1、2020 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷年广东省广州市花都区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 “广州电视课堂”上线以来备受欢迎，截至 2020 年 3 月 29 日，累计约有 7183900 人次观 看，7183900 用科学记数法表示为（ ） A7.1839107 B7.1839106 C71.839105 D71.839106 2 “千年一遇的对称日”2020 年 2 月 2 日，用数字书写为“20200202” ，如图下列说法正确 的是（ ） A中心对称图形 B既是轴对称图形，又是中心对称图形 C轴对称图形 D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2、3下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 Ba2a3a6 C （ab2）2ab4 D5a4bab5a3 4如图是一个 44 的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是 （ ） A B C D 5若关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am4 Bm4 Cm4 且 m0 Dm4 6若点 A（2，y1） ，B（1，y2）在抛物线 y（x2）2+1 的图象上，则 y1、y2的大小关 系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D无法确定 7扇形的弧长为 10cm，面积为 120cm2，则扇形的半径是（ ） A12cm B24c
3、m C28cm D30cm 8如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，AEDB，若 AD1，BDAC3， 则 AE 的长是（ ） A1 B C D2 9如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC6，BD8，点 P 是 BC 边上的一动点， 则 AP 的最小值为（ ） A4 B4.8 C5 D5.5 10 如图， 直线 yx+1 与 x 轴和 y 轴分别交于 B0， B1两点， 将 B1B0绕 B1逆时针旋转 135 得 B1B0，过点 B0作 y 轴平行线，交直线 yx+1 于点 B2，记B1B0B2的面积为 S1；再 将 B2B1绕 B2逆时针旋转 135得 B2B1， 过
4、点 B1作 y 轴平行线， 交直线 yx+l 于点 B3， 记B2B1B3的面积为 S2以此类推，则BnBn1Bn+1的面积为 Sn（ ） A （）n B （）n 1 C2n D2n 1 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11点 P（2，3）关于原点的对称点 P的坐标为 12计算： 13如图，在热气球上的点 C 测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30，45，点 C 到地面 的高度 CD 为 100 米，点 A，B，D 在同一直线上，则 AB 两点的距离是 米（结果 保留根号） 14已知 a，b 是 RtABC 的两条直角边，且 SABC6，若点（a，b）在反比例函数 y （k0）的
5、图象上，则 k 15已知关于 x、y 的二元一次方程组（a0） ，则 16如图，已知点 E，H 在矩形 ABCD 的 AD 边上，点 F，G 在 BC 边上，将矩形 ABCD 沿 EF， GH 折叠， 使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处 折叠后， 点 A 的对应点为点 A， 点 D 的对应点为点 D，若FPG90，AE3，DH1，则矩形 ABCD 的周长等 于 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17解不等式组 18如图，在ABCD 中，BEAC 于点 E，DFAC 于点 F，求证：BEDF 19已知 A（x+2）2+（x+1） （x1）3 （1）化简 A； （2）若
6、x2（） 1，求 A 的值 20广州融创乐园是国内首个以南越文化、岭南风格为主题的游乐园，自 2019 年 6 月开园 以来受到了国内外游客的热捧某旅游团组织一批游客游玩了乐园内的四个网红项目， “A双龙飞舞” 、 “B飞跃广东” 、 “C云霄塔” 、 “D怒海狂涛” ，并进行了“我最喜 欢的一个项目”的投票评选活动，投票结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图请你根 据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参与投票的游客总人数为 人； （2）扇形统计图中 B 所对的圆心角度数为 度，并补全条形统计图； （3）从投票给“双龙飞舞“的 3 名男生和 1 名女生中随机抽取 2 名了解情况，请你用列 举法
7、求恰好抽到 1 男 1 女的概率 21新冠肺炎疫情爆发之后，全国许多省市对湖北各地进行了援助，广州市某医疗队备好医 疗防护物资迅速援助武汉 第一批医疗队员乘坐高铁从广州出发， 2.5 小时后， 第二批医疗队员乘坐飞机从广州出发， 两批队员刚好同时到达武汉已知广州到武汉的飞行距离为 800 千米，高铁路程为飞行 距离的倍 （1）求广州到武汉的高铁路程； （2）若飞机速度与高铁速度之比为 5：2，求飞机和高铁的速度 22如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0） 的图象相交于 A（2，4） ，B（n，2）两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 C
8、 是第一象限内反比例函数图象上的一点，且点 C 在 A 的右侧，过点 C 作 CD 平行于 y 轴交直线 AB 于点 D，若以 C 为圆心，CD 长为半径的C 恰好与 y 轴相切，求 点 C 的坐标 23如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AD2，AB6，DAB60，E 为边 CD 上一 点 （1）尺规作图：延长 AE，过点 C 作射线 AE 的垂线，垂足为 F（不写作法，保留作图痕 迹） ； （2）当点 E 在线段 CD 上（不与 C，D 重合）运动时，求 EFAE 的最大值 24如图，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（3，0） ，与 y 轴 交于点
9、 C（0，3） （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 M 为抛物线 yx2+bx+c 上异于点 C 的一个点，且 SOMCSABC，求点 M 的坐标； （3）若点 P 为 x 轴上方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AP、BP 分别交抛物线的对称轴于点 E、F请问 DE+DF 是否为定值？如果是，请求出 这个定值；如果不是，请说明理由 25如图 1，已知 A、B、C 是O 上的三点，ABAC，BAC120 （1）求证：O 的半径 RAB； （2）如图 2，若点 D 是BAC 所对弧上的一动点，连接 DA，DB，DC 探究 DA，DB，DC 三者之间的数量关系，并
10、说明理由； 若 AB3，点 C与 C 关于 AD 对称，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 从点 B 运 动到点 C 时，求点 E 的运动路径长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 “广州电视课堂”上线以来备受欢迎，截至 2020 年 3 月 29 日，累计约有 7183900 人次观 看，7183900 用科学记数法表示为（ ） A7.1839107 B7.1839106 C71.839105 D71.839106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a
11、 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：71839007.1839106 故选：B 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2 “千年一遇的对称日”2020 年 2 月 2 日，用数字书写为“20200202” ，如图下列说法正确 的是（ ） A中心对称图形 B既是轴对称图形，又是中心对称图形 C轴对称图形 D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对
12、称图形的概念求解 【解答】解：用数字书写为“20200202” ，不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选：A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两 部分重合 3下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 Ba2a3a6 C （ab2）2ab4 D5a4bab5a3 【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化 简得出答案 【解答】解：A、a3+a32a3，故此选项错误； B、a2a3a5，故此选项错误； C、 （ab2）2a2b4，故此选项错误
13、； D、5a4bab5a3，故此选项正确； 故选：D 【点评】 此题主要考查了合并同类项法则以及整式的除法运算法则、 积的乘方运算法则， 正确掌握相关运算法则是解题关键 4如图是一个 44 的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是 （ ） A B C D 【分析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在 阴影区域的概率 【解答】解：如图：正方形的面积为 4416，阴影部分占 5 份，飞镖落在阴影区域的 概率是； 故选：C 【点评】本题考查了几何概率用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比 5若关于 x 的方程 x24x+m0 有两个不相等的实
14、数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am4 Bm4 Cm4 且 m0 Dm4 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式b24ac0，建立 关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围 【解答】解：方程有两个不相等的实数根，a1，b4，cm， b24ac（4）241m0， 解得 m4 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 6若点 A（2，y1） ，B（1，y2）在抛物线 y（x2）2+1 的图象上，则 y1、y2的大小关 系是（ ） Ay1y2
15、 By1y2 Cy1y2 D无法确定 【分析】分别计算自变量为 2、1 时的函数值，然后比较函数值的大小即可 【解答】解：当 x2 时，y1（x2）2+11； 当 x1 时，y2（x2）2+110； 101， y1y2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解 析式也考查了二次函数的性质 7扇形的弧长为 10cm，面积为 120cm2，则扇形的半径是（ ） A12cm B24cm C28cm D30cm 【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形lr，把对应的数值代 入即可求得半径 r 的长 【解答】解：S扇形lr， 12010r，
16、 r24（cm） ； 故选：B 【点评】本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形 面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形lr 8如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，AEDB，若 AD1，BDAC3， 则 AE 的长是（ ） A1 B C D2 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解：AEDB，AA， AEDACB， ， AD1，BDAC3， AB1+34， ， AE， 故选：C 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题 属于基础题型 9如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC6，
17、BD8，点 P 是 BC 边上的一动点， 则 AP 的最小值为（ ） A4 B4.8 C5 D5.5 【分析】由垂线段最短，可得 APBC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求 BC 的长，由菱形的面积公式可求解 【解答】解：设 AC 与 BD 的交点为 O， 点 P 是 BC 边上的一动点， APBC 时，AP 有最小值， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCOAC3，BODOBD4， BC5， S菱形ABCDACBDBCAP， AP4.8， 故选：B 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当 APBC 时，AP 有最小值是本题关 键 10 如图， 直线 yx+1 与
18、 x 轴和 y 轴分别交于 B0， B1两点， 将 B1B0绕 B1逆时针旋转 135 得 B1B0，过点 B0作 y 轴平行线，交直线 yx+1 于点 B2，记B1B0B2的面积为 S1；再 将 B2B1绕 B2逆时针旋转 135得 B2B1， 过点 B1作 y 轴平行线， 交直线 yx+l 于点 B3， 记B2B1B3的面积为 S2以此类推，则BnBn1Bn+1的面积为 Sn（ ） A （）n B （）n 1 C2n D2n 1 【分析】根据直线与 x 轴的成角和已知，可以判断B1B0B2；BnBn1Bn+1都是 直角三角形，再由旋转的性质得到 B1B0OB0，B2B1B1B0，Bn+1B
19、n BnBn1，可以 B1B0，B2B12，BnBn1 n，根据三角形面积公 式即可求解 【解答】解：直线 l1：yx+1 与 x 轴正半轴夹角 45， 由题意可知 B0B1x 轴，B1B2x 轴，BnBn+1x 轴， B0B2y 轴，B1B3y 轴，Bn1Bn+1y 轴， B1B0B2；BnBn1Bn+1都是直角三角形， B1B0OB0，B2B1B1B0，Bn+1BnBnBn1 由直线 l1：yx+1 可知，B0（1，0） ，B1（0，1） ， OB01， B1B0，B2B12，BnBn1 n， BnBn1Bn+1的面积为 Sn（ n）22n1 故选：D 【点评】本题考查一次函数图象及性质，
20、直角三角形的性质；利用直线与 x 轴的成角， 平行线的性质，在直角三角形中利用角的关系得到边的关系是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11点 P（2，3）关于原点的对称点 P的坐标为 （2，3） 【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案 【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， 所以：点（2，3）关于原点的对称点的坐标为（2，3） 故答案为： （2，3） 【点评】 考查了关于原点对称的点的坐标， 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点
21、，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 12计算： 1 【分析】因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可 【解答】解：故答案为 1 【点评】此题比较容易，是简单的分式加法运算 13如图，在热气球上的点 C 测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30，45，点 C 到地面 的高度 CD 为 100 米，点 A，B，D 在同一直线上，则 AB 两点的距离是 100（+1） 米（结果保留根号） 【分析】根据题意可得 CDAB，再根据特殊角三角函数即可求出 AB 两点的距离 【解答】解：根据题意可知： CDAB， 在 RtBCD 中，B45， B
22、DCD100， 在 RtADC 中，A30， tan30， 即， 解得 AB100（+1） （米） 答：AB 两点的距离是 100（+1）米 故答案为：100（+1） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角 俯角定义 14已知 a，b 是 RtABC 的两条直角边，且 SABC6，若点（a，b）在反比例函数 y （k0）的图象上，则 k 12 【分析】根据三角形的面积公式求得 ab 的积，根据点（a，b）在反比例函数 y（k 0）的图象上，则 kab，便可得到答案 【解答】解：a，b 是 RtABC 的两条直角边，且 SABC6， ab6， ab12， 点（
23、a，b）在反比例函数 y（k0）的图象上， kab12， 故答案为：12 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的特征，待定系数法，三角形的面积计 算，由三角形的面积求得 ab 的值是解题的关键 15已知关于 x、y 的二元一次方程组（a0） ，则 【分析】方程组利用加减法表示出 x+y 与 xy，原式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：， +得：3x+3y3a，即 x+ya， 得：xya， 则原式 故答案为： 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法 16如图，已知点 E，H 在矩形 ABCD 的 AD 边上，点 F，G 在 BC 边
24、上，将矩形 ABCD 沿 EF， GH 折叠， 使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处 折叠后， 点 A 的对应点为点 A， 点D的对应点为点D， 若FPG90， AE3， DH1， 则矩形ABCD的周长等于 12+6 【分析】设 ABCDx，由翻折可知：PAABx，PDCDx，由锐角三角函数 可求 x2，由勾股定理可求 PE，PH 的长，即可求解 【解答】解：四边形 ABC 是矩形， ABCD，ADBC，设 ABCDx， 由翻折可知： PAABx， PDCDx， CDPG90， BAPF90， FPG90， FPG+APF180，FPG+DPG180， 点 A，点 P，点 G 共
25、线，点 D，点 P，点 F 共线， AEPF， AEPDPH， tanAEPtanDPH， ， ， x2， PAAB2PDCD， EP2， PH， AD3+4， 矩形 ABCD 的周长等于2（2+3+4）12+6， 故答案为：12+6 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关 键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17解不等式组 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：， 由得：x2， 由得：x2， 则不等式组的
26、解集为2x2 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18如图，在ABCD 中，BEAC 于点 E，DFAC 于点 F，求证：BEDF 【分析】 利用平行四边形的性质可得 ADBC， ADBC， 再利用平行线的性质可得DAF BCE，结合 AAS 判定AFDCEB，进而可得 BEDF 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， DAFBCE 又BEAC 于点 E，DFAC 于点 F， AFDCEB90， 在AFD 和CEB 中， AFDCEB（AAS）
27、， BEDF 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平 行四边形的对边相等且平行 19已知 A（x+2）2+（x+1） （x1）3 （1）化简 A； （2）若 x2（） 1，求 A 的值 【分析】 （1）先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项得到最简结果； （2）先化简求得 x 的值，再代入求出 A 即可 【解答】解： （1）A（x+2）2+（x+1） （x1）3 x2+4x+4+x213 2x2+4x； （2）x2（） 14， x2， A2x2+4x24+428+816，或 A2x2+4x24+4（2）880， 即 A 的值是 0 或 16 【点
28、评】本题考查了平方差公式，完全平方公式和求值问题解题的关键是掌握多项式 乘多项式的运算法则，完全平方公式的运用，以及负指数幂的计算 20广州融创乐园是国内首个以南越文化、岭南风格为主题的游乐园，自 2019 年 6 月开园 以来受到了国内外游客的热捧某旅游团组织一批游客游玩了乐园内的四个网红项目， “A双龙飞舞” 、 “B飞跃广东” 、 “C云霄塔” 、 “D怒海狂涛” ，并进行了“我最喜 欢的一个项目”的投票评选活动，投票结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图请你根 据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参与投票的游客总人数为 50 人； （2）扇形统计图中 B 所对的圆心角度数为 144 度
29、，并补全条形统计图； （3）从投票给“双龙飞舞“的 3 名男生和 1 名女生中随机抽取 2 名了解情况，请你用列 举法求恰好抽到 1 男 1 女的概率 【分析】 （1）用 A 项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2） 先用 360乘以 B 项目的人数所占的百分比得到得到扇形统计图中 B 所对的圆心角 度数，然后计算出 C 项目的人数后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好抽到 1 男 1 女的结果数，然后 根据概率公式求解 【解答】解： （1）48%50， 所以参与投票的游客总人数为 50 人； （2）扇形统计图中 B 所对的圆心角度数3601
30、44； C 项目的人数为 5030%15（人） ， 补全条形统计图为： 故答案为 50；144； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 1 男 1 女的结果数为 6， 所以恰好抽到 1 男 1 女的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求 出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 21新冠肺炎疫情爆发之后，全国许多省市对湖北各地进行了援助，广州市某医疗队备好医 疗防护物资迅速援助武汉 第一批医疗队员乘坐高铁从广州出发， 2.5 小时后， 第二批医疗队
31、员乘坐飞机从广州出发， 两批队员刚好同时到达武汉已知广州到武汉的飞行距离为 800 千米，高铁路程为飞行 距离的倍 （1）求广州到武汉的高铁路程； （2）若飞机速度与高铁速度之比为 5：2，求飞机和高铁的速度 【分析】 （1） 利用广州到武汉的高铁路程广州到武汉的飞行距离， 即可求出结论； （2）设飞机的速度为 5x 千米/小时，则高铁的速度为 2x 千米/小时，根据时间路程 速度结合乘坐高铁比乘坐飞机多用 2.5 小时， 即可得出关于 x 的分式方程， 解之经检验后 即可得出结论 【解答】解： （1）8001000（千米） 答：广州到武汉的高铁路程为 1000 千米 （2）设飞机的速度为 5
32、x 千米/小时，则高铁的速度为 2x 千米/小时， 依题意，得：2.5， 解得：x136， 经检验，x136 是原方程的解，且符合题意， 2x272，5x680 答：飞机的速度为 680 千米/小时，高铁的速度为 272 千米/小时 【点评】 本题考查了分式方程的应用， 找准等量关系， 正确列出分式方程是解题的关键 22如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0） 的图象相交于 A（2，4） ，B（n，2）两点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 C 是第一象限内反比例函数图象上的一点，且点 C 在 A 的右侧，过点 C 作 CD 平行于 y 轴
33、交直线 AB 于点 D，若以 C 为圆心，CD 长为半径的C 恰好与 y 轴相切，求 点 C 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式； （2）设点 C（a，） ，则点 D（a，a+2） ，可求 CD 的长，由以 C 为圆心，CD 长为半径 的C 恰好与 y 轴相切，可得 aa+2，即可求解 【解答】解： （1）A（2，4） ，B（n，2）在反比例函数 y（m0）的图象上， m248，2， n4， 反比例函数的解析式为：y； 一次函数 ykx+b 过 A（2，4） ，B（n，2） ， ， ， 一次函数解析式为：yx+2； （2）设点 C（a，） ，则点 D（a，a+2） ， CDa+2
34、， 以 C 为圆心，CD 长为半径的C 恰好与 y 轴相切， aa+2 a4， 点 C（4，2） 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，圆 的有关知识，利用参数表示 CD 的长是本题的关键 23如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AD2，AB6，DAB60，E 为边 CD 上一 点 （1）尺规作图：延长 AE，过点 C 作射线 AE 的垂线，垂足为 F（不写作法，保留作图痕 迹） ； （2）当点 E 在线段 CD 上（不与 C，D 重合）运动时，求 EFAE 的最大值 【分析】 （1）利用尺规作 CFAE 交 AE 的延长线于 F 即可 （2）作 AHCD
35、 交 CD 的延长线于 H设 ECx解直角三角形求出 DH，证明CFE AHE，推出，推出 EFAECEEHx（7x）x2+7x（x）2+ ，再利用二次函数的性质求解即可 【解答】解： （1）如图，射线 CF 即为所求 （2）作 AHCD 交 CD 的延长线于 H设 ECx 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD6， BADADH60， H90， DAH30， DHAD1， CHCD+DH6+17， CFEH90，CEFAEH， CFEAHE， ， EFAECEEHx（7x）x2+7x（x）2+， 10， EFAE 的最大值为 【点评】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，相似
36、三角形的判定和性质，二 次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解 决最值问题，属于中考压轴题 24如图，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（3，0） ，与 y 轴 交于点 C（0，3） （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 M 为抛物线 yx2+bx+c 上异于点 C 的一个点，且 SOMCSABC，求点 M 的坐标； （3）若点 P 为 x 轴上方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AP、BP 分别交抛物线的对称轴于点 E、F请问 DE+DF 是否为定值？如果是，请求出 这个定值；如果不是
37、，请说明理由 【分析】 （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）SABCABOC433，而 SOMCOC|xM|xM|3， 即可求解； （3）求出直线 AP、BP 的函数表达式，即可求解 【解答】解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：yx22x+3； （2）对于抛物线 yx22x+3，令 y0，则 x3 或 1， 故点 B（1，0） ， SABCABOC433， SOMCOC|xM|xM|3，解得：xM2， 故点 M 的坐标为（2，5）或（2，3） ； （3）是定值，理由： 设点 P 的坐标为（m，m22m+3） ， 设直线 AP
38、 的表达式为：ykx+t，则，解得， 故直线 AP 的表达式为：y（m1） （x+3） ， 当 x1 时，y22m，即点 E（1，22m） ，即 DE22m， 同理可得，直线 BP 的表达式为：y（m+3） （x1） ， 当 x1 时，y2m+6，故点 F（1，2m+6） ，即 DF2m+6， DE+DF22m+2m+68，为定值 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，本 题解题的关键是求出直线 AP、BP 的函数表达式 25如图 1，已知 A、B、C 是O 上的三点，ABAC，BAC120 （1）求证：O 的半径 RAB； （2）如图 2，若点 D 是BA
39、C 所对弧上的一动点，连接 DA，DB，DC 探究 DA，DB，DC 三者之间的数量关系，并说明理由； 若 AB3，点 C与 C 关于 AD 对称，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 从点 B 运 动到点 C 时，求点 E 的运动路径长 【分析】 （1）连接 OA，OB，OC，由“SSS”可证OABOCA，可得BAOCAO 60，可证ABO 是等边三角形，可得结论； （2）将ABD 绕点 A 逆时针旋转 120得到ACH，过点 A 作 ANCH 于 N，由旋转的 性质可得 BDCH，ADAH，DAH120，ABDACH，可证点 D，点 C，点 H 三点共线，由直角三角形的性质可求解
40、； （3）先确定点 E 的运动轨迹，利用弧长公式可求解 【解答】证明： （1）如图 1，连接 OA，OB，OC， ABAC，OBOA，OAOC， OABOCA（SSS） ， BAOCAO， 又BAC120， OAB60OAC， ABO 是等边三角形， O 的半径 RAB； （2）CD+BDAD， 理由如下：如图 2，将ABD 绕点 A 逆时针旋转 120得到ACH，过点 A 作 ANCH 于 N， BDCH，ADAH，DAH120，ABDACH， 四边形 ABDC 是圆内接四边形， ABD+ACD180， ACD+ACH180， 点 D，点 C，点 H 三点共线， ADAH，DAH120，AN
41、CH， AHDADH30，HNDNDH， AD2AN，DNAN， HD2ANAD， CD+CHCD+BDAD； （3）如图 3，连接 BC，过点 A 作 AMBC 于 M，连接 CC，CE， ABAC，BAC120，AMBC，AB3， ABCACB30， AM，BMAM， ADBACB30，ADCABC30， ADBADC， 点 C 关于 AD 对称点 C在 BD 上， CDCD， 又CDC60， CDC是等边三角形， 点 E 是 CD 的中点， CEBD， 点 E 在以 BC 为直径的圆上， 当点 B 与点 D 重合时， EMBMCM， MCEMEC30， BME60， 当点 D 与点 C 重合时，点 E 也与点 C 重合， 点 E 的运动路径长2 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，旋转的 性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识，确定点 E 的运动轨迹是本题的关键
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