1、不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从 袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C3 个球中有黑球 D3 个球中有白球 4 （3 分）如图，已知 ABCD，AF 交 CD 于点 E，且 BEAF，BED40，则A 的 度数是（ ） A40 B50 C80 D90 5 （3 分）已知 P（0，4） ，Q （6，1） ，将线段 PQ 平移至 P1Q1，若 P1（m，3） ，Q1 （3， n） ，则 mn的值是（ ） A8 B8 C9 D9 6 （3 分）如图，直线 ykx+b 分别交 x 轴、y 轴于
2、点 A、C，直线 ymx+n 分别交 x 轴、y 轴于点 B、D，直线 AC 与直线 BD 相交于点 M（1，2） ，则不等式 kx+bmx+n 的解集 为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 第 2 页（共 26 页） 7 （3 分）在同一坐标系中，反比例函数与二次函数图象的交点的个数至少有（ ） A0 B1 C2 D3 8 （3 分）如图，已知菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0） ，顶点 B 的坐标为（4，4） ， 若将菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45称为 1 次变换，则经过 2020 次变换后点 C 的 坐标为（ ） A （9，4） B （4，9） C （9，4）
3、 D （4，9） 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 9 （3 分）一般冠状病毒衣原体的直径约为 0.000 000 11 米，把 0.000 000 11 用科学记数法 可以表示为 10 （3 分）某校九年级 1 班 50 名学生的血型统计如表： 血型 A 型 B 型 AB 型 O 型 频率 0.18 0.3 0.16 0.36 则该班学生 O 型血的有 名 11 （3 分）近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例（即） ，已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为 0.5m，则 y 与 x 之间的函数关系式是 12 （3 分）如图，由 10 个完全相同
4、的小正方体堆成的几何体中，若每个小正方体的边长为 2，则主视图的面积为 13 （3 分）在实数范围内分解因式：m42m2 14 （3 分）已知 a56，a22，则 a3 15 （3 分）李兵的观点： 不等式 a2a 不可能成立、 理由： 若在这个不等式两边同时除以 a， 则会出现 12 的错误结论李兵的观点、理由 （填“对对” 、 “对错” 、错对” 、 第 3 页（共 26 页） “错错” ） 16 （3 分）比较大小：sin81 tan47（填“” 、 “”或“” ） 17 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+4m0 有两个相等的实数根，则 a+m3 的值为 18 （3
5、分）如图，已知O 的半径为 6，点 A、B 在O 上，AOB60，动点 C 在O 上（与 A、B 两点不重合） ，连接 BC，点 D 是 BC 中点，连接 AD，则线段 AD 的最大值 为 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： （） 2|42 |tan60； （2）化简： （2x1）2（3x） （x+3） 20 （8 分）解不等式组，并写出不等式组的最小整数解 21 （8 分）为了了解高邮市“新冠肺炎”疫情防控期间九年级学生线上学习情
6、况，通过问 卷网就“你对自己线上学习的效果评价”进行了问卷调查，从中随机抽取了部分样卷进 行统计，绘制了如图的统计图 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“较好”对应的扇形圆心角的度数为 ； （4）若全市九年级线上学习人数有 4500 人，请估计对线上学习评价“非常好”的人数 22 （8 分）在一不透明的袋子中装有四张标有数字 2，3，4，5 的卡片，这些卡片除数字外 第 4 页（共 26 页） 其余均相同小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加如图是 他所画的树状图的一部分 （1）由图分析，该游戏规则是：
7、第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放 回”或“不放回” ） ，第二次随机再抽出一张卡片： （2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率 23 （10 分）小明家用 80 元网购的 A 型口罩与小磊家用 120 元在药店购买的 B 型口罩的数 量相同，A 型与 B 型口罩的单价之和为 10 元，求 A、B 两种口罩的单价各是多少元？ 24 （10 分）如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A 落 在点 A处 （1）求证：BEBF； （2）若 AE1，BE2，求梯形 ABFE 的面积 25 （10 分）如图，AB
8、 是O 的直径，NM 与O 相切于点 M，与 AB 的延长线交于点 N， MHAB 于点 H （1）求证：12； （2）若N30，BN5，求O 的半径； （3）在（2）的条件下，求线段 BN、MN 及劣弧 BM 围成的阴影部分面积 26 （10 分）对于平面直角坐标系中的任意一点 P（a，b） ，我们定义：当 k 为常数，且 k 第 5 页（共 26 页） 0 时，点 P（a+，ka+b）为点 P 的“k 对应点” （1）点 P（2，1）的“3 对应点”P的坐标为 ；若点 P 的“2 对应点”P 的坐标为（3，6） ，且点 P 的纵坐标为 4，则点 P 的横坐标 a ； （2）若点 P 的“k
9、 对应点”P在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，求 k 值； （3）若点 P 在 x 轴的负半轴上，点 P 的“k 对应点”为 P点，且OPP30，求 k 值 27 （12 分）某公司计划投资 300 万元引进一条汽车配件流水生产线，经过调研知道该流水 生产线的年产量为 1040 件，每件总成本为 0.6 万元，每件出厂价 0.65 万元；流水生产线 投产后，从第 1 年到第 n 年的维修、保养费用累计 y（万元）如表： 第 n 年 1 2 3 4 5 6 维修、 保养 费用累计y （万元） 3 8 15 24 35 48 若表中第 n 年的维修、保养费用累计 y（万元）与 n 的数量关系
10、符合我们已经学过的一次 函数、二次函数、反比例函数中某一个 （1）求出 y 关于 n 的函数解析式； （2）投产第几年该公司可收回 300 万元的投资？ （3）投产多少年后，该流水线要报废（规定当年的盈利不大于维修、保养费用累计即报 费）？ 28 （12 分）在ABC 中，C90，ACBC6 （1）如图 1，若将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BD，连接 AD，则ABD 的 面积为 （2）如图 2，点 P 为 CA 延长线上一个动点，连接 BP，以 P 为直角顶点，BP 为直角边 作等腰直角BPQ，连接 AQ，求证：ABAQ； （3）如图 3，点 E，F 为线段 BC 上两点，
11、且CAFEAFBAE，点 M 是线段 AF 上一个动点，点 N 是线段 AC 上一个动点，是否存在点 M，N，使 CM+NM 的值最小， 若存在，求出最小值：若不存在，说明理由 第 6 页（共 26 页） 第 7 页（共 26 页） 2020 年江苏省扬州市高邮市中考数学一模试卷年江苏省扬州市高邮市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题（每题选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A B C3.14159 D 【分析】根据实数比较大小的法则可得答案 【解答】解：3，4， A、是比 3 大比 4
12、 小的无理数，故此选项符合题意； B、比 4 大的无理数，故此选项不合题意； C、3.14159 是有理数，故此选项不合题意； D、 是比3 小比4 大的无理数，故此选项不符合题意； 故选：A 【点评】 此题主要考查了实数的大小比较， 关键是掌握正实数都大于 0， 负实数都小于 0， 正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2 （3 分）下列式子中的最简二次根式是（ ） A B C D 【分析】利用最简二次根式定义判断即可 【解答】解：A、原式为最简二次根式，符合题意； B、原式|x|，不符合题意； C、原式2，不符合题意； D、原式，不符合题意， 故选：A 【点评】此题考查了最简二
13、次根式，以及负整数指数幂，熟练掌握最简二次根式的判断 方法是解本题的关键 3 （3 分）不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从 袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C3 个球中有黑球 D3 个球中有白球 第 8 页（共 26 页） 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型 【解答】解：A、3 个球都是黑球是随机事件； B、3 个球都是白球是不可能事件； C、3 个球中有黑球是必然事件； D、3 个球中有白球是随机事件； 故选：B 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概
14、念必然事件指在一定条 件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事 件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4 （3 分）如图，已知 ABCD，AF 交 CD 于点 E，且 BEAF，BED40，则A 的 度数是（ ） A40 B50 C80 D90 【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案 【解答】解：BEAF，BED40， FED50， ABCD， AFED50 故选：B 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED 的度数是解题 关键 5 （3 分）已知 P（0，4） ，Q （6，1） ，将线段 PQ 平移至
15、P1Q1，若 P1（m，3） ，Q1 （3， n） ，则 mn的值是（ ） A8 B8 C9 D9 【分析】根据平移的性质得出平移规律解答即可 【解答】解：由 P（0，4） ，Q （6，1） ，将线段 PQ 平移至 P1Q1，若 P1（m，3） ， Q1 （3，n） ， 第 9 页（共 26 页） 可得：4+13，633， 即平移规律为向上平移 1 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度， 可得：03m，1+1n， 解得：m3，n2， 把 m3，n2 代入 mn9， 故选：D 【点评】此题考查平移的坐标与图形变化，关键是根据平移规律解答 6 （3 分）如图，直线 ykx+b 分别交 x 轴、y
16、 轴于点 A、C，直线 ymx+n 分别交 x 轴、y 轴于点 B、D，直线 AC 与直线 BD 相交于点 M（1，2） ，则不等式 kx+bmx+n 的解集 为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 【分析】结合函数图象，写出直线 ykx+b 不在直线 ymx+n 的上方所对应的自变量的 范围即可 【解答】解：根据函数图象，当 x1 时，kx+bmx+n， 所以不等式 kx+bmx+n 的解集为 x1 故选：B 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函 数 ykx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确 定直线 yk
17、x+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 7 （3 分）在同一坐标系中，反比例函数与二次函数图象的交点的个数至少有（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数 【解答】解：若二次函数的图象在三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称 轴； 第 10 页（共 26 页） 反比例函数的图象在一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限 同理，若二次函数的图象在三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴； 反比例函数的图象在二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限 故选：B 【点评】主要考查二次函数
18、和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握 8 （3 分）如图，已知菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0） ，顶点 B 的坐标为（4，4） ， 若将菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45称为 1 次变换，则经过 2020 次变换后点 C 的 坐标为（ ） A （9，4） B （4，9） C （9，4） D （4，9） 【分析】根据 360458，可得菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 8 次变换为一次循 环，由 202082524，445180，可得经过 2020 次变换后点 C 的坐标处于点 C 绕原点逆时针旋转 180的位置先求出 C 点的坐标，进而可得点 C
19、关于原点对称的点 的坐标即为所求 【解答】解：360458， 菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 8 次变换为一次循环， 202082524， 445180， 经过 2020 次变换后点 C 的坐标处于点 C 绕原点逆时针旋转 180的位置 顶点 A 的坐标为（1，0） ，顶点 B 的坐标为（4，4） ， 第 11 页（共 26 页） AB5， 四边形 ABCD 是菱形， BCAD，BCAB5， C（9，4） ， 经过 2020 次变换后点 C 的坐标为（9，4） 故选：C 【点评】本题考查了菱形的性质、规律型点的坐标、坐标与图形变化旋转，解决本 题的关键是综合运用以上知识 二、填空题（每
20、题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 9 （3 分）一般冠状病毒衣原体的直径约为 0.000 000 11 米，把 0.000 000 11 用科学记数法 可以表示为 1.110 7 【分析】绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的 数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 000 111.110 7， 故答案为：1.110 7 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字
21、前面的 0 的个数所决定 10 （3 分）某校九年级 1 班 50 名学生的血型统计如表： 血型 A 型 B 型 AB 型 O 型 频率 0.18 0.3 0.16 0.36 则该班学生 O 型血的有 18 名 【分析】根据频数和频率的定义求解即可 【解答】解：根据题意得： 500.3618（名） ， 答：该班学生 O 型血的有 18 名； 故答案为：18 【点评】此题考查了频数和频率的知识，属于基础题，掌握频数和频率的概念是解答本 题的关键 第 12 页（共 26 页） 11 （3 分）近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例（即） ，已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为 0.5
22、m，则 y 与 x 之间的函数关系式是 y 【分析】由于近视镜度数 y（度）与镜片焦距 x（米）之间成反比例关系可设 y，由 200 度近视镜的镜片焦距是 0.5 米先求得 k 的值 【解答】解：由题意设 y， 由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则 k0.5200100， y 故眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式为：y 故答案为：y 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函 数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式 12 （3 分）如图，由 10 个完全相同的小正方体堆成的几何体中，若每个小正方体的边长为 2，则主视图的面积为 24
23、【分析】先求出主视图的小正方形的个数，再根据正方形的面积公式计算即可 【解答】解：主视图有 3 列，每列小正方数形数目分别为 3，2，1；左视图有 3 列， 主视图的面积为：22（3+2+1）24 故答案为：24 【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法，关键是掌握三视图的画法 13 （3 分）在实数范围内分解因式：m42m2 m2（m+） （m） 【分析】直接提取公因式 m2，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：m42m2 m2（m22） m2（m+） （m） 故答案为：m2（m+） （m） 第 13 页（共 26 页） 【点评】此题主要考查了实属范围内分解因式，正确运用
24、乘法公式是解题关键 14 （3 分）已知 a56，a22，则 a3 3 【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，用 a5除以 a2，求出 a3的值是多少即可 【解答】解：a56，a22， a3623 故答案为：3 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数 a0，因为 0 不能做除数；单独的一 个字母，其指数是 1，而不是 0；应用同底数幂除法的法则时，底数 a 可是单项式，也 可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么 15 （3 分）李兵的观点： 不等式 a2a 不可能成立、 理由： 若在这个不等式两边同时除以
25、a， 则会出现 12 的错误结论李兵的观点、理由 错错、当 a0 时，a2a （填“对 对” 、 “对错” 、错对” 、 “错错” ） 【分析】根据不等式的性质进行解答 【解答】解：李兵的观点错错理由如下： 当 a0 时，a2a； 当 a0 时，由 12 得 a2a 故答案是：错错；当 a0 时，a2a 【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向 不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或 除以）同一个负数，不等号方向改变 16 （3 分）比较大小：sin81 tan47（填“” 、 “”或“” ） 【分析】根据 sin811
26、，tan471 即可求解 【解答】解：sin81sin901，tan47tan451， sin811tan47， sin81tan47 故答案为 【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在 090间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ； 第 14 页（共 26 页） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 也考查了不等式的传递性 17 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+4m0 有两个相等的实数根，则 a+m3 的值为 1 【分析】利用一元二次方程根的判别式b24ac0 即可求解 【解答
27、】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+2ax+4m0 有两个相等的实数根， b24ac4a（a4+m）0， a0， a4+m0， a+m4， a+m3431 故答案为：1 【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（ b24ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根； 当0 时，方程无实数根，上述结论反过来也成立 18 （3 分）如图，已知O 的半径为 6，点 A、B 在O 上，AOB60，动点 C 在O 上（与 A、B 两点不重合） ，连接 BC，点 D 是 B
28、C 中点，连接 AD，则线段 AD 的最大值 为 3 【分析】取 OB 中点 E 得 DE 是OBC 的中位线，知 DEOC3，即点 D 是在以 E 为圆心，3 为半径的圆上，从而知求 AD 的最大值就是求点 A 与E 上的点的距离的最大 值，据此求解可得 【解答】解：如图 1，连接 OC，Q 取 OB 的中点 E，连接 DE 则 OEEBOB3 第 15 页（共 26 页） 在OBC 中，DE 是OBC 的中位线， DEOC3， EOEDEB， 即点 D 是在以 E 为圆心，2 为半径的圆上， 求 AD 的最大值就是求点 A 与E 上的点的距离的最大值， 如图 2，当 D 在线段 AE 延长
29、线上时，AD 取最大值， OAOB6，AOB60，OEEB， AE3，DE3， AD 取最大值为 3+3 故答案为 3 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点 D 的运动轨迹是以 E 为圆心，3 为半径的圆 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算： （） 2|42 |tan60； （2）化简： （2x1）2（3x） （x+3） 【分析】 （1）根据负整数指数幂的运算法则，绝对值的定义以及特殊角的三角函数值计 算即可；
30、（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可 【解答】解： （1）原式4（4） ； 第 16 页（共 26 页） （2）原式4x24x+1（9x2） 4x24x+19+x2 5x24x8 【点评】本题主要考查了实数的运算、负整数指数幂、完全平方公式以及平方差公式， 熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键 20 （8 分）解不等式组，并写出不等式组的最小整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2（x1）7x，得：x3， 解不等式 3+2x，得：x2， 则不等式组的解集为2x3， 不等式组的最
31、小整数解为2 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的 关键 21 （8 分）为了了解高邮市“新冠肺炎”疫情防控期间九年级学生线上学习情况，通过问 卷网就“你对自己线上学习的效果评价”进行了问卷调查，从中随机抽取了部分样卷进 行统计，绘制了如图的统计图 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 120 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“较好”对应的扇形圆心角的度数为 144 ； （4）若全市九年级线上学习人数有 4500 人，请估计对线上学习评价
32、“非常好”的人数 第 17 页（共 26 页） 【分析】 （1）由“不好”的人数及其所占百分比可得样本容量； （2）根据各评价的人数之和等于总人数求出“一般”的人数，据此可补全图形； （3）用 360乘以“较好”人数所占比例可得； （4）用总人数乘以样本中学习评价“非常好”的人数所占比例 【解答】解： （1）本次调查的样本容量为 1815%120， 故答案为：120； （2） “一般”的人数为 120（18+48+24）30（人） ， 补全条形图如下： （3）扇形统计图中“较好”对应的扇形圆心角的度数为 360144， 故答案为：144； （4）估计对线上学习评价“非常好”的人数为 45009
33、00（人） 【点评】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题 的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题 22 （8 分）在一不透明的袋子中装有四张标有数字 2，3，4，5 的卡片，这些卡片除数字外 其余均相同小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加如图是 他所画的树状图的一部分 （1） 由图分析， 该游戏规则是： 第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 不放回 （填 “放 回”或“不放回” ） ，第二次随机再抽出一张卡片： （2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率 【分析】 （1）根据树状图可得答案； 第 18 页（
34、共 26 页） （2）补全树状图，利用概率公式求解可得 【解答】解： （1）游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随 机再抽出一张卡片； 故答案为：不放回 （2）补全树状图如图所示： 由树状图得：共有 12 种等可能结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果 有 4 种， 小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步 或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比 23 （10 分）小明家用 80 元网购的
35、 A 型口罩与小磊家用 120 元在药店购买的 B 型口罩的数 量相同，A 型与 B 型口罩的单价之和为 10 元，求 A、B 两种口罩的单价各是多少元？ 【分析】设 A 型口罩的单价为 x 元，则 B 型口罩的单价为（10x）元，根据数量总价 单价结合小明家用80元网购的A型口罩与小磊家用120元在药店购买的B型口罩的数 量相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【解答】解：设 A 型口罩的单价为 x 元，则 B 型口罩的单价为（10x）元， 依题意，得：， 解得：x4， 经检验，x4 是原分式方程的解，且符合题意， 10x6 答：A 型口罩的单价为 4 元，B 型口罩
36、的单价为 6 元 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 24 （10 分）如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A 落 第 19 页（共 26 页） 在点 A处 （1）求证：BEBF； （2）若 AE1，BE2，求梯形 ABFE 的面积 【分析】 （1）由折叠可得，BFBF，依据BEFBFE，可得 BFBE，进而得到 BEBF； （2）由折叠可得，AEAE1，AA90，根据勾股定理可得 AB的长，再根 据梯形面积计算公式，即可得到梯形 ABFE 的面积 【解答】解： （1）由折叠可得，BFBF，BFEBFE
37、， 由 ADBC，可得BEFBFE， BEFBFE， BFBE， BEBF； （2）由折叠可得，AEAE1，AA90，而 BEBF2， AB， AB， 梯形 ABFE 的面积 【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于 轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 25 （10 分）如图，AB 是O 的直径，NM 与O 相切于点 M，与 AB 的延长线交于点 N， MHAB 于点 H （1）求证：12； （2）若N30，BN5，求O 的半径； （3）在（2）的条件下，求线段 BN、MN 及劣弧 BM 围成的阴影部分面积 第 20 页（共
38、26 页） 【分析】 （1）根据切线的性质得出 OMMN，即可得出1+BMONMO90， 由 NHAB，推出2+MBO90，根据等腰三角形的性质得出OBMOMB，即 可证得12； （2）由N30，推出1+260，所以1230，MON60，得到 BMBN5，易知OBM 为等边三角形，所以 OBOMBM5，得出结论； （3）三角形 OMN 的面积减去扇形 OMN 的面积即为线段 BN、MN 及劣弧 BM 围成的阴 影部分面积 【解答】解： （1）证明：连接 OM， NM 与O 相切， OMMN， OBOM， OBMOMB， NHAB， 2+MBO90， 1+BMONMO90， 12； （2）N30
39、， MHAB， 1+260， 1230，MON60， BMBN5， OBOM， 第 21 页（共 26 页） OBM 为等边三角形， OBOMBM5， 即O 的半径为 5； （3）由（2）知，N30，OM5， MN5， SOMNMNOM， S扇形MOB， 线段 BN、MN 及劣弧 BM 围成的阴影部分面积SOMNS扇形MOB 【点评】本题考查了圆的综合运用，熟练运用特殊三角形的性质以及切线的性质是解题 的关键 26 （10 分）对于平面直角坐标系中的任意一点 P（a，b） ，我们定义：当 k 为常数，且 k 0 时，点 P（a+，ka+b）为点 P 的“k 对应点” （1）点 P（2，1）的“
40、3 对应点”P的坐标为 （，5） ；若点 P 的“2 对应点”P的坐标为（3，6） ，且点 P 的纵坐标为 4，则点 P 的横坐标 a 1 ； （2）若点 P 的“k 对应点”P在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，求 k 值； （3）若点 P 在 x 轴的负半轴上，点 P 的“k 对应点”为 P点，且OPP30，求 k 值 【分析】 （1）根据点 P 的“k 对应点”的定义列式计算，得到答案； （2）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等计算； （3）根据点 P 的“k 对应点”的定义表示出 P点的坐标，根据直角三角形的性质、正 切的定义计算即可 【解答】解： （1）2+，23+1
41、5， 则点 P（2，1）的“3 对应点”P的坐标为（，5） ， 点 P 的“2 对应点”P的坐标为（3，6） ，点 P 的纵坐标为 4， 2a+46， 解得，a1，即点 P 的横坐标 a1， 故答案为：1； 第 22 页（共 26 页） 故答案为： （，5） ；1； （2）点 P在第一、三象限的角平分线（原点除外）上， a+ka+b， 整理得， （ka+b） （1k）0， 由题意得，ka+b0， 1k0， 解得，k1； （3）点 P 在 x 轴的负半轴上， 设点 P 的坐标为（a，0） ， 则点 P 的“k 对应点”为 P点的坐标为（a，ka） ， PPx 轴， OPP30， tan30， ，
42、 解得，k， 则点 P 在 x 轴的负半轴上，点 P 的“k 对应点”为 P点，OPP30时，k或 【点评】本题考查的是点 P 的“k 对应点”的定义、直角三角形的性质、角平分线的性 质，正确理解点 P 的“k 对应点”的定义是解题的关键 27 （12 分）某公司计划投资 300 万元引进一条汽车配件流水生产线，经过调研知道该流水 生产线的年产量为 1040 件，每件总成本为 0.6 万元，每件出厂价 0.65 万元；流水生产线 投产后，从第 1 年到第 n 年的维修、保养费用累计 y（万元）如表： 第 23 页（共 26 页） 第 n 年 1 2 3 4 5 6 维修、 保养 费用累计y （
43、万元） 3 8 15 24 35 48 若表中第 n 年的维修、保养费用累计 y（万元）与 n 的数量关系符合我们已经学过的一次 函数、二次函数、反比例函数中某一个 （1）求出 y 关于 n 的函数解析式； （2）投产第几年该公司可收回 300 万元的投资？ （3）投产多少年后，该流水线要报废（规定当年的盈利不大于维修、保养费用累计即报 费）？ 【分析】 （1）根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质可判断该函数是二次函数， 再根据待定系数法求解即可； （2）设投产第 x 年该公司可收回 300 万元的投资，由题意得关于 x 的不等式，解不等式 即可； （3）根据题意得列出不等式，结合二次函数
44、的性质得出解集，则可得出问题的答案 【解答】解： （1）ny、都不是固定值， y 关于 n 的函数解析式不是一次函数和反比例函数， y 关于 n 的函数解析式是二次函数 设 yan2+bn+c，将（1，3） ， （2，8） ， （3，15）代入得： ， 解得， yn2+2n； （2）设投产第 x 年该公司可收回 300 万元的投资，由题意得： 1040（0.650.6）xx22x300， 整理得：x250x+3000， （x25）2325， 解得：5+25x5+25， 第 24 页（共 26 页） x5+256.97， x 的最小值为 7 投产第 7 年该公司可收回 300 万元的投资； （3
45、）根据题意得：1040n（0.650.6）n2+2n， 整理得：n250n0， n0 或 n50 投产 50 年后，该流水线要报废 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式及二次函数和不等式在实际问题中的应 用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键 28 （12 分）在ABC 中，C90，ACBC6 （1）如图 1，若将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BD，连接 AD，则ABD 的 面积为 36 （2）如图 2，点 P 为 CA 延长线上一个动点，连接 BP，以 P 为直角顶点，BP 为直角边 作等腰直角BPQ，连接 AQ，求证：ABAQ； （3）如图 3，点 E，F 为线段 BC 上两点，且CAFEAFBAE，点 M 是线段 AF 上一个动点，点 N 是线段 AC 上一个动点，是否存在点 M，N，使 CM+NM 的值最小， 若存在，求出最小值：若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据旋转的性质得到ABD 是等腰直角三角形，求得 AD2B
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