若平移后的抛物线 仍然经过点 A，求平移后的抛物线顶点所能达到最高点时的坐标 25 如图， 已知 AB 是圆 O 的直径， F 是圆 O 上一点， BAF 的平分线交O 于点 E， 交O 的切线 BC 于点 C，过点 E 作 EDAF，交 AF 的延长线于点 D （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 DE3，CE2， 求的值； 若点 G 为 AE 上一点，求 OG+EG 最小值 参考
13、答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1有理数的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】先求得 9 的算术平方根为 3，再求的相反数即可 【解答】解：3， 有理数的相反数是 3， 故选：A 2现有四张扑克牌，分别是红桃 2、黑桃 9、方块 5、梅花 3，其中画面图案是 中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形定义可得答案 【解答】解：红桃 2、方块 5 是中心对称图形，黑桃 9、梅花 3 不是中心对称 图形， 故选：B 3如图是一个几何体的俯视图，则这个几何体的形状可能是（ ） A B C D 【分析】由于俯视图是从物体的上
14、面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的 俯视图，再与题目图形进行比较即可 【解答】解：图示是一个圆环及这个圆的圆心 A、圆锥的俯视图是一个圆，有圆心，故选项不符合题意； B、圆台的俯视图是一个圆环没有圆心，故选项不符合题意； C、该图的俯视图是一个圆，有圆心，故选项不符合题意； D、该图的俯视图是一个圆环及这个圆的圆心，故选项符合题意； 故选：D 4 已知直线 ab， 将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间， 则1 的度数为 （ ） A65 B70 C75 D80 【分析】延长 AB 交直线 a 于 C首先证明12，再根据2CDB+CBD 计算 即可 【解答】解：延长 AB 交直线
15、 a 于 C ab， 12， 2CDB+CBD，CDB30，CBD45， 1275， 故选：C 5某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同 的小球，球上分别标有“0 元” 、 “10 元” 、 “20 元” 、 “30 元”的字样规定：顾客在本超 市一次性消费满 200 元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，两球数字之和即为返现 金额某顾客刚好消费 280 元，则该顾客所获得返现金额不低于 30 元的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出顾客所获得返现金额不低于 30 元的结果数，然后根据概率公式求解 【解答
16、】解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中顾客所获得返现金额不低于 30 元的结果数为 8， 所以顾客所获得返现金额不低于 30 元的概率 故选：B 6为了了解 2018 年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了 1000 人乘坐地铁的月均花费（单位：元） ，绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面 3 个推断中，合理的是（ ） 小明乘坐地铁的月均花费是 75 元，那么在所调查的 1000 人中至少有一半以上的人月 均花费超过小明； 估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 60120 元； 如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在
17、 20% 左右，那么乘坐地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣 A B C D 【分析】根据图中信息月均花费超过 80 元的有 500 人，于是得到结论； 根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 60120 之间，据此可得平均每 人乘坐地铁的月均花费的范围； 该市 1000 人中，20%左右的人有 200 人，根据图形可得乘坐地铁的月均花费达到 120 元的人有 200 人可以享受折扣 【解答】解：月均花费超过 80 元的有 200+100+80+50+25+25+15+5500 人，小明乘 坐地铁的月均花费是 75 元， 所调查的 1000 人中至少有一半以上的人月均花费超过小
18、明；故正确； 根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 60120 之间， 估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 60120；正确； 100020%200，而 80+50+25+25+15+500， 乘坐地铁的月均花费达到 120 元的人可享受折扣；正确 故选：D 7图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 ACBD54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ 30当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） Acm Bcm C64 cm D54cm 【分析】过 A 作 AECP 于 E，过 B 作 B
19、FDQ 于 F，则可得 AE 和 BF 的长，依据端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度 【解答】解：如图所示，过 A 作 AECP 于 E，过 B 作 BFDQ 于 F，则 RtACE 中，AEAC5427（cm） ， 同理可得，BF27cm， 又点 A 与 B 之间的距离为 10cm， 通过闸机的物体的最大宽度为 27+10+2764（cm） ， 故选：C 8如图，一块含 30角的直角三角板 ABC 绕点 C 顺时针旋转到ABC，当 B，C，A在一 条直线上时，三角板 ABC 的旋转角度为（ ） A150 B120 C60 D30 【分析】直接利用旋
20、转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案 【解答】解：将一块含 30角的直角三角板 ABC 绕点 C 顺时针旋转到ABC， BC 与 BC 是对应边， 旋转角BCB18030150 故选：A 9如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，已知A22.5，OC2，则 CD 的长 为（ ） A2 B C4 D4 【分析】 首先证明 ECED， 再证明EOC 是等腰直角三角形， 求出 EC 即可解决问题 【解答】解：CDAB，AB 是直径， ECDE，OEC90 COE2A45， ECOEOC45， ECEO， OC2， ECOC CD2EC2， 故选：A 10若实数 a 使得关
21、于 x 的分式方程2 的解为负数，且使得关于 y 的不等式 组，至少有 3 个整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A6 B5 C4 D1 【分析】解分式方程得出 x，由分式方程的解为负数得出关于 a 的不等式（注意 x 1 的隐含条件） ，据此可得 a 的一个取值范围；解不等式组得出ya+1，根据 不等式组至少有 3 个整数解得出关于 a 的不等式，解之得出 a 的另一个取值范围；综合 以上情况得出 a 的最终取值范围，继而可得 a 的整数值，从而得出答案 【解答】解：解分式方程得 x， 方程的解为负数， 0 且1， 解得 a4 且 a1； 解不等式组得ya+1， 不等式组至少有
22、3 个整数解， a+10， 解得 a1， 综上，1a4，且 a1， 所以整数 a 的值为 0、2、3， 则符合条件的所有整数 a 的和为 0+2+35， 故选：B 11如图，在平面直角坐标系中抛物线 y（x+1） （x3）与 x 轴相交于 A、B 两点，若在 抛物线上有且只有三个不同的点 C1、C2、C3，使得ABC1、ABC2、ABC3的面积都 等于 m，则 m 的值是（ ） A6 B8 C12 D16 【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与 x 轴的交点坐标和顶点的坐标， 再根据在抛物线上有且只有三个不同的点 C1、C2、C3，使得ABC1、ABC2、ABC3 的面积都等于 m，
23、可知其中一点一定在顶点处，从而可以求得 m 的值 【解答】解：抛物线 y（x+1） （x3）与 x 轴相交于 A、B 两点， 点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，该抛物线的对称轴是直线 x1， AB3（1）4，该抛物线顶点的纵坐标是：y（1+1）（13）4， 在抛物线上有且只有三个不同的点 C1、C2、C3，使得ABC1、ABC2、ABC3的面 积都等于 m， m8， 故选：B 12如图，等腰ABC 中，ABAC5cm，BC8cm动点 D 从点 C 出发，沿线段 CB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时动点 O 从点 B 出发，沿线段 BA 以 1cm/s 的速度向点 A 运动，当
24、其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止设运动时间为 t（s） ，以点 O 为圆心，OB 长为半径的O 与 BA 交于另一点 E，连接 ED当直线 DE 与O 相切时， t 的取值是（ ） A B C D 【分析】作 AHBC 于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 BHCH4，利用切线的判 定方法， 当 BEDE， 直线 DE 与O 相切， 则BED90， 然后利用BEDBHA， 通过相似比可求出 t 的值 【解答】解：作 AHBC 于 H，如图，BE2t，BD82t， ABAC5， BHCHBC4， 当 BEDE，直线 DE 与O 相切，则BED90， EBDABH， BEDBHA， ，即
25、，解得 t 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13若 a、b 为实数，且 b+4，则 a+b 5 或 3 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可 以求出 a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案 【解答】解：由被开方数是非负数，得 ， 解得 a1，或 a1，b4， 当 a1 时，a+b1+45， 当 a1 时，a+b1+43， 故答案为：5 或 3 14如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 150，AB 的长为 18cm，BD 的长为 9cm，则的长为 cm 【分析】利用弧长公式计算即可 【解答】解：AB
26、18cm，BD9cm， AD9cm， 的长 故答案为 15 在如图所示的广义三阶幻方中分别给出了 3 个数， 试分别求出 x， y 的值为 1， 2 【分析】根据幻方的定义，可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论 【解答】解：依题意，得：， 解得： 故答案为：1，2 16 用 计 算 器 计 算 第 一 个 表 达 式 的 值 ， 按 键 顺 序 是 ： ，则该表达式是 （）2 【分析】根据计算器的各个功能，分别进行选择各键，即可得出答案 【 解 答 】 解 ： 用 计 算 器 计 算 第 一 个 表 达 式 的 值 ， 按 键 顺 序 是 ： ，则该表达式是（）2 故答案为：
27、 （）2 17如图，菱形 ABCD 的边长为 2ABC60以点 C 为圆心的半圆与 AB，AD 相切于 点 E 和点 F则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 CE、CF，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求 得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积 【解答】解：连接 CE、CF， CEAB，CFAD， ABC60， BCE30， 在直角BCE 中，CEBC2，BE1， 圆 C 的半径为， SBCE1，在菱形 ABCD 中，ABC60，则DCG60， S阴影2（SBCES扇形）+S扇形HCG2（）+ 故答案为： 18如图，已知反比例函数 y的图象与直线 ykx（k0）相交于点
28、A、B，以 AB 为 底作等腰三角形，使ACB120，且点 C 的位置随着 k 的不同取值而发生变化，但点 C 始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为 y 【分析】连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E，证明AOD OCE，根据相似三角形的性质求出AOD 和OCE 面积比，根据反比例函数图象上 点的特征求出 SAOD，得到 SEOC，根据反比例函数比例系数 k 的几何意义求解 【解答】解：连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E， 反比例函数 y的图象与直线 ykx（k0）相交于点 A、B，以 AB 为
29、底作等腰三 角形，使ACB120， COAB，CAB30， 则AOD+COE90， DAO+AOD90， DAOCOE， 又ADOCEO90， AODOCE， tan60， （）23， 点 A 是双曲线 y在第二象限分支上的一个动点， SAOD|xy|， SOCE，即OECE， OECE， 这个图象所对应的函数解析式为 y 故答案为：y 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19先化简，再计算：，其中 m 满足使关于 x 的二次三项式 x2 （m1）x+1 是完全平方式 【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再求 出 m 的值，代入 m 的值可得答案 【
30、解答】解：原式， ， ， ， m 满足使关于 x 的二次三项式 x2（m1）x+1 是完全平方式， m12， m13，m21， m0，m10， m0 和 1， m3， 原式 20我市某中学为了了解孩子们对中国诗词大会 、 挑战不可能 、 最强大脑 、 超级演 说家 、 地理中国五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八，九年级抽取了部分学生 进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目） ，并将获得的数据进行整理，绘制出以下 两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查中共抽取了 200 名学生 （2）补全条形统计图 （3）在扇形统计图中，喜爱地理中国节目的人数所在的扇形的
31、圆心角是 36 度 （4）若用 A、B、C、D、E 分别表示五个电视节目，该校想从中任选两个电视节目作为 暑假学生必看节目，试用树状图或表格分析 A、C 两节目入选的概率 【分析】 （1）由中国诗词大会的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各节目人数之和等于总人数求出挑战不可能的人数，从而补全图形； （3）用 360乘以地理中国人数所占比例即可得； （4）通过列表展示所有 20 种等可能的情况，再找出宏和小灿组合参加比赛的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）本次调查中共抽取学生 3015%200（人） ， 故答案为：200； （2）挑战不可能的人数为 200（20+60+
32、40+30）50（人） ， 补全图形如下： （3） 在扇形统计图中， 喜爱 地理中国 节目的人数所在的扇形的圆心角是 360 36， 故答案为：36； （4）列表如下： A B C D E A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 共有 20 种等可能的情况，其中 A、C 两节目入选的有 2 种结果， A、C 两节目入选的概率为 212018 年 10 月 23 日，港珠澳大桥正
33、式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景大 桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人 工岛上的 A 点和东人工岛上的 B 点间的距离约为 5.6 千米，点 C 是与西人工岛相连的大 桥上的一点，A，B，C 在一条直线上如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行， 到达P点时观测两个人工岛， 分别测得与观光船航向的夹角DPA18， DPB53， 求此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长 （参考数据： sin180.31， cos180.95， tan180.33，sin530.80，cos530.60，tan531.33 ） 【分析】在直角三角形 DPA
34、中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，在直角三角形 DPB 中，利用锐角三角函数定义表示出 BD，由 DBAD 表示出 AB，进而求出所求即可 【解答】解：在 RtDPA 中， tanDPA， ADPDtanDPA， 在 RtDPB 中， tanDPB， BDPDtanDPB， ABBDADPD （tanDPBtanDPA） ， AB5.6，DPB53，DPA18，即 5.6（tan53tan18） PD， PD5.6， 则此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长为 5.6 千米 22诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉为了弘扬诗词国学， 我校开展了“经典咏流传”的活动
35、轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好 精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂现我校初二（1）班为参加“经典咏流 传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用 （1）班委会通过多方比较，决定用 500 元在 A 商店租赁服装，用 300 元在 B 商店购买道 具已知租赁一套服装比购买一套道具贵 30 元，同时所需道具比所需服装多 5 套，则初 二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？ （2） 因后期参赛节目人员的调整， 需要租赁更多的服装， 购买更多的道具 经初步统计， 最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了 5a%（a60） ，道具
36、套数 比（1）中的道具套数增加了 2a%初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具， 又前去与 A 商店、B 商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了 a%的优惠，这次租赁 服装和购买道具总共用了 279 元，求 a 的值 【分析】 （1）设需租赁 x 套演出服装，则需购买（x+5）套道具，根据单价总价数量 结合租赁一套服装比购买一套道具贵 30 元，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后 即可得出结论； （2）根据总价单价数量结合这次租赁服装和购买道具总共用了 279 元，即可得出关 于 a 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 【解答】解： （1）设需租赁 x 套演出服装，则需
37、购买（x+5）套道具， 根据题意得：30， 解得：x110，x2， 经检验，x10 是原分式方程的解，且符合题意，x是原分式方程的解，但不符合 题意， x+515 答：初二（1）班班委会租赁了 10 套演出服装、购买了 15 套道具 （2）根据题意得：105a%（1a%）+152a%（1a%）279， 整理得：a2100a+9000， 解得：a110，a290（不合题意，舍去） 答：a 的值为 10 23已知在ABC 中，ABAC，BAC，直线 l 经过点 A（不经过点 B 或点 C） ，点 C 关于直线 l 的对称点为点 D，连接 BD，CD （1）如图 1， 求证：点 B，C，D 在以点
38、A 为圆心，AB 为半径的圆上 直接写出BDC 的度数（用含 的式子表示）为 （2）如图 2，当 60时，过点 D 作 BD 的垂线与直线 l 交于点 E，求证：AEBD； （3）如图 3，当 90时，记直线 l 与 CD 的交点为 F，连接 BF将直线 l 绕点 A 旋 转，当线段 BF 的长取得最大值时，直接写出 tanFBC 的值 【分析】 （1）由线段垂直平分线的性质可得 ADACAB，即可证点 B，C，D 在以 点 A 为圆心，AB 为半径的圆上； 由等腰三角形的性质可得BAC2BDC，可求BDC 的度数； （2）连接 CE，由题意可证ABC，DCE 是等边三角形，可得 ACBC，D
39、CE60 ACB，CDCE，根据“SAS”可证BCDACE，可得 AEBD； （3）取 AC 的中点 O，连接 OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点 O，点 B， 点 F 三点共线时， BF 最长， 根据等腰三角形的性质和勾股定理可求， OHHC， BH3HC， 即可求 tanFBC 的值 【解答】证明： （1）如图 1，连接 DA，并延长 DA 交 BC 于点 M， 点 C 关于直线 l 的对称点为点 D， ADAC，且 ABAC， ADABAC， 点 B，C，D 在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上 ADABAC ADBABD，ADCACD， BAMADB+ABD，MACADC
40、+ACD， BAM2ADB，MAC2ADC， BACBAM+MAC2ADB+2ADC2BDC BDC 故答案为： （2）如图 2，连接 CE， BAC60，ABAC ABC 是等边三角形 BCAC，ACB60， BDC BDC30， BDDE， CDE60， 点 C 关于直线 l 的对称点为点 D， DECE，且CDE60 CDE 是等边三角形， CDCEDE，DCE60ACB， BCDACE，且 ACBC，CDCE， BCDACE（SAS） BDAE， （3）如图 3，取 AC 的中点 O，连接 OB，OF，BF， 在BOF 中，BO+OFBF， 当点 O，点 B，点 F 三点共线时，BF
41、最长， 如图，过点 O 作 OHBC， BAC90，ABAC， BCAC，ACB45，且 OHBC， COHHCO45， OHHC， OCHC， 点 O 是 AC 中点， AC2HC， BC4HC， BHBCHC3HC tanFBC 24已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，3） （1）如图，过点 A 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为 B，C，得到矩形 ABOC，且抛 物线经过点 C 求抛物线的解析式 将抛物线向左平移 m（m0）个单位，分别交线段 OB，AC 于 D，E 两点若直线 DE 刚好平分矩形 ABOC 的面积，求 m 的值 （2）将抛物线平移，使点 A 的对应点为
42、A1（2n，3b） ，其中 n1若平移后的抛物线 仍然经过点 A，求平移后的抛物线顶点所能达到最高点时的坐标 【分析】 （1）将 A（2，3） ，B（2，0）代入 yx2+bx+c 即可求出； 因为直线 DE 刚好平分矩形 ABOC 的面积， 所以 AEODm， DBCE2m， D （m， 0） ，E（2m，3） ，易知 F（3，0） ，所以 DF3m，于是 3mm，从而求出 m； （2）由抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，3） ，可得 yx2+bx2b7，由 A 的对应点 为 A1（2n，3b） ，可知抛物线向左平移了 n 个单位，向上平移（3b+3）个单位，则平 移后 y（x+n）
43、2+b（x+n）2b7+3b+3，整理得 y（x+n）2+b（x+n）+b4（x+n+ ）2+b4，因为平移后的抛物线仍然经过点 A（2，3） ，于是3（2+n）2+b （2+n）+b4，所以 bn1，顶点坐标（n，+b4） ，y顶+b4 （b2）23（n+3）23，所以 n1 时，顶点最高，此时 b11 2，顶点坐标（0，7） 【解答】解： （1）四边形 ABOC 是矩形，A（2，3） B（2，0） ，C（03） 抛物线 yx2+bx+c 过点 A、C 解得： 抛物线解析式为 yx22x3 如图，设原抛物线与 x 轴正半轴交于点 F， 直线 DE 刚好平分矩形 ABOC 的面积， AEODm
44、，DBCE2m D（m，0） ，E（2m，3） 易知 F（3，0） ， DF3m， DFAE， 3mm， m； （2）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，3） 322+2b+c， c2b7， yx2+bx2b7， A 的对应点为 A1（2n，3b） ， 抛物线向左平移了 n 个单位，向上平移（3b+3）个单位 则平移后 y（x+n）2+b（x+n）2b7+3b+3， 整理得 y（x+n）2+b（x+n）+b4（x+n+）2+b4， 平移后的抛物线仍然经过点 A（2，3） ， 3（2+n）2+b（2+n）+b4， n2+4n+3+b（3+n）0 （n+1（n+3） ）+b（n+3）0 （n
45、+3） （n+1+b）0 n1，n+3，0， n+1+b0，bn1 顶点坐标（n，+b4） ， y顶+b4（b2）23（n+3）23， n1，0， n1 时，顶点最高，此时 b112， 顶点坐标（0，7） 25 如图， 已知 AB 是圆 O 的直径， F 是圆 O 上一点， BAF 的平分线交O 于点 E， 交O 的切线 BC 于点 C，过点 E 作 EDAF，交 AF 的延长线于点 D （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 DE3，CE2， 求的值； 若点 G 为 AE 上一点，求 OG+EG 最小值 【分析】 （1）根据切线的判定，连接过切点 E 的半径 OE，利用等腰三角形和平行线性质 即能证得 OEDE （2）观察 DE 所在的ADE 与 CE
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